2022-2023學(xué)年廣東省陽江市兩陽中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年廣東省陽江市兩陽中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共9小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）如果，是兩個單位向量，那么下列四個結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．2．（5分）設(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a+i與﹣1+bi互為共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)a+bi的模等于（）A．2 B． C． D．13．（5分）已知，，若，則x等于（）A．6 B．5 C．4 D．34．（5分）平面的一條斜線和這個平面所成角θ的取值范圍是（）A．0°＜θ＜90° B．0°≤θ＜90° C．0°＜θ≤90° D．0°＜θ＜180°5．（5分）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值，則樣本數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的均值為（）A．5 B．10 C．11 D．216．（5分）下列函數(shù)中，最小正周期為2的偶函數(shù)是（）A．y＝sin2x+cos2x B．y＝sinπx+cosπx C． D．y＝cos2x7．（5分）從裝有2件正品和2件次品的盒子內(nèi)任取2件產(chǎn)品，下列選項中是互斥而不對立的兩個事件的是（）A．“至少有1件正品”與“都是次品” B．“恰好有1件正品”與“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”與“至少有1件正品” D．“都是正品”與“都是次品”8．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線AD1與直線EF的位置關(guān)系是（）A．相交 B．垂直 C．平行 D．異面9．若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為（）A． B． C．9π D．27π二、多項選擇題：本題共5小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）10．（5分）若θ∈（π，2π），則復(fù)數(shù)cosθ+isinθ在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（多選）11．（5分）光明學(xué)校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機器人五個社團，全校所有學(xué)生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委在全校學(xué)生中隨機選取一部分學(xué)生（這部分學(xué)生人數(shù)少于全校學(xué)生人數(shù)）進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如圖兩個不完整的統(tǒng)計圖：則（）A．選取的這部分學(xué)生的總?cè)藬?shù)為500人 B．合唱社團的人數(shù)占樣本總量的40% C．選取的學(xué)生中參加機器人社團的學(xué)生數(shù)為78人 D．選取的學(xué)生中參加合唱社團的人數(shù)比參加機器人社團人數(shù)多125（多選）12．（5分）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）最小正周期為T＝π B． C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．方程在區(qū)間[0，2π]內(nèi)有4個根（多選）13．連續(xù)兩次拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子，并記錄每次正面朝上的數(shù)字，記事件A為“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件B為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A．事件B與事件C是獨立事件 B．事件A與事件B是獨立事件 C．P（A）＝2P（B）P（C） D．P（ABC）＝P（A）?P（B）?P（C）（多選）14．一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面如圖所示，則截面的可能圖形是（）A． B． C． D．三、填空題：本題共5小題，每小題5分，共20分．15．（5分）已知，請寫出一個滿足條件的角α＝．16．（5分）小強忘記了進門密碼的最后兩位，只記得最后一位是數(shù)字1，7中的一個，倒數(shù)第二位是數(shù)字3，6，9中的一個，則小強輸入一次密碼能成功開門概率是．17．（5分）如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，，且，則＝．18．（5分）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著．《九章算術(shù)》中的“邪田”意為直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為“正廣”，非高腰邊稱為“邪”．如圖所示，邪長為，東畔長為，在A處測得C，D兩點處的俯角分別為49°和19°，則正廣長約為．（注：sin41°≈0.66）19．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，點P，Q，R分別在棱DD1、AA1、CC1上，且D1P＝AQ＝CR＝1，則以平面PQR截正方體所得截面為底面，A為頂點的棱錐的體積為．四、解答題：本題共7小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．20．