2022-2023學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022-2023學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝2+i，則的虛部為（）A．1 B．2 C．i D．2i2．（5分）某中學(xué)高一年級(jí)有20個(gè)班，每班50人；高二年級(jí)有24個(gè)班，每班45人．甲就讀于高一，乙就讀于高二．學(xué)校計(jì)劃從這兩個(gè)年級(jí)中共抽取208人進(jìn)行視力調(diào)查，若采用分層抽樣的方式進(jìn)行抽樣，則下列說(shuō)法：①甲乙兩人可能同時(shí)被抽取；②高一、高二年級(jí)分別抽取100人和108人；③乙被抽到的可能性比甲的大．其中正確的有（）A．① B．①③ C．①② D．①②③3．（5分）已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，下列說(shuō)法正確的是（）A．若m∥β，則α∥β B．若l?β，m∥l，則m∥β C．若α⊥β，則m⊥β D．若m⊥β，則α⊥β4．（5分）已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（）A．2 B． C． D．﹣25．（5分）已知α，β，γ是三個(gè)平面，α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線l2與直線l3可能是異面直線 B．若l1∩l2＝O，則直線l1與直線l3可能平行 C．若l1∩l2＝O，則直線l2與直線l3不可能相交于O點(diǎn) D．若l1∥l2，則l1∥l36．（5分）已知平面向量，，滿足，且對(duì)?t∈R，有恒成立，則與的夾角為（）A． B． C． D．7．（5分）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，則A′到平面EFD的距離為（）A．1 B． C． D．28．（5分）已知一組樣本數(shù)據(jù)共有8個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為8，方差為12，將這組樣本數(shù)據(jù)增加兩個(gè)未知的數(shù)據(jù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，已知新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差最小值為（）A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）學(xué)?！拔磥?lái)杯”足球比賽中，甲班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.9，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3；乙班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.3，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2，你認(rèn)為下列說(shuō)法中正確的是（）A．平均來(lái)說(shuō)乙班比甲班防守技術(shù)好 B．乙班比甲班防守技術(shù)更穩(wěn)定 C．乙班在防守中有時(shí)表現(xiàn)非常好，有時(shí)表現(xiàn)比較差 D．甲班很少不失球（多選）10．（5分）已知x∈C（全體復(fù)數(shù)集），關(guān)于x的方程x2+tx+2＝0（t∈R）的兩根分別為x1，x2，若，則t的可能取值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4（多選）11．（5分）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，加入以下哪個(gè)選項(xiàng)作為已知條件，可以唯一確定φ的值（）A．f（0）＝﹣1，A＝2 B．， C．x2＝2x1 D．x2＝4x1（多選）12．（5分）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)及表面上一點(diǎn)，且，其中m∈[0，1]，n∈[0，1]，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)n＝1時(shí)，對(duì)任意m∈[0，1]，CP∥平面ABB1A1恒成立 B．當(dāng)m＝0，時(shí)，B1P與平面ABC1D1所成的線面角的余弦值為 C．當(dāng)m+n＝1時(shí)，A1C1⊥B1P恒成立 D．當(dāng)m+n＝1時(shí)，PA+PC的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（2﹣i）z＝6+2i，則|z|＝．14．（5分）如圖△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，其中O′A′＝6，O′B′＝4，∠A′O′B′＝45°，則△OAB的周長(zhǎng)為．15．（5分）半徑為R的球的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，已知△ABC為等邊三角形且其面積為，三棱錐D﹣ABC體積的最大值為，則球的半徑R等于．16．（5分）已知直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等邊三角形ABC的邊AB，BC，CA上，且∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）已知θ為三角形的一個(gè)內(nèi)角，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝cosθ+isinθ，且z2﹣z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上．（1）求θ；（2）設(shè)2z，，1+z+z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積．18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足2c+b﹣2acosB＝0．（1）求角A；（2）若a＝2，?＝，AD是△ABC中線，求AD的長(zhǎng)．19．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BB1，B1C1的中點(diǎn)，（1）求證：點(diǎn)F在平面AED1內(nèi)；（2）用平面AED1截正方體ABCD﹣A1B1C1D1，將正方體分成兩個(gè)幾何體，兩個(gè)幾何體的體積分別為V1，V2（V1＜V2），求V1：V2的值．