立體幾何中的截面、范圍與最值、軌跡問題（解析版）-2023年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微提分

微專題15立體幾何中的截面、范圍與最值、軌跡問題

【秒殺總結(jié)】

1、立體圖形中的截面問題：

（1）利用平面公理作出截面；（2）利用幾何知識求面積或體積.

2、立體幾何中距離之和的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠求得A關(guān)于平面的對稱點

從而利用三角形兩邊之和大于第三邊的特點確定當三點共線時取得最小值.

3、對于立體幾何中的動點問題，常需動中覓靜，這里的“靜"是指問題中的不變量或者是不

變關(guān)系，動中覓靜就是在運動變化中探索問題中的不變性."靜"只是"動"的瞬間，是運動的一

種特殊形式，然而抓住"靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，問題便迎刃而解.

【典型例題】

例1.（2023秋?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，圖

1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個十面體，其中上、下底面

為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長方體A8CZ）-AACR的上底面

繞著其中心旋轉(zhuǎn)45。得到如圖2所示的十面體45CD-￡FG”.已知AB=A￡>=2,

AE=幣,DC=2（V2+1）DP,過直線律作平面a,則十面體外接球被平

面a所截的截面圓面積的最小值是（）

圖I圖2

A(51-320,51-32立卜C(81+56萬卜口(81+56夜,

48124812

【答案】C

【解析】依題意，四邊形EFGH是正方形，令正方形A5CD與正方形EFG”中心分別為。'，口,

連接。2，

因為正方形與正方形EFG"在同一平面內(nèi)，且有相同中心，因此它們有相同的外

接圓，

從而十面體ABCD-EFGH與長方體A8CQ-AAGA的外接球相同，球心。是線段。'?的

中點，如圖，

取A8中點M,連接O'M,EM,因為=則顯然OM_LA6,

又O'MEM=M,O'M,EMu平面EMO',則AB/平面EMO',

而0'0口平面ABCD,ABu平面A3CZ)，即有

。‘。。'"=0',0加,0'4匚平面加。2,則A8工平面MOQ,平面EM。與平面MO'Q有

公共點O',

顯然平面EMO'與平面MOQ為同一平面，有qE//OM,而Og=&,。加=1,

ME={AE2-AM)=娓-

在直角梯形EMOQ中，過M作M/J.OE于/,

O'O,=MI=y/ME2-EI2=76-(72-1)2=72+1，

222

球O的半徑R=OB=y/0'0+0'B=J(^l±l)+(^)2=J"+2',

V22

過。作Oz,平面月BCD，以點。為原點，射線Q4DC,Dz分別為x,y,z軸非負半軸，建立

空間直角坐標系，

則D(0,0,0),C(0,2,0),E(e+1,1,724-1),0(1,1,^―!-),DC=(0,2,0),

2

由已知得。P=——￡>C=(0,72-1,0),即尸((),&-1,0),

2(&+1)

尸￡=(夜+1,2-夜，夜+1),。后=(&,0,也±1),則點0到直線PE的距離d有:

2

dYOEU正阻咒

I陽

球。被過直線￡P(guān)的平面a所截的截面圓最小時，球心。到平面a的距離最大，即為點。到

直線PE的距離d,

截得的最小截面圓半徑為「，而OE=R，則

a陽一號斜2]=喘g

=（2+&+等今81+560,

-2（&+1產(chǎn)+（2-點了—48

所以截得的截面圓面積的最小值是萬產(chǎn)=（81+56&R.

48

故選：C

例2.（2023春?河北石家莊?高三石家莊二中?？奸_學(xué)考試）已知AC為圓錐S。底面圓。的

直徑（S為頂點，。為圓心），點B為圓0上異于AC的動點，SO=1,OC=百，則下列結(jié)