（10分）已知點O（0，0），A（2，1），B（4，3）及．（1）若點P在第一象限，求t的取值范圍；（2）四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．21．（12分）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b＝7，．（1）若c＝5，求a；（2）若ac＝40，求△ABC的周長．22．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，f（x）的最大值及相應(yīng)的x值；（2）將f（x）的圖象向左平移φ個單位后關(guān)于原點對稱，，求φ的所有可能取值．23．（12分）學(xué)校組織數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力測試，測試滿分為100分，從測試卷中隨機抽取400份作為樣本，將樣本的成績（成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值，并估計測試成績的第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從該樣本成績在[40，50）與[50，60）的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人，6人中再隨機取2人，求2人的測試成績來自不同組的概率．24．（12分）在四面體P﹣ABC中，點H為△ABC的垂心，且PH⊥平面ABC．（1）若AP⊥PC，求證：PA⊥PB；（2）若PB＝AB，證明：PC＝AC．25．（12分）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝1，，設(shè)點P為邊BC上一點，點Q為線段CA延長線上的一點．（1）當(dāng)且P是邊BC上的中點時，設(shè)PQ與AB交于點M，求線段CM的長；（2）設(shè)，若，求線段AQ長度的最小值．26．（12分）如圖，在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1，，M，N為棱B1C1，C1D1的中點，棱AB上存在一點E，使得A1E∥平面BMND．（1）求；（2）當(dāng)正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的體積最大時，證明：C1C⊥平面BMND．

2022-2023學(xué)年廣東省陽江市兩陽中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共9小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）如果，是兩個單位向量，那么下列四個結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩個單位向量的模長都為1，方向是不確定的，即可做出判斷．【解答】解：兩個單位向量的方向不一定相同或相反，所以選項A，B不正確；由于兩個單位向量的夾角不確定，則不一定成立，所以選項D不正確；因為，是兩個單位向量，故，則選項C正確．故選：C．【點評】本題考查單位向量相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）設(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a+i與﹣1+bi互為共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)a+bi的模等于（）A．2 B． C． D．1【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義可求得a，b，根據(jù)復(fù)數(shù)模長運算可求得結(jié)果．【解答】解：∵a+i與﹣1+bi互為共軛復(fù)數(shù)，∴a＝﹣1，b＝﹣1，∴．故選：C．【點評】本題考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知，，若，則x等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得出答案．【解答】解：由題意，，，，即6×3+3x＝30，解得：x＝4．故選：C．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬基礎(chǔ)題．4．（5分）平面的一條斜線和這個平面所成角θ的取值范圍是（）A．0°＜θ＜90° B．0°≤θ＜90° C．0°＜θ≤90° D．0°＜θ＜180°【分析】利用直線與平面所成角的定義，判斷選項即可．【解答】解：直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0°，90°）；直線和平面所成的角的范圍為[0°，90°]．故選：A．【點評】本題考查直線與平面所成角的定義，是基礎(chǔ)題．5．（5分）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值，則樣本數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的均值為（）A．5 B．10 C．11 D．21【分析】利用樣本數(shù)據(jù)平均值的性質(zhì)直接求解．【解答】解：∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值，∴樣本數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的均值為：．故選：C．【點評】本題考查樣本數(shù)據(jù)的平均值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意樣本數(shù)據(jù)平均值的性質(zhì)的合理運用．6．（5分）下列函數(shù)中，最小正周期為2的偶函數(shù)是（）A．y＝sin2x+cos2x B．y＝sinπx+cosπx C． D．y＝cos2x【分析】利用輔助角公式及誘導(dǎo)公式將各函數(shù)解析式化簡可得奇偶性與周期．