小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)方法講義40講含詳細(xì)分析解答(11-20講)

第十一講份數(shù)法小學(xué)奧數(shù)方法講義、每道題都含有詳細(xì)的分析和解答、以及適合的年級(jí)，一共40講，適合學(xué)生、家長(zhǎng)、輔導(dǎo)教師。是小學(xué)一套難得的奧數(shù)資料。把應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為份數(shù)關(guān)系，并確定某一個(gè)數(shù)或未知數(shù)為1份數(shù)，然后先求出這個(gè)1份數(shù)，再以1份數(shù)為根底，求出所要求的未知數(shù)的解題方法，叫做份數(shù)法。〔一〕以份數(shù)法解和倍應(yīng)用題兩個(gè)數(shù)的和及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題叫做和倍應(yīng)用題。例1某林廠有楊樹(shù)和槐樹(shù)共320棵，其中楊樹(shù)的棵數(shù)是槐樹(shù)棵數(shù)的3倍。求楊樹(shù)、槐樹(shù)各有多少棵？〔適于四年級(jí)程度〕解：把槐樹(shù)的棵數(shù)看作1份數(shù)，那么楊樹(shù)的棵數(shù)就是3份數(shù)，320棵樹(shù)就是〔3+1〕份數(shù)。因此，得：320÷〔3+1〕=80〔棵〕…槐樹(shù)80×3=240〔棵〕…楊樹(shù)答略。例2甲、乙兩個(gè)煤場(chǎng)共存煤490噸，甲煤場(chǎng)存煤數(shù)量比乙煤場(chǎng)存煤數(shù)量的4倍少10噸。甲、乙兩個(gè)煤場(chǎng)各存煤多少噸？〔適于四年級(jí)程度〕解：題中已經(jīng)給出兩個(gè)未知數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系：甲煤場(chǎng)存煤數(shù)量比乙煤場(chǎng)存煤數(shù)量的4倍少10噸。因此可將乙煤場(chǎng)的存煤數(shù)量看作1份數(shù)，甲煤場(chǎng)的存煤數(shù)量就相當(dāng)于乙煤場(chǎng)存煤數(shù)量的4倍〔份〕數(shù)少10噸，兩個(gè)煤場(chǎng)所存的煤490噸就是〔1+4〕份數(shù)少10噸，〔490+10〕噸就正好是〔1+4〕份數(shù)。所以乙場(chǎng)存煤：〔490+10〕÷〔1+4〕=500÷5=100〔噸〕甲場(chǎng)存煤：490-100=390〔噸〕答略。例3媽媽給了李平10.80元錢(qián)，正好可買4瓶啤酒，3瓶香檳酒。李平錯(cuò)買成3瓶啤酒，4瓶香檳酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香檳酒各是多少錢(qián)？〔適于五年級(jí)程度〕解：因?yàn)槔钇接觅I一瓶啤酒的錢(qián)買了一瓶香檳酒，結(jié)果剩下0.60元，這說(shuō)明每瓶啤酒比每瓶香檳酒貴0.60元。把每瓶香檳酒的價(jià)錢(qián)看作1份數(shù)，那么4瓶啤酒、3瓶香檳酒的10.80元錢(qián)就是〔4+3〕份數(shù)多〔0.60×4〕元，〔10.80-0.60×4〕元就正好是〔4+3〕份數(shù)。每瓶香檳酒的價(jià)錢(qián)是：〔10.80-0.60×4〕÷〔4+3〕=8.4÷7=1.2〔元〕每瓶啤酒的價(jià)錢(qián)是：1.2+0.60=1.80〔元〕答略。〔二〕以份數(shù)法解差倍應(yīng)用題兩個(gè)數(shù)的差及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題叫做差倍應(yīng)用題。例1三灣村原有的水田比旱田多230畝，今年把35畝旱田改為水田，這樣今年水田的畝數(shù)正好是旱田的3倍。該村原有旱田多少畝？〔適于五年級(jí)程度〕解：該村原有的水田比旱田多230畝〔圖11-1〕，今年把35畝旱田改為水田，那么今年水田比旱田多出230+35×2=300〔畝〕。根據(jù)今年水田的畝數(shù)正好是旱田的3倍，以今年旱田的畝數(shù)為1份數(shù)，那么水田比旱田多出的300畝就正好是2份數(shù)〔圖11-2〕。今年旱田的畝數(shù)是：〔230+35×2〕÷2=300÷2=150〔畝〕原來(lái)旱田的畝數(shù)是：150+35=185〔畝〕綜合算式：〔230+35×2〕÷2+35=300÷2+35=150+35=185〔畝〕答略。*例2和平小學(xué)師生步行去春游。隊(duì)伍走出10.5千米后，王東騎自行車去追趕，經(jīng)過(guò)1.5小時(shí)追上。王東騎自行車的速度是師生步行速度的2.4倍。王東和師生每小時(shí)各行多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：根據(jù)“追及距離÷追及時(shí)間=速度差〞，可求出王東騎自行車和師生步行的速度差是10.5÷1.5=7〔千米/小時(shí)〕。騎自行車的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份數(shù)，騎自行車的速度就是2.4份數(shù)，比步行速度多2.4-1=1.4〔份〕。以速度差除以份數(shù)差，便可求出1份數(shù)。10.5÷1.5÷〔2.4-1〕=7÷1.4=5〔千米/小時(shí)〕…………步行的速度5×2.4=12〔千米/小時(shí)〕………………騎自行車的速度答略。〔三〕以份數(shù)法解變倍應(yīng)用題兩個(gè)數(shù)量原來(lái)的倍數(shù)關(guān)系和兩個(gè)數(shù)量變化后的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題叫做變倍應(yīng)用題。變倍應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn)。解答這類題的關(guān)鍵是要找出倍數(shù)的變化及相應(yīng)數(shù)量的變化，從而計(jì)算出“1〞份〔倍〕數(shù)是多少。*例1大、小兩輛卡車同時(shí)載貨從甲站出發(fā)，大卡車載貨的重量是小卡車的3倍。兩車行至乙站時(shí)，大卡車增加了1400千克貨物，小卡車增加了1300千克貨物，這時(shí)，大卡車的載貨量變成小卡車的2倍。求兩車出發(fā)時(shí)各載貨物多少千克？〔適于五年級(jí)程度〕解：出發(fā)時(shí)，大卡車載貨量是小卡車的3倍；到乙站時(shí)，小卡車增加了1300千克貨物，要保持大卡車的載貨重量仍然是小卡車的3倍，大卡車就應(yīng)增加1300×3千克。把小卡車增加1300千克貨物后的重量看作1份數(shù)，大卡車增加1300×3千克貨物后的重量就是3份數(shù)。而大卡車增加了1400千克貨物后的載貨量是2份數(shù)，這說(shuō)明3份數(shù)與2份數(shù)之間相差〔1300×3-1400〕千克，這是1份數(shù)，即小卡車增加1300千克貨物后的載貨量。1300×3-1400=3900-1400=2500〔千克〕出發(fā)時(shí)，小卡車的載貨量是：2500-1300=1200〔千克〕出發(fā)時(shí)，大卡車的載貨量是：1200×3=3600〔千克〕答略。*例2甲、乙兩個(gè)班組織體育活動(dòng)，選出15名女生參加跳繩比賽，男生人數(shù)是剩下女生人數(shù)的2倍；又選出45名男生參加長(zhǎng)跑比賽，最后剩下的女生人數(shù)是剩下男生人數(shù)的5倍。這兩個(gè)班原有女生多少人？〔適于五年級(jí)程度〕解：把最后剩下的男生人數(shù)看作1份數(shù)，根據(jù)“最后剩下的女生人數(shù)是男生人數(shù)的5倍〞可知，剩下的女生人數(shù)為5份數(shù)。根據(jù)45名男生未參加長(zhǎng)跑比賽前“男生人數(shù)是剩下女生人數(shù)的2倍〞，而最后剩下的女生人數(shù)是5份數(shù)，可以算出參加長(zhǎng)跑前男生人數(shù)的份數(shù)：5×2=10〔份〕因?yàn)樽詈笫Ｏ碌哪猩藬?shù)是1份數(shù)，所以參加長(zhǎng)跑的45名男生是：10-1=9〔份〕每1份的人數(shù)是：45÷9=5〔人〕因?yàn)樽詈笫Ｏ碌呐藬?shù)是5份數(shù)，所以最后剩下的女生人數(shù)是：5×5=25〔人〕原有女生的人數(shù)是：25+15=40〔人〕綜合算式：45÷〔5×2-1〕×5+15=45÷9×5+15=25+15=40〔人〕答略。〔四〕以份數(shù)法解按比例分配的應(yīng)用題把一個(gè)數(shù)量按一定的比例分成幾個(gè)局部數(shù)量的應(yīng)用題，叫做按比例分配的應(yīng)用題。例1一個(gè)工程隊(duì)分為甲、乙、丙三個(gè)組，三個(gè)組的人數(shù)分別是24人、21人、18人。現(xiàn)在要挖2331米長(zhǎng)的水渠，假設(shè)按人數(shù)的比例把任務(wù)分配給三個(gè)組，每一組應(yīng)挖多少米？〔適于六年級(jí)程度〕解：甲、乙、丙三個(gè)組應(yīng)挖的任務(wù)分別是24份數(shù)、21份數(shù)、18份數(shù)，求出1份數(shù)后，用乘法便可求出各組應(yīng)挖的任務(wù)。2331÷〔24+21+18〕=37〔米〕37×24=888〔米〕…甲組任務(wù)37×21=777〔米〕…乙組任務(wù)37×18=666〔米〕…丙組任務(wù)答略。例2生產(chǎn)同一種零件，甲要8分鐘，乙要6分鐘。甲乙兩人在相同的時(shí)間內(nèi)共同生產(chǎn)539個(gè)零件。每人各生產(chǎn)多少個(gè)零件？〔適于六年級(jí)程度〕解：由題意可知，在相同的時(shí)間內(nèi)，甲、乙生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)與他們生產(chǎn)一個(gè)零件所需時(shí)間成反比例。把甲生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)看作1份數(shù)，那么，乙生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)就是：生產(chǎn)零件的總數(shù)539個(gè)就是：甲生產(chǎn)的個(gè)數(shù)：乙生產(chǎn)的個(gè)數(shù)：答略?！参濉骋苑輸?shù)法解正比例應(yīng)用題成正比例的量有這樣的性質(zhì)：如果兩種量成正比例，那么一種量的任意兩個(gè)數(shù)值的比等于另一種量的兩個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)值的比。含有成正比例關(guān)系的量，并根據(jù)正比例關(guān)系的性質(zhì)列出比例式來(lái)解的應(yīng)用題，叫做正比例應(yīng)用題。這里是指以份數(shù)法解正比例應(yīng)用題。例1某化肥廠4天生產(chǎn)化肥32噸。照這樣計(jì)算，生產(chǎn)256噸化肥要用多少天？〔適于六年級(jí)程度〕解：此題是工作效率一定的問(wèn)題，工作量與工作時(shí)間成正比例。以4天生產(chǎn)的32噸為1份數(shù)，256噸里含有多少個(gè)32噸，就有多少個(gè)4天。