論正確的為（）

A.圓錐SO的側(cè)面積為2石萬

B.NSM的取值范圍為弓號）

C.若A8=8C,E為線段A3上的動點，則（SE+CE）mi?=,10+2后

D.過該圓錐頂點S的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為白

【答案】AC

【解析】對選項A：母線長的=』+陰2=2,側(cè)面積為5=口/=26兀，正確；

對選項B：ZXMB中，SA=SB=2,0<AB<2y/3,則當AB=2時，

IT

NSAB=],錯誤；

對選項C：ABC為等腰直角三角形，AB=BC=?將aSAB放平得到S.AB,如圖2

所示，當*,E,C三點共線時SE+CE最小，尸為AB中點，連接￡尸，則

SC=7BS,2+BC2-2BS,■BCcosZ5.BC=14+6-2x2x#xcos(J+NABSJ

=J10+2后，正確；

對選項D：如圖3,設(shè)截面為SMN,。為MN中點，連接OQ,SQ,設(shè)MN=2a,ae(0,括］,

22

貝ljS殷MN=gMNXSQ=a.Jl+OQ?=aVl+3-a=a-^-a

^a2+4-a2

=2,當q=67，即〃=0時等號成立，D錯誤.

2

故選：AC

例3.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）正四棱臺ABCO-AMGR中,

JT

4B=2，ABI=I,側(cè)棱AA與底面所成角為m.E,RG分別為AD,A8,網(wǎng)的中點，M為線

段BQ上一動點（包括端點），則下列說法正確的是（）

B.三棱錐E-FGM的體積為定值

6

C.平面EFG截該棱臺所得截面為六邊形D.異面直線A瓦與匹i所成角的余弦值為

5應(yīng)

~8~

【答案】ABD

【解析】將正四棱臺補形為正四棱錐S-ABCD,

s

由AB=2，A4=1可得44GA為其中截面.

設(shè)。。分別為ABC3ABCQ的中心，

A0=gx2&=0,5。，底面故/S40為側(cè)棱AA與底面所成角，

故NSAO=],可得SA=2&,A4,=應(yīng),S0=J(2應(yīng)q_(a)2=#,00=*,

側(cè)面ABBM為等腰梯形，高為j-QJ=,,故ABi=，(2-；y+(,y=2,

+SS

對于A,V=3(5.00+548,60,\lABCDAlBlClDl)X/?=-i(4+1+74X1jX,正確

對于B,連接BD.則EF//BD,而B、D、〃BD.

