全國III卷理數(shù)2016－2018分類匯編及2019年數(shù)學(xué)備考策略

全國高考數(shù)學(xué)考什么高考數(shù)學(xué)壓軸題全解全析

全國HI卷理科數(shù)學(xué)2016-2018年高考分析

及2019年高考預(yù)測

2019年高考，除北京、天津、上海、江蘇、浙江等5省市自主命題外，其他26個(gè)省市區(qū)全

部使用全國卷.

研究發(fā)現(xiàn)，課標(biāo)全國卷的試卷結(jié)構(gòu)和題型具有一定的穩(wěn)定性和連續(xù)性.每個(gè)題型考查的知識

點(diǎn)、考查方法、考查角度、思維方法等相對固定.掌握了全國卷的各種題型，就把握住了全國卷

命題的靈魂.基于此，筆者潛心研究近3年全國高考理科數(shù)學(xué)III卷和高考數(shù)學(xué)考試說明，精心分

類匯總了全國卷近3年所有題型.為了便于讀者使用，所有題目分類（共22類）列于表格之中，

按年份排序.高考題的小題（填空和選擇）的答案都列在表格的第三列，便于同學(xué)們及時(shí)解答對

照答案，所有解答題的答案直接列在題目之后，方便查看.

一、集合與常用邏輯用語小題：

1.集合小題：

3年3考，每年1題，都是交并補(bǔ)子運(yùn)算為主，多與不等式交匯，新定義運(yùn)算也有較小的可

能，但是難度較低；每年的送分題.

年份題目答案

2018年1.已知集合/={x|x-12O},8={0,1,2},則/D8=()C

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,21

2017年1.已知集合人/無/獷+丁曰｝,3=｛&/）｝=燈，則AflB中元素的個(gè)數(shù)為B

A.3B.2C.1D.0

2016年D

(1)設(shè)集合S={x口(x—2)(x—3)20},T={x|x〉0},則sf]T=

(A)[2,3](B)(-oo,2]U[3,+oo)(C)[3,+oo)(D)(0,2]U[3,+oo)

2.常用邏輯用語小題：

3年0考.這個(gè)考點(diǎn)一般與其他考點(diǎn)交匯命題，不單獨(dú)出

題.二、復(fù)數(shù)小題：

3年3考，每年1題，以四則運(yùn)算為主，偶爾與其他知識交匯，難度較小.一般涉及考查概

念：實(shí)部、虛部、共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、對應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)坐標(biāo)等.

年份題目答案

2018年2.(l+z)(2-z)=()D

A.—3—iB?—3+iC.3—iD?3+f

2017年2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=2i,則|z|=C

A.1B.正C.JZD.2

22

2016年C

(2)若z=l+2i,貝(_____=

zz-1

(A)l(B)-1(C)i(D)-i

1

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三、平面向量小題：

3年3考，每年1題，向量題考的比較基本，突出向量的幾何運(yùn)算或代數(shù)運(yùn)算，一般不側(cè)重

于與其它知識交匯，難度不大（與全國其它省份比較）.但2017年也作為第12題考過。

年份題目答案

2018年￡

13.已知向量。=(1,2),b=(2,-2),c=(l,A).若c〃伽+〃)，則義=_________.

2

2017年12.在矩形A8CO中，AB=1,AO=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心且與30相切的圓上.若A

AP^AAB+jaAD,則幾+〃的最大值為

A.3B.2/C./D.2

2016年A

(3)已知向量而'=(1,衛(wèi))，炭=(且,1則ZABC=

2222

(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°

四、線性規(guī)劃小題:

3年2考，全國3卷線性規(guī)劃題考的比較基本，一般不與其它知識結(jié)合.2018年沒有考。

年份題目答案

2017年x-y>0,-1

13.若無,＞滿足約束條件x+y-2<0,則z=3x—4y的最小值為_______.