4×〔256÷32〕=4×8=32〔天〕答略。例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？〔適于六年級(jí)程度〕解：每400粒大豆重80克，這一數(shù)量是一定的，因此大豆的粒數(shù)與重量成正比例。如把400粒大豆重80克看作1份數(shù)，那么24000粒大豆中包含多少個(gè)400粒，24000粒大豆中就有多少個(gè)80克。24000÷400=60〔個(gè)〕24000粒大豆的重量是：80×60=4800〔克〕綜合算式：80×〔24000÷400〕=4800〔克〕答略?！擦骋苑輸?shù)法解反比例應(yīng)用題成反比例的量有這樣的性質(zhì)：如果兩種量成反比例，那么一種量的任意兩個(gè)數(shù)值的比，等于另一種量的兩個(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)值的比的反比。含有成反比例關(guān)系的量，并根據(jù)反比例關(guān)系的性質(zhì)列出比例式來(lái)解的應(yīng)用題，叫做反比例應(yīng)用題。這里是指以份數(shù)法解反比例應(yīng)用題。例1有一批水果，每箱裝36千克，可裝40箱。如果每箱多裝4千克，需要裝多少箱？〔適于六年級(jí)程度〕解：題中水果的總重量不變，每箱裝的多，那么裝的箱數(shù)就少，即每箱裝的重量與裝的箱數(shù)成反比例。如果把原來(lái)要裝的40箱看做1份數(shù)，那么現(xiàn)在需要裝的箱數(shù)就是原來(lái)要裝箱數(shù)的：現(xiàn)在需要裝的箱數(shù)是：答略。天的用煤量看做1份數(shù)，那么改良爐灶后每天的用煤量是原來(lái)每天用煤量的：用煤天數(shù)與每天用煤量成反比例，原來(lái)要用24天的煤，現(xiàn)在可以用的天數(shù)是：答略。〔七〕以份數(shù)法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就是指分?jǐn)?shù)的三類應(yīng)用題，即求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少；求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾；一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。例1長(zhǎng)征毛巾廠男職工人數(shù)比女職工人數(shù)少1/3，求女職工人數(shù)比男職工人數(shù)多百分之幾？〔適于六年級(jí)程度〕解：從題中條件可知，男職工人數(shù)相當(dāng)于女職工人數(shù)的：如果把女職工人數(shù)看作3份，那么男職工人數(shù)就相當(dāng)于其中的2份。所以，女職工人數(shù)比男職工人數(shù)多：〔3-2〕÷2=50％答略。那么黃旗占：如果把21面黃旗看作1份數(shù)，總數(shù)量“1〞中包含有多少個(gè)7/45，旗的總面數(shù)就是21的多少倍。答略。棉花谷多少包？〔適于六年級(jí)程度〕解：由題意可知，甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)各運(yùn)走了一些棉花之后，甲倉(cāng)庫(kù)剩下成8份時(shí)，甲倉(cāng)庫(kù)剩下的是2份；把乙倉(cāng)庫(kù)的棉花分成5份時(shí)，乙倉(cāng)庫(kù)剩下的也是2份。但是，乙倉(cāng)庫(kù)剩下的2份比甲倉(cāng)庫(kù)剩下的2份多130包。可以看出，乙倉(cāng)庫(kù)的1份比甲倉(cāng)庫(kù)的1份多出：130÷2=65〔包〕如果把乙倉(cāng)庫(kù)原有的棉花減少5個(gè)65包，再把剩下的棉花平均分成5份，這時(shí)乙倉(cāng)庫(kù)的每一份棉花就與甲倉(cāng)庫(kù)的每一份同樣多了。這樣，從兩倉(cāng)庫(kù)棉花的總數(shù)2600包中減去5個(gè)65包，再把剩下的棉花平均分成13份〔其中甲倉(cāng)庫(kù)8份，乙倉(cāng)庫(kù)5份〕，其中的8份就是甲倉(cāng)庫(kù)原有的包數(shù)?！?600-65×5〕÷〔8+5〕×8=2275÷13×8=1400〔包〕……………甲倉(cāng)庫(kù)原有的包數(shù)2600-1400=1200〔包〕……………乙倉(cāng)庫(kù)原有的包數(shù)答略?！舶恕骋苑輸?shù)法解工程問(wèn)題工程問(wèn)題就是研究工作量、工作時(shí)間及工作效率之間相互關(guān)系的問(wèn)題，這種問(wèn)題的工作量常用整體“1〞表示。例1一輛快車和一輛慢車同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)12小時(shí)相遇。相遇后，快車又行8小時(shí)到達(dá)乙站。相遇后慢車還要行幾小時(shí)才能到達(dá)甲站？〔適于六年級(jí)程度〕解：由“相遇后快車又行8小時(shí)到達(dá)乙站〞可知，慢車行12小時(shí)的路程快車只需行8小時(shí)。把快車行這段路程所需的8小時(shí)看作1份數(shù)，那么慢車所需的份數(shù)是：答略。*例2加工一批零件，甲單獨(dú)完成需要30天，乙單獨(dú)完成的時(shí)間比甲少解：由題意可知，甲單獨(dú)完成需要30天，乙單獨(dú)完成所需天數(shù)是：如果把乙工作的6天看作1份數(shù)，那么甲完成相同的工作量所需時(shí)間就答略?！簿拧骋苑輸?shù)法解幾何題*例1一個(gè)正方形被分成了大小、形狀完全一樣的三個(gè)長(zhǎng)方形〔如圖11-3〕。每個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)都是16厘米。這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少？〔適于五年級(jí)程度〕解：在每個(gè)長(zhǎng)方形中，長(zhǎng)都是寬的3倍。換句話說(shuō)，如果寬是1份，那么長(zhǎng)為3份，每個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一共可分為：3×2+1×2=8〔份〕因?yàn)槊總€(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16厘米，所以每份的長(zhǎng)是：16÷8=2〔厘米〕長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，也就是正方形的邊長(zhǎng)是：2×3=6〔厘米〕正方形的周長(zhǎng)是：6×4=24〔厘米〕答略。*例2長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬的比是7∶3。如果把長(zhǎng)減少12厘米，把寬增加16厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方形就變成了一個(gè)正方形。求原來(lái)這個(gè)長(zhǎng)方形的面積?！策m于六年級(jí)程度〕解：根據(jù)題意，假設(shè)原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為7份，那么寬就是3分，長(zhǎng)與寬之間相差：7-3=4〔份〕由于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)要減少12厘米，寬增加16厘米，長(zhǎng)方形才能變成正方形，因此原長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬之差為：12+16=28〔厘米〕看得出，4份與28厘米是相對(duì)應(yīng)的，每一份的長(zhǎng)度是：28÷4=7〔厘米〕原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是：7×7=49〔厘米〕原來(lái)長(zhǎng)方形的寬是：7×3=21〔厘米〕原來(lái)長(zhǎng)方形的面積是：49×21=1029〔平方厘米〕答略。第十二講消元法在數(shù)學(xué)中，“元〞就是方程中的未知數(shù)?！跋è暿侵附柚ノ粗獢?shù)去解應(yīng)用題的方法。當(dāng)題中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知數(shù)時(shí)，要同時(shí)求出它們是做不到的。這時(shí)要先消去一些未知數(shù)，使未知數(shù)減少到一個(gè)，才便于找到解題的途徑。這種通過(guò)消去未知數(shù)的個(gè)數(shù)，使題中的數(shù)量關(guān)系到達(dá)單一化，從而先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再將所求結(jié)果代入原題，逐步求出其他未知數(shù)的解題方法叫做消元法?！惨弧骋酝悢?shù)量相減的方法消元例買1張辦公桌和2把椅子共用336元；買1張辦公桌和5把椅子共用540元。求買1張辦公桌和1把椅子各用多少錢(qián)？〔適于四年級(jí)程度〕解：這道題有兩類數(shù)量：一類是辦公桌的張數(shù)、椅子的把數(shù)，另一類是錢(qián)數(shù)。先把題中的數(shù)量按“同事橫對(duì)、同名豎對(duì)〞的原那么排列成表12-1。這就是說(shuō)，同一件事中的數(shù)量橫向?qū)R，單位名稱相同的數(shù)量上下對(duì)齊。表12-1從表12-1第②組的數(shù)量減去第①組對(duì)應(yīng)的數(shù)量，有關(guān)辦公桌的數(shù)量便消去，只剩下有關(guān)椅子的數(shù)量：5-2=3〔把〕3把椅子的錢(qián)數(shù)是：540-336=204〔元〕買1把椅子用錢(qián)：204÷3=68〔元〕把買1把椅子用68元這個(gè)數(shù)量代入原題，就可以求出買1張辦公桌用的錢(qián)數(shù)是：336-68×2=336-136=200〔元〕答略。〔二〕以和、積、商、差代換某數(shù)的方法消元解題時(shí)，可用題中某兩個(gè)數(shù)的和，或某兩個(gè)數(shù)的積、商、差代換題中的某個(gè)數(shù)，以到達(dá)消元的目的。1.以兩個(gè)數(shù)的和代換某數(shù)*例甲、乙兩個(gè)書(shū)架上共有584本書(shū)，甲書(shū)架上的書(shū)比乙書(shū)架上的書(shū)少88本。兩個(gè)書(shū)架上各有多少本書(shū)？〔適于四年級(jí)程度〕解：題中的數(shù)量關(guān)系可用下面等式表示：甲+乙=584

①甲+88=乙

