江蘇省揚州名校2022年高考數(shù)學全真模擬密押卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”,

亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）?類比“趙

爽弦圖”.可類似地構造如下圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角

形.設。尸=2AF=2,若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形（陰影部分）的概率是（）

2.函數(shù)/(幻=以+,在(2,+8)上單調遞增，則實數(shù)”的取值范圍是()

x

C[「11ri(1

A.-,+ooB.-,+ooC.D.-oo,-

U)L4)I4

3.某中學2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍，為了更好地對比該校考生的升學情況，統(tǒng)計了該

校2016年和2019年的高考情況，得到如圖柱狀圖:

2016年高考數(shù)據(jù)統(tǒng)計2019年高考數(shù)據(jù)統(tǒng)計

則下列結論正確的是（）.

A.與2016年相比，2019年不上線的人數(shù)有所增加

B.與2016年相比，2019年一本達線人數(shù)減少

C.與2016年相比，2019年二本達線人數(shù)增加了0.3倍

D.2016年與2019年藝體達線人數(shù)相同

4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（）

A.6+2&B.6+272C.4+4及D.4+473

5.《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已

知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內隨機取一點，則此點取自

內切圓的概率是（）

717171

A.—B.—C.-D.一

12369

6.集合A={-2,-1,1},8={4,6,8},M={x|x=a+"Ae8,xe5},則集合加的真子集的個數(shù)是

A.1個B.3個C.4個D.7個

11

7.設復數(shù)Z[=1+1/2=l-i,則一+—=（）

Z]z2

A.1B.-1C.iD.-i

8.已知數(shù)列{a“}滿足4+402+76+...+（3〃-2）?！?4〃，則a2a3+4%+…+%%=（）

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的f=3,則輸出的z.=（）

A.9B.31C.15D.63

10.下列四個結論中正確的個數(shù)是

(1)對于命題〃：切)eR使得考-1W0,則都有/—I〉。；

(2)已知X?N(2,b?),貝I」P(X＞2)=0.5

(3)已知回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線方程為夕=2x-3；

(4)“xNl”是“x+，N2”的充分不必要條件.

x

A.1B.2C.3D.4

11.已知函數(shù)/(幻滿足當xWO時，2/(x-2)=/(%),且當xe(—2,0］時，/(x)=|x+l|-l；當了＞0時,

/(%)=log.x(。＞0且aH1).若函數(shù).f(x)的圖象上關于原點對稱的點恰好有3對，則。的取值范圍是()

A.(625,+QO)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

12.五行學說是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想，是華夏文明重要組成部分.古人認為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五

類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關系.若從5類元素中任選2類元素，則2

1

D.-

5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.正方體ABC。-AgG。的棱長為2,MN是它的內切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的

弦)，P為正方體表面上的動點，當弦MN的長度最大時，麗.西的取值范圍是.

14.已知關于x的不等式I-x-aln尤21對于任意工€(1,+8)恒成立，則實數(shù)"的取值范圍為

x

15.若［五一之］的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中各項的系數(shù)和是______

Ix)

16.已知函數(shù)/(%)=217%~<0)，則/(-2)=________；滿足/(x)>0的x的取值范圍為_______.

12-3x(%>0)

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=2mH-----

17.(12分)在平面直角坐標系xOy中，曲線。的參數(shù)方程為:(機為參數(shù))，以坐標點。為極點，x軸

y=2m------

、6m

TT

的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為ACOS(0+y)=1.

（I）求直線/的直角坐標方程和曲線C的普通方程；

（2）已知點M（2,0）,若直線/與曲線C相交于P、。兩點，求Z^+口島的值.

18.（12分）在平面直角坐標系直為中，以。為極點，X軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程

X=-2H---1

為夕=25皿。+2。85仇。＞0）；直線/的參數(shù)方程為｛2C為參數(shù)），直線/與曲線C分別交于”,N

y="r

兩點.

（i）寫出曲線。的直角坐標方程和直線/的普通方程；

（2）若點P的極坐標為（2,萬），\PM\+\PN\=5y[2,求。的值.

