西南交大矩陣分析考試題型總結(jié)(復(fù)習(xí)備考必備-輕松拿下90分)

2013-2014考試題型：1、線性空間的定義及判別2、矩陣函數(shù)eA,sinAcosA的計(jì)算3、函數(shù)矩陣的微分、積分的計(jì)算4、矩陣四種范數(shù)的定義、計(jì)算5、Hamite-CaylayfxEAfA0可用于解逆矩陣6、V上兩組基之間的過(guò)渡矩陣計(jì)算7、線性空間，線性變換在基下的矩陣的計(jì)算8、向量在基下的坐標(biāo)（就是求解線性方程組）9、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算（P的計(jì)算）10、Smith標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算11、schmit正交化方法（化成標(biāo)準(zhǔn)正交基）12Ax=b（ATAxATb）2014-2015考試題型：一、判斷：線性空間的判定二、計(jì)算：1、最小二乘法解方程組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的判定、矩陣的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型4、變換稱為線性變換的證明（項(xiàng)、和、維數(shù)）5、smith標(biāo)準(zhǔn)型（t的矩陣函數(shù)）7、矩陣范數(shù)的計(jì)算8、矩陣特征值的分布范圍9A的計(jì)算10、標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的性質(zhì)定理證明自我補(bǔ)充題型：11、求過(guò)渡矩陣12、求向量在一組基下的坐標(biāo)P題型總結(jié)：參考書(shū)目《矩陣分析引論（第五版）——羅家洪》【1】線性空間的判定：是否滿足加法、數(shù)乘封閉。8條規(guī)則：零元素負(fù)元素1乘等于本身 1 1 1 112-13考題一集合SxxR3,Axb,A2 2 2,b2是否為線性空間 3 3 3 3 3 3 xR3xSyR3ySAxbAybAxy2bbb0，不滿足加法封閉，所以不是線性空間?！?】矩陣級(jí)數(shù)的斂散性limA

Alima(k)a1

A1kk

kij ij2k1

A1A2Ak

NNSNAkA1A2AN

limSNA矩陣級(jí)數(shù)的收斂性：如果矩陣級(jí)數(shù)的部分和序列收斂于A，即N ，則稱矩陣級(jí)數(shù)收斂于A，記做k1mn個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是收A(a(k)),A(a)

AA

a(k)a斂的。即設(shè)k ij

kijk1

ij ij矩陣級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)：若矩陣級(jí)數(shù)Ak收斂，則limAk0k1

k是絕對(duì)收斂的。aAkaIaA

aA2a

Akkkk

0 1 2 k3

ACnn,aCk矩陣復(fù)冪級(jí)數(shù)收斂定理：若復(fù)冪級(jí)數(shù)aAk的收斂半徑為RACnn的譜半kk1A當(dāng)AR時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù)aAk當(dāng)ARkk1kak時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù)aAk發(fā)散。其中R由式akkk1

k R【3ATAXATBP322-9

x1x21xx21 3用最小二乘法解方程組xxx01 2 3x2xx

11 2 31 1 01 0 1

1 11 1

12解：由于A ，AT1 01 2，B 1 1 1

0 11

1

01 2

1

1 所以4 4 1x1 2ATAX4 6 1x1ATB 2 1 1 3x

3

3 ,x

13,x41 6 2

6 3 6【4】標(biāo)準(zhǔn)正交基的判定n維（或稱單位正交基）1、標(biāo)準(zhǔn)正交基的判定 0,i P466方法：驗(yàn)證aiaj準(zhǔn)正交基?；A(chǔ)解系的求法：我們先通過(guò)初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形，那么階梯形的非零行數(shù)就是系數(shù)矩陣的秩。把每一個(gè)非零行最左端的未知量保留在方程組的左端，其余個(gè)未知量移到等式右端，再令右端個(gè)未知量其中的一個(gè)為1，其余為零，這樣可以得到個(gè)解向量，這個(gè)解向量構(gòu)成了方程組的基礎(chǔ)解系。,,n1

l

ln,i,i,,n n 11 2 2

n1，i

i,i例 求數(shù)域K上的齊次線性方程組 x1

3x4

x50, x x2x

0, 1 2 3 44x2x6x3x4x

0, 1 2 3 4 52x4x2x4x7x

0.的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

1 2 3 4 51010311103112100 2 2 2 1 263400031424700000111 422 x1x2 3x4x502x2x2x3xxx00移項(xiàng)，得x1x2 3x4x502x2x2x3xxx00移項(xiàng)，得x1x2 3x4x5,2x2x2xx,3xx.2 3 4 54 5（1、取

2 4 3 54 5x50，得一個(gè)解向量（2、取3

x51，得另一解向量0,1,1).2 66 31,2即為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，方程組的全部解可表示為解畢。