②把②式代入①式〔以甲與88的和代換乙〕，得：甲+甲+88=584甲×2+88=5842甲=584-88=496甲=496÷2=248〔本〕乙=248+88=336〔本〕答略。2.以兩個(gè)數(shù)的積代換某數(shù)*例3雙皮鞋和7雙布鞋共值242元，一雙皮鞋的錢(qián)數(shù)與5雙布鞋的錢(qián)數(shù)相同。求每雙皮鞋、布鞋各值多少錢(qián)？〔適于四年級(jí)程度〕解：因?yàn)?雙皮鞋與5雙布鞋的錢(qián)數(shù)相同，所以3雙皮鞋的錢(qián)數(shù)與5×3=15〔雙〕布鞋的錢(qián)數(shù)一樣多。這樣可以認(rèn)為242元可以買布鞋：15+7=22〔雙〕每雙布鞋的錢(qián)數(shù)是：242÷22=11〔元〕每雙皮鞋的錢(qián)數(shù)是：11×5=55〔元〕答略。3.以兩個(gè)數(shù)的商代換某數(shù)*例5支鋼筆和12支圓珠筆共值48元，一支鋼筆的錢(qián)數(shù)與4支圓珠筆的錢(qián)數(shù)一樣多。每支鋼筆、圓珠筆各值多少錢(qián)？〔適于五年級(jí)程度〕解：根據(jù)“一支鋼筆的錢(qián)數(shù)與4支圓珠筆的錢(qián)數(shù)一樣多〞，可用12÷4=3〔支〕的商把12支圓珠筆換為3支鋼筆?，F(xiàn)在可以認(rèn)為，用48元可以買鋼筆：5+3=8〔支〕每支鋼筆值錢(qián)：48÷8=6〔元〕每支圓珠筆值錢(qián)：6÷4=1.5〔元〕答略。4.以兩個(gè)數(shù)的差代換某數(shù)*例甲、乙、丙三個(gè)人共有235元錢(qián)，甲比乙多80元，比丙多90元。三個(gè)人各有多少錢(qián)？〔適于五年級(jí)程度〕解：題中三個(gè)人的錢(qián)數(shù)有下面關(guān)系：甲+乙+丙=235

①甲-乙=80

②甲-丙=90

③由②、③得：乙=甲-80

④丙=甲-90

⑤用④、⑤分別代替①中的乙、丙，得：甲+〔甲-80〕+〔甲-90〕=235甲×3-170=235甲×3=235+170=405甲=405÷3=135〔元〕乙=135-80=55〔元〕丙=135-90=45〔元〕答略?！踩骋暂^小數(shù)代換較大數(shù)的方法消元在用較小數(shù)量代換較大數(shù)量時(shí)，要把較小數(shù)量比擬大數(shù)量少的數(shù)量加上，做到等量代換。*例18名男學(xué)生和14名女學(xué)生共采集松樹(shù)籽78千克，每一名男學(xué)生比每一名女學(xué)生少采集1千克。每一名男、女學(xué)生各采集松樹(shù)籽多少千克？〔適于五年級(jí)程度〕解：題中說(shuō)“每一名男學(xué)生比每一名女學(xué)生少采集1千克〞，那么18名男生比女生少采集1×18=18〔千克〕。假設(shè)這18名男生也是女生〔以小代大〕，就應(yīng)在78千克上加上18名男生少采集的18千克松樹(shù)籽。這樣他們共采集松樹(shù)籽：78+18=96〔千克〕因?yàn)橐寻?8名男學(xué)生代換為女學(xué)生，所以可認(rèn)為共有女學(xué)生：14+18=32〔名〕每一名女學(xué)生采集松樹(shù)籽：96÷32=3〔千克〕每一名男學(xué)生采集松樹(shù)籽：3-1=2〔千克〕答略?！菜摹骋暂^大數(shù)代換較小數(shù)的方法消元在用較大數(shù)量代換較小數(shù)量時(shí)，要把較大數(shù)量比擬小數(shù)量多的數(shù)量減去，做到等量代換。*例勝利小學(xué)買來(lái)9個(gè)同樣的籃球和5個(gè)同樣的足球，共付款432元。每個(gè)足球比每個(gè)籃球貴8元，籃球、足球的單價(jià)各是多少元？〔適于五年級(jí)程度〕解：假設(shè)把5個(gè)足球換為5個(gè)籃球，就可少用錢(qián)：8×5=40〔元〕這時(shí)可認(rèn)為一共買來(lái)籃球：9+5=14〔個(gè)〕買14個(gè)籃球共用錢(qián)：432-40=392〔元〕籃球的單價(jià)是：392÷14=28〔元〕足球的單價(jià)是：28+8=36〔元〕答略?！参濉惩ㄟ^(guò)把某一組數(shù)乘以一個(gè)數(shù)消元當(dāng)應(yīng)用題的兩組數(shù)量中沒(méi)有數(shù)值相等的兩個(gè)同類數(shù)量時(shí)，應(yīng)通過(guò)把某一組數(shù)量乘以一個(gè)數(shù)，而使同一類數(shù)量中有兩個(gè)數(shù)值相等的數(shù)量，然后再消元。*例2匹馬、3只羊每天共吃草38千克；8匹馬、9只羊每天共吃草134千克。求一匹馬和一只羊每天各吃草多少千克？〔適于五年級(jí)程度〕解：把題中條件摘錄下來(lái)，排列成表12-2。表12-2把第①組中的數(shù)量乘以3得表12-3。表12-3第③組的數(shù)量中，羊的只數(shù)是9只；第②組的數(shù)量中，羊的只數(shù)也是9只。這樣便可以從第②組的數(shù)量減去第③組的數(shù)量，從而消去羊的只數(shù)，得到2匹馬吃草20千克。一匹馬吃草：20÷2=10〔千克〕一只羊吃草：〔38-10×2〕÷3=18÷3=6〔千克〕答略?！擦惩ㄟ^(guò)把兩組數(shù)乘以兩個(gè)不同的數(shù)消元當(dāng)應(yīng)用題的兩組數(shù)量中沒(méi)有數(shù)值相等的兩個(gè)同類的數(shù)量，并且不能通過(guò)把某一組數(shù)量乘以一個(gè)數(shù)，而使同一類的數(shù)量中有兩個(gè)數(shù)值相等的數(shù)，而到達(dá)消元的目的時(shí)，應(yīng)當(dāng)通過(guò)把兩組數(shù)量分別乘以兩個(gè)不同的數(shù)，而使同一類的數(shù)量中有兩個(gè)數(shù)值相等的數(shù)，然后再消元。*例1買3塊橡皮和6支鉛筆用1.68元錢(qián)，買4塊橡皮和7支鉛筆用2元錢(qián)。求一塊橡皮和一支鉛筆的價(jià)格各是多少錢(qián)？〔適于五年級(jí)程度〕解：把題中條件摘錄下來(lái)排列成表12-4。表12-4要消去一個(gè)未知數(shù)，只把某一組數(shù)乘以一個(gè)數(shù)不行，要把兩組數(shù)分別乘以兩個(gè)不同的數(shù)，從而使兩組數(shù)中有對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)同一類的數(shù)。因此，把第①組中的各數(shù)都乘以4，把第②組中的各數(shù)都乘以3，得表12-5。表12-5③-④得：3支鉛筆用錢(qián)0.72元，一支鉛筆的價(jià)格是：0.72÷3=0.24〔元〕一塊橡皮的價(jià)格是：〔1.68-0.24×6〕÷3=〔1.68-1.44〕÷3=0.24÷3=0.08〔元〕答略。*例2有大杯和小杯假設(shè)干個(gè)，它們的容量相同?，F(xiàn)在往5個(gè)大杯和3個(gè)小杯里面放滿砂糖，共420克；又往3個(gè)大杯和5個(gè)小杯里面放滿砂糖，共380克。求一個(gè)大杯和一個(gè)小杯分別可以放入砂糖多少克？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄題中條件排列成表12-6。表12-6把表12-6中①組各數(shù)都乘以5，②組各數(shù)都乘以3，得表12-7。表12-7③-④得：16大杯放砂糖960克，所以，一個(gè)大杯里面可以放入砂糖：960÷16=60〔克〕一個(gè)小杯里面可以放入砂糖：〔420-60×5〕÷3=〔420-300〕÷3=40〔克〕答略。第十三講比擬法通過(guò)對(duì)應(yīng)用題條件之間的比擬，或難解題與易解題的比擬，找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，研究產(chǎn)生聯(lián)系與區(qū)別的原因，從而發(fā)現(xiàn)解題思路的解題方法叫做比擬法。在用比擬法解應(yīng)用題時(shí)，有些條件可直接比擬，有些條件不能直接比擬。在條件不能直接比擬時(shí)，可借助畫(huà)圖、列表等方法比擬，也可適當(dāng)變換題目的陳述方式及數(shù)量的大小，創(chuàng)造條件比擬?！惨弧吃谕坏李}內(nèi)比擬在同一道題內(nèi)比擬，就是在同一道題的條件與條件、數(shù)量與數(shù)量之間的比擬，不涉及其他題目。1.直接比擬例1五年級(jí)甲班要種一些樹(shù)。如果每人種5棵，那么剩下75棵；如果每人種7棵，那么缺15棵。問(wèn)這個(gè)班有多少人？這批樹(shù)苗有多少棵？〔適于四年級(jí)程度〕解：將兩種分配方案進(jìn)行比擬，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，第二次比第一次每人多種：7-5=2〔棵〕第二次比第一次多種：75+15=90〔棵〕90棵中含有多少個(gè)2棵就是全班的人數(shù)：90÷2=45〔人〕這批樹(shù)苗的棵數(shù)是：5×45+75=300〔棵〕或7×45-15=300〔棵〕答略。*例2四季茶莊購(gòu)進(jìn)兩批茶葉，第一批有35箱綠茶和15箱紅茶，共重2925千克。第二批有35箱綠茶和28箱紅茶，共重3640千克。兩種茶葉每箱各重多少千克？〔適于五年級(jí)程度〕解：將前后兩批茶葉的箱數(shù)與箱數(shù)、重量與重量分別比擬，可發(fā)現(xiàn)，第二批紅茶箱數(shù)比第一批紅茶箱數(shù)多：28-15=13〔箱〕第二批紅茶比第一批紅茶多：3640-2925=715〔千克〕因此，可得每一箱紅茶重量：715÷13=55〔千克〕每一箱綠茶重量：〔2925-55×15〕÷35=〔2925-825〕÷35=2100÷35=60〔千克〕答略。2.畫(huà)圖比擬有些應(yīng)用題由于數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、抽象，不便于通過(guò)直接推理、比擬看出數(shù)量關(guān)系，可借助畫(huà)圖作比擬，就容易看出數(shù)量關(guān)系。解：作圖13-1，比擬已修過(guò)米數(shù)與未修過(guò)米數(shù)的關(guān)系。可看出，這段公路一共分為〔7+2〕份。答略。3.列表比擬有些應(yīng)用題適于借助列表的方法比擬條件。在用列表的方法比擬條件時(shí)，要把題中的條件摘錄下來(lái)，盡量按“同事橫對(duì)，同名豎對(duì)〞的格式排列成表。這就是說(shuō)，要盡量使同一件事情的數(shù)量橫著對(duì)齊，使單位名稱相同的數(shù)量豎著對(duì)齊。例趙明準(zhǔn)備買2千克蘋(píng)果和3千克梨，共帶6.8元錢(qián)。到水果店后，他買了3千克蘋(píng)果和2千克梨，結(jié)果缺了0.4元錢(qián)。求每千克蘋(píng)果、梨各多少元錢(qián)？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄條件排列成表13-1。表13-1比擬①、②兩組數(shù)量會(huì)看出：由于多買了1千克蘋(píng)果，少買了1千克梨，才缺了0.4元。可見(jiàn)1千克蘋(píng)果比1千克梨貴0.4元。從買2千克蘋(píng)果、3千克梨的6.8元中去掉買2千克蘋(píng)果多用的錢(qián)，便可以把買2千克蘋(píng)果當(dāng)成買2千克梨，那么一共買梨〔2+3〕千克，用錢(qián)：6.8-0.4×2=6〔元〕每千克梨的價(jià)錢(qián)是：6÷〔2+3〕=1.2〔元〕每千克蘋(píng)果的價(jià)錢(qián)是：1.2+0.4=1.6〔元〕答略。〔二〕和容易解的題比擬當(dāng)一道應(yīng)用題比擬復(fù)雜時(shí)，可先回憶過(guò)去是不是學(xué)過(guò)類似的、較容易解的題，回憶起來(lái)后，可進(jìn)行比擬，找出聯(lián)系，從而找到解題途徑。1.與常見(jiàn)題比擬例4名騎兵輪流騎3匹馬，行8千米遠(yuǎn)的路程，每人騎馬行的路程相等。