【解答】解：A選項：，函數(shù)的周期為T＝＝π，A不正確；因為，函數(shù)的周期為2，但，不是偶函數(shù)，B不正確；因為，函數(shù)的周期為2，又F（﹣x）＝cos（﹣πx）＝cosπx＝F（x），是偶函數(shù)，C正確；因為y＝cos2x，函數(shù)的周期為π，是偶函數(shù)，D不正確．故選：C．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）從裝有2件正品和2件次品的盒子內(nèi)任取2件產(chǎn)品，下列選項中是互斥而不對立的兩個事件的是（）A．“至少有1件正品”與“都是次品” B．“恰好有1件正品”與“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”與“至少有1件正品” D．“都是正品”與“都是次品”【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義進行判斷即可．【解答】解：從裝有2件正品和2件次品的盒子內(nèi)任取2件產(chǎn)品，可能的結(jié)果為：1正1次、2正、2次，對于A：“至少有1件正品”與“都是次品”是對立事件，不符合；對于B：“恰好有1件正品”與“恰好有1件次品”是同一個事件，不符合題意；對于C：“至少有1件次品”包括1正1次、2次，“至少有1件正品”包括1次1正、2正，這兩個事件不是互斥事件，不符合題意；對于D：“都是正品”與“都是次品”是互斥事件而不是對立事件，符合題意．故選：D．【點評】本題考查互斥事件和對立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線AD1與直線EF的位置關(guān)系是（）A．相交 B．垂直 C．平行 D．異面【分析】由題意，作圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)，以及異面直線的定義，可得答案．【解答】解由題意，作圖如下：顯然直線EF∩平面ADD1A1＝P，且P?AD1，則EF與AD1異面．故選：D．【點評】本題考查空間幾何體中的線線位置關(guān)系的判定，屬于中檔題．9．若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為（）A． B． C．9π D．27π【分析】根據(jù)題意設(shè)正方體的外接球半徑為R，得2R＝，即可解決．【解答】解：由題知，正方體的棱長為，且正方體的頂點都在同一球面上，設(shè)正方體的外接球半徑為R，所以得2R＝，即R＝，所以該球的體積為，故選：A．【點評】本題主要考查幾何體的體積，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共5小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）10．（5分）若θ∈（π，2π），則復(fù)數(shù)cosθ+isinθ在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】分與兩種情況下得到余弦和正弦值的正負，得到答案．【解答】解：當(dāng)時，cosθ＜0，sinθ＜0，故復(fù)數(shù)cosθ+isinθ在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，當(dāng)時，cosθ＞0，sinθ＜0，故復(fù)數(shù)cosθ+isinθ在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限．故選：CD．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）光明學(xué)校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機器人五個社團，全校所有學(xué)生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委在全校學(xué)生中隨機選取一部分學(xué)生（這部分學(xué)生人數(shù)少于全校學(xué)生人數(shù)）進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如圖兩個不完整的統(tǒng)計圖：則（）A．選取的這部分學(xué)生的總?cè)藬?shù)為500人 B．合唱社團的人數(shù)占樣本總量的40% C．選取的學(xué)生中參加機器人社團的學(xué)生數(shù)為78人 D．選取的學(xué)生中參加合唱社團的人數(shù)比參加機器人社團人數(shù)多125【分析】根據(jù)題圖數(shù)據(jù)分析選取人數(shù)、合唱社團占比、機器人社團占比及其人數(shù)，并判斷兩社團人數(shù)數(shù)量關(guān)系，即可得答案．【解答】解：由題圖知：選取人數(shù)為50÷10%＝500人，故合唱社團占比為，故AB正確，所以機器人社團占比為1﹣20%﹣15%﹣10%﹣40%＝15%，故該社團人數(shù)為500×15%＝75人，故C錯誤，所以選取的學(xué)生中參加合唱社團的人數(shù)比參加機器人社團人數(shù)多（40%﹣15%）×500＝125人，故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查頻率分布直方圖以及統(tǒng)計相關(guān)知識，屬于中檔題，（多選）12．（5分）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）最小正周期為T＝π B． C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．方程在區(qū)間[0，2π]內(nèi)有4個根【分析】根據(jù)圖象最值點可求得最小正周期，知A正確；代入可求得B錯誤；利用代入檢驗法，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性可知C正確；根據(jù)正弦函數(shù)的函數(shù)值可確定方程根的個數(shù)，知D正確．【解答】解：對于A，由圖象知：f（x）的最小正周期，A正確；對于B，由A知：，∴，∴，解得：，又|φ|＜，∴，B錯誤；對于C，由AB可知：，當(dāng)時，2x﹣∈[﹣π，﹣]，∴f（x）在上單調(diào)遞減，C正確；對于D，當(dāng)x∈[0，2π]時，，則當(dāng)或或或，即或或或時，，∴在區(qū)間[0，2π]內(nèi)有4個根，D正確．