19.（12分）如圖1,A4DC與43。是處在同-個平面內的兩個全等的直角三角形，

ZACB=ZACD=30°ZABC=ZADC=90°?AB=2,連接是邊8c上一點，過E作EFI/BD,交CD

于點F,沿EF將ACE尸向上翻折，得到如圖2所示的六面體P-A8EED,

(1)求證：BD1AP;

____

（2）設5E=/lEC（/leR）,若平面PEF_L底面ABEFD，若平面Q43與平面尸＞。尸所成角的余弦值為手，求2的

值；

（3）若平面尸￡尸，底面ABEH）,求六面體的體積的最大值.

20.（12分）如圖，在四棱錐P-A」BCD中,四邊形A8CO是直角梯形，A8_L4。,他//8,尸。_1底面43。。

AB=2A。=28=4,PC=2a,E,是的中點.

B

(1).求證:平面E4C_L平面P8C；

(2).若二面角P-AC-E的余弦值為半，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.

21.（12分）在三棱柱ABC-中，AB=2,BC=BB]=4,AC=AB,=275,且NBCG=60°.

(1)求證：平面ABG，平面8CG4；

(2)設二面角C-AC-B的大小為。，求sin。的值.

1

x二—COS。

:］(。為參數(shù))，以原點。為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標系

22.(10分)曲線G的參數(shù)方程為

y=—+—sin(p

中，曲線G的極坐標方程為0cos2e=3sin6.

⑴求曲線C\的極坐標方程和曲線G的直角坐標方程;

⑵若直線/：丁=依與曲線G，G的交點分別為A、B(A、8異于原點)，當斜率丘［等,6］時，求1°川+血

的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)幾何概率計算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.

【詳解】

在AABD中，AD=3,BD=\,ZADB=120°,由余弦定理，得AB=[AD2+Blf-2AD?3Dcos120°=屈，

DF2

所以布=瓦.

所以所求概率為基處=(-=—.

S&ABC\'s/13)13

故選A.

【點睛】

本題考查了幾何概型的概率計算問題，是基礎題.

2.B

【解析】

對“分類討論，當函數(shù)f(x)在(0,+O單調遞減，當。〉0,根據(jù)對勾函數(shù)的性質，求出單調遞增區(qū)間，即可

求解.

【詳解】

當a40時，函數(shù)/(x)=or+，在(2,+8)上單調遞減，

x

1(1>

所以。>0,/(尤)=依+—的遞增區(qū)間是下,物，

X\y]a)

所以即

故選:B.

【點睛】

本題考查函數(shù)單調性，熟練掌握簡單初等函數(shù)性質是解題關鍵，屬于基礎題.

3.A

【解析】

設2016年高考總人數(shù)為x,則2019年高考人數(shù)為L2x,通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.

【詳解】

設2016年高考總人數(shù)為x,則2019年高考人數(shù)為L2x,2016年高考不上線人數(shù)為0.3x,

2019年不上線人數(shù)為1.2xx0.28=0.336x>0.3x,故A正確；

2016年高考一本人數(shù)0.3尤，2019年高考一本人數(shù)1.2xx0.26=0.312x>0.3x,故B錯誤；

2019年二本達線人數(shù)1.2xx0.4=0.48x,2016年二本達線人數(shù)0.34x,增加了

0.48x—0.34%

。0.41倍,故C錯誤;

0.34%

2016年藝體達線人數(shù)0.06x,2019年藝體達線人數(shù)1.2xx0.06=0.072%,故D錯誤.

故選：A.

【點睛】

本題考查柱狀圖的應用，考查學生識圖的能力，是一道較為簡單的統(tǒng)計類的題目.

4.C

【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.

【詳解】

解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P-ABC,

正方體的棱長為2,

該幾何體的表面積：

—x2x2+—x2x2+—x2x2^2+—x2x2>/2=4+40.

2222

故選C.

【點睛】

本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.

5.C

【解析】

利用直角三角形三邊與內切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公

式，即可求解.

【詳解】

由題意，直角三角形的斜邊長為廬萬=10,

AxQ

利用等面積法，可得其內切圓的半徑為r=----------=2,

6+8+10

nr_n

所以向次三角形內投擲豆子，則落在其內切圓內的概率為1=。=%.

—x6x8

2

故選：C

【點睛】

本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質，求得其內切圓的半徑

是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

6.B

【解析】

由題意，結合集合A,5,求得集合“，得到集合”中元素的個數(shù)，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，集合4={-2,-1,1},5={4,6,8},xeA,

則M={x|x=a+"xe3}={4,6},

所以集合M的真子集的個數(shù)為2?-1=3個，故選B.