求每人騎馬行的路程是多少？〔適于四年級(jí)程度〕小學(xué)生對(duì)這類題不易理解，如與下面的常見(jiàn)題作比擬就容易理解了。有3籃蘋(píng)果，每籃8個(gè)，平均分給4人，每人得幾個(gè)？把這兩道題中的條件都摘錄下來(lái)，一一對(duì)應(yīng)地排列起來(lái)：3匹馬………3籃蘋(píng)果每匹馬都行8千米…………每籃都裝8個(gè)蘋(píng)果4人騎馬行的路程相等……4人得到的蘋(píng)果一樣多解答“蘋(píng)果〞這道題的方法是：8×3÷4通過(guò)這樣的比擬，自然會(huì)想出解題的方法。解：8×3÷4=6〔千米〕答：每人騎馬行的路程是6千米。2.與基此題比擬例甲、乙兩地相距10.5千米，某人從甲地到乙地每小時(shí)走5千米，從乙地到甲地每小時(shí)走3千米。求他往返于甲、乙兩地的平均速度?！策m于五年級(jí)程度〕在解答此題時(shí)，有的同學(xué)可能這樣解：〔5+3〕÷2=4〔千米〕。這是錯(cuò)誤的。把上題與下面的題作比擬，就會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。甲、乙兩地相距12千米，某人從甲地到乙地走了4小時(shí)，他每小時(shí)平均走多少千米？解此題的方法是：12÷4=3〔千米〕。這是總路程÷總的時(shí)間=平均速度。前面的解法不符合“總路程÷總時(shí)間=平均速度〞這個(gè)公式，所以是錯(cuò)誤的。解：此題的總路程是：10.5×2總時(shí)間是：10.5÷5+10.5÷3所以他往返的平均速度是：10.5×2÷〔10.5÷5+10.5÷3〕=3.75〔千米/小時(shí)〕答略。3.把逆向題與順向題比擬例王明與李平共有糖假設(shè)干塊。王明的糖比李平的糖多題，不易找出解題方法。把這道題與類似的一道順向思維的題比擬一下，就可得出解題方法。答略。〔三〕創(chuàng)造條件比擬對(duì)那些不能以題中現(xiàn)有條件與相關(guān)條件進(jìn)行比擬的應(yīng)用題，應(yīng)適當(dāng)變換條件，創(chuàng)造可以比擬的條件，再進(jìn)行比擬。*例1學(xué)校食堂第一次買來(lái)2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次買來(lái)5袋大米和4袋面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄題中條件，列成表13-2。表13-2從表13-2中的條件看，題中條件不能直接比擬。此時(shí)要?jiǎng)?chuàng)造條件比擬。因?yàn)榇竺状鼣?shù)2和5的最小公倍數(shù)是10，所以把第一次買來(lái)的袋數(shù)2乘以5〔把面粉的袋數(shù)3，重量275也要乘以5〕，把第二次買來(lái)的袋數(shù)乘以2〔把面粉的袋數(shù)4，重量600也要乘以2〕，得表13-3。此時(shí)題中條件便可以比擬了。表13-3看表13-3，把兩次買來(lái)糧食的數(shù)量比擬一下，大米的袋數(shù)相同，面粉第一次比第二次多買：15-8=7〔袋〕因此，第一次買的糧食比第二次多：1375-1200=175〔千克〕每袋面粉重：175÷7=25〔千克〕每袋大米重：〔275-25×3〕÷2=〔275-75〕÷2=100〔千克〕答略。*例21支鉛筆、2塊橡皮、3把卷筆刀共值2.35元；2支鉛筆、3塊橡皮、4把卷筆刀共值3.30元；3支鉛筆、3塊橡皮、5把卷筆刀共值4.05元。求1支鉛筆、1塊橡皮、1把卷筆刀各值多少錢(qián)？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄題中條件排列成表13-4。表13-4從表13-4看，題中條件不能直接比擬。因此，要?jiǎng)?chuàng)造條件比擬。因?yàn)橄鹌さ膲K數(shù)2、3、3的最小公倍數(shù)是6，所以①×3，②×2，③×2，得表13-5。此時(shí)題中條件便可以比擬了。表13-5⑥-⑤，得：2支鉛筆價(jià)錢(qián)+2把卷筆刀價(jià)錢(qián)=1.5〔元〕，即，1支鉛筆價(jià)錢(qián)+1把卷筆刀價(jià)錢(qián)=0.75〔元〕…………⑦⑥-④，得：3支鉛筆價(jià)錢(qián)+1把卷筆刀價(jià)錢(qián)=1.05〔元〕…………⑧⑧-⑦，得：2支鉛筆價(jià)錢(qián)=0.30〔元〕1支鉛筆價(jià)錢(qián)=0.15〔元〕把1支鉛筆價(jià)錢(qián)0.15元代入⑦，得出1把卷筆刀的價(jià)錢(qián)是：0.75-0.15=0.60〔元〕根據(jù)①可求出一塊橡皮的價(jià)錢(qián)數(shù)：〔2.35-0.15-0.6×3〕÷2=0.4÷2=0.2〔元〕答略。*例3甲、乙兩人共需做140個(gè)零件，甲做了自己任務(wù)的80％，乙做了自己任務(wù)的75％，這時(shí)甲、乙共剩下32個(gè)零件未完成。求甲、乙兩人各需做多少個(gè)零件？〔適于六年級(jí)程度〕解：“甲做了自己任務(wù)的80％，乙做了自己任務(wù)的75％〞后共剩下32個(gè)零件，甲、乙兩人所做零件個(gè)數(shù)不相等，因此，甲所做零件的80％與乙所做零件的75％不可直接比擬。此時(shí)就要?jiǎng)?chuàng)造條件比擬了。甲做自己任務(wù)的80％，假設(shè)乙也做自己任務(wù)的80％，那么甲乙就共剩下零件：140×〔1-80％〕=28〔個(gè)〕這比原來(lái)的“甲、乙共剩下32個(gè)零件〞少：32-28=4〔個(gè)〕這4個(gè)所對(duì)應(yīng)的分率是：80％-75％=5％所以，乙需做的零件是：4÷5％=80〔個(gè)〕甲需做的零件是：140-80=60〔個(gè)〕答略。第十四講演示法對(duì)于那些不容易理解和分析數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，利用身邊現(xiàn)成的東西，如鉛筆、橡皮、小刀、文具盒等，進(jìn)行演示，使應(yīng)用題的內(nèi)容形象化，數(shù)量關(guān)系具體化，這種解題的方法叫做演示法。例1一根繩子正好圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為5分米的正方形。如果用它圍成長(zhǎng)是8分米的長(zhǎng)方形，問(wèn)其寬應(yīng)當(dāng)是多少分米？〔適于三年級(jí)程度〕解：對(duì)這道題一般同學(xué)都會(huì)用這樣的方法解答：5×4÷2-8=2〔分米〕然而這并不是最簡(jiǎn)捷的解法，要用更簡(jiǎn)捷的解法，我們可以做下面的試驗(yàn)：〔1〕用一根細(xì)鐵絲圍成一個(gè)邊長(zhǎng)是5分米的正方形〔圖14-1〕?！?〕把正方形的細(xì)鐵絲從C點(diǎn)斷開(kāi)。這時(shí)ABC局部、CDA局部都是正方形邊長(zhǎng)的2倍。〔3〕把ABC那局部〔或CDA局部〕拉直，折出8分米長(zhǎng)的一段與另一段成90°的角〔圖14-2〕。此時(shí)會(huì)看到8分米長(zhǎng)的這一段是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，與8分米長(zhǎng)的邊成直角的那一段是長(zhǎng)方形的寬。到此，很容易得出，求長(zhǎng)方形的寬也可以用下面的方法：5×2-8=2〔分米〕答略。*例2有一列火車，長(zhǎng)120米，以每小時(shí)18千米的速度通過(guò)一座長(zhǎng)150米的隧道。求從火車頭進(jìn)隧道到火車尾部離開(kāi)隧道共需要多長(zhǎng)時(shí)間？〔適于五年級(jí)程度〕解：求火車過(guò)隧道的時(shí)間，必須知道過(guò)隧道的速度和所行的路程。速度，因此，解此題的關(guān)鍵是求出火車頭從進(jìn)隧道到火車尾部離開(kāi)隧道所行的路程。為弄清這個(gè)問(wèn)題，我們做下面的演示。用文具盒當(dāng)隧道，用鉛筆當(dāng)火車。用圖14-3表示火車剛剛要進(jìn)隧道時(shí)的情景，用圖14-4表示火車車尾正好離開(kāi)隧道時(shí)的情景。從圖14-4可看出：火車從車頭進(jìn)隧道，到車尾離開(kāi)隧道，所行的路程等于隧道長(zhǎng)與車身長(zhǎng)之和。到此，便可求出火車頭從進(jìn)隧道到車尾離開(kāi)隧道所用的時(shí)間。分步列式計(jì)算：〔1〕火車每秒行：1000×18÷3600=5〔米〕〔2〕火車通過(guò)隧道共行的米數(shù)：150+120=270〔米〕〔3〕火車通過(guò)隧道需時(shí)間是：270÷5=54〔秒〕綜合算式：〔150+120〕÷〔1000×18÷3600〕=270÷5=54〔秒〕答略。*例3兄弟二人早晨五點(diǎn)鐘各推一車菜，同時(shí)從家里出發(fā)去集市。哥哥每分鐘走100米，弟弟每分鐘走60米。哥哥到達(dá)集市后5分鐘卸完菜，立即返回，途中遇到弟弟，這時(shí)是5點(diǎn)55分。問(wèn)集市離他們家有多遠(yuǎn)？〔適于五年級(jí)程度〕解：此題可用橡皮、瓶蓋分別代表“家〞與“集市〞，放在桌面的兩端，用兩支鉛筆代表兄弟二人實(shí)際走一走。如〔圖14-5〕。圖14-5實(shí)線表示弟弟走的路程，虛線表示哥哥走的路程。從演示中可以看出兄弟二人共走的路程是從家到集市路程的2倍。因此，只要求出兄弟二人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。[60×55+100×〔55-5〕]÷2=[3300+5000]÷2=4150〔米〕答略。*例4一個(gè)5分米高的圓柱體，它的側(cè)面積是62.8平方分米，求圓柱體的體積?！策m于六年級(jí)程度〕解：要求圓柱體的體積就要知道圓柱底面圓的半徑是多少。從外表看，題中沒(méi)有告訴圓柱底面圓的半徑是多少，這可怎么辦呢？做了下面的演示，問(wèn)題就得到解決了。用一張長(zhǎng)方形的紙卷成一個(gè)圓柱形，再把圓柱形展開(kāi)，展開(kāi)后看到圓柱形的側(cè)面是個(gè)長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的寬就是圓柱的高，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱底面圓的周長(zhǎng)。知道了圓柱底面圓的周長(zhǎng)，就能算出圓柱體底面圓的半徑?！?〕圓柱體底面圓的周長(zhǎng)是：62.8÷5=12.56〔分米〕〔2〕圓柱體底面圓的半徑是：12.56÷3.14÷2=2〔分米〕〔3〕圓柱體的體積是：3.14×2×2×5=62.8〔立方分米〕答略。*例5從三點(diǎn)鐘到四點(diǎn)鐘之間，鐘面上時(shí)針和分針什么時(shí)刻會(huì)重合？什么時(shí)刻成一直線？〔適于高年級(jí)程度〕解：此題很抽象，可用有活動(dòng)指針的時(shí)鐘教具做演示來(lái)理解題中的數(shù)量關(guān)系?？磮D14-6，因?yàn)殓姷闹羔樖琼槙r(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的，所以在3點(diǎn)鐘時(shí)，時(shí)針在分針前面。要使兩針重合，分針就要追上時(shí)針。