九年級數(shù)學(xué)（上冊）考點解析(二)

九年級數(shù)學(xué)（上冊）考點解析

第一章：證明（二）

§1.3線段的垂直平分線

一、考點解析

1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其應(yīng)用；

2、線段垂直平分線的判定定理及其應(yīng)用；

3、三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀之間的關(guān)系以及相關(guān)性質(zhì);

4、有關(guān)線段垂直平分線的作圖問題.

二、典型例題解析

例1、如圖1,已知AD是AABC的外角平分線，與BC的延長線交于點D,DE〃AC交BA

的延長線于點E,DF〃AB交AC的延長線于點F,求證：AD±EF.

證明：?..AD平分NCAE,.?.NCAD=NEAD,

'.,DE//AC,ZADE=ZCAD

ZADE=ZEAD,AE=DE,

AE在線段AD的垂直平分線上，

同理可證：AF=DF,

AF在線段AD的垂直平分線上，

二.直線EF垂直平分線段AD,即AD1EF.

例2、如圖2,已知在△ABC中,BC=2AB,NABC=2NC,

證：△ABC是直角三角形.

證明：作BC的垂直平分線交AC于點D,交BC于點E,

接BD、DE,則BD=CD,BE=CE=AB,ZDEB=90°,

ZC=ZDBC,NABC=ZABD+ZDBC=2/C,

NABD=NEBD,

在4ABD和4EBD中，AB=EB,ZABD=ZEBD,BD=BD,/.AABD^AEBD,

ZBAC=ZDEB=90°,即AABC是直角三角形.

例3、已知A、B是平面上的兩個定點，在這個平面上有多少個點C,使得AABC是等

腰直角三角形？

解：一共有6個點C使得4ABC是等

腰直角三角形.分以下兩種情況討論：

CU當(dāng)AB為所求等腰直角三角形的腰

時，如圖3—1所示，點G,。2,。3，04均

滿足條件；

(2)當(dāng)AB為所求等腰直角三角形的斜邊時，如圖3—2所示，點。5，06均滿足條件?

綜合(2)可知滿足條件的點C一共有6個.

例4、如圖4—1,已知線段〃?，”和Na,求作△ABC,使得在AABC中，NACB=Na,

AC=m,AB=〃.(保留作圖痕跡，標(biāo)明頂點名稱，寫出作法)

作法：如圖4—2,AAB^

和AAB2c即為所求.

⑴作NDCE=/a,

(2)在維^CE上取一點A,

使CA=加，

(3)以A為圓心，以線段〃

圖4-1

的長度為半徑，作弧丈射線

CD于點B,,B2,

(4)連接AB1、AB2,則△ABC和AAB2c即為所求.

思考：在△ABC中，已知NACB=45°,且AC=6,AB

=5,求BC邊的長.

斛：如圖4—3,△ABC有圖中的AABiC和ZkAB2c

兩種可能的情況：

rb當(dāng)點B住于圖中的點及處時，過A作AD1CD于點D,則：

在Rt^ACD中，由NADC=90°,ZACB=45°,AC=6得：AD=CD=3后,

在RtaABQ中，由NADB1=90°,AD=372,AB1=5得：BQ=6，

.?.BQ3夜-石；

(2)當(dāng)點B位于圖中的點B2處時，過A作AD1CD于點D,則：

在Rt^ACD中，由/ADC=90°,ZACB=45°,AC=6得：AD=CD=372,

在RtAAB2D中，由/ADB2=90°,AD=3-\/2,AB?=5得：B2D=V7,

.,.B2C=3V2+V7；

綜上可知，邊BC的長度為30-J7或3J5+J7.

t我測評試題

一、選擇題

1、如果一個三角形三邊垂直平分線的交點在這個三角形內(nèi)，那么這個三角形是（）.

A、銳角三角形B、直角三角形

C、鈍角三角形D、以上情況都有可能

2、如圖5,已知A、B是直線m外兩點，在m上求作一點P,使得PA+PB最小，其

作法應(yīng)該是（）.

