湖南省2021屆高三調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷

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湖南省2021屆高三調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

注意事頊：注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案

正確填寫在答題卡上

一、選擇題

1.若集合人日刈/一代。},8={x|lgx<0},則ADB=（）

A.（-2,1）B.（-2,2）C.（0,1）D.（0,2）

2.已知命題p：VxeR,x2>0?則一是（）

A.VxeR>%2<0B.VxsER>x2>0

C.HxoeR>x^>0D.玉°eR,x：<0

3.復(fù)數(shù)Z]=cosx-isinx,z2=sinx-icosx,貝l||z「Z2|=（）

A.1B.2C.3D.4

4.某班45名同學(xué)都參加了立定跳遠(yuǎn)和100米跑兩項(xiàng)體育學(xué)業(yè)水平測(cè)試，立定跳遠(yuǎn)和100米跑合格

的人數(shù)分別為30和35,兩項(xiàng)都不合格的人數(shù)為5。現(xiàn)從這45名同學(xué)中按測(cè)試是否合格分層（分成

兩項(xiàng)都合格、僅立定跳遠(yuǎn)合格、僅100米跑合格、兩項(xiàng)都不合格四種）抽出9人進(jìn)行復(fù)測(cè)，那么抽

出來復(fù)測(cè)的同學(xué)中兩項(xiàng)都合格的有（）

A.1人B.2人C.5人D.6人

5.如圖，將地球近似看作球體，設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為0,3為此時(shí)太陽(yáng)直射緯度（當(dāng)?shù)?/p>

夏半年取正值，冬半年取負(fù)值），（p為該地的緯度值.已知太陽(yáng)每年直射范圍在南北回歸線之間,

即6日-23。26，,23。26rl.北京天安門廣場(chǎng)的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場(chǎng)的緯度為北緯

39。54,27”,若某天的正午時(shí)刻，測(cè)得華表的影長(zhǎng)恰好為9.57米，則該天的太陽(yáng)直射緯度為（）

A.北緯5。5,33"B.南緯5。5,33"

C.北緯5。5427"D.南緯5。54,27"

6.若函數(shù)〃同=加+3-1?2-2》為奇函數(shù)，則曲線y=/（x）在點(diǎn)（-1,〃-1））處的切線方程為（）

A.y=x+4B.y=x-4C.y=x+2D.y=x-2

22

7.已知不同分別是雙曲線當(dāng)-±=1（。>0,方>0）的上、下焦點(diǎn)，過點(diǎn)居的直線與雙曲線的上支

ab~

交于點(diǎn)P,若過原點(diǎn)0作直線P8的垂線，垂足為|OM|=a,舞［=3,則雙曲線的漸近線

方程為()

3435

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±—x

4353

22

8.己知團(tuán)二21n兀，n=------,p=-------,則（）

In7i-l2-ln兀

A.n>m>pB.p>n>mC.m>n>pD.n>p>m

9.在△4BC中，|/=2，|AC|=1.AB+AC=2AP'則下列結(jié)論正確的是()

A-PBPC>0B-PB+PC=0

__ii____3

c.PB=-AB——ACD.AP-BP=——

224

二、填空題

1O.(X2+D(X-2)6展開式中含f的項(xiàng)的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫答案)

X

11.一個(gè)口袋里裝有大小相同的5個(gè)小球，其中紅色兩個(gè)，其余3個(gè)顏色各不相同現(xiàn)從中任意取出

3個(gè)小球，其中恰有2個(gè)小球顏色相同的概率是：若變量X為取出的三個(gè)小球中紅球的個(gè)數(shù),

則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.

12.如下圖是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，直徑分別為

的斜邊AB、直角邊BC,AC,點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在以AC為直徑的半圓上.已知

以直角邊AC,8c為直徑的兩個(gè)半圓的面積之比為3,sinADAB=~,則cosN￡WC=

5

13.已知正方形的棱長(zhǎng)為1,以頂點(diǎn)為球心，子為半經(jīng)作一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所

得的曲線的長(zhǎng)等于.

三、多項(xiàng)選擇題

14.已知函數(shù)/(x)=2(|cosx|+cosx)?sinx，給出下列四個(gè)命題()

A./(x)的最小正周期為兀B.“X)的圖象關(guān)于直線工=巴對(duì)稱

C./(x)在區(qū)間-工二上單調(diào)遞增D./(x)的值域?yàn)椋?2,2|

44

15.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-ASG。中，M,N分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面

上運(yùn)動(dòng)，且滿足MPJ_CN,則下列說法正確的是()

a

A.點(diǎn)P可以是棱SB1的中點(diǎn)B.線段的最大值為三

4

C.點(diǎn)尸的軌跡是正方形D.點(diǎn)尸軌跡的長(zhǎng)度為2+?