【點睛】

本題主要考查了集合的運算和集合中真子集的個數(shù)個數(shù)的求解，其中作出集合的運算，得到集合加，再由真子集個數(shù)

的公式2"-1作出計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

7.A

【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算，代入化簡即可求解.

【詳解】

復數(shù)Z1=l+i,Z2=l—i,

11

貝!!一+一

Z|z2

11

=---------1---------

1+z1-z

1-z1+z

=-----------------------1-----------------------

(I+i)(j)(1-/)(1+O

1-z1+iI

=------1------=1

22

故選：A.

【點睛】

本題考查了復數(shù)的除法運算與化簡求值，屬于基礎題.

8.C

【解析】

利用（3〃-2）4的前〃項和求出數(shù)列｛（3〃-2）%｝的通項公式，可計算出凡，然后利用裂項法可求出

a2a3+。3a44---卜〃21%的值.

【詳解】

,.,6+4%+7%+???+（3〃-2）?！?4〃.

當〃=1時，4=4；

當場22時，由q+44+7%+???+(3〃-2”〃=4〃,

可得q+4ao+76+,??+(3〃-5)?=4(〃—1),

兩式相減，可得鹿故

(3—2)4=4,4=3r

3九一2

4

因為4=4也適合上式，所以%=------.

3〃一2

1616f11)

aa=9

依題意，n+\n2-/.I\/Q,A\VQ.1Q<A

+(3Q〃+l)(3〃+4)313〃+l3/2+4)

.16111111111、16(1

故出—+…+4%=可匕7+1歷+記-值+…+6-句=5匕

故選：C.

【點睛】

本題考查利用s“求勺，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.

9.B

【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結構的運算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結果.

【詳解】

執(zhí)行程序框，=3,i=0；/=8,z=1；t—23,i=3

t—68,j=7；t=203,i=15；t=608,4=31,

滿足f>606,退出循環(huán)，因此輸出i=31,

故選:B.

【點睛】

本題考查循環(huán)結構輸出結果，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.

10.C

【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質，即可

判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質和直線的點斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要

條件的判定方法，即可判定.

【詳解】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可知命題〃與不€/?使得其-140,則「〃：VxeR都有

f一1>0,是錯誤的；

（2）中，已知X~N（2,CT2）,正態(tài)分布曲線的性質，可知其對稱軸的方程為x=2,所以P（X>2）=0.5是正確的;

（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為（4,5）,由回歸直線方程的性質和直線的點斜式方程，可得

回歸直線方程為$=2x—3是正確；

（4）中，當工?1時，可得x+=2成立，當x2時，只需滿足x>0,所以“X之1”是22”

X，XXX

成立的充分不必要條件.

【點睛】

本題主要考查了命題的真假判定及應用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質、回歸直線方程的性

質，以及基本不等式的應用等知識點的應用，逐項判定是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于

基礎題.

11.C

【解析】

先作出函數(shù)/（x）在（-*0］上的部分圖象，再作出/（外=log“x關于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點

時滿足的條件，解之即可.

【詳解】

先作出函數(shù)/（X）在（-8,0］上的部分圖象，再作出了（X）=log"X關于原點對稱的圖象,

如圖所示，當0＜。＜1時，對稱后的圖象不可能與/（X）在（-8,0］的圖象有3個交點;

當。＞1時，要使函數(shù)fM關于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，

a＞1

-log”3〉-g,解得9＜QV625.

Tog“5＜一；

故選I：C.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題，考查學生數(shù)形結合的思想、轉化與化歸的思想，是一道中檔題.

12.A

【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結果共10種，其中2類元素相生的結果有5種，再根據(jù)古典概型概率公式

可得結果.

【詳解】

金、木、水、火、土任取兩類，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結果，

其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結果，

所以2類元素相生的概率為a=故選A.

102

【點睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數(shù)是解題的

關鍵，基本事件的探求方法有（1）枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；（2）樹狀圖法：適合于較

為復雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先（4，旦），（4，與）….（4,4）,

再（&,即,（%也）.....（&,紇）依次（4,4）（4出）....（4紇）...這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.[0,2]

【解析】

由弦的長度最大可知MN為球的直徑.由向量的線性運用所表示出麗.麗，即可由|所|范圍求得兩■.麗

的取值范圍.