我們把分針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，即分針走60小格，時(shí)針才走5個(gè)小格，因此，在分針要與時(shí)針成一條直線，分針不僅要追上時(shí)針15格的距離，還要超過(guò)30格的距離，總計(jì)要“追〞〔15+30〕格的距離?！白法暋?5+30〕格的路程要用多長(zhǎng)時(shí)間呢？時(shí)針成一條直線。答略。*例6一列快車全長(zhǎng)151米，每秒鐘行15米，一列慢車全長(zhǎng)254米，每秒鐘行12米。兩車相對(duì)而行，從相遇到離開(kāi)要用幾秒鐘？〔適于五年級(jí)程度〕解：要求兩車從相遇到離開(kāi)要用幾秒鐘，必須知道兩車從相遇到離開(kāi)走多長(zhǎng)的路程。為弄清這個(gè)問(wèn)題，我們做下面的演示：用一支鉛筆作慢車，用另一支鉛筆作快車。先讓它們相遇〔圖14-7〕，再讓它們從相對(duì)運(yùn)行到正好離開(kāi)〔圖14-8〕?？磮D14-8會(huì)想到：兩車共行的路程是兩個(gè)車身長(zhǎng)的和。到此，可算出：〔151+254〕÷〔15+12〕=405÷27=15〔秒〕答：兩車從相遇到離開(kāi)需要15秒鐘。第十五講列表法把應(yīng)用題中的條件簡(jiǎn)要地摘錄下來(lái)，列表分類整理、排列，并借助這個(gè)表格分析、解容許用題的方法叫做列表法。在用列表法解題時(shí)，要仔細(xì)判斷題中哪些數(shù)量是同一件事中直接相關(guān)聯(lián)的，哪些數(shù)量是同一類的。排列數(shù)量時(shí)，要盡量做到“同事橫對(duì)〞，“同名豎對(duì)〞。這就是說(shuō)，要使同一件事中直接相關(guān)聯(lián)的數(shù)量橫向排列，使同一類的、單位名稱相同的數(shù)量豎著排列，還要使它們的數(shù)位上、下對(duì)齊。這樣就可以在讀題、列表的過(guò)程中正確識(shí)別數(shù)量，選擇數(shù)量，理解數(shù)量之間的聯(lián)系、區(qū)別，理清思路，為下一步的分析、推理作好準(zhǔn)備?！惨弧惩ㄟ^(guò)列表突出題目的解法特點(diǎn)有些應(yīng)用題的解法具有一定的特點(diǎn)，如果把題中的條件按一定的格式排列，整理成表，那么表格會(huì)起到突出題目解法特點(diǎn)的作用。例1桌子上放著黃、紅、綠三種顏色的塑料碗。3只黃碗里放著51個(gè)玻璃球，5只紅碗里放著75個(gè)玻璃球，2只綠碗里放著24個(gè)玻璃球。要使每只碗里玻璃球的個(gè)數(shù)相同，每只碗里應(yīng)放多少個(gè)玻璃球？〔適于四年級(jí)程度〕解：摘錄題中條件，排列成表15-1。表15-1求每只碗里應(yīng)放多少個(gè)球，要先求出一共有多少個(gè)碗，和在這些碗中一共放了多少個(gè)球。由于表15-1中把碗的只數(shù)排列在前一豎行，把球的個(gè)數(shù)排列在另一豎行，所以只要看著表15-1中豎著排列的碗的只數(shù)和球的個(gè)數(shù)，便可算出碗的總數(shù)和玻璃球的總數(shù)，從而使問(wèn)題得以解決?！?1+75+24〕÷〔3+5+2〕=150÷10=15〔只〕答：平均每只碗里應(yīng)放15個(gè)玻璃球。例2荒地村砂場(chǎng)用3輛汽車往火車站運(yùn)送砂子，5天運(yùn)了180噸。照這樣計(jì)算，用4輛同樣的汽車15天可以運(yùn)送多少噸砂子？〔適于四年級(jí)程度〕解：摘錄題中條件，排列成表15-2。表15-2解此題的要點(diǎn)是先求出單位數(shù)量。表15-2中，由于汽車的輛數(shù)、運(yùn)送的天數(shù)和噸數(shù)這三個(gè)直接相關(guān)聯(lián)的數(shù)量排在同一橫行，因此便于想到，180÷5得到3輛車1天運(yùn)多少噸，180÷5÷3就得到一輛車一天運(yùn)多少噸；接著便可想到求出4輛車1天運(yùn)多少噸，15天運(yùn)多少噸。求4輛車15天運(yùn)送多少噸砂子的方法是：180÷5÷3×4×15=12×4×15=720〔噸〕答略。例3甲校買8個(gè)排球，5個(gè)籃球，共用415元，乙校買同樣的4個(gè)排球、5個(gè)籃球，共用295元。求買一個(gè)排球需要多少錢(qián)？〔適于四年級(jí)程度〕解：摘錄題中條件，排列成表15-3。表15-3從表15-3可以看出，甲、乙二校所買籃球的個(gè)數(shù)一樣多，甲校比乙校多用錢(qián)：415-295=120〔元〕甲校比乙校多買排球數(shù)是：8-4=4〔個(gè)〕所以，每個(gè)排球的賣價(jià)是：120÷4=30〔元〕答略。例4要把賣5角錢(qián)500克的紅辣椒和賣3角5分錢(qián)500克的青辣椒混合起來(lái)，賣4角1分錢(qián)500克，應(yīng)按怎樣的比例混合，賣主和顧客才都不吃虧？〔適于六年級(jí)程度〕解：摘錄題中條件，排列成表15-4〔為便于計(jì)算，表中錢(qián)數(shù)都以“分〞為單位〕。表15-4要使賣主與買主都不吃虧，就要使紅辣椒損失的錢(qián)數(shù)與青辣椒多收入的錢(qián)數(shù)一樣多。由表15-4可看出，當(dāng)紅辣椒損失18分，青辣椒多收入18分時(shí)，恰好到達(dá)要求。因?yàn)槊?00克紅辣椒與青辣椒混合時(shí)，紅辣椒要少賣9分錢(qián)，當(dāng)損失18分時(shí)，那么有500×2克紅辣椒；同理，青辣椒與紅辣椒混合時(shí)，每500克青辣椒要多賣6分錢(qián)，要多賣18分時(shí)，就要有3個(gè)500克才行，即500×3克青辣椒。所以，紅辣椒與青辣椒混合的比應(yīng)是：500×2∶500×3=2∶3答略。*例5甲種酒每500克賣1元4角4分，乙種酒每500克賣1元2角，丙種酒每500克賣9角6分?，F(xiàn)在要把三種酒混合成每500克賣1元1角4分的酒，其中乙種酒與丙種酒的比是3∶2。求混合酒中三種酒的重量比?！策m于六年級(jí)程度〕解：設(shè)混合酒中甲種酒占的份數(shù)是x，為便于計(jì)算題中錢(qián)數(shù)都以“分〞為單位。摘錄題中條件，排列成表15-5。表15-5從表15-5可以看出，當(dāng)三種酒的混合比是x∶3∶2，混合酒的價(jià)錢(qián)是114分時(shí)，混合酒中每500克甲種酒要損失〔少賣〕30分錢(qián)，每500克乙種酒要損失6分錢(qián)，而每500克丙種酒要收益〔多賣〕18分錢(qián)。當(dāng)乙、丙兩種酒的混合比是3∶2時(shí)，假設(shè)乙、丙兩種酒分別是1.5千克、1千克，那么這兩種酒的混合液可以多賣錢(qián)：18×2-6×3=18〔分〕當(dāng)三種酒按x∶3∶2的比例混合時(shí)，收益的18分錢(qián)應(yīng)與甲種酒的損失抵消。因?yàn)槿N酒混合時(shí)，每500克甲種酒損失30分，所以18分是30分的幾分之幾，甲種酒在三種酒的混合液中就占500克的幾分之幾：答：混合酒中三種酒的重量比是3∶15∶10?！捕惩ㄟ^(guò)列表暴露題目的中間問(wèn)題解答復(fù)合應(yīng)用題的關(guān)鍵，是找出解答最后問(wèn)題所需要的中間問(wèn)題〔隱藏量〕，應(yīng)用題的步驟越多，需要找出的中間問(wèn)題就越多，解答的過(guò)程就越復(fù)雜。在用列表法解應(yīng)用題時(shí)，由于題中數(shù)量是按“同事橫對(duì)，同名豎對(duì)〞的規(guī)律排列在表中，所以便于思考求最后的問(wèn)題需要哪些數(shù)量，這些數(shù)量中哪些是的、哪些是未知的中間問(wèn)題。同時(shí)也便于思考怎樣求出中間問(wèn)題，并在必要時(shí)把求中間問(wèn)題的算式寫(xiě)在表中。這樣，中間問(wèn)題便暴露于表格中，和數(shù)處于平等的地位，從而排除了思維道路上的障礙，減輕了解題的難度。*例1張老師買了2千克蘋(píng)果，3千克梨，共用5元錢(qián)。王老師買的蘋(píng)果是張老師的2倍，買的梨是張老師的3倍，比張老師多用6.8元。問(wèn)每一千克蘋(píng)果、每一千克梨的價(jià)錢(qián)各是多少元？〔適于五年級(jí)程度〕解：摘錄題中條件，排列成表15-6。表15-6中，由于張老師買的蘋(píng)果是2千克、梨是3千克，共用5元錢(qián)，都已寫(xiě)在表中，因此很容易在表中寫(xiě)出王老師買的蘋(píng)果是2×2千克，王老師買的蘋(píng)果恰好是張老師的2倍，也很容易寫(xiě)出王老師買的梨是3×3千克，王老師買的梨比張老師的2倍多3×〔3-2〕千克，即多3千克。表15-6王老師共用錢(qián)〔5+6.8〕元，王老師買水果用的錢(qián)比張老師買水果用的錢(qián)的2倍多：〔5+6.8〕-5×2=1.8〔元〕這1.8元就是買3千克梨用的錢(qián)，所以1千克梨的價(jià)錢(qián)是：1.8÷3=0.6〔元〕1千克蘋(píng)果的價(jià)錢(qián)是：〔5-0.6×3〕÷2=〔5-1.8〕÷2=1.6〔元〕答略。*例2有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中；再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙兩桶中；最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙兩桶中。這時(shí)3桶油正好都是16千克。問(wèn)原來(lái)每桶中各有油多少千克？〔適于高年級(jí)程度〕解：此題的中間量比擬多，需要從題中最后的結(jié)果逐步往前推理，把推出的結(jié)果寫(xiě)在表中，就能求出原來(lái)每桶各有多少千克油。看表15-7。表15-7〔1〕由于最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙兩桶中，3桶油正好都是16千克，因此在表15-7中，橫向?qū)懮霞?、乙、丙三桶油都?6千克。而在丙桶未向甲、乙兩桶倒油之前，丙桶中有油：16×2=32〔千克〕丙桶油的一半是16千克，把這16千克平均倒在甲乙兩桶中時(shí)，倒入每一桶的油是：16÷2=8〔千克〕所以，在丙桶未向甲、乙兩桶倒油時(shí)，即“再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙兩桶中〞后，甲、乙兩桶中分別有油8千克。在表15-7中，乙倒完后一欄的后面橫向?qū)懮霞住⒁?、丙三桶分別有油8千克、8千克、32千克?！?〕根據(jù)取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙兩桶中后，乙桶中還剩8千克油，甲桶中有油8千克，丙桶中有油32千克，可以推出原來(lái)乙桶中有油16千克，乙桶油的一半是：16÷2=8〔千克〕8千克的一半是4千克。所以，在乙桶未向甲、丙兩桶倒油之前，即“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中〞后，甲桶中有油：8-4=4〔千克〕丙桶中有油：32-4=28〔千克〕在表15-7中，甲倒完后一欄的后面橫向?qū)懮霞住⒁?、丙三桶分別有油：4千克、16千克、28千克?！?〕由“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中〞之后，甲桶中還剩下4千克油，可以推出甲桶原來(lái)有油：4×2=8〔千克〕8千克的一半是4千克，4千克的一半是2千克。