故選：ACD．【點評】本題考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）13．連續(xù)兩次拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子，并記錄每次正面朝上的數(shù)字，記事件A為“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件B為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A．事件B與事件C是獨立事件 B．事件A與事件B是獨立事件 C．P（A）＝2P（B）P（C） D．P（ABC）＝P（A）?P（B）?P（C）【分析】根據(jù)獨立事件的概念及獨立事件概率的乘法運算直接計算．【解答】解：，，，，，對于A，事件B與事件C是相互獨立事件，故A正確；對于B，事件A與事件B是獨立事件，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，，故D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查相互獨立事件的概率公式，屬于中檔題．（多選）14．一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面如圖所示，則截面的可能圖形是（）A． B． C． D．【分析】當(dāng)截面的角度和方向不同時，球的截面不相同，應(yīng)分情況考慮即可．【解答】解：當(dāng)截面平行于正方體的一個側(cè)面時得C，當(dāng)截面過正方體的體對角線時得B，當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面也不過體對角線時得A，但無論如何都不能截出D，故選：ABC．【點評】本題主要考查了球內(nèi)接多面體、棱柱的結(jié)構(gòu)特征．注意截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．三、填空題：本題共5小題，每小題5分，共20分．15．（5分）已知，請寫出一個滿足條件的角α＝（答案不唯一）．【分析】根據(jù)特殊角的正切函數(shù)值進行求解即可．【解答】解：因為，所以，則，故滿足條件的一個角為．故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題考查了特殊角的正切函數(shù)值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）小強忘記了進門密碼的最后兩位，只記得最后一位是數(shù)字1，7中的一個，倒數(shù)第二位是數(shù)字3，6，9中的一個，則小強輸入一次密碼能成功開門概率是．【分析】利用古典概型概率公式運算即可得解．【解答】解：由條件可知，小強可能輸入的密碼包含（3，1），（6，1），（9，1），（3，7），（6，7），（9，7）共6種情況，其中正確的密碼有1個，所以輸入一次密碼正確的概率．故答案為：．【點評】本題考查古典概型概率公式運算的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．17．（5分）如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，，且，則＝2．【分析】根據(jù)圖形，利用平面向量的運算法則即可．【解答】解：由題意，結(jié)合圖形，根據(jù)平面向量的運算法則，由，得，即，所以，．可得．故答案為：2．【點評】本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量的和差運算將向量進行分解是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．18．（5分）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著．《九章算術(shù)》中的“邪田”意為直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為“正廣”，非高腰邊稱為“邪”．如圖所示，邪長為，東畔長為，在A處測得C，D兩點處的俯角分別為49°和19°，則正廣長約為6.6．（注：sin41°≈0.66）【分析】根據(jù)余弦定理先求得AC，再根據(jù)直角三角形中的關(guān)系求得BC即可得解．【解答】解：由題可得，∠DAC＝49°﹣19°＝30°，在△ACD中，由余弦定理可得DC2＝AC2+AD2﹣2AC?AD?cos30°，代入得：28＝AC2+48﹣12AC，即（AC﹣2）（AC﹣10）＝0，因為∠ADC＞90°，故AC＝10，故BC＝AC?cos49°＝10?sin41°＝6.6．故答案為：6.6．【點評】本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，點P，Q，R分別在棱DD1、AA1、CC1上，且D1P＝AQ＝CR＝1，則以平面PQR截正方體所得截面為底面，A為頂點的棱錐的體積為．【分析】利用已知作出截面，進而利用分割法可求A為頂點的棱錐的體積．【解答】解：延長PQ交DA的延長線于M，延長PN交DC的延長線于N，連接MN交AB于E，交BC于F，連接QE，RF，AR，AF，AC，∵AQ∥DP，∴＝，∴＝，解得MA＝2，同理CN＝2，∴AE＝CF＝2，VP﹣DMN＝××6×6×3＝18，VQ﹣AME＝××2×2×1＝，VR﹣AFC＝××2×4×1＝，VA﹣PRCD＝×（1+3）×4×4＝，∴VA﹣QEFRP＝VP﹣DMN﹣2VQ﹣AME﹣VR﹣AFC﹣VA﹣PRCD＝．故答案為：．【點評】本題考查空間幾何體的體積的計算，考查分割法求空間幾何體的體積，屬中檔題．四、解答題：本題共7小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．20．（10分）已知點O（0，0），A（2，1），B（4，3）及．（1）若點P在第一象限，求t的取值范圍；（2）四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．【分析】（1）由平面向量的坐標(biāo)運算，求出，利用點P在第一象限，列不等式求得t的取值范圍；（2）利用四邊形OABP是平行四邊形時，只需要，列方程求出t的值，即可判斷四邊形OABP能否為平行四邊形．