A、連接BA并延長，與直線m的交點為P；耳

B、連接AB,作AB垂直平分線與m的交點為P；

C、過點B作直線m的垂線，與m的交點即為P；圖5

D、過點A作直線m的垂線，垂足為0,延長A0到點A',使0A'=0A,在連

接A'B,則A'B與直線m的交點為P；

3、在aABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于點D,且AABC和aBCD的周長分別

為60cm和38cm,則aABC的腰長和底邊長分別是（）.

A、24cm和12cmB、16cm和22cmC、22cm和16cmD、20cm和16cm

4、如圖6,已知在△ABC中,ZACB=70°,AB=AC,AB的

垂直平分線交AB于點E,交AC于點D,則NBDC=（）.

A、80°B、70°C、60°D、55°

5、已知A、B、C是同一平面上的三個點，那么到這三個點

的距離都相等的點（）.

A、有且只有一個B、有兩個

C、三個或三個以上D、有一個或沒有

二、填空題

6、已知在AABC中，AB=AC,點P在△ABC內(nèi)，且PB=PC,則直線PA與BC所在直線

的夾角的度數(shù)為（）.

7、如圖7,已知DE是aABC的AB邊的垂直平分線，D為

垂足，DE與BC邊交于點E,若AC=5,BC=8,那么△ACE

的周長為（）.

8、在4ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在直

線的夾角為50°，則這個等腰三角形的底角為（）.

9、已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,BC=2,其斜邊上的中線與一腰的垂直平

分線交于點0,則點0到頂點A、B的距離分別是（）和（）.

10、如圖8,在4ABC中，AC=BC,AC的垂

直平分線與AC交于點E,與AB交于點D,若

ZACB=120°,則AD：BD=（）.

三、解答題

11、如圖9,一輛汽車在一條筆直的公路AB上從A向B行駛，M、N表示分別位于公路

AB兩側(cè)的兩個村莊，汽車從A向B行駛的過程中，(保留作圖痕跡，并寫出作法)

(1)請在圖中的公路AB上作出一點C,使得點C到村莊M的距離最近；

(2)請在圖中的公路AB上作出一點D,使得點D到村莊M、N的距離相等；

M*

B

圖9N

12、如圖10,在aABC中，AD平分NBAC,交BC于點

D,AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于P,

(1)求證：ZPAC=ZB；

(2)求證：PD2=PBPC.

參考答襲■:

一、選擇題

答案：1、A2、D3、C4、A5、D

提示：1、三角形三邊垂直平分線的交點在三角形內(nèi)時，三角形為銳角三角形；三角

形三邊垂直平分線的交點在三角形某一邊上時，三角形為直角三角形；三角形三邊垂

直平分線的交點在三角形外時，三角形為鈍角三角形；.

2、先將點A對稱到點A',則PA'+PB當(dāng)且僅當(dāng)點P為A'B與直線m的

交點時最，即選項D正確.

3、由D點在AB的垂直平分線上得AD=BD,因此ABCD的周長為BC+CD+DB

=BC4-CD+AD=BC+AC=38；又因為aABC的周長為AB+BC+CA=60.所以，AB=22,

從而BC=16.應(yīng)選擇C.

4、由NC=70°以及AB=AC得，NABC=NC=70°,ZA=40°，又由DE

垂直平分AB得：AD=BD,ZABD=ZA=40",/.ZBDC=ZA+ZABD=80°.

5、分A、B、C三點在同一條直線上和不在同一條直線上，這兩種情況討論即

可得知應(yīng)選擇D.

二、填空題

答案：6、90°7、138、20°或70°9、1,110、1：2

提示：6、由AB=AC知點A在BC的垂直平分線上，由PB=PC知點P在BC的垂直平

分線上.因此，直線PA是BC的垂直平分線，即PALBC.

7、DE垂直平分AB,故AE=BE,所以aACE的周長為AC+CE+AE=AC+CE+

BE=AC+BC=5+8=13.

8、分頂