k11k22

(k1,k2K).2x1x2x3x43x50 5P467求齊次線性方程組xx

xx0

1 2 3 5標(biāo)準(zhǔn)正交基。解：用初等變換把系數(shù)矩陣化為行階梯形：P262-5】【5】矩陣的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型將EA化成對(duì)角陣，得出初級(jí)因子，將特征值作為對(duì)角元素，寫(xiě)出約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。P55【6】變換稱為線性變換的證明（項(xiàng)、和、維數(shù)）定義：保持向量加法、數(shù)量乘法的變換。TTTTkkT說(shuō)明：線性變換就是保持線性組合的對(duì)應(yīng)的變換。典型線性變換：(3)如果九(p)=l性變換T1(p+q)=1,但 九(p)+1(q)11=2,所以 九(p+q)＃九(p)+T1(q).例3 定義在閉區(qū)間上的全體連續(xù)函數(shù)組成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間V,在這個(gè)空間中變換T(J(x))fJ心是一個(gè)線性變換r證明設(shè) J(x)EV,g(x)EV.r則有T[f(x)+g(x)]= f(t)+g(t}ltfg(tlt=T[J(x)]+T[g(x)]T(kf(x))t't}itktftkT[/(x)l故命題得證．例4 線性空間V中的恒等變換（或稱單位變換）E:E(a)=a,aEV.是線性變換證明設(shè)af)EV則有E(a+＝a+3＝E(a)+E(）E(kakakE(a).所以恒等變換E是線性變換例5 線性空間V中的零變換0:o(a)=0是線性變換．證明 設(shè)a,pEV,則有o(a+P)=o=o+o=o(a)+o(p)O(ka)=0=kO=kO(a).所以零變換是線性變換 例6 在礦中定義變換(x.,2,x3)=2+3,0)則TR一個(gè)線性變換證明\/a=(a.,a2'a31P=(b.,b2,b3)ER3,T(a+p)=T(a1h.,a2+b2,a3b3)（＋礦2+3+b2+b3,0J（2+3,

;,2+b3,0)T(aT(p). 證畢．【7】Smith標(biāo)準(zhǔn)型。注意做行列式變換，不能除帶整式多項(xiàng)式，可以乘?！?29個(gè)了，根本算不過(guò)來(lái)。0，再在子式里做行列調(diào)換，把次數(shù)小的換到左上角。方法二：用行列式因子、不變因子。用于簡(jiǎn)單形式的矩陣，特別是對(duì)角陣時(shí)。12-13考題六求多項(xiàng)式矩陣：120021 000011000010000

0 0 0 00 G

0的史密斯標(biāo)準(zhǔn)型 0 1 D1D2112 1221 ， 21 11 112 21 11 ， 11 1 1 ，12 21 11 1 ， 1 ， 1 1 1 1 所以331（），3級(jí)行列式因子：D3121,12,21,11=1例題，這種運(yùn)算的意義是取括號(hào)內(nèi)各多項(xiàng)式元素的公因式）4D412155D22225所以不變因子：d1d2d34dD41214D35dD51215D4所以史密斯標(biāo)準(zhǔn)型為：d1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 d 0 0 0 0 1 0 0 0 2 G0 0 d3 0 00 0 1 0 0 0 0 0 d 0 0 0 0 121 0 4 0 0 0

d 0 0 0 055

121 【8】矩陣函數(shù)的計(jì)算（含參數(shù)t）1、矩陣的微分與積分：將矩陣內(nèi)函數(shù)分別微積分。注意積分常數(shù)項(xiàng)不能相同。lnt e5t

dAt 212-13考題七At

t1 ，求：

,Att,

Atdt。 解：dAt

1 5e5ttdAtdt

1 1t12 1tt1 5tlnttC 1e5tC 5 1 2 2Atdt2 3 1 23 t23 ttnt3

ln1t2C22ln2125 Atdt5

10e5 1 2 2arctan2arctan11ln5ln2 3 2 e2t矩陣分析模擬題七Atet

tet2e2t

0dAt,

1Atdt1 t 2t 0 0 2e2t

t1et 0dAt解：0dt0

et

4e2t 2 0 0 1e2tC t1etC tC2 1 2 3Atdt

et

e2t

C67 8 t2C C C 7 8 1 1e21

1 1Atdt 1e1 e21 00 1 0 0 2、求eAeAt,sinAcosAt3、求微分方程組的解【9】矩陣范數(shù)的計(jì)算amaxxi1in na1xiaa p

i1ni1

1xpp1pi 1A1AmaxAmaxAH AA 2nnj1aij2trAHA

最大列模和最大行模和AF 【10】矩陣特征值的分布范圍P128AAH

aijajiBj

nn

2 2 Cj

AAH

aijajinn 2 2 nn2na2nnk1i,jnmax1i,jnmaxaij

i1

ij;1i,jnmaxbijRe1i,jnmaxbij1i,jnmaxcijlm1i,jnmaxcijnn12lmnn12

maxck圓盤(pán)定理：P129

1i,jnijRt【11A的計(jì)算AAHAH1AAH1AHM-P廣義逆矩陣【12】標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的性質(zhì)定理證明【13】求A到B的過(guò)渡矩陣C：根據(jù)定義B=AC，所以CA1B，解可得。P5例1-5設(shè)線性空間R3

中有向量：11,0,02

,3, ，.11,2,3,22,3,1,33,1,2.（1）求abc在基1，2，3下的坐標(biāo)；（2）求從基1，2，3123的過(guò)渡矩陣。1231 2 1在基，T,T,TT1231 2 1 1 1a的解。因?yàn)門(mén),T,TT0 1

1 0 0ab0 1 0bc，故在1 2 3 0 01c 0 0 1 c 基1，23下的坐標(biāo)為abbcc；（2）jj在基1，2，3下的坐標(biāo)。1 111 2 3 1 0 01 1 2因T,T,T

T,T,T0 112 3 10 1 01 2 11 2

1 2 3 0 013 1 2 0 0 13 1 2 4列為第一個(gè)方程組的解，6列為第三個(gè)方程組的解。所以從基1，2，3123的過(guò)渡矩陣為1 1 21 2 1 3 1 2 12-13考題三設(shè)線性變換Tx110,1x2