【解答】解：（1），由題意得，解得：，即t的取值范圍為．（2）若四邊形OABP是平行四邊形，只需要，即，由（1）知，，而，∴，方程組無解，故四邊形OABP不能成為平行四邊形．【點評】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．21．（12分）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b＝7，．（1）若c＝5，求a；（2）若ac＝40，求△ABC的周長．【分析】（1）先由正弦定理可求得sinC，從而由b＞c，可知cosC的值為正，再利用三角形中sinA＝sin（B+C），可求得sinA的值，從而由正弦定理可求出a的值；（2）由已知條件，結(jié)合余弦定理，可直接求出a+c的值，即可求得三角形的周長．【解答】解：（1）由正弦定理，則，∵b＞c，∴B＞C，又∵，∴cosC＞0，則，∴sinA＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝，∴．（2）∵b＝7，，ac＝40，∴b2＝a2+c2﹣2accosB，即49＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣120，得（a+c）2＝169，即a+c＝13，∴a+b+c＝20，∴△ABC的周長為20．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．22．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，f（x）的最大值及相應(yīng)的x值；（2）將f（x）的圖象向左平移φ個單位后關(guān)于原點對稱，，求φ的所有可能取值．【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合三角恒等變換的公式，化簡得到，再由，求得a＝1，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）由三角函數(shù)的圖象變換得到，根據(jù)題意求得，結(jié)合，即可求解．【解答】解：（1）由函數(shù)，因為，可得，即，所以a＝1，所以，又由，可得，當(dāng)時，即時，函數(shù)f（x）的最大值為2；（2）將的圖象向左平移φ個單位后關(guān)于原點對稱，可得，因為g（x）關(guān)于原點對稱，即g（x）為奇函數(shù)，可得，因為，當(dāng)k＝0時，；當(dāng)k＝1時，，所以φ的所有可能的取值為或．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．23．（12分）學(xué)校組織數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力測試，測試滿分為100分，從測試卷中隨機抽取400份作為樣本，將樣本的成績（成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值，并估計測試成績的第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從該樣本成績在[40，50）與[50，60）的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人，6人中再隨機取2人，求2人的測試成績來自不同組的概率．【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出a值，再求出第80百分位數(shù)作答．（2）求出6人中在[40，50）與[50，60）的人數(shù)，再利用列舉法求出古典概率作答．【解答】解；（1）∵（0.005+0.01+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，∴a＝0.03，設(shè)知識競賽成績的第80百分位數(shù)為m，由[40，80）的頻率為0.65，[40，90）的頻率為0.9，則m位于[80，90），則0.65+（m﹣80）×0.025＝0.8，解得m＝86，所以知識競賽成績的第80百分位數(shù)為86．（2）成績在[40，50）和[50，60）內(nèi)的頻率分別為0.05，0.1，，則在[40，50）內(nèi)選取2人，記為A，B，在[50，60）內(nèi)選取4人，記為a，b，c，d，從這6人中選取2人的所有選取方法：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15種，2人的競賽成績來自不同組的選取方法：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，共8種，所以所求概率為．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．24．（12分）在四面體P﹣ABC中，點H為△ABC的垂心，且PH⊥平面ABC．（1）若AP⊥PC，求證：PA⊥PB；（2）若PB＝AB，證明：PC＝AC．【分析】（1）連接AH，并延長交BC于M，連接PM，只需證明BC⊥面PAM即可；（2）取AP的中點N，連接BN，CN，只需證明AP⊥CN即可．【解答】證明：（1）如圖1，連接AH，并延長交BC于M，連接PM，∵點H為△ABC的垂心，∴AM⊥BC，∵PH⊥平面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥PH，又PH∩AM＝H，PH、AM?面PAM，∴BC⊥面PAM，∵AP?面PAM，∴AP⊥BC，又AP⊥PC，PC∩BC＝C，∴AP⊥面PBC，∵PB?面PBC，∴AP⊥PB．（2）如圖2，取AP的中NN，連接BN，CN，由（1）可得AP⊥BC，又PB＝AB，所以AP⊥BN，又BN∩BC＝B，∴AP⊥面BCN，又CN?面BCN，∴AP⊥CN，在△ACP中，因為N為P中點，CN⊥AP，∴CA＝CP．【點評】本題考查了空間線線、線面位置關(guān)系，屬于中檔題．25．（12分）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝1，，設(shè)點P為邊BC上一點，點Q為線段CA延長線上的一點．（1）當(dāng)且P是