所以片口〃EF,￡Fu平面EFG.8Q<Z平面EFG,得8a/平面EFG,

由于5小；為定值，M在8Q匕故三棱錐M-EFG的體積為定值

即三棱錐E-FGM的體積為定值，B正確；

對于C,取中點“，連接EH并延長交4A于P,

連接房并延長交直線于。，

p

則色PD、H.則ED=PD,，而ED=A,Dt=\,

故AQ=P〃洞理A4=?！?/p>

連接PQ,則PQ〃8Q,即BQ,為△AP。的中位線，而O1為AG的中點，

故〈在PQ上,即P,C”。三點共線,

連接GG，G”,則五邊形EFG￡H為平面EFG截正棱臺所得的截面，C錯誤

對于D，由題意A2〃=AE知四邊形4。圈為平行四邊形，

故〃E〃AA，可得4乃4為異面直線AB,4ED1所成角或補角，

在世中,由余弦定理得cos/A做=A儲；,，二?即、2+?1=半，

2AA由42XV2X28

jr

由于異面直線ABt與ED［所成角范圍為（0,會，

故異面直線4片與EE＞［所成角的余弦值為逑，D正確，

8

故選：ABD

例4.（2023秋?山東德州?高三統(tǒng)考期末）正方體ABC。-ABCQ的棱長是2,M、N分別

是A3、8c的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.DtM±B,C

B.以R為球心，逐為半徑的球面與側(cè)面BCG用的交線長是兀

C.平面AMN截正方體所得的截面周長是0+2萬

D.與平面所成的角的正切值是④

【答案】AC

【解析】以點A為坐標原點，AB、AD,AA所在直線分別為x、V、z軸建立如圖所示的

空間直角坐標系，

對于A選項，4（0,2,2）、”（1,0,0）、4（2,0,2）、C（2,2,0）,

￡＞陽=（1,-2,-2）,四。=（0,2,-2）,則。陽-4c=0-4+4=0,A對；

對于B選項，因為"G1平面BBgC,

所以，以A為球心，石為半徑的球面與側(cè)面8CC4的交線是以點G為圓心，半徑為

r/5-CR=1的;圓,

1TT

故交線長為B錯：

22

對于D選項，易知點4(2,0,2)、R(0,2,2)、M(1,0,0),N(2,l,0),

設(shè)平面RMN的法向量為〃=(x,y,z),AW=(1,1,0),JDJM=(1,-2,-2),

n-MN=x+y=0

取x=2,可得”=(2,-2,3),

nDM=-2y-2z=0

)lX

,、BRn-82&

的=(-2,2,。)，-而,

設(shè)直線BR與平面D、MN所成角為0,則sin。=竽，

V17

所以，cos0=>/l-sin26>=-^=,故tane=^^=^^,

V17cos6>3

因此，。田與平面RMN所成的角的正切值是述，D錯.

3

對于C選項，設(shè)平面RMN交棱A4于點磯0,01),其中04f42,ME=(-l,0j),

因為例Eu平面RMN,所以，MEn=-2+3t=O,解得，=：，即點E(0,0,|

同理可知，平面0MN交棱CG于點尸(2,2彳

同理可得|ME|=|NF卜浮，|MN|=0,

因此，平面D\MN截正方體所得的截面為五邊形REMNF,

其周長是a+2x（乎+乎）

=0+2屈，C對.

故選：AC.

例5.（2023春?廣東汕頭?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知正方體A8CO-AAG。的棱長均為2,E為

線段AA的中點,4P=24B+〃AD,其中九4目05,則下列選項正確的是（）

A.當〃=；時,

B.當時,Af+P。的最小值為近+逐

C.若直線8/與平面ABCZ）所成角為彳，則點尸的軌跡長度為^

D.當2+〃=1時,正方體被平面PAR截的圖形最大面積為472

【答案】AD

【解析】由題知正方體ABC3-AMGA的棱長均為2,

當〃=g時,=+

此時AP.E.=（AA+AP）.（E4+40+OR）

^^A+AAB+^ADY^AD+^AA,

2

=AtAAD+^A]AAA]+AABAD+^AABAA]+^ADAD+^ADAAt

_lx4+-x4=0,

22

所以APLE0,

即選項A正確；

當；l=〃時,AP=/i（AB+AO）=/l4C,

所以點P在AC上，且點P在平面MGC上,

分別將AA.GC延長至M,N,

使得AM=CN=B

將AADC沿著AC向下翻折至與平面AACC共面，

點D翻折后變?yōu)?，過2向AC作垂線，垂足為。，如圖所示:

因為A￡>=￡>C=2,A￡>_LDC,

所以AO?=D2C=2,AD2±D2C,/^ADC^AD2C,

因為2。_LAC,所以。為AC中點，且D20=6,

因為平面AA.QC1平面ABCD,且平面MGC、平面ABCD=AC,

D20，AC,所以D2O平面ABCD.

所以2。〃AA,〃CG,又因為20=&=AM=CN.

所以2在MN上，且為MN中點,AP+PO=AP+P2,

在平面AA,C}C中，連接\D2交AC于點尸時,AP+PD2取最小值，

因為4。=2夜,所以2知=也，

此時\D2={(AM/+SM?

='(2+何+(可=18+4&*夜+6,

故選項B錯誤；

因為期±面ABCD,所以NBPB1為直線B,P與面ABC。的平面角,

當直線BE與平面ABCD所成角為￡時，

4

冗7E

即ZBP4=7,因為3片工3戶,所以ZBB,P=-,

44

所以84P為等腰直角三角形，因為8用=2,所以外=2,

因為AP=4AB+pAD，由平面向量基本定理可知P在平面ABCD內(nèi),

所以P的軌跡為以8為圓心2為半徑的圓匕且在平面ABCD內(nèi)，

所以點P的軌跡長度為:x27rx2=九

故選項C錯誤；

因為42=248+〃4),其中/1,〃€[0,1],

因為幾+〃=1,所以尸,反。三點共線，

連接4c交8。于點。，

當點尸在。。上運動時，延長轉(zhuǎn)交C￡＞于點

則正方體被平面PAD,截的圖形為AAHR,

山圖可知，當P點運動到。點時，截面為△AC。.此時截面枳最大,

因為正方體棱為2,所以AA=2&=AC=CD「

此時截面積最大為！x2應(yīng)x2&x立=2百.