【詳解】

連接PO,如下圖所示：

設球心為0,則當弦的長度最大時，為球的直徑，

由向量線性運算可知

PMPN=[pd+OM^{pd+ON^

+PO-ON+OMPO+OMON

=PO2+PO（ON+OM^+OM-ON

正方體ABC。-AA的棱長為2,則球的半徑為1,ON+OM=Q,OM-ON=,

所以司2+所.（麗+麗）+麗.麗

=所2-1，

而|叫

所以所,―le[0,2],

即同7.麗40,2]

故答案為：[0,2].

【點睛】

本題考查了空間向量線性運算與數(shù)量積的運算，正方體內切球性質應用，屬于中檔題.

14.(-oo,-3]

【解析】

x

eA-3lnx_,

先將不等式x-aln九21對于任意xw(L”)恒成立，轉化為④------口任意xe(l,+s)恒成立，設

A-Inx

x-31nx_

f(x)=-——士L求出/(X)在(1，+8)內的最小值卸可求出。的取值范圍.

Inx

【詳解】

解：由題可知，不等式《—X-alnxNl對于任意xw(l,+co)恒成立，

x

即了一“x-3ex-x-le-3'nxe'-x-lex-3'nx-x-l,

④--------------------=------------------------------=-----------------------------------=---------------------------------

InxInxInxInx

又因為xc(l,+8),Inx>0,

r-3lnx_i

.??凡......一對任意X￡(l,+8)恒成立，

Inx

x-3lnx_i

設￡——士A,其中xe(l,4w),

Inx

由不等式e'Nx+l，可得：e^3lnj>x-31nx+l,

cx3lnA—x—1x—31nx4-1—x—1

貝！l〃x)=--------------->----------------------=—o5f

InxInx

當x-31nx=()時等號成立，

又因為x-3Inx=0在(l,+8)內有解,

???"%,7

貝！而”=一3,即：a<-3,

所以實數(shù)。的取值范圍：(一叫一3].

故答案為：(-8,-3].

【點睛】

本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法和構造函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍，考查轉化思想和計算

能力.

15.1

【解析】

由題意得出展開式中共有U項，”=10；再令x=l求得展開式中各項的系數(shù)和.

【詳解】

由1“一看)的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，

所以展開式中共有11項，所以〃=10；

令x=l,可求得展開式中各項的系數(shù)和是：

(1-2嚴=1.

故答案為：1.

【點睛】

本小題主要考查二項式展開式的通項公式的運用，考查二項式展開式各項系數(shù)和的求法，屬于基礎題.

16.-(-oo,4)

4

【解析】

首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到了(-2),分x〉0和xWO兩種情況討論可得;

【詳解】

2r(x<0)

解：因為/(x)=,

12-3尤(X〉0)'

所以yq,

V/(x)>0,

...當x<0時，0</(%)=2*41滿足題意，，了《0；

當x>0時，由/(x)=12-3x>0,

解得x<4.綜合可知：滿足/。)>0的x的取值范圍為(-℃,4).

故答案為：—；(-8,4).

4

【點睛】

本題考查分段函數(shù)的性質的應用，分類討論思想，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1?1_3^3

17.(1)I：x-技—2=0,C方程為-x2--y2=l(2)

t\MP\\M\Q\丁

【解析】

(1)直接利用轉換關系，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.

(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用求出結果.

【詳解】

x=2m4------

⑴曲線。的參數(shù)方程為(機為參數(shù)),

「1

y=2m------

6m

33

兩式相加得到4/?2=x+y,進一步轉換為二/

44

直線，的極坐標方程為pcos(<?+—)=1,則「(cos夕cos色-sin8sin工)=1

333

轉換為直角坐標方程為x-A一2=0.

V3

x=2+

2

(2)將直線的方程轉換為參數(shù)方程為a為參數(shù)),

1

33

代入一-/=1得至！］3『+12?+16=0Qi和度為P、。對應的參數(shù)),

44

所以4+=-4有，4，=彳，

如“

1+1\MP\+\MQ\\t,+t2\373

\MP\\M\Q\\MP\\MQ\|r/2|4'

【點睛】

本題考查參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用，主要考查學生的運

算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

18.(1)曲線C的直角坐標方程為即(％-。)2+&-1)2=4+1,直線/的普通方程為y=x+2；(2)a=2.