16.甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)

球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為X,,,恰有2個(gè)黑球的

概率為P,，恰有1個(gè)黑球的概率為或，則下列結(jié)論正確的是()

*167

A.p、=—?%=—

-27~27

B.數(shù)列｛20,,+%-1｝是等比數(shù)列

C.X,,的數(shù)學(xué)期望E(X.)=1+(g)"(”eN")

D.數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式為neN-)

四、解答題

17.已知△ABC的面積為40,再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

(1)b和c的值；

(2)sin(A-B)的值.

條件①:t/=6,cosC=-1；

7

條件②:A=C,COS3=-K.

9

18.已知數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和S“滿足2S"一％=3"(〃eN*),且%=5.

(1)證明：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)［=I—1——產(chǎn),7；為數(shù)列｛包｝的前〃項(xiàng)和，求使7；>且成立的最小正整數(shù)〃的值.

向+—也10

19.如圖，在直三棱柱ABC-A8c中，AB=AC=2，A4,=4?AB1AC>BE_L4耳交于點(diǎn)

E,。為CG的中點(diǎn).

（1）求證：應(yīng);，平面A4。；

（2）求二面角C—Ag-。的余弦值.

20.紅鈴蟲（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān).現(xiàn)收集到一

只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和溫度x（D的8組觀測(cè)數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)用兩種模

型①y=e.②>=4+4分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得

到圖2所示的殘差圖.

K80

60

40?

20??

0--it------------一4.

182022242628303234溫度Wt

圖1產(chǎn)卵數(shù)IS點(diǎn)圖

根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：

888

(8

-乃2Z—)2z(%-,)&-7)

^(z,.-Z)(x,.-x)

Xztl=\/=li=l

/=1

252.8964616842268848.4870308

1x18

表中z,=lny；z=-￡zr,；%=x；；F=-￡f;；

Oz=l3i=\

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程（計(jì)算過程中四舍五入保留兩位小數(shù)），

并求溫度為34n時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)少的預(yù)報(bào)值.

參考數(shù)據(jù)：e54'x224,e550?245，e5-59?268.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（⑥，V,）.（牡，匕），…，（七，v?）,其回歸直線￡=&+砌的斜率和截距的最

V0M-ncov

小二乘估計(jì)分別為方=與----------a=v-pa>.

2_^cor>>-nc—o2~

i=\

22

21.已知橢圓C:—+^-=1.

42

(1)求橢圓C的離心率和長(zhǎng)軸長(zhǎng)；

(2)已知直線>=履+2與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),P為x軸上一點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)左，使得

△P43是以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出發(fā)的值及點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，

說明理由.

22.已知函數(shù)〃x)=e*-or+sinx-1-

(1)若函數(shù)/(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)14〃<2時(shí)，證明：函數(shù)g(x)=(x-2).f(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn).

參考答案

1.答案：C

解析：

2.答案：D

解析：根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，

則—1P是“3%oeR，X；＜0”.

故選：D.

3.答案：A

解析：

4.答案：C

解析：由題意，該班級(jí)中，兩項(xiàng)測(cè)試都合格的一共有(30+35)-(45-5)=25(人)

所以抽出來復(fù)測(cè)的同學(xué)中，兩項(xiàng)測(cè)試都合格的一共有25x2=5(人)

45

5.答案：B

解析：

6.答案：C

解析：

7.答案：A

解析：

8.答案：D

解析：

9.答案：BCD

解析：

10.答案：-100

解析：

11.答案：—

105

解析：

“.答案：陪

50

解析：

13.答案：5,兀

6

解析：

14.答案：CD

解析：

15.答案：BD

解析：

16.答案：BC

解析：

17.答案：若選擇條件①：

解：（1）在△ABC中，因?yàn)閏osC=-4，

3

所以Ce（■|■,兀），sinC=Jl-cos?C=2f.

因?yàn)镾=LabsinC=40,“=6,所以〃=2.

2

由余弦定理，c2=a2+b2-2a〃cosC=48,

所以C=4X/5.

若選擇條件②：

在△48C中，因?yàn)锳=C,所以Q=C.

因?yàn)閏os5=-Z,所以(二，兀］,sinB=Vl-cos2B=.

912J9

因?yàn)镾=—acsinB=—c2x4及=4后,

229

所以a=c=30.

由余弦定理，h2=a2+c2-2?ccosB=M,所以b=8.

(2)

若選擇條件①：

4G

由正弦定理一乙=—L=—J,可得一9一=二_=2&.

sinAsinJ?sinCsinAsin53

所以sinA=^^,sinB=.

39

因?yàn)锳,BE(0,0,所以cosA=巫,cos5=%，3.

I39

由W?/am?.p人,R屈5超g屈44

m以sin(A-8)=smAcosB-cosAsmB=——x------------x——=——

39399

若選擇條件②：

在△ABC中，因?yàn)锳=C,所以

771

因?yàn)閏osB=—,所以Be,sinB=V1-COS2B=

95"9

c2#=4技

因?yàn)镾=—tzcsinB=—

22

所以。=c=3\/2.