由甲桶向乙、丙兩桶倒完油后，乙、丙兩桶分別有油16千克，28千克，由此可推出乙、丙兩桶原來(lái)分別有油：16-2=14〔千克〕28-2=26〔千克〕答略。第十六講倍比法解應(yīng)用題時(shí)，先求出題中兩個(gè)對(duì)應(yīng)的同類數(shù)量的倍數(shù)，再通過(guò)“倍數(shù)〞去求未知數(shù)，這種解題的方法稱為倍比法?！惨弧秤帽侗确ń鈿w一問(wèn)題可以用倍比法解答的應(yīng)用題一般都可以用歸一法來(lái)解〔除不盡時(shí)，可以用分?jǐn)?shù)、小數(shù)來(lái)表示〕，但用倍比法解答要比用歸一法簡(jiǎn)便。實(shí)際上，倍比法是歸一法的特殊形式。為計(jì)算方便，在整數(shù)范圍內(nèi)，如果用歸一法除不盡時(shí)，可以考慮用倍比法來(lái)解。反之，運(yùn)用倍比法除不盡時(shí)，也可以考慮改用歸一法來(lái)解。要根據(jù)題目中的具體條件，選擇最正確解法。例1一臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地175畝。照這樣計(jì)算，這臺(tái)拖拉機(jī)15天可以耕地多少畝？〔適于三年級(jí)程度〕解：這道題實(shí)質(zhì)上是歸一問(wèn)題。要求15天耕地多少畝，只要先求出每天耕地多少畝就行了。但175不能被3整除，所以在整數(shù)范圍內(nèi)此題不便用歸一法來(lái)解。因題目中的同一類數(shù)量〔兩個(gè)天數(shù)〕之間成倍數(shù)關(guān)系〔15天是3天的5倍〕，并且拖拉機(jī)的工作效率又相同，所以另一類量〔兩個(gè)耕地畝數(shù)〕之間也必然有相同的倍數(shù)關(guān)系〔15天耕地畝數(shù)也應(yīng)是3天耕地畝數(shù)的5倍〕。先求15天是3天的幾倍：15÷3=5〔倍〕再求175畝的5倍是多少畝：175×5=875〔畝〕綜合算式：175×〔15÷3〕＝175×5＝875〔畝〕答：15天可以耕地875畝。例23臺(tái)拖拉機(jī)一天耕地40畝。要把160畝地在一天內(nèi)耕完，需要多少臺(tái)同樣的拖拉機(jī)？〔適于三年級(jí)程度〕解：先求出160畝是40畝的幾倍：160÷40=4〔倍〕再求耕160畝地需要多少臺(tái)同樣的拖拉機(jī)：3×4=12〔臺(tái)〕綜合算式：3×〔160÷40〕=3×4=12〔臺(tái)〕例3工廠運(yùn)來(lái)52噸煤，先用其中的13噸煉出9750千克焦炭。照這樣計(jì)算，剩下的煤可以煉出多少千克焦炭？〔適于四年級(jí)程度〕用歸一法解：先求出每噸煤可煉出多少千克焦炭，再求出剩下的煤可以煉多少千克焦炭：9750÷13×〔52-13〕=750×39=29250〔千克〕用倍比法解：先求出52噸里有幾個(gè)13噸，然后去掉已煉的一個(gè)13噸，得：9750×〔52÷13-1〕=29250〔千克〕答略。例4某糧食加工廠，3臺(tái)磨粉機(jī)6小時(shí)磨小麥1620千克。照這樣計(jì)算，5臺(tái)磨粉機(jī)8小時(shí)可以磨小麥多少千克？〔適于五年級(jí)程度〕用歸一法解：1620÷3÷6×5×8=540÷6×5×8=90×5×8=3600〔千克〕用倍比法解：把一臺(tái)磨粉機(jī)工作1小時(shí)看作一個(gè)新的量--1臺(tái)小時(shí)，3臺(tái)磨粉機(jī)工作6小時(shí)，就是3×6臺(tái)小時(shí)，5臺(tái)磨粉機(jī)工作8小時(shí)，就是5×8臺(tái)小時(shí)。只要求出5×8臺(tái)小時(shí)是3×6臺(tái)小時(shí)的幾倍，那么5臺(tái)磨粉機(jī)8小時(shí)磨的小麥就是1620千克小麥的幾倍。答略。例5甲、乙兩輛車分別從東、西兩城同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，4小時(shí)后相遇，相遇后甲車再經(jīng)過(guò)2小時(shí)到達(dá)西城。求乙車再經(jīng)過(guò)幾小時(shí)可以到達(dá)東城？〔適于五年級(jí)程度〕解：用圖16-1表示題中的數(shù)量關(guān)系?？磮D16-1中兩車相遇點(diǎn)右側(cè)的路程，甲、乙所走的路程一樣長(zhǎng)。但走這段路，甲用了2小時(shí)，乙卻用了4小時(shí)。就是說(shuō)，走同樣的路程時(shí)，乙用的時(shí)間是甲的4÷2=2倍。再看相遇點(diǎn)左側(cè)的路程，甲走這段路程用了4小時(shí)，因?yàn)樽咄瑯娱L(zhǎng)的路程時(shí)乙用的時(shí)間是甲的2倍，所以，乙由相遇點(diǎn)到達(dá)東城的時(shí)間是4小時(shí)的2倍。4×〔4÷2〕=8〔小時(shí)〕答：乙車再過(guò)8小時(shí)可以到達(dá)東城。〔二〕用倍比法解工程問(wèn)題用倍比法解工程問(wèn)題，不用設(shè)總工作量為“1〞，學(xué)生較易理解，尤其是解某些較復(fù)雜的工程問(wèn)題，用倍比法解比擬簡(jiǎn)捷。例1一項(xiàng)工程，由甲工程隊(duì)修建，需要20天完成；由乙工程隊(duì)修建，需要30天完成。兩隊(duì)合修需要多少天完成？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)榧坠こ剃?duì)修建20天的工作量相當(dāng)于乙工程隊(duì)修建30天的工作在把乙隊(duì)30天的工作量看作總工作量時(shí)，乙隊(duì)一天修的工作量是1，那么=12〔天〕答略。例2一件工作單獨(dú)由一個(gè)人完成，甲要用8小時(shí)，乙要用12小時(shí)。假設(shè)甲先單獨(dú)做5小時(shí)，剩下的由乙單獨(dú)做完，那么乙需要做多少小時(shí)？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)榧?小時(shí)的工作量相當(dāng)于乙12小時(shí)的工作量，所以，甲1小時(shí)作量，剩下的便是乙單獨(dú)做完這項(xiàng)工作所需要的時(shí)間：在把甲8小時(shí)的工作量看作工作總量時(shí)，甲1小時(shí)的工作量是1，那么乙答略。例3某工程由甲、乙兩隊(duì)合做12天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合做4天后，余下的再由甲隊(duì)單獨(dú)做10天可以完成。問(wèn)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？〔適于六年級(jí)程度〕解：甲、乙兩隊(duì)合做4天后，再共同完成剩下的工作量，需要的天數(shù)是12-4=8〔天〕。這8天的工作量是甲、乙需合做8天才能完成的工作量。這8天的工作量，甲單獨(dú)做10天完成，就是說(shuō)，甲、乙合做1天的工作〔天〕，再加上后來(lái)甲單獨(dú)工作的10天，便可得到甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要的天數(shù)：答略。例4一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做15天完成?，F(xiàn)在先由乙隊(duì)做假設(shè)干天后，甲再參加，4天就做完了。那么乙先單獨(dú)做了多少天？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)檫@項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，而甲只做了4天，所以10-4=6〔天〕，這6天的工作量是由乙做的。而乙1天的工作量是甲1天工作量的去掉乙后來(lái)與甲合做的4天，便得到乙先頭單獨(dú)做的天數(shù)：答略。*例5甲、乙兩人同做一件工作，甲做4天的工作量，等于乙做3天的工作量，假設(shè)由甲單獨(dú)做這項(xiàng)工作需要12天完成。現(xiàn)在甲、乙兩人合做4天后，剩下的工作由乙單獨(dú)做需要幾天完成？〔適于六年級(jí)程度〕把甲單獨(dú)做12天完成的工作量看作工作總量，從工作總量中減去甲、乙合做的工作量，剩下的就是乙單獨(dú)做的工作量。再把剩下的工作量除以乙1天的工作量，即得到剩下的工作由乙單獨(dú)做需要幾天完成。答略。答略。第十七講逆推法小朋友在玩“迷宮〞游戲時(shí)，在縱橫交錯(cuò)的道路中常常找不到出口。有些聰明的小朋友，反其道而行之，從出口倒回去找入口，然后再沿著自己走過(guò)的路返回來(lái)。由于從出口返回時(shí)，途徑單一，很快就會(huì)找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宮〞自然就不難了。解應(yīng)用題也是這樣，有些應(yīng)用題用順向推理的方法很難解答，如果從問(wèn)題的結(jié)果出發(fā)，從后往前逐步推理，問(wèn)題就很容易得到解決了。這種從條件或問(wèn)題反過(guò)去想而尋求解題途徑的方法，叫做逆推法。用逆推法解應(yīng)用題列算式時(shí)，經(jīng)常要根據(jù)加減互逆，乘除互逆的關(guān)系，把原題中的加用減算，減用加算；把原題中的乘用除算，除用乘算?！惨弧硰慕Y(jié)果出發(fā)逐步逆推例1一個(gè)數(shù)除以4，再乘以2，得16，求這個(gè)數(shù)?！策m于四年級(jí)程度〕解：由最后再乘以2得16，可看出，在沒(méi)乘以2之前的數(shù)是：16÷2=8在沒(méi)除以4之前的數(shù)是：8×4=32答：這個(gè)數(shù)是32。*例2糧庫(kù)存有一批大米，第一天運(yùn)走450千克，第二天運(yùn)進(jìn)720千克，第三天又運(yùn)走610千克，糧庫(kù)現(xiàn)有大米1500千克。問(wèn)糧庫(kù)原來(lái)有大米多少千克？〔適于四年級(jí)程度〕解：由現(xiàn)有大米1500千克，第三天運(yùn)走610千克，可以看出，在沒(méi)運(yùn)走610千克之前，糧庫(kù)中有大米：1500+610=2110〔千克〕在沒(méi)運(yùn)進(jìn)720千克之前，糧庫(kù)里有大米：2110-720=1390〔千克〕在沒(méi)運(yùn)走450千克之前，糧庫(kù)里有大米：1390+450=1840〔千克〕答：糧庫(kù)里原來(lái)有大米1840千克。*例3某數(shù)加上9后，再乘以9，然后減去9，最后再除以9，得9。問(wèn)這個(gè)數(shù)原來(lái)是多少？〔適于四年級(jí)程度〕解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的數(shù)是：9×9=81在減去9之前的數(shù)是：81+9=90在乘以9之前的數(shù)是：90÷9=10在加上9之前，原來(lái)的數(shù)是：10-9=1答：這個(gè)數(shù)原來(lái)是1。*例4解放軍某部進(jìn)行軍事訓(xùn)練，方案行軍498千米，頭4天每天行30千米，以后每天多行12千米。求還要行幾天？〔適于五年級(jí)程度〕解：從最后一個(gè)條件“以后每天多行12千米〞可求出，以后每天行的路程是：30+12=42〔千米〕從頭4天每天行30千米，可求出已行的路程是：30×4=120〔千米〕行完4天后剩下的路程是：498-120=378〔千米〕還要行的天數(shù)是：378÷42=9〔天〕綜合算式：〔498-30×4〕÷〔30+12〕=378÷42=9〔天〕答略。