1

)，20

2016年

x-y+1>03

2

（13）若x,y滿足約束條件＜x-2y<0，則z=x+y的最大值為_____________.

x+2y-2<0

五、三角函數(shù)小題:

3年7考.題目難度較小，主要考察公式熟練運(yùn)用，平移，由圖像性質(zhì)、化簡求值、解三角

形等問題（含應(yīng)用題），基本屬于“送分題”.三角不考大題時(shí)，一般考三個(gè)小題，三角函數(shù)的圖

象與性質(zhì)、三角恒等變換、解三角形各考一個(gè).三角考大題時(shí)，一般考一個(gè)小題，

年份題目答案

2018年B

4.若sina=L則cos2a=()

3

A87「7c8

A.-nB.—C.——D.——

9999

2018年2，22C

9.△49C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,若A43c的面積為二~~二-，則C=()

4

A.-B.-C.-D.-

2346

年

201815.函數(shù)/（x）=cos（3x+?）在［0,句的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.3

2

全國高考數(shù)學(xué)考什么高考數(shù)學(xué)壓軸題全解全析

2017年6.設(shè)函數(shù)/（x）=cosa+￡）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）D

3

Qjr-

A./（x）的一個(gè)周期為-2〃B.y=/（x）的圖像關(guān)于直線對稱

3

TTTT

C./（尤+乃）的一個(gè)零點(diǎn)為x=_D./（x）在（_,4）單調(diào)遞減

62

年3,

2016(5)若tan。=二,貝ijcos2a+2sin1a=A

4

644816

(A)_(B)—(C)1(D)_

252525

2016年(8)在△ABC中，B8c邊上的高等于LBC,則cosAC

43

(A)W(B)JEZ(C)匹(D)如

10101010

2016年（14）函數(shù)y=sinx—Zcosx的圖像可由函數(shù)y=sinx+_3cosx的圖像至少向右平

移

六、立體幾何小題：

3年6考，每年2題，一般考三視圖和球，主要計(jì)算體積和表面積.球體是基本的幾何體,

是發(fā)展空間想象能力的很好載體，是課標(biāo)全國卷的熱點(diǎn).

年份題目答案

A

2018年A

P

3.中國古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起米，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進(jìn)部分叫/

I

卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼

的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）-----------

..........,_____1--------------------

________________________:_______1____________

ABCD

2018年10.設(shè)4,8,C,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，A48c為等邊三角形且其面積為9",則B

三棱錐D-/BC體積的最大值為（）

A.12幣B.185/3C.24bD.54^3

2017年8.己知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱B

的

體積為（）

?Q，7k4*7TTF/TCT

A.nB.C.D.

2017年16.6為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形A8C的直角邊AC所在直線與②③

。乃都垂直，斜邊A3以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與。成60°角時(shí)，AB與力成30°角；

②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與匕成60°角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確

的是__（填寫所有正確結(jié)論的編號）

3

全國高考數(shù)學(xué)考什么高考數(shù)學(xué)壓軸題全解全析

2016年(9)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)現(xiàn)畫出B

的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為

(A)18+36^

(B)54+1^5

I-二

K

^1

(C)90—V

(D)81H

M

K

pM

B

BB

I

2016年(10)在封閉的直三棱柱A8C-481G內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若A8_L8C,AB=6,808,AAi=3,

則V的最大值是

(A)4H(B)9”(C)6兀(D)以"

七、推理與證明小題：

3年0考，但是2014年全國1卷、2016年和2017年全國2卷考了，但也不是常規(guī)的數(shù)學(xué)考

法，倒是很像一道公務(wù)員考試的邏輯推理題，但這是個(gè)信號.

八、概率小題：

3年1考，難度較小，全國卷概率小題一般考查古典概型和幾何概型，但2018年全國3卷卻

是考的二項(xiàng)分布，這是一個(gè)信號。

年份題目答案

2018年8.某群體中的每位成品使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體的10B

位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX=1A,尸(X=4)<P(X=6),則0=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

九、統(tǒng)計(jì)小題：

3年2考.2018年沒有考，2016年考了課本上沒有的一種統(tǒng)計(jì)圖，值得關(guān)注.

年份題目答案

2017年--3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至A-

2016

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.月接

待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增

加C.各年的月接待游客量高峰期大致在

7,8月

4

全國高考數(shù)學(xué)考什么高考數(shù)學(xué)壓軸題全解全析

2016年(4)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最D

低氣溫的雷達(dá)圖。圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15°C,B點(diǎn)表示四月的平均最低

氣溫約為5°C。下面敘述不正確的是

一月

——平均最低氣溫——平均最高氣溫

(A)各月的平均最低氣溫都在0°C以上

(B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大

(C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

(D)平均氣溫高于2O°C的月份有5個(gè)

十、數(shù)列小題:

3年3考，數(shù)列解答題和三角函數(shù)解答題每年只考一個(gè)，數(shù)列考解答題時(shí)一般不再考小題，

不考解答題時(shí)，一般就考兩個(gè)小題，等差數(shù)列和等比數(shù)列考各一個(gè)。交錯(cuò)考法不一定分奇數(shù)年或

偶數(shù)年.