由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=64,所以b=8.

由正弦定理得/一,

sinAsinB

w?Aa-o3叵4&1

所以sinA=—sm3=-----x------=-.

h893

因?yàn)锳￡（O，T）,所以cosA=Jl-sin?A=2^.

23

所以sin（/4一B）=sinAcosB—cosAsinB

2T7

解析:

18.答案：解：（1）由2s“一解,=3九口可得,

當(dāng)〃之2時(shí)，2Szi_1-（/i-l）^_1=3（n-l）n,

□一口得，（〃-一（〃-2）々〃=3（〃22）,

所以當(dāng)〃23時(shí)，（〃一2"〃_2-（〃一3）%_]=3,

所以（九―—（〃―2）%=（〃—2）4T一（〃一3）q-，

整理得4+*（〃23）,所以｛an｝為等差數(shù)列.

又2$—4=3,所以4=3,又“2=5,所以生—4=2,

所以=2/l+l（〃￡N*）.

]___________________1__________

（2）由（1）可得，bn=

a“4^+a“+訪乩.向?（照+而二"）

15/2/+3—\/2〃+1

=—.—--.----=——

―2〃+1?，2〃+3（，2/?+1+12二+3）2V2n+1.v2/?+3

要使G東只嗚太懸力非

解得〃＞袋，又所以〃的最小值為8.

8

解析：

19.答案：（1）因?yàn)槿庵鵄8C-A4G為直三棱柱，所以44t，平面ABC，

所以A4,_LAC.

因?yàn)锳C_LAB，ABoAA,=A.所以AC_L平面A4tBi氏

因?yàn)?Eu平面所以ACJ.8E-

因?yàn)锽ELAB］，ACcAB|=A，

所以8E_L平面ABC-

（2）由（1）知AB,AC,A41兩兩垂直，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

則A(0,0,0),4(2,0,4),0(0,2,2),8(2,0,0).

設(shè)E(0,0,a),所以而=(0,2,2),函=(2,0,4),礪=(—2,0,a)>

因?yàn)锳B_LBE，所以4。-4=。，即a=l.

所以平面AB,C的一個(gè)法向量為麗=(-2,0,1)-

設(shè)平面ABQ的法向量為G=(x,y,z)，

所以，.竺=0所以(2y+2z=0,艮小=-z,

[n-AB]=0[2x+4z=0.[x=-2z.

令z=-l，則x=2,y=l,

所以平面ABQ的一個(gè)法向量為]=(2,1,-1)-

n-BE-5

所以cos<BE,n>=

\n\\BE\76x75

由已知，二面角C—A4—￡＞為銳角，

所以二面角C_A5_￡＞的余弦值為畫.

6

解析：

20.答案：（1）應(yīng)該選擇模型①.

由于模型①殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②帶狀寬度窄,

所以模型①的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)就會(huì)越高，故選模型①比較合適.

（2）令z=lny,z與溫度x可以用線性回歸方程來擬合，則2=右+左.

88

^z-nxz2；(x,.-x)(z,.-z)4gig

b=?0.29,

工6玉2-nr—26'(/七7—)\2168

；=1i=l

所以2=5-8亍=2.89—0.29x25=T.36,

則z關(guān)于x的線性回歸方程為2=0-29%-4.36

于是有l(wèi)ny=0.29x—4.36,

人029v-436

所以產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程為y=e

Q/V-0.29X34-4.36_5.50?

當(dāng)x=34時(shí)，y-eA—e?40（個(gè)）

所以，在氣溫在34℃時(shí)，一個(gè)紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)的預(yù)報(bào)值為245個(gè).

解析：

21.答案：解：（1）由題意：CT=4,6=2,所以“=2.

因?yàn)閍2=，2+c2,所以02=2,。=0.

所以e=￡=也.

a2

所以橢圓c離心率為孝，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

y=kx-\-2

（2）聯(lián)立?冗2y2_消y整理得：（2爐+1）^+8&*+4=（）.

因?yàn)橹本€與橢圓交于A3兩點(diǎn)，故△＞（）,解得公＞L

2

設(shè)A（M，y），8（程丫2），則<+%=,五；，%入2二彳

ZK+1Z/C+1

設(shè)A3中點(diǎn)G（Xo，%）,

,C2

%=@)+2=-z——，

°°2標(biāo)+1

_必2]

故G2r+1'2r+1J

假設(shè)存在左和點(diǎn)尸（肛0）,使得△尸A8是以尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,

則PGJ_A8,故須GMM=T

2

所以2甘+1XL=T解得小,故尸

Yk2k2+1

——----m志。1

2二+1

又因?yàn)?AP8=二，所以兩?而=0.

2

所以（％_加,乂）,（工2_m，、2）=0，即（玉_機(jī)）（西一機(jī)）+y%