22

當點戶在。8上運動時，延長小交C。于點L,

過點L做ADt的平行線交CC,于點Q,連接D,Q,

再過點L做A"的垂線，垂足為R,如圖所示：

由題可知,此時截面為等腰梯形ADtQL.

記CL=x,xw[0,2]^iJCQ=x,8L=CiQ=2-x,ADX=272,

AL=D[Q=,4+（2_X）2,LQ=y/2x,

所以科=歿二口=巫巫，

22

2加一瘋丫

LR=qAl}-AR2=4+（2-X『-

/

所以與以JAR+⑷/即+國N

2-2

(X+2)2.(X2-4X+12)J(X+2)2-((X-2)2+8)

(x+2)t(x-2y+8(x+2)2^(X2-4)2+8(X+2)2

L4-8X2+16+8X2+32X+32(7+327+48

V44

/+32x+48

令〃x)=[0,2],

所以/（力=V+8>0,所以〃x）在［0,2］單調(diào)遞增,

所以f（x）4/（2）=32,

故S叫2^4病=40,因為2百<4立，

所以正方體被平面抬口截的圖形最大面積為4應(yīng).

即選項D正確.

故選:AD

例6.（2023秋?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？计谀┰谡襟wABCO-AAGA中,

AB=2.E,F,G分別為棱明,AB,BC中點，”為CG近C三等分點，P在面例。。上運動,

B.若GP=RGF+（pGH（jj,夕wR），則C點到平面PBH的距離與P點位置有關(guān)

C.BDt1EG

uuilujuuuuo./ri

D.若GP=juGF+<pGH3，（pwR），則P點軌跡長度為三二

【答案】BCD

【解析】根據(jù)題意建立如圖所示的坐標系：

因為正方體的邊長為2,

所以A(o,o,o),A(O,O,1),4(2,0,0),G(2,2,0),0,(0,2,0),8(2,0,2),C(2,2,2),￡>(0,2,2),

4

E(2,0,l),尸(1,0,2),G(2,l,2),”(2,2,—),

3

LMJLaiUULMtUUU

對于A,因為BG=(0,2,—2),FD,=(-l,2,-2),FG=(1,1,0),

,,、，一,，(一x+2y-2z=0

設(shè)平面。[尸G的法向量為〃=(x,y,z),則有“，

[x+y=0

，2

y=-z

則有J3,

y=-x

取1(-2,2,3),

1ILLBl1UUUU

因為〃.BG=-2HO,所以，U8G不成立，

所以SC；〃平面D,FG不成立，故錯誤；

ULUUUUUUW2

對于B,設(shè)P(O,%,Zo),則GP=(-2,%-1,Z()—2),GF=(-l,-l,0).GW=(0,l,--),

UlUUUUUUU

又因為GP=〃G尸+*GH(M，/eR)，

-2=-//

24

所以=所以有zo=_1%+§，

所以尸點軌跡為如圖所不的線段M。,

在平面BCG用內(nèi)作出與MR平行的直線NC、,

易知MD,與NC、的距離等了平面ADD^與平面BCC國的距離為2,

因為NGHBH不平行，

所以MR與班/不平行，

所以點尸到BH的距離不是定值,

所以Spg”不是定值，

又因為匕iCH=^C-BPH,

1i2I

即aX/x2x§x2=]Sww，(〃為。點到平面PBH的距離)，

4

所以〃=行一不是定值，

PHB

所以C點到平面PBH的距離與P點位置有關(guān)，故正確；

UUUUUWIILIUULM1

對于C,因為8.=(-2,2,-2),EG=(0,1,1)，BD「EG=2-2=3

uuuUU11

所以BQLEG,即有8R_LEG,故正確；

244

對于D,由B可知P點軌跡為4=-§%+§,令%=°，則%=§；

令4>=2,則%=2，

所以尸點軌跡的長度為尸等,故正確.

故選：BCD

例7.(2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)在三棱錐尸-A8C中，

PA1BC,BC=2PA=2AB=4,PC=2y[6,點M,N分別是PB,BC的中點，且AM_LPC,

則平面AMN截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積是.