【解析】

(1)利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，可得直線/的普通方程，極坐標方程兩邊同乘以「利用

p2=xi+y\pcosO=x,ps\nO=y即可得曲線C的直角坐標方程；(2)直線/的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方

程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達定理可得結果.

【詳解】

(1)由夕=2sin6+2acos6g>0),得夕？=2psin(9+2apeos6(a>0),

所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2^2y+2ax,

即(x—a)2+(y—l)2=/+i,直線/的普通方程為y=x+2.

f_oV2

⑵將直線/的參數(shù)方程十/代入必+：/=2/+2改并化簡、整理，

V=——t

[2

得/一(3及+后。>+4。+4=0.因為直線/與曲線C交于N兩點.

所以八=卜&+缶『一4(4a+4)>0,解得awl.

由根與系數(shù)的關系，得力+力=30+0。，/6=4。+4.

因為點P的直角坐標為(一2,0),在直線/上.所以忱制+|。叫=兒+4=3及+血。=5后，

解得。=2,此時滿足a〉0.且aw1,故a=2..

【點睛】

參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式(如cos?a+sii？。=1等三角恒等式)消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相

"222

X=PCQS0X+)_P

應的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關系式.八，y等可以把極坐標方程與直角坐標方

y=psin0—=tan0

.x

程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標方程，用直角坐標方程解決相應問題.

19.(1)證明見解析(2)2=-(3)也叵

49

【解析】

(1)根據(jù)折疊圖形，BD1AC,PNLBQ,由線面垂直的判定定理可得8D_L平面PAN,再根據(jù)APu平面PAN,

得到LAP.

(2)根據(jù)PNLEF,EF_LAC,以N為坐標原點，NA,NE,NP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，根據(jù)

AB=AD=2,BD=BC=2y[3,AM=1,CM=3,詼=九或可知，EF=^~,PN=CN=,表示相應同

1+A1+Z

|5-4H—-

的坐標，分別求得平面45尸與平面OEP的法向量，代入卜os(，〃，D=

石?J12+(44+iy5求解.

⑶設所求幾何體的體積為V，設CN=x(O<x<3)為高，則FN=^x,表示梯形8EF。和4ABD的面積由

2^+^Y~X(3-x)

1x2>/3xl=@(_/+]2*,再利用導數(shù)求最值.

【詳解】

(1)證明：不妨設防與AC的交點為MBD與AC的交點為加

由題知，CO=BC,N0CA=NBCA=3O",則有BOLAC

又BD//EF,則有EF_LAC.

由折疊可知，PN±￡￡所以可證PN±BD,

由ACcPN=N,ACu平面PAN,PNu平面PAN,

則有80_L平面PAN

又因為APu平面PAN,

所以BOLAP....

(2)解：依題意，有PN_LEF,平面在廣，平AB￡7Z)面，

又PNu平面PEF,

則有PN人平面ABEFD,PNYAC,又由題意知，EFA.AC

如圖所示：

F

以N為坐標原點，NA,NE,NP為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系

由題意知AB=AO=2,5。=3。=20,AM=1,CM=3

由布可知，

EF=4=CN3

則N(0,0,0),P(0,0,?手?,0,0

,A

1+4

4o],o壬,-6,o'

B--,V3,0,F0,-

1+4)I1+4)1+A)

則有/=卜*03昌-6島

，BP=

I1+丸1+4

叫。福島）麗十

設平面43P與平面DFP的法向量分別為加=（玉,y,Z］）,“=（w,%，z?）

一AP?沅=0-(42+l)x1+3z1=0-八石/2A

則有<=>,[-&3-(2+1)乂+后=。=〃'=(瘋)

BP-m=0

FPn=0回+3]。=>^(1,73,-1)

則__n<

DPn=0—Ax2—43(1+4)必+3z)=0

_|5-4勾=6

所以cos(m,n

6/2+(4幾+1丫5

因為/U（O,1）,解得/l=；

⑶設所求幾何體的體積為V,設CN=x（O<x<3）,

則FN=^x,

2Gxi

,.V=一身*2-4）=一等（》—2）（》+2）

二當0<x<2時，V'>0,當2<x<3時，V'<0

.?.V（x）在（0,2）是增函數(shù)，在（2,3）上是減函數(shù)

二當x=2時，V有最大值，

嘰邛（-8+12x2）=竽

六面體P-AEBED的體積的最大值是世亙

9

【點睛】

本題主要考查線線垂直，線面垂直，面面垂直的轉化，二面角的向量求法和空間幾何體的體積，還考查了轉化化歸的

思想和運算求解的能力，屬于難題.