*例5倉(cāng)庫(kù)里原有化肥假設(shè)干噸。第一次取出全部化肥的一半多30噸，第二次取出余下的一半少100噸，第三次取出150噸，最后剩下70噸。這批化肥原來(lái)是多少噸？〔適于五年級(jí)程度〕解：從“第三次取出150噸，最后剩下70噸〞可看出，在第三次取出之前倉(cāng)庫(kù)里有化肥：70+150=220〔噸〕假定第二次取出余下的一半，而不是少100噸，那么第二次取出后，倉(cāng)庫(kù)剩下化肥：220-100=120〔噸〕第二次取出之前，倉(cāng)庫(kù)中有化肥：120×2=240〔噸〕假定第一次正好取出一半，而不是多30噸，那么第一次取出一半后，倉(cāng)庫(kù)里剩下化肥：240+30=270〔噸〕倉(cāng)庫(kù)中原有化肥的噸數(shù)是：270×2=540〔噸〕綜合算式：[〔150+70-100〕×2+30]×2=[120×2+30]×2=270×2=540〔噸〕答略。共有多少本圖書(shū)？有科普讀物多少本？〔適于六年級(jí)程度〕解：最后一個(gè)條件是“少兒讀物是630本〞，由于科普讀物和文藝讀物所以，這個(gè)書(shū)架上共有書(shū)：有科普讀物：答略?！捕辰柚€段圖逆推*例1有一堆煤，第一次運(yùn)走一半多10噸，第二次運(yùn)走余下的一半少3噸，還剩下25噸。問(wèn)這堆煤原來(lái)是多少噸〔適于五年級(jí)程度〕解：作圖17-1〔見(jiàn)下頁(yè)〕。從圖17-1可看出，余下的一半是：25-3=22所以，余下的煤是：22×2=44〔噸〕全堆煤的一半是：44+10=54〔噸〕原來(lái)這堆煤是：54×2=108〔噸〕答略。*例2服裝廠第一車間的人數(shù)占全廠人數(shù)的25％，第二車間的人數(shù)比第個(gè)服裝廠共有多少人？〔適于六年級(jí)程度〕解：作圖17-2〔見(jiàn)下頁(yè)〕，用三條線段表示三個(gè)車間的人數(shù)。第二車間人數(shù)是：第一車間人數(shù)是：全廠人數(shù)是：150÷25％=600〔人〕綜合算式：〔三〕借助思路圖逆推例1某工程隊(duì)原方案12天修公路2880米，由于改良了工作方法，8天就完成了任務(wù)。問(wèn)實(shí)際比原方案每天多修多少米？〔適于四年級(jí)程度〕解：作思路圖〔圖17-3〕。求實(shí)際比原方案每天多修多少米，必須知道實(shí)際每天修多少米和原方案每天修多少米。求實(shí)際每天修多少米，就要知道公路的長(zhǎng)和實(shí)際修完的天數(shù)。實(shí)際每天修的米數(shù)是：2880÷8=360〔米〕求原方案每天修多少米，就要知道公路的長(zhǎng)和原方案要修的天數(shù)。原方案每天修的米數(shù)是：2880÷12=240〔米〕實(shí)際比原方案每天多修的米數(shù)是：360-240=120〔米〕答略。*例2某機(jī)床廠去年每月生產(chǎn)機(jī)床5臺(tái)，每月用去鋼材4000千克；今年每月生產(chǎn)的機(jī)床臺(tái)數(shù)是去年的4倍，平均每臺(tái)機(jī)床比去年少用鋼材200千克。今年每月用的鋼材是去年每月所用鋼材的幾倍？〔適于五年級(jí)程度〕解：作思路圖〔圖17-4〕。從圖17-4的下邊開(kāi)始看，逐步往上推理?！?〕去年每臺(tái)用鋼材多少？4000÷5=800〔千克〕〔2〕今年每臺(tái)用多少鋼材？800-200=600〔千克〕〔3〕今年每月生產(chǎn)多少臺(tái)？5×4=20〔臺(tái)〕〔4〕今年每月用多少鋼材？600×20=12000〔千克〕〔5〕今年每月用的鋼材是去年每月所用鋼材的幾倍？12000÷4000=3〔倍〕綜合算式：〔4000÷5-200〕×〔5×4〕÷4000=600×20÷4000=3〔倍〕答略。〔四〕借助公式逆推例1一個(gè)三角形的面積是780平方厘米，底是52厘米。問(wèn)高是多少？〔適于五年級(jí)程度〕解：計(jì)算三角形面積的公式是：面積=底×高÷2，逆推這個(gè)公式得：高=面積×2÷底所以，這個(gè)三角形的高是：780×2÷52=30〔厘米〕答略。例2求圖17-5平行四邊形中CD邊的長(zhǎng)?！矄挝唬豪迕住场策m于五年級(jí)程度〕解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是：BC×AE=6×3=18平行四邊形的面積也是：CD×AF=5CD所以，5CD=18CD=18÷5=3.6〔厘米〕答略。例3一個(gè)圓錐體的體積是84.78立方厘米，底面的直徑是6厘米。求它的高是多少?！策m于六年級(jí)程度〕解：底面圓的直徑是6厘米，那么半徑就是3厘米。由V=1/3πR2h逆推得：h=V×3÷π÷R2因此，它的高是：84.78×3÷3.14÷32=254.34÷3.14÷32=9〔厘米〕答略。〔五〕借助假設(shè)法逆推解：假設(shè)取出存款后沒(méi)有買書(shū)櫥，那么150元是取出的錢(qián)的：取出的錢(qián)是：150×3=450〔元〕老張?jiān)械拇婵钍牵?50×4=1800〔元〕答略。例2供銷社分配給甲、乙、丙三個(gè)鄉(xiāng)假設(shè)干噸化肥。甲鄉(xiāng)分得總數(shù)的一半少2噸，乙鄉(xiāng)分得剩下的一半又多半噸，最后剩下的8噸分給丙鄉(xiāng)。問(wèn)原來(lái)共有化肥多少噸？〔適于六年級(jí)程度〕解：假設(shè)乙鄉(xiāng)分得剩下一半，而不是又多半噸，那么乙鄉(xiāng)分走后剩下的化肥是：乙鄉(xiāng)分走前的化肥是：假設(shè)甲鄉(xiāng)分得總數(shù)的一半，而不是少2噸，那么甲鄉(xiāng)分走化肥：17-2=15〔噸〕這15噸正好是原有化肥噸數(shù)的一半，所以原來(lái)共有化肥：15×2=30〔噸〕綜合算式：答略?！擦辰柚鷮?duì)應(yīng)法逆推所以，食堂原來(lái)有大米：綜合算式：答略。所以，第一天耕地后余下的畝數(shù)是：25+3=28〔畝〕28畝所對(duì)應(yīng)的分率是：綜合算式：答略。第十八講圖解法圖形是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，也是數(shù)學(xué)思維和表達(dá)的工具。在解容許用題時(shí)，如果用圖形把題意表達(dá)出來(lái)，題中的數(shù)量關(guān)系就會(huì)具體而形象。圖形可起到啟發(fā)思維、支持思維、喚起記憶的作用，有利于盡快找到解題思路。有時(shí)，作出了圖形，答案便在圖形中?！惨弧呈疽鈭D示意圖是為了說(shuō)明事物的原理或具體輪廓而繪成的略圖。小學(xué)數(shù)學(xué)中的示意圖簡(jiǎn)單、直觀、形象，使人容易理解圖中的數(shù)量關(guān)系。例1媽媽給兄弟二人每人10個(gè)蘋(píng)果，哥哥吃了8個(gè)，弟弟吃了5個(gè)。誰(shuí)剩下的蘋(píng)果多？多幾個(gè)？〔適于四年級(jí)程度〕解：作圖18-1。哥哥吃了8個(gè)后，剩下蘋(píng)果：10-8=2〔個(gè)〕弟弟吃了5個(gè)后，剩下蘋(píng)果：10-5=5〔個(gè)〕弟弟剩下的蘋(píng)果比哥哥的多：5-2=3〔個(gè)〕答：弟弟剩下的蘋(píng)果多，比哥哥的多3個(gè)。例2一桶煤油，倒出40％，還剩18升。這桶煤油原來(lái)是多少升？〔適于六年級(jí)程度〕解：作圖18-2。從圖中可看出，倒出40％后，還剩：1-40％=60％這60％是18升所對(duì)應(yīng)的百分率，所以這桶油原來(lái)的升數(shù)是：18÷60％=30〔升〕答略。例3把2米長(zhǎng)的竹竿直立在地面上，量得它的影長(zhǎng)是1.8米，同時(shí)量得電線桿的影長(zhǎng)是5.4米。這根電線桿地面以上局部高多少米？〔適于六年級(jí)程度〕解：根據(jù)題意畫(huà)出如圖18-3〔見(jiàn)下頁(yè)〕的示意圖。同一時(shí)間，桿長(zhǎng)和影長(zhǎng)成正比例。設(shè)電線桿地面以上局部的高是x米，得：1.8∶5.4=2∶x答略?！捕尘€段圖線段圖是以線段的長(zhǎng)短表示數(shù)量的大小，以線段間的關(guān)系反映數(shù)量間關(guān)系的一種圖形。在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中線段圖是使用最多、最方便的一種圖形。例1王明有15塊糖，李平的糖是王明的3倍。問(wèn)李平的糖比王明的糖多多少塊？〔適于三年級(jí)程度〕解：作圖18-4〔見(jiàn)下頁(yè)〕。從圖18-4可看出，把王明的15塊糖看作1份數(shù)，那么李平的糖就是3份數(shù)。李平比王明多的份數(shù)是：3-1=2〔份〕李平的糖比王明的糖多：15×2=30〔塊〕綜合算式：15×〔3-1〕=15×2=30〔塊〕答略。例2托爾斯泰是俄羅斯偉大作家，享年82歲。他在19世紀(jì)中度過(guò)的時(shí)間比在20世紀(jì)中度過(guò)的時(shí)間多62年。問(wèn)托爾斯泰生于哪一年？去世于哪一年？〔適于四年級(jí)程度〕解：作圖18-5。從圖18-5可看出，他在20世紀(jì)度過(guò)的時(shí)間是：〔82-62〕÷2＝20÷2=10〔年〕由此看出，他死于1910年。他出生的時(shí)間是：1910-82=1828〔年〕答略。解：作圖18-6。綜合算式：答略?！踩乘悸穲D小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多應(yīng)用題，需要用綜合法或分析法分析解答。如果把思維的過(guò)程用文字圖形表示出來(lái)，就有助于正確選擇數(shù)量，提出中間問(wèn)題，理清數(shù)量關(guān)系，從而順利解題。這種表示思維過(guò)程的圖形就是思路圖。例題參見(jiàn)前面的分析法和綜合法?！菜摹痴叫螆D借助正方形圖解應(yīng)用題，就是以正方形的邊長(zhǎng)、面積表示應(yīng)用題中的數(shù)量，使應(yīng)用題數(shù)量之間的關(guān)系具體而明顯地呈現(xiàn)出來(lái)，從而到達(dá)便于解題的目的。例1農(nóng)民張成良，把自己承包的土地的一半種了玉承包了多少公頃土地？〔適于四年級(jí)程度〕解：根據(jù)題意作圖18-7。所以，他承包的土地是：2×8=16〔公頃〕答略。例2有大小兩個(gè)正方形，其中大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形的邊長(zhǎng)多4厘米，面積比小正方形的面積大96平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？〔適于六年級(jí)程度〕解：求大、小正方形的面積，應(yīng)知道大、小正方形的邊長(zhǎng)，但題中沒(méi)有說(shuō)，也不好直接求出來(lái)。借助畫(huà)圖形的方法可輕易解決這個(gè)問(wèn)題。根據(jù)題意作圖18-8。圖中大正方形ABCD的面積比小正方形的面積大96平方厘米。這96平方厘米的面積是由兩個(gè)長(zhǎng)方形a及比長(zhǎng)方形還小的正方形c構(gòu)成。