20．（12分）2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)圓滿完成，為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)掘并傳承中國(guó)航天精神，某市隨機(jī)抽取1000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽并記錄得分，將學(xué)生的成績(jī)整理后分成五組，從左到右依次記為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖并估計(jì)這1000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和計(jì)算80%分位數(shù)（求平均值時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取200人，若第三組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為72分和1，第四組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為87分和2，求這200人中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，90）的學(xué)生成績(jī)的方差．21．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，，，A1C1⊥A1B．（1）證明：平面A1AC⊥平面ABC；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．22．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且邊BC上的高．（1）若，求B；（2）已知△ABC中角B和C是銳角，求tanB+4tanC的最小值．

2022-2023學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝2+i，則的虛部為（）A．1 B．2 C．i D．2i【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的乘法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，再得出結(jié)果．【解答】解：，虛部為2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）某中學(xué)高一年級(jí)有20個(gè)班，每班50人；高二年級(jí)有24個(gè)班，每班45人．甲就讀于高一，乙就讀于高二．學(xué)校計(jì)劃從這兩個(gè)年級(jí)中共抽取208人進(jìn)行視力調(diào)查，若采用分層抽樣的方式進(jìn)行抽樣，則下列說(shuō)法：①甲乙兩人可能同時(shí)被抽取；②高一、高二年級(jí)分別抽取100人和108人；③乙被抽到的可能性比甲的大．其中正確的有（）A．① B．①③ C．①② D．①②③【分析】根據(jù)分層抽樣的特征以及每層的人數(shù)比值逐一求解判斷各選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于①，采用分層抽樣的方式進(jìn)行抽樣，甲乙兩人可能同時(shí)被抽取，故①正確；對(duì)于②，高一共有20×50＝1000人，高二共有24×45＝1080人，從這兩個(gè)年級(jí)2080人中共抽取208人進(jìn)行視力調(diào)查，高一應(yīng)抽取人，高二應(yīng)抽取人，故②正確；對(duì)于③，甲被抽到的可能性為，乙被抽到的可能性為，甲和乙被抽到的可能性相等，故③錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，下列說(shuō)法正確的是（）A．若m∥β，則α∥β B．若l?β，m∥l，則m∥β C．若α⊥β，則m⊥β D．若m⊥β，則α⊥β【分析】由線面、面面平行的判定定理及線面、面面垂直的判定定理逐一判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)于A，由面面平行判定定理可知，在平面α內(nèi)需要兩條相交直線與平面β平行才能得出兩平面平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，選項(xiàng)缺少m不在平面β內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面α內(nèi)的直線m與α，β兩個(gè)平面的交線垂直，才能得出m⊥β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，已知m⊥β，m為平面α內(nèi)的一條直線，由面面垂直判定定理可知D正確，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．4．（5分）已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（）A．2 B． C． D．﹣2【分析】由已知可得，根據(jù)投影向量的定義及數(shù)量積的運(yùn)算律求投影向量即可．【解答】解：由，得．根據(jù)投影向量的定義可知：在方向上的投影向量為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查投影向量的概念和平面向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知α，β，γ是三個(gè)平面，α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線l2與直線l3可能是異面直線 B．若l1∩l2＝O，則直線l1與直線l3可能平行 C．若l1∩l2＝O，則直線l2與直線l3不可能相交于O點(diǎn) D．若l1∥l2，則l1∥l3【分析】對(duì)于A，直線l2與直線l3都在平面γ內(nèi)；對(duì)于B、D，由O∈α，O∈β，O∈γ，得出O∈l3，得出結(jié)果；對(duì)于D，由線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理推理得出．【解答】解：對(duì)于A，由α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，得l2?γ，l3?