6

20.（1）見解析；（2）—.

3

【解析】試題分析：（1）根據(jù)PC_L平面ABCD有PCLAC,利用勾股定理可證明故AC,平面P8C,

再由面面垂直的判定定理可證得結論；（2）在。點建立空間直角坐標系，利用二面角AC-￡的余弦值為在建

3

立方程求得PC=2,在利用法向量求得PA和平面EAC所成角的正弦值.

試題解析：(I)?.?PC_L平面平面

因為AB=4,AD=CO=2,所以4c=BC=&,所以AC2+8C2=AB2,所以AC_LBC,又3CcPC=C,所以

AC_L平面P8C.因為ACu平面E4C,所以平面E4C,平面PBC.

(H)如圖，

以點C為原點,萬4,麗，麗分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，則

C(0,0,0),A(2,2,0),8(2,—2,0).設P(0,0,2a)(a>0),則E(l,-1,a)

C4=(2,2,O),CP=(O,O,2a),CE=(l,-l,a)^m=(l,-l,O),則玩?心=玩=0,成為面PAC法向量.

設萬=(x,y,z)為面EAC的法向量，則萬?畫=方?方=0,

x+y=0

叫一”二0取x=a,y=-a,z=—2,則乃二（a,—。,一2）

依題意向式成m-n'\砌=褊=&="

,則a=2.于是”=（2,—2,—2）,西=（2,2,7）.

3

設直線PA與平面EAC所成角為凡則sin。=\cos(PA,n)\=獸口=—

1附,同3

5

即直線PA與平面E4C所成角的正弦值為5-.

21.(1)證明見解析；(2)巫.

4

【解析】

(1)要證明平面ABG，平面BCC4,只需證明平面BCGg即可;

(2)取CG的中點。，連接B。，以口為原點，以麗，BB,,麗的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直

角坐標系,分別計算平面ACC,4的法向量為］與平面ABC,的法向量為麻，利用夾角公式cos夕,麻)=而需［計

算即可.

【詳解】

(1)在AABC中，AB2+BC2=20=AC2,

所以NA5C=90，即

因為BC=BB],AC=ABt,AB=AB>

所以AABC絲

所以/ABB】=NABC=90,即AB，BBt.

又所以AB，平面BCG片.

又ABl平面ABC-所以平面ABC】_L平面BCG4?

(2)由題意知，四邊形8CCg為菱形，且NBCG=60,

則ABCG為正三角形，

取CG的中點。，連接BO,則BO，CC「

以B為原點，以麗，BB］,麗的方向分別為x,y,z軸的正方向,

建立空間直角坐標系B-肛z,則

5（0,0,0）,耳（0,4,0）,A（0,0,2）,C（2>/3,-2,0）,C,（2^,2,0）.

設平面ACC,A的法向量為n=（x,y,z）,

且恁=（26,-2,-2）,Cq=（0,4,0）.

2百x-2y-2z=0,

由得取7=（1,0,回

4y=0,

由四邊形BCG4為菱形，得

又A6_L平面BCG耳，所以AB_LBC；

又ABcBC[=B,所以片。_1平面ABC一

所以平面ABC,的法向量為^=（273,-6,0）.

n-B^C2A/3_1

所以cos（3,配）

何麗一4百x2*

故sin6?=姮.

4

【點睛】

本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題，在利用向量法時，關鍵是點的坐標要寫準確,

本題是一道中檔題.

22.（1）G的極坐標方程為夕=sin6；曲線6的直角坐標方程f=3〉.（2）也

【解析】

（1）消去參數(shù)，可得曲線G的直角坐標方程/+丁一〉=0,再利用極坐標與直角坐標的互化，即可求解.

（2）解法1：設直線/的傾斜角為C