【答案】手147r

【解析】因為=例是P8的中點，所以

又AMLPC,PBcPC=P,PB,尸。u平面PBC,

所以AMJ_平面PBC,又BCu平面PBC,

所以4W_L8C,

又/<4_L5C,PAcA"=A,PAAMu平面PAB,

所以BC_L平面BAB,又PB,ABu平面以8,

所以8c1AB,BC1PB.

在△ABC中，AB=2,8C=4,BC1A8,

所以AC=jAfi2+8C2=2K，

在△/MC中，AC=2瓜PA=2,PC=2娓,所以AC2+P42=pc2,所以AC，％,

取PC的中點O,又3C，PB,ACJ?必，

所以。4=。8=OC=OP,即點。是三棱錐P-ABC的外接球的球心，

因為PC=2C，故外接球半徑為??="，

設(shè)。到平面AMN的距離為h,平面AMN截球。所得的截面圓的半徑為r,

因為MN是△PBC的中位線，所以O(shè)到平面AMN的距離等于B到平面AMN的距離，

故^O-AMN=VR_AM,V=Vv-AAffi，即1*彳'及X瓜x/；=—x2x—X近X近,得h=—^―）

32323

所以r=R2j2=?,

所以截面圓的面積為S=Q2=￡兀.

14

故答案為：—7T.

例8.（2023秋?北京朝陽?高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為。的正方體ABCQ-ABIG。中,

P，Q分別為AG，aq的中點，點T在正方體的表面上運動，滿足P7J.8Q.

給出下列四個結(jié)論：

①點7可以是棱。A的中點；

②線段尸T長度的最小值為:。；

③點T的軌跡是矩形;

DA

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】②③④

【解析】山題知，以C點為坐標原點，以CD,C8,CG所在直線分別為x，yz軸建立如圖所示

的空間直角坐標系，令正方體ABC。-ABGA棱長”=2

則C(0,0,0),0(2,0,0),*0,2,0),A(2,2,0),C,(0,0,2),R(2,0,2),

4(022),A(2,2,2),p(l,14),e(1.2.2).設(shè)T(x,y,z),

對于①，當點T為棱。。的中點時，7(2,0,1),

貝iJPT=(l,T,0),8Q=(l,0,2),PT.BQ=1+0+()=1H()

不滿足PTLBQ,所以點7不是棱。。的中點，故①錯誤.

PT=（x—l,y—因為PTL8Q

所以x—l+2（z—1）=0,

31

當x=0時，z=-.當x=2時，z=—

取E（2,0,￡|,尸0,2,；）,G（0,2,|）“0,04

連結(jié)EF,FG,GH,HE,

則改="。=(0,2,0),E”=FG=(—2,0,1),EFEH=。，即EFLE”

所以四邊形EFGH為矩形，

因為EF-BQ=0,EH-BQ=0,

所以EFJ.BQ,EHVBQ,

又EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線,

所以BQL平面EFGH,

又麗=1詞，'+嗚)

所以P為EG的中點，則Pw平面EFG”，

為使P7LBQ,必有點Te平面EFG”，

又點T在正方體表面上運動，所以點T的軌跡為四邊形EFGH,

又EF=GH=2,EH=FG=也,

所以EFwEH,則點T的軌跡為矩形EfG”，故③正確

面積為2x6=26,即無az,故④正確

2

又因為BQ=(l,0,2),PT=(x-l,j-l,z-l),PTA.BQt

則％-l+2(z-1)=0,即x+2z-3=0,

所以x=3-2z，點7在正方體表面運動，

,13

則0K3-2z<2,解得z<—f

所以IPT|=J(x-l)2+(y-l)2+(z-l)2=75(z-l)2+(y-l)2,

結(jié)合點7的軌跡為矩形EFGH,

分類討論卜列兩種可能取得最小值的情況

當z=l，y=o或產(chǎn)2時，|尸刀=1,

當y=i,Z=1或Z=g時，忸7|=延

22112

因為1〈正，所以當z=l,y=0或y=2時，PT取得最小值為I,即故②正確.

22

綜上所述：正確結(jié)論的序號是②③④

故答案為：②③④.

例9.(2023春?云南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基

米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點“，N的距離之比為定值4九二1,4>0)的點的軌跡

是圓“，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直

角坐標系xOy中，W(-2,0),N(4,0),點P滿足=；.則點P的軌跡方程為；

在三棱錐S-ABC中，SAJ?平面A8C,且9=3,BC=6,4C=2A8,該三棱錐體積的最大

值為.