從96平方厘米減去正方形c的面積，再除以2就可求出長(zhǎng)方形a的面積?！?6-4×4〕÷2=40〔平方厘米〕因?yàn)殚L(zhǎng)方形a的寬是4厘米，所以長(zhǎng)方形a的長(zhǎng)是：40÷4=10〔厘米〕因?yàn)?0厘米也是小正方形的邊長(zhǎng)，所以小正方形的面積是：10×10=100〔平方厘米〕大正方形的邊長(zhǎng)是：4+10=14〔厘米〕大正方形的面積是：14×14=196〔平方厘米〕答略?！参濉抽L(zhǎng)方形圖借助長(zhǎng)方形圖解應(yīng)用題，是以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示一種數(shù)量，以長(zhǎng)方形的寬表示另一種數(shù)量，以長(zhǎng)方形的面積表示這兩種數(shù)量的積。它能把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體形象的面積來(lái)計(jì)算問(wèn)題。*例1甲、乙兩名工人做機(jī)器零件，每天甲比乙多做10個(gè)?，F(xiàn)在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500個(gè)零件。問(wèn)甲、乙兩人每天各做多少個(gè)零件？〔適于五年級(jí)程度〕解：根據(jù)題意作圖18-9〔見(jiàn)下頁(yè)〕。圖18-9中，以左邊長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示甲工作15天，以左邊長(zhǎng)方形的寬表示甲每天做多少個(gè)；以右邊長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示乙工作12天，以右邊長(zhǎng)方形的寬表示乙每天做多少個(gè)。圖中右上角那個(gè)長(zhǎng)方形的寬表示甲每天比乙多做10個(gè)，所以，乙在12天中比甲少做零件：10×12=120〔個(gè)〕圖中全部陰影局部的面積表示甲、乙共做的零件1500個(gè)。從圖18-9可以看出，整個(gè)大長(zhǎng)方形面積所表示的零件的個(gè)數(shù)是：1500+120=1620〔個(gè)〕這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示甲、乙共同工作的天數(shù)：15+12=27〔天〕因?yàn)榇箝L(zhǎng)方形的寬表示甲每天做零件的個(gè)數(shù)，所以甲每天做零件的個(gè)數(shù)是：1620÷27=60〔個(gè)〕乙每天做零件的個(gè)數(shù)是：60-10=50〔個(gè)〕答略。*例2某商店賣出蘋(píng)果、鴨梨和桔子共25筐，其中鴨梨的筐數(shù)是桔子筐數(shù)的2倍。蘋(píng)果每筐賣90元，鴨梨每筐賣72元，桔子每筐賣60元，共賣得1854元。問(wèn)賣出蘋(píng)果、鴨梨和桔子各多少筐？〔適于六年級(jí)程度〕解：根據(jù)題意作圖18-10。圖18-10中陰影局部表示，如果25筐都是蘋(píng)果，那么所造成的差價(jià)是：90×25-1854=396〔元〕每賣出1筐桔子、2筐鴨梨、3筐蘋(píng)果的差價(jià)是：〔90-72〕×2+〔90-60〕=36+30=66〔元〕因此，桔子的筐數(shù)是：396÷66=6〔筐〕鴨梨的筐數(shù)是：6×2=12〔筐〕蘋(píng)果的筐數(shù)是：25-6-12=7〔筐〕答略?！擦硹l形圖條形圖是把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)畫(huà)得比擬長(zhǎng)，把長(zhǎng)方形的寬畫(huà)得比擬短的一種圖形。條形圖一般以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示數(shù)量。條形圖可以畫(huà)成豎的，也可以畫(huà)成橫的。題中不同的數(shù)量可用不同的陰影線或不同的顏色表示。題中的數(shù)量可寫(xiě)在長(zhǎng)方形內(nèi)，也可寫(xiě)在長(zhǎng)方形外面。條形圖比線段圖更直觀一些，在用來(lái)解某些應(yīng)用題時(shí)效果要比線段圖好。噸后，兩場(chǎng)所剩煤的數(shù)量相等。甲、乙兩個(gè)煤場(chǎng)原來(lái)各存煤多少噸？〔適于六年級(jí)程度〕解：作圖18-11。從圖中可看出，從875噸中減去75噸后，甲煤場(chǎng)的煤就相當(dāng)于乙煤場(chǎng)煤的3倍，兩個(gè)煤場(chǎng)所存煤共分為4份。其中一份是：〔875-75〕÷〔3+1〕＝800÷4=200〔噸〕乙煤場(chǎng)原來(lái)的存煤噸數(shù)是：200+75=275〔噸〕甲煤場(chǎng)原來(lái)存煤的噸數(shù)是：200×3=600〔噸〕答略。解：作圖18-12。但是，實(shí)際上是運(yùn)出125噸。這140噸比實(shí)際運(yùn)出的多：140-125=15〔噸〕所以15噸所對(duì)應(yīng)的分率是：甲庫(kù)原來(lái)的存糧噸數(shù)是：420-180=240〔噸〕答略。*例3一組割草人要把大、小兩塊草地的草割掉，其中大塊草地的面積是小塊草地面積的2倍。全體組員用半天的時(shí)間割大塊草地的草。下午一半的組員仍停留在大塊草地上割，另一半到小塊草地上割。到黃昏時(shí)，大塊草地的草全部割完，而小塊草地還剩下一小塊。這剩下的一小塊，第二天一個(gè)人用一天的時(shí)間就割完了。這組割草的一共有多少人？〔適于六年級(jí)程度〕全體組員割一個(gè)上午后，一半的組員又割一個(gè)下午就把大塊地的草割完，這就是說(shuō)，要是用一半的組員單獨(dú)割大塊草地的草，就要用3個(gè)半天，而在這剩下的一小塊是大塊草地的：這就是說(shuō)，6個(gè)人一天可以把大塊草地割完，一個(gè)人一天割大塊地的答略?！财摺硤A形圖借助圓形圖解應(yīng)用題，是以圓的面積或周長(zhǎng)表示題中的數(shù)量，并在圓周內(nèi)、外標(biāo)上數(shù)字、符號(hào)，從而到達(dá)便于分析數(shù)量關(guān)系的目的。例1甲、乙兩個(gè)學(xué)生同時(shí)從同一起點(diǎn)沿著一個(gè)環(huán)形跑道相背而跑。甲每秒鐘跑8米，乙每秒鐘跑7米，經(jīng)過(guò)20秒鐘兩人相遇。求環(huán)形跑道的周長(zhǎng)?！策m于五年級(jí)程度〕解：作圖18-14。從圖中可看出，甲、乙兩人跑的路程的總和就是圓的周長(zhǎng)。根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=相遇路程〞，可求出環(huán)形跑道的周長(zhǎng)：〔7+8〕×20=300〔米〕答略。問(wèn)這塊土地有多少公傾？〔適于六年級(jí)程度〕解：作圖18-15。從圖中可看出，第二天耕完這塊土地的：例3有三堆棋子，這三堆棋子所含棋子的個(gè)數(shù)一樣多，且都只有黑、白兩色棋子。第一堆里的黑子與第二堆的白子一樣多，第棋子的幾分之幾？〔適于六年級(jí)程度〕解：作圖18-16。從圖中可看出，把第一堆里的黑子與第二堆里的白子交換，那么第一堆全是白子，第二堆全是黑子。因?yàn)榈谝欢雅c第二堆的棋子數(shù)相同，所以第一堆的白子數(shù)與第二堆的黑所以，白子占全部棋子的：*例4甲、乙兩人同時(shí)從環(huán)形路的同一點(diǎn)出發(fā)，同向環(huán)行。甲每分鐘走70米，乙每分鐘走46米。環(huán)形路的長(zhǎng)是300米。他們出發(fā)后，在1小時(shí)20分里相會(huì)幾次？到1小時(shí)20分時(shí)兩人的最近距離是多少米？〔適于五年級(jí)程度〕解：作圖18-17。甲、乙二人1分鐘的速度差是：70-46=24〔米〕由二人出發(fā)到第一次相會(huì)所需的時(shí)間是：300÷24=12.5〔分〕1小時(shí)20分鐘即為80分鐘。80分鐘內(nèi)包含幾個(gè)12.5分鐘，二人即相會(huì)幾次。80分鐘內(nèi)包括6個(gè)12.5分鐘，還多5分鐘，即二人相會(huì)6次。由于第六次相會(huì)后還走5分鐘，所以甲乙之間相隔：24×5=120〔米〕此時(shí)，甲、乙之間還有一個(gè)距離是：300-120=180〔米〕180＞120米答：在1小時(shí)20分鐘里兩人相會(huì)6次；到1小時(shí)20分鐘時(shí)，兩人的最近距離是120米?！舶恕橙旧珗D在圖中用不同的顏色表示不同的內(nèi)容或不同的數(shù)量，以利于解題的圖形叫染色圖。染色圖是解決數(shù)學(xué)題和智力題常用的一種圖形。*例1圖18-18是某湖泊的平面圖，圖中的所有曲線都表示湖岸。某人從岸邊A點(diǎn)到B點(diǎn)至少要趟幾次水？B點(diǎn)是在水中還是在岸上？〔適于高年級(jí)程度〕解：這個(gè)問(wèn)題好似很難解答。但我們按“圖中所有曲線都是表示湖岸〞的條件，將湖面染上色，湖岸局部就顯示出來(lái)了，答案也就一目了然了〔圖18-19〕。答：他至少要趟3次水才能到達(dá)B處，B點(diǎn)在湖岸上。*例2如圖18-20，某展覽館有36個(gè)展室，每?jī)蓚€(gè)相鄰展室之間均有門(mén)相通。問(wèn)你能否從圖中入口進(jìn)去，不重復(fù)地參觀完每個(gè)展室后，再?gòu)某隹谔幊鰜?lái)？〔適于高年級(jí)程度〕解：作圖18-21。把圖中36個(gè)方格相間地染上黑色。因入口處是白格，參觀時(shí)假設(shè)依順序?qū)⒄故揖幪?hào)，那么進(jìn)入第奇數(shù)號(hào)展室時(shí)，應(yīng)是白格位置；進(jìn)第偶數(shù)號(hào)展室應(yīng)是黑格。即應(yīng)按白→黑→白→黑→……順序交替參觀。參觀者最后離開(kāi)的是第36號(hào)展室，它是偶數(shù)，按上面的分析它應(yīng)是黑格，但圖中實(shí)際為白色方格。這說(shuō)明題中要求的參觀方式是不可能實(shí)現(xiàn)的。答略。*例3將圖18-22矩形ABCD的一邊AD分成6小段，其中線段1+線段3+線段5=線段2+線段4+線段6。連結(jié)對(duì)角線BD，用紅〔圖中用橫線表示〕、藍(lán)〔圖中用堅(jiān)線表示〕兩色將圖形分別染色。問(wèn)圖中染紅色局部面積與染藍(lán)色局部面積哪個(gè)大？〔適于高年級(jí)程度〕解：此題利用三角形、梯形面積公式可算出結(jié)果，但較麻煩。用染色的方法解此題比擬簡(jiǎn)捷。先將圖中BD線左下面的空白處染上黑色，用S紅、S藍(lán)、S黑分別表示染紅、藍(lán)、黑三種顏色圖形的面積〔圖18-23〕。從圖18-23很容易看到：另外，S藍(lán)+S黑等于3個(gè)小矩形面積的和，而它恰好等于矩形ABCD面積的一半，即：這就是說(shuō)：S紅+S黑=S藍(lán)+S黑從上面算式的兩邊同時(shí)減去S黑，得：S紅=S藍(lán)答：圖中染紅色局部的面積與染藍(lán)色局部的面積一樣大。*例4圖18-24的圖形是從4×4的正方形紙上剪去兩個(gè)1×1的小方紙片后得到的。它們的面積都是14。假設(shè)把它們剪成1×2的小矩形，最多能剪幾個(gè)？為什么？〔適于高年級(jí)程度〕解：圖18-24的三個(gè)圖形除了〔1〕可以剪出7個(gè)1×2的小矩形外，〔2〕、〔3〕不管怎么剪，至多都只能剪出6個(gè)來(lái)。原因是：分別用黑白兩色對(duì)圖形〔1〕、〔2〕、〔3〕相間地涂色〔圖18-25〕。從它們上面剪下來(lái)的每一個(gè)小矩形都由兩個(gè)相鄰的小方格組成，這兩個(gè)小方格上涂有