γ，則直線l2與直線l3是共面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、C，∵α∩β＝l1，α∩γ＝l2，l1∩l2＝O，∴O∈α，O∈β，O∈γ，∵β∩γ＝l3，∴O∈l3，可知直線l1，l2，l3必然交于一點(diǎn)（即三線共點(diǎn)），故B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若l1∥l2，l1?γ，l2?γ，∴l(xiāng)1∥γ，又l1?β，β∩γ＝l3，∴l(xiāng)1∥l3，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．6．（5分）已知平面向量，，滿足，且對(duì)?t∈R，有恒成立，則與的夾角為（）A． B． C． D．【分析】展開(kāi)，根據(jù)?t∈R，有恒成立，可求得兩向量夾角，再結(jié)合夾角余弦公式即可求得．【解答】解：因?yàn)閷?duì)?t∈R，有恒成立，所以對(duì)?t∈R，恒成立，所以對(duì)?t∈R，恒成立，所以，即，所以，解得，所以，，所以，所以＝，所以與的夾角為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．7．（5分）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，則A′到平面EFD的距離為（）A．1 B． C． D．2【分析】由折疊不變可知，三棱錐A′﹣EFD中A′E，A′F，A′D兩兩相互垂直，然后由等體積法可求出答案．【解答】解：由折疊不變可知，三棱錐A′﹣EFD中A′E，A′F，A′D兩兩相互垂直，所以，△EFD的三邊長(zhǎng)分別為，，，所以，因?yàn)閂A′﹣EFD＝VD﹣A′EF，設(shè)A′到平面EFD的距離為d，所以，解得，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中折疊問(wèn)題，等體積法求解點(diǎn)面距問(wèn)題，屬中檔題．8．（5分）已知一組樣本數(shù)據(jù)共有8個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為8，方差為12，將這組樣本數(shù)據(jù)增加兩個(gè)未知的數(shù)據(jù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，已知新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差最小值為（）A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6【分析】根據(jù)已知條件，利用平均數(shù)公式及其方差公式求解．【解答】解：設(shè)增加的數(shù)為x，y，原來(lái)的8個(gè)數(shù)分別為a1，a2，?，a8，則a1+a2+?+a8＝64，a1+a2+?+a8+x+y＝90，所以x+y＝26，一組樣本數(shù)據(jù)共有8個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為8，方差為12，則，即，新的樣本數(shù)據(jù)的方差為＝，因?yàn)?，x2+y2﹣202≥136，所以方差的最小值為13.6（當(dāng)x＝y(tǒng)＝8時(shí)取到最小值）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均數(shù)公式及其方差公式，屬于基礎(chǔ)題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）學(xué)?！拔磥?lái)杯”足球比賽中，甲班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.9，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3；乙班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.3，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2，你認(rèn)為下列說(shuō)法中正確的是（）A．平均來(lái)說(shuō)乙班比甲班防守技術(shù)好 B．乙班比甲班防守技術(shù)更穩(wěn)定 C．乙班在防守中有時(shí)表現(xiàn)非常好，有時(shí)表現(xiàn)比較差 D．甲班很少不失球【分析】由平均數(shù)及方差的大小關(guān)系逐一判斷各選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于A，從平均數(shù)角度考慮是對(duì)的，甲班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)大于乙班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)，故A正確；對(duì)于B，從標(biāo)準(zhǔn)差角度考慮是錯(cuò)的，甲失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小，防守技術(shù)更穩(wěn)定；故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，乙失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大，防守中的表現(xiàn)不穩(wěn)定，故C正確；對(duì)于D，從平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差角度考慮是對(duì)的，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)的方差的實(shí)際意義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）已知x∈C（全體復(fù)數(shù)集），關(guān)于x的方程x2+tx+2＝0（t∈R）的兩根分別為x1，x2，若，則t的可能取值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4【分析】根據(jù)已知條件及韋達(dá)定理得出，分情況討論得出結(jié)果．【解答】解：因?yàn)榉匠蘹2+tx+2＝0（t∈R）的兩根分別為x1，x2，所以x1+x2＝﹣t，x1x2＝2，所以，當(dāng)t2﹣8≥0時(shí)，有，解得t＝±4；當(dāng)t2﹣8＜0時(shí)，有，又，解得t＝0．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，加入以下哪個(gè)選項(xiàng)作為已知條件，可以唯一確定φ的值（）A．f（0）＝﹣1，A＝2 B．， C．x2＝2x1 D．