【答案】(x+4>+y2=i612

【解析】設(shè)尸(*，以魯="所以4*+2)：+,=：,所以J+8X+2=。，即(尤+4/+2=16,

|PN|2《-4產(chǎn)+/2

所以點P的軌跡方程為(x+4)2+V=16；

三棱錐的高為&4=3,當?shù)酌鎜ABC的面積最大值時，三棱錐的體積最大，BC=6,

AC=2AB,取8C靠近8的一個三等分點為坐標原點。，5c為x軸建立平面直角坐標系，

不妨取B(-2,0),C(4,0),由題設(shè)定義可知4(x,y)的軌跡方程為(x+4f+產(chǎn)=16,

所以4在圓。+4)2+產(chǎn)=16的最高點處(T,4),S=1x6x4=12,

此時，(kBc)a=gx3xl2=12.

故答案為：(x+4)2+y2—16；12.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)在棱長為1的正方體中，動點P在棱4圈上,

動點。在線段8G上、若AP=48Q=〃，則三棱錐R-AP。的體積()

A.與幾無關(guān)，與〃有關(guān)B.與2有關(guān)，與〃無關(guān)

C.與;都有關(guān)D.與都無關(guān)

【答案】D

【解析】因為A8CD-A8GR為正方體，所以CQ〃AB1

因為GRu平面ABC。，4四《平面ABCQ,所以44〃平面4BCQ,

所以點P到平面ABCR的距離也即A區(qū)到平面A8G烏的距離，也即點P到平面AQQ的距

離不隨AP=2的變化而變化，設(shè)點P到平面A2A的距離為〃，過點4作A/LA。，根據(jù)

正方體的特征可知：A32平面因為4/<=平面AORA，所以尸，

ABADt=A,所以AFL平面ABCQ,則有〃=同尸=也，

2

因為GA//4B且GA=AB,所以四邊形A3GR為平行四邊形，所以BG//AR,

所以點Q到A4的距離也即BC,到AQ的距離，且距離為1,所以S,。=[xA"xl=也（定

a〃必2I2

值），

所以％-”0=%ZM2=：SADg,h=；x^x與=:（定值），

則三棱錐R-APQ的體積不隨4與〃的變化而變化，也即與與兒M都無關(guān).

故選：D.

2.（2023?遼寧?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐A—BC。中，AB=BC=CD=DA=2日ZADC

=/ABC=90。，平面ABC,平面AC￡>,三棱錐A-BCO的所有頂點都在球。的球面上，E,

產(chǎn)分別在線段08,CO上運動（端點除外），BE=42CF.當三棱錐E—ACF的體積最大時，

過點尸作球O的截面，則截面面積的最小值為（）

7-3

A.兀B.J3itC.—兀D.2兀

2

【答案】C

【解析】如圖，取AC的中點O,連接。F，OB,

因為NAQC=N48C=90。，所以QA=O3=OC=OZ)=gAC,即。為球心,

則球。的半徑R=2.又AB=BC,所以O(shè)B_LAC,

又平面ABC_L平面ACZ）,平面ABCc平面AC￡）=4C,QBu平面ABC,

所以O(shè)B_L平面ACD.

設(shè)CF=x,則BE=>/ir<2，所以O(shè)<x<0，

所以三棱錐E-ACF的體積V=gS?CFXOE=HCFADOE

=2叫2—岳）=|（歷孑）=_.4]+：,

歷1

當》=注時，丫取得最大值；.由于OA=OB=OC=OD,

23

在△COB中，由余弦定理得：

OF=yloC2+CF2-2OC-CFCOSZACF=.4+--2x2x—x—=—,

V2222

根據(jù)球的性質(zhì)可知，當。尸垂直于截面時，截面圓的面積最小，

設(shè)此時截面圓的半徑為r,所以r=J/?2—0尸2=卜_（叵]=告，

則截面面積的最小值為“2=兀（半J=|兀.

故選：C.