年份題目答案

2017年9.等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.若出，。3，。6成等比數(shù)列，則｛4｝前6項(xiàng)的和A

為A.-24B.-3C.3D.8

2017年14.設(shè)等比數(shù)列｛?！ǎ凉M足q+a2=-1嗎一/=一3，則。4=________.-8

2016年(12)定義"規(guī)范01數(shù)列"｛而如下：｛而共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對任意C

k<2m,0,生,…，6中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共

有

(A)18個(gè)(B)16個(gè)(C)14個(gè)(D)12個(gè)

十一、框圖〃趣：

3年2考，2018年沒有考！考含有循環(huán)體的較多，都比較簡單，一般與數(shù)列求和聯(lián)系較多.

5

全國高考數(shù)學(xué)考什么高考數(shù)學(xué)壓軸題全解全析

2016年(7)執(zhí)行下圖的程序框圖，如果輸入的。=4,b=6,那么輸出B

的"=

(A)3(B)4(C)5(D)6

1~

叫-o]

$

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十二、圓錐曲線小題：

3年7考，每年2-3題！太重要了??！全國卷注重考查基礎(chǔ)知識和基本概念，綜合一點(diǎn)的小題

側(cè)重考查圓錐曲線與直線位置關(guān)系，多數(shù)題目比較單一，一般一個(gè)容易的，一個(gè)較難的.

年份題目答案

2018年6.直線x+y+2=0分別與x軸，1?軸交于4,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在陽x-2『+j/=2上，則A48尸面積的A

取值范圍是()

A.[2,6]B.[4,8]C.[VI，30]D.120,3點(diǎn)]

2018年C

11.設(shè)￡,F,是雙曲線C:]-1=1(a>0,分>0)的左，右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn).過尸，作C的一條

a、b”

漸近線的垂線，垂足為P.若|珍卜卡|凹，則C的離心率為()

A.>/5B.2C.>/3D.>/2

2018年16.己知點(diǎn)用(-1,1)和拋物線C：/=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為K的直線與C交于力，B兩點(diǎn).若2

N4MB=90°,則〃=_______.

2017年B

5.已知雙曲線C：———=1(。>0力〉0)的一條漸近線方程為y=V_x,且與橢圓

a2b22

e+￡=1有公共焦點(diǎn).則C的方程為。

123

22222222

A.-一上=1B.工一上=1C.工一E=1D.二一上=1

810455443

2017年10.已知橢圓C：e+￡=1(。>6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,A,且以線段AA為A

2

ab21212

直徑的圓與直線區(qū)-毆+2"=0相切，則C的離心率為()

A.史B.2C.￡D.1

V~TV3

6

全國高考數(shù)學(xué)考什么高考數(shù)學(xué)壓軸題全解全析

2016年A

(11)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：工+21=1(4>/>>0)的左焦點(diǎn)，A,B分別為C

a2b1

的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF_Lx軸.過點(diǎn)A的直線/與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交

于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過。E的中點(diǎn)，則C的離心率為

1、123

(A)(B)(C)(D)

32T4

2016年(16)已知直線1:mx+y+3m-J~=0與圓x?+y2=12交于A,B兩點(diǎn)，過A,B分4

別做1的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn)，若AB=23,則CD=______________.

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十三、函數(shù)小題：

3年7考，每年2-3道，可見其重要性！主要考查基本初等函數(shù)圖象和性質(zhì)，包括：定義域、

最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、平移、導(dǎo)數(shù)、切線、零點(diǎn)等，分段函數(shù)是重要載體!

函數(shù)已經(jīng)不是值得學(xué)生“恐懼”的了吧？

年份題目答案

2018年D

7.A函?數(shù)>--/+工'+2的干圖像大致為""J答

2018年B

12.設(shè)a=log()20.3,b=log20.3,則()

A.a-^h<ah<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.abv0va+b

2018年-3

14.曲線夕=(奴+l)e'在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,則“=_________.