x2＝4x1【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐一判斷即可，其中判斷C、D的時(shí)候需由ωx1+φ＝0，ωx2+φ＝π得到．【解答】解：A項(xiàng)：當(dāng)f（0）＝﹣1，A＝2時(shí)得，∴，A選項(xiàng)正確；B項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的最小正周期為，∴ω＝3，以及，∴，B正確；C項(xiàng)：由圖像可得ωx1+φ＝0，ωx2+φ＝π，∴又因?yàn)椋?，所以C錯(cuò)，D對(duì)．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）12．（5分）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)及表面上一點(diǎn)，且，其中m∈[0，1]，n∈[0，1]，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)n＝1時(shí)，對(duì)任意m∈[0，1]，CP∥平面ABB1A1恒成立 B．當(dāng)m＝0，時(shí)，B1P與平面ABC1D1所成的線面角的余弦值為 C．當(dāng)m+n＝1時(shí)，A1C1⊥B1P恒成立 D．當(dāng)m+n＝1時(shí)，PA+PC的最小值為【分析】對(duì)于A：由面面平行的性質(zhì)定理得出線面平行；對(duì)于B：由線面垂直的判定定理得出B1C⊥平面ABC1D1，H是垂足，所以∠B1PH為所求；對(duì)于C：由線面垂直的性質(zhì)定理證得結(jié)果；對(duì)于D：將平面ABD1和平面BCD1展開(kāi)成平面圖后，線段AC為所求．【解答】解：對(duì)于A：如圖1，當(dāng)n＝1時(shí)，P點(diǎn)在線段C1D1上，CP?平面CDD1C1，又因?yàn)槠矫鍯DD1C1∥平面ABB1A1，CP?平面CDD1C1，所以CP∥平面ABB1A1，故A正確；對(duì)于B：如圖2，當(dāng)m＝0，時(shí)，P是AD1的中點(diǎn)，因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，所以AB⊥B1C，又B1C⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1D1內(nèi)，所以B1C⊥平面ABC1D1，H是垂足，所以∠B1PH為B1P與平面ABC1D1所成的角，在Rt△B1PH中，，所以B1P與平面ABC1D1所成的線面角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C：如圖3，當(dāng)m+n＝1時(shí)，點(diǎn)P在線段BD1上，由選項(xiàng)C同理可證A1C1⊥面BB1D1，B1P?面BB1D1，A1C1⊥B1P，故C正確；對(duì)于D：如圖4，當(dāng)m+n＝1時(shí)，點(diǎn)P在線段BD1上，將平面ABD1和平面BCD1展開(kāi)成平面圖后，線段AC為所求，此時(shí)AC⊥BD1，，所以PA+PC的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面位置關(guān)系，直線與平面所成的角，解題中需要一定的推理能力和直觀想象能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（2﹣i）z＝6+2i，則|z|＝．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的除法法則和模的計(jì)算公式，即可化簡(jiǎn)得到答案．【解答】解：因?yàn)?，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）如圖△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，其中O′A′＝6，O′B′＝4，∠A′O′B′＝45°，則△OAB的周長(zhǎng)為24．【分析】根據(jù)直觀圖復(fù)原原圖，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，確定相關(guān)線段的長(zhǎng)，可求得答案．【解答】解：如圖，根據(jù)直觀圖復(fù)原原圖，則，故△OAB的周長(zhǎng)為6+8+10＝24．故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查斜二測(cè)畫(huà)法相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）半徑為R的球的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，已知△ABC為等邊三角形且其面積為，三棱錐D﹣ABC體積的最大值為，則球的半徑R等于4．【分析】根據(jù)題意，設(shè)△ABC的中心為O′，三棱錐D﹣ABC外接球的球心為O，分析當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)D，O′，O在同一直線上，且垂直于底面ABC，然后利用圖形中的幾何關(guān)系和條件可求得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)△ABC的中心為O′，三棱錐D﹣ABC外接球的球心為O，則當(dāng)體積最大時(shí)，點(diǎn)D，O′，O在同一直線上，且垂直于底面ABC，如圖，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形且其面積為，所以△ABC的邊長(zhǎng)x滿足，故x＝6，所以，DO＝AO＝R，故，故三棱錐的高，所以，所以R＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐、球的體積計(jì)算，注意分析三棱錐體積最大的條件，屬于中檔題．16．（5分）已知直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等邊三角形ABC的邊AB，BC，CA上，且∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，則的最小值為．【分析】設(shè)，EF＝x，由正弦定理求解BD，AD，再結(jié)合三角形面積公式及三角函數(shù)輔助角公式求三角函數(shù)最值得出結(jié)果．【解答】解：設(shè)，EF＝x，則在△BDE中，，，由正弦定理得：，∴，在△ADF中DF＝2x，，，同理可得，因此可得，，因?yàn)椋渲?