3.（2023秋?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐A-A8C中，胴，平面

A4G，NAB|G=90。，A4=2AA=2BC=2,P為線段4片的中點，M,N分別為線段4a和

線段上任意一點，則指PM+MN的最小值為（）

C.V5D.2

【答案】C

【解析】因為平面4萬G，A4，BC|U面所以例44,_L44,

又NA4G=90。，B.C.1AB,，

因為44,A4=A，平面AgA，所以3cl.平面A44,

又AB|U平面ABM，所以BCi，AB”

又在Rt,AA與中，AB[=jM+ABj=6,

在中，s

Rtz^AGABjM+s81MCi=SA81G，

故gX島PMsinNMP耳+gX1XMNsinNMNC、=gx1x石，

則有PMsinZMPB]+MNsinZMNCt=石,

又逐PMsinNMPB,<加PM,MNslnAMNC、<MN,

所以出PMsinZMPB]+MNsinZMNC,<舊PM+MN.

即石4石PM+MN,當且僅當/94=90。,/236=90。時，等號成立，

當NMP&=90。時，M為AG的中點，此時當/MNG=90。時，N為qG的中點，

綜上所述卡PM+MN的最小值是石.

故選：C.

4.（2023秋?河北保定?高二統(tǒng)考期末）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢

的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活

動，已知某“鞠''的表面上有四個點P,A8,C,滿足尸A=2,24_1面48。，AC1BC,若

2

匕FBC=§，則該“鞠''的體積的最小值為（）

A4近口8夜99

A.-----7T13.-----7CC-ROn.一兀

3328

【答案】B

【解析】因為P4=2,抬_1_面4?6\ACLBC,

故AB為三角形ABC所在小圓的直徑，取A8中點O',過O'作。O//AP,交BP于點O,

則O即為球心，為球的宜徑，

要想該“鞠”的體積最小，只需尸3最小，由于P8=>JPA2+AB2=J4+A82,

故只需AB最小，AB=yjAC1+BC2>

I112

故/TBC=§SMC?尸A=§XEACBCX2=§,

解得：AC.BC=2,

由基本不等式得：AC2+BC2>2ACBC=4,當且僅當AC=BC=夜時，等號成立,

故A3最小值為2,此時直徑最小值為PB="+22=272，

所以談'鞠”的體積最小值為?（四）'=甲兀.

5.（2023秋?北京密云?高二統(tǒng)考期末）在直三棱柱ABC-A4G中，底面為等腰直角

三角形，且滿足A8=BC=A4,=1,點P滿足BP=4BC+〃BR,其中九?0/，

則下列說法不正確的是（）

A.當2=1時，的面積S的最大值為無

2

B.當〃=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當力=；時，有且僅有一個點尸，使得4尸，3尸

D.當〃=；時,存在點P,使得A8_L平面A87

【答案】C

【解析】當4=1時，BP=BC+〃網(wǎng)，則點尸在CC上運動，則當點尸與C1重合時，則此時面

積取得最大值，A￡=JAC，+CC：=V2，由于直三棱柱ABC-AtB￡,則AB±A4.ABC為

等腰直角三角形，則回工AC,4CcAA=A,AC,A4,u面4CGA

則AB上面ACCa

QAGujBMCGA

ABJ.AC；

則S""=SABC=，AB-AG=立,故選項A正確;

r\tir/&￡>C|12

當〃=1時，則加=2BC+B/點尸在4G上運動，則%“c=匕、-BPC,

山于點A到平面BPC的距離為定值豐，點尸到線段BC的距離恒為1

=XX=1

則SBCP=—xV2x1=,WI]Vp=V,BPC~~^~~^~~故選項B正確;

lf\^r22i~A,ov/I1—Dr\.3226

當；l=g時，8。=；8。+〃84，設(shè)8（：的中點為知，8c的中點為N,則點尸在用N上運動,

當點P與點M重合時，BMLMN,BM上AN,

則BM上面AMN,則BM1A,P

當點P與點N重合時，47，面5。。4,即Af,面8CCf，

則A/LBP,故選項C錯誤；

AC

BM(P)

A\i.G

N(P)

如圖建立空間直角坐標系，設(shè)B片的中點為H,CG的中點為G,當〃=；時,

BP=2BC+；BB一則點P在線段陽上運動，

A(0.0.0),8(1,0,1),A(0,0,1),4(1,0,0),尸(a』一”,；

4B=(l,0,l),Ag=(l,0,T)AP=(a,j,_g)

設(shè)平面APB,的法向量為m=(x,y,z).