2017年11.已知函數(shù)/(xAd—Zx+aST+er+i)有唯一零點(diǎn)，貝但=()C

111

A.--B.-C.-D.1

232

2017年lx+l,x<0,1,1

15.設(shè)函數(shù)/(幻=《則滿足/(?+/。一_)>1的％的取值范圍是(一一,+8)

[2X,x>024

2016年43A

(6)已知。=2"Z?=4T,c=25"則

(A)b<a<c(B)a<b<c(C)b<c<a(D)c<a<b

2016年(15)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)xVO時(shí),fx=In-x+3x,則曲線y=f(x),在點(diǎn)

y=-2x-1

(1,-3)處的切線方程是_______________o

十四、科&列組合、二項(xiàng)式定理小題：

3年2考，在全國各卷中二項(xiàng)式定理出現(xiàn)較多，這一點(diǎn)很合理，因?yàn)榕帕薪M合可以在概率統(tǒng)

計(jì)和分布列中考查.排列組合考題的難度不大，無需投入過多時(shí)間(無底洞)，而且排列組合難題

無數(shù)，只要處理好分配問題及掌握好分類討論思想即可！二項(xiàng)式定理“通項(xiàng)問題”出現(xiàn)較多.

7

全國高考數(shù)學(xué)考什么高考數(shù)學(xué)壓軸題全解全析

年份題目答案

2018年5.卜+：］的展開式中f的系數(shù)為（）C

A.10B.20C.40D.80

2017年4.(x+y)(2x-y)s的展開式中dy3的系數(shù)為()C

A.-80B.-40C.40D.80

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學(xué)課標(biāo)全國卷進(jìn)行了深入分析：追根溯源，抽絲剝繭，揭秘命題規(guī)律；小題活做，大題精做，傳授解題

策略！進(jìn)淘寶、京東、當(dāng)當(dāng)、亞馬遜搜“全國高考數(shù)學(xué)考什么”！

十五、三角函數(shù)大題：在全國卷中三角函數(shù)大題和數(shù)列大題每年只考一個(gè)類型，交錯(cuò)考法不一

定分奇偶數(shù)年.三角函

數(shù)大題側(cè)重于考解三角形，重點(diǎn)考查正、余弦定理.

年份題目及答案

2017年17.（12分）

A4BC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為。，"c,已知sinA/cosA=0,a==2

（1）求c；

（2）設(shè)。為8C邊上一點(diǎn)，且A。，AC,求△ABO的面積.

L2萬

解：（1）由已知可得tanA=—旨，所以A=——

在AA8C中，由余弦定理得28=4+c2—4ccos,即c2+2c—24=0

3

解得c=-6（舍去），c=4

n7i

（2）由題設(shè)可得NC4O=,所以N84O=N84C—NC4O=

26

1萬

AfflAODsin

故AABD面積與MCD面積的比值為2―--------1

ACCAD

2

又A4BC的面積為1x4x2sin/84C=23,所以AA8D的面積為3

2

8

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十六、數(shù)列大題：在全國卷中三角函數(shù)大題和數(shù)列大題每年只考一個(gè)類型，交錯(cuò)考法不一定分

奇偶數(shù)年.數(shù)列一

般考求通項(xiàng)、求和.數(shù)列應(yīng)用題已經(jīng)多年不考了，總體來說數(shù)列的地位已經(jīng)降低，題目難度小.

年份題目及答案

2018年17.（12分）

等比數(shù)列｝中，flj=1?as=4a3.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵記5”為｛4｝的前〃項(xiàng)和.若鼠=63,求〃1.

Ih（1）&｛q｝的公比為9,由題設(shè)得4=g-

由已知得9'=好，解得9=0（舍去），9=-2或9=2.

故可=（-2）"1或?qū)?2*~'.

（2）若4=（-2廣'，則S"="（；2）：由s.=63得（-2尸=-188,此方程沒有正整數(shù)解?

若4=2"',則S.=2"-l.由S.=63得2"=64,解得m=6.

綜t?m=6.

2016年（17）（本小題滿分12分）

已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=l+a,Sn=1+/lan,其中；Iwo

（1）證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式

（II）若S=21，求4

532

解：（I）由題意得。=S=1+助,故a=],。w0.

1

1111i-2

由Sn=1+Aan,Sfl+i=1+助用得氏+]=Aa,J+l-Aarl,即4+[（/1-1）=九/〃.由。產(chǎn)0,XwO得

aHO,所以%+i='.