，，由于，，所以?dāng)時(shí)，sin（α+φ）＝1，所以，則的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)與解三角形的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）已知θ為三角形的一個(gè)內(nèi)角，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝cosθ+isinθ，且z2﹣z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上．（1）求θ；（2）設(shè)2z，，1+z+z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積．【分析】（1）先得到z2﹣z＝（cos2θ﹣cosθ）+i（sin2θ﹣sinθ），再根據(jù)z2﹣z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，由cos2θ﹣cosθ＝0求解；（2）先得到各復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，C（0，0），然后利用余弦定理求得一個(gè)角，再利用三角形面積公式求解．【解答】解：（1）∵z2﹣z＝（cos2θ﹣cosθ）+i（sin2θ﹣sinθ），∴cos2θ﹣cosθ＝2cos2θ﹣cosθ﹣1＝0，θ∈（0，π），∴；（2）由（1）知：，，∴，，∴．在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，C（0，0），∴CA＝2，CB＝1，，由余弦定理可得，且∠ACB∈（0，π），∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足2c+b﹣2acosB＝0．（1）求角A；（2）若a＝2，?＝，AD是△ABC中線，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化，將題干條件均化成角，結(jié)合誘導(dǎo)公式，三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求值；（2）利用，平方后求，結(jié)合余弦定理來(lái)處理．【解答】解：（1）因?yàn)?c+b﹣2acosB＝0，由正弦定理可知：2sinC+sinB﹣2sinAcosB＝0，由C＝π﹣A﹣B，故sinC＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B），所以2sin（A+B）+sinB﹣2sinAcosB＝0，2cosAsinB+sinB＝0（B∈（0，π），sinB≠0），所以，又A∈（0，π），所以；（2）根據(jù)數(shù)量積的定義，由，得，又，在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA?b2+c2＝9，因?yàn)椋?，所以AD＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算，正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BB1，B1C1的中點(diǎn)，（1）求證：點(diǎn)F在平面AED1內(nèi)；（2）用平面AED1截正方體ABCD﹣A1B1C1D1，將正方體分成兩個(gè)幾何體，兩個(gè)幾何體的體積分別為V1，V2（V1＜V2），求V1：V2的值．【分析】（1）根據(jù)兩條平行線確定一個(gè)平面得出E、F、D1、A四點(diǎn)共面；（2）連接FD1，由于平面AED1截正方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面是四邊形AEFD1，得出V1是幾何體三棱臺(tái)A1AD1﹣B1EF的體積，進(jìn)一步求體積得出比值．【解答】解：（1）證明：如圖，連接EF，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以AD1∥BC1，又E，F(xiàn)分別是棱BB1，B1C1的中點(diǎn)，則EF∥BC1，所以EF∥AD1，所以E、F、D1、A四點(diǎn)共面，即點(diǎn)F在平面AED1內(nèi)；（2）連接FD1，所以平面AED1截正方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面是四邊形AEFD1，所以V1是幾何體三棱臺(tái)A1AD1﹣B1EF的體積，則，，所以，且．因此V1：V2＝7：17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中平行關(guān)系的判定以及四點(diǎn)共面問(wèn)題的證明，考查簡(jiǎn)單幾何體的體積計(jì)算，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題．20．（12分）2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)圓滿完成，為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)掘并傳承中國(guó)航天精神，某市隨機(jī)抽取1000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽并記錄得分，將學(xué)生的成績(jī)整理后分成五組，從左到右依次記為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖并估計(jì)這1000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和計(jì)算80%分位數(shù)（求平均值時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取200人，若第三組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為72分和1，第四組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為87分和2，求這200人中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，90）的學(xué)生成績(jī)的方差．【分析】（1）由頻率和為1，求出成績(jī)落在[60，70）的頻率；由樣本的平均數(shù)公式及百分位數(shù)的計(jì)算公式得出結(jié)果；（2）根據(jù)分層抽樣的樣本平均數(shù)及方差公式求得結(jié)果．【解答】解：（1）成績(jī)落在[60，70）的頻率為1﹣（0.30+0.15+0.10+0.05）＝0.40，補(bǔ)全的頻率分布直方圖，如下圖：樣本的平均數(shù)（分），設(shè)80%分位數(shù)為x，則0.03×10+0.04×10+（x﹣70）×0.015＝0.8