(1

AB1-m=x—z=0—a

則v1nm=1,7——,1

Iuuu

當a時，則4B與記平行，則存在點尸，使得平面ABf,故選項D正確.

6.（2023?河南信陽?河南省信陽市第二高級中學(xué)校聯(lián)考一模）在棱長為2的正方體

ABCD-A耳GR中,M為CG中點,N為四邊形AQQA內(nèi)一點（含邊界）,若與N〃平面BMD,

則下列結(jié)論正確的是（）

Q

A.NBJNC、B.三棱錐用的體積為］

C.線段與N最小值為亨D.tan幺2線的取值范圍為［1,逐］

【答案】D

【解析】

取A4中點M，連接?！?DN，B\N\,則有平面耳NQ〃平面助⑺，

B\N//平面BMD，即N在線段N。上.

當N在。時夾角為45。，故A錯；

||4

V氏-NBM=VN-MM=§X]X2X2X2=3.故B錯.

線段8聲的最小值為等腰三角形4M。腰2。上的高腦力=3空叵=2叵，故c錯.

V55

因為NNAM=90°,tanZAiNB、=普=焉.

當N為口點時AN最大，/AN4的最小.

當AN最小值為直角三角形斜邊的高，即4%=京

此時tanNANq=l為最小,,此時

tanZ^Ng=石為最大，故D正確.

故選:D

7.（2023?北京?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為迷，底面邊長為,

則以P為球心，2為半徑的球面與正三棱錐表面的交線長為（）

【答案】D

【解析】

由已知得尸A=?,PB=R,AB=2石，得

灰+金-66+6—12TT

cosNBPA==0,所以NBPA=5,

2PAPB2xV6x5/6

其中，以尸為球心，2為半徑的球面與正三棱錐的面aw的交線如圖，為弧OE與弧FG,

可求得尸”=G，PD=2,故NOP"=30,故NAPO=N8PF=15,

|JT

故OE=FG=-4"二二，同理，球面與正三棱錐的面PAC和面P8C所交的弧長一致，故

724T6

以尸為球心，2為半徑的球面與正三棱錐的面2鉆，面PAC,面P8C的交線的總長度為：

—x6=》.

6

而球面與正三棱錐的面A8C的其中交線如圖,

取其中一部分，三部分弧長長度一樣,

p

c

因為△R4C為直角三角形，且PA=PC=#,AC=26根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，Q為三角

形ABC的外接圓圓心，故”為4C中點，則PH=《PC?—CW?=,且QH=1,所以，

PQ=^PH'-QH-=V2.

取尸T=2,則Rf.PQT中，QT=dpr-PQ，=0,△QTC中。T=&,CQ=2,

NACQ=30,故利用余弦定理，可得CT=&，所以，弧長77=12k夜=立;r,而這

126

樣的弧長，球面與正三棱錐的面ABC的交線總共有三部分，故交線長為：兀+包兀

2

故選：D

8.（2023秋?北京?高二清華附中校考期末）如圖，在正方體ABC。-A耳GA中，E為棱4G

的中點.動點尸沿著棱。。從點。向點C移動，對于下列四個結(jié)論：

①存在點P,使得2\=所；

②存在點P，使得BD、，平面P&E；

③△PAE的面積越來越??；

④四面體的體積不變.

其中，所有正確的結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【解析】設(shè)正方體棱長為2,op=/n,

由⑨，平面ABCDAPu平面ABC。得AA1AP,同理PCLEC,

所以=AA2+AD1+DP2=8+機2,PE2=PC2+CC^+C.E2=4+(2-m)2+\=5+(2-m)2,

由8+〃P=5+(2-/n)2得機=1,存在尸使得尸4=尸￡,①正確，

4

正方體中，8〃平面所以P到平面A/GR的距離不變，即P到平面

A與E的距離不變，而△A4E面積不變，因此三棱雉尸-4冉后，即四面體423避的體積不

變，④正確；

以DA,DC,DDt為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如下圖，

正方體棱長為2,則A(2,0,2),￡(1,2,2),8(2,2,0),D,