"aA-l

"iJi2

因此｛a｝是首項(xiàng)為二公比為，L的等比數(shù)列，于是a=（尸.

"1-A2-1"1—44—1

（n）由（I）得s=1-（Ar，由s=3得i-（2）5J1,BP（A）5=J,

”A-1332A-132A-132

解得；1=一1.

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全國高考數(shù)學(xué)考什么高考數(shù)學(xué)壓軸題全解全析

十七、立體幾何大題:

3年3考，每年1題.第1問多為證明平行垂直問題，第2問多為計(jì)算問題，求空間角較多.

年份題目及答案

2018年19.(12分)

如圖，邊長為2的正方形所在平面與半圓弧。。所在平面垂比，M是C￡>上異乎。，。的點(diǎn).

⑴證明：平面AMD_L平面BMC；

⑵當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

HZU.，向CWD±￥面,交視為CD.因?yàn)镾CICD.BCa'KlfllABCD.所以8CJ_

f.11,HlBC1DM.

?tWCD1Fc.D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DM1CM.

newC,所以。Ml平面助UC.

FCMcfit]<MD.故平面41GL平面BMC.

11n為W林版由，)的方向?yàn)閤軸正方向，建0如圖所小的空間也用坐標(biāo)系Q.RZ.

;憐根A，X8C體枳最大時(shí),A,為而的中點(diǎn),由題設(shè)得，

/HO,0,0k.4(2.0.015(2.2.0),C(0.2.0),A/(().l.l).

U(2,1.11AB-(0.2,0).D5=(2.0,0).

設(shè)n=(t,v.;)ftTift)的法向量,則

"竺=a即一+.y+z=0.

f9-AB=0,2v=0.

可取，=(1.0.2).

DA是平面.WC0的法向量.因此

\DA石

COS'■,4/>=------=5-=,

\n\\DA\5

SID(A,DA).

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所以面M4B與面ASC。所成二面角的正弦值是及

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全國高考數(shù)學(xué)考什么高考數(shù)學(xué)壓軸題全解全析

2017年19.(12分)如圖，四面體ABC。中，/XABC是正三角形,

△ACD是直角三角形.ZABD=NCBD，A8BD.

(1)證明：平面平面ABC；

(2)過AC的平面交BO于點(diǎn)E,若平面AEC把四面

體A88分成體積相等的兩部分.求二面角

DAEC的余弦值.

解：

(1)由題設(shè)可得，WSD=bCBD*從而AD=DC

又AA8是直角三角形，所以NADC=90°

取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)

則DOJ_AC,DO-AO

又由于A48C是正三角形，故5O_LAC

所以ZDOB為二面角D-AC-B的平面角

在R/AAO3中，BO2+AO2^AB2

又AB=BD,所以

BO2+DOr=BO2+AO2=AB2=BCr

ZDOB=90a

所以平面AC。，平面ABC

(2)由題設(shè)及(1)知，Q4,08,?！鮾蓛纱怪保?。為坐標(biāo)原點(diǎn)，QA的方向?yàn)閤軸正方向，|。4|

為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z,則

A(l,0,0),B(0,^,0),C(-l,0,0),D(0,0,l)

由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體

ABCD的體積的L,從而E到平面ABC的距離

2

1

為。到平面A3C的距離的一，即E為。8的中

_2

點(diǎn)，得E(0,五,l)，故

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AD=(-1,0,l),AC=(-2,0,0),AE=(-1,—,-)x

22

m-AC=0,二

設(shè)〃=(x,y,z)是平面的法向量，貝嗎；一同理可取加=(0,-1,我

[m-AE=0

nDmJT

則cos<n,m>=------=——

|n\\m\7

所以二面角?！狝E—C的余弦值為立。

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全國高考數(shù)學(xué)考什么高考數(shù)學(xué)壓軸題全解全析

2016年(19)(本小題滿分12分)

如圖，四棱錐P-A8C。中，地面ABCD,AD〃BC,

AB=AD=AC=3,PA=BCM,M為線段AO上一點(diǎn)，AM^2MD,

N為PC的中點(diǎn).

(1)證明MN〃平面PAB;

(II)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值./?

解：(I)由已知得AM=2AD=2,取BP的中點(diǎn)T,

連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TN//BC,/?'__

1

TN=BC=2.'——.

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又ADHBC,故77V平行且等于AM,四邊形AMNT為平行四邊形，干是MN/I