江西贛州經開區(qū)2021年中考數(shù)學模擬試卷 (解析版)

江西贛州經開區(qū)2021年中考數(shù)學模擬試卷

一、單選題

1.-2021的倒數(shù)是()

A.2021B.-----C.-2021D.--------

20212021

2.下列運算正確的是().

A.2a2-3a3=6a6B.(a-2)2=a2-2a+4C.(_-2ab2)3=-8ab6D.(V3-2)(V3+2)=-1

3.如圖是由6個相同的小正方體搭成的幾何體，若去掉上層的一個小正方體，則下列說法正確的是().

正面

A.主視圖一定變化B.左視圖一定變化C.俯視圖一定變化D.三種視圖都不變化

4.本學期某校舉行了四次數(shù)學測試，李娜同學四次的成績(單位：分)分別為80,70,90,70,王珥同學

四次的成績分別為80,a(a>70),70,90,且李娜同學四次成績的中位數(shù)比王用同學四次成績的中位

數(shù)少5分，則下列說法正確的是().

A.a的值為70

B.兩位同學成績的平均數(shù)相同

C.李娜同學成績的眾數(shù)比王珥同學成績的眾數(shù)大

D.王珥同學的成績比李娜同學的成績穩(wěn)定

5.將一個等腰三角形沿底邊上的中線剪開，用剪下的兩個三角形拼成的所有四邊形中，是中心對稱圖形的

有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，在四邊形力BCD中，NB=/D=90。，連接AC,ZBAC=45°，ZCAD=300,

CD=2,點P是四邊形ABCD邊上的一個動點，若點P至AC的距離為通，則點P的位置有().

A.4處B.3處C.2處D.1處

二、填空題

7.分解因式：a2—4b2=

8.中國網3月1日訊，國家統(tǒng)計局發(fā)布2020年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，初步核算，全年國內生產總

值約101.6萬億元，將數(shù)據101.6萬億元用科學記數(shù)法表示為元.

2

9.已知Xj,x2是方程x+mx—3=0的兩個實數(shù)根，且與=3，則2m—2xtx2=.

10.如圖，在平面直角坐標系中，已知菱形04BC的頂點C在x軸上，若點A的坐標為(3,4)，經過點A

的雙曲線交邊BC于點D,則△04。的面積為.

11.勾股定理是一個基本的幾何定理，有數(shù)百種證明方法."青朱出入圖"是我國古代數(shù)學家證明勾股定理的

幾何證明法.劉徽描述此圖"勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，加就其余不動也，

合成弦方之事，開方除之，即弦也若圖中BF=4,。尸=2,貝IJ4E=.

12.當-2W久〈1時，二次函數(shù)y=-(x-m)2+巾2+1有最大值4,則實數(shù)m的值為

三、解答題

13.(1)計算：(2+V3)°+(-l)2021-|V8-l|;

(2)如圖，己知AABC，點E在邊AC上，過點B作BD/fAC,且4E=BO,連接DE交4B于

點F.求證：AF=BF.

14.化簡求值：(￡一1)+大，其中x

15.如圖是由2個全等的正方形錯位疊放組成的圖形，請僅用沒有刻度的直尺按要求完成下列作圖.

ffll圖2

（1）在圖1中畫一個平行四邊形（要求所畫出的平行四邊形不是矩形）；

（2）在圖2中畫一個菱形（要求所畫出的菱形不是正方形）.

16.《笠翁對韻》是明末清初著名戲曲家李漁的作品，是學習寫作近體詩、詞，用來熟悉對仗、用韻、組織

詞語的啟蒙讀物，"天對地，雨對風.大陸對長空.山花對海樹，赤日對蒼穹……"就是其中的句子.現(xiàn)將

"A.天"，"B.地"，"C.雨"，"D.風"，"E.大陸"，"F長空"分別書寫在材質、大小完全相同

的6張卡片上，洗勻后背面朝上.

（1）第一次抽取時先抽取了一張，翻開后是"A.天"，那么在剩下的五張卡片中恰好抽取得到卡片

"B.地"，使得對仗工整的概率是;

（2）若第一次已經把"A.天"、"8.地”兩張卡片抽走，第二次在剩下的四張卡片中隨機抽取兩張，請

用列表或畫樹狀圖的方法求出能夠對仗工整的概率.

17.某工廠現(xiàn)有甲種原料10噸，乙種原料15噸，計劃用這兩種原料生產A、B兩種產品，兩種原料都恰好

全部用完.生產一件A、一件B產品與所需原料情況如下表所示：

甲種原料（噸）乙種原料（噸）

A產品（件）13

B產品（件）21

（1）求該廠生產A、B兩種產品各有多少件;

（2）如果購買這批原料共花費5萬元，A、B產品的銷售單價分別為2萬元/件和3萬元/件，求全部銷售

這批產品獲得的利潤是多少萬元.

18.王老師對他所教的九（1）,九（2）兩個班級的學生進行了一次檢測，批閱后對其中一道試題的得分情

況進行了歸類統(tǒng)計?（各類別的得分如下表）.并繪制了如圖所示的每班各類別得分人數(shù)的統(tǒng)計圖（不完整）.

各類別的得分表

類別得分

A:沒有作答0

8：解答但沒有正確1

C:僅做對第（1）問3

D：完成正確6

九（1）班各類別得分條形統(tǒng)計圖

/人St

27f.................-r-i

°ABCD類別

九（2）班各類別得分扇形統(tǒng)計圖

已知兩個班一共有50%的學生得6分.其中九（2）班得6分的學生有22人，九（2）班這道試題的平均

得分為3.7分.請解決如下問題：

（1）九（2）班有名學生，兩個班共有名學生；

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）求m,n的值.

19.圖1是一種可折疊臺燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2,其中點B,E,D均為可轉動點.現(xiàn)測

得AB=BE=ED=CD=14cm，經多次調試發(fā)現(xiàn)當點B，E所在直線垂直徑過CD的中點F時（如圖

3所示）放置較平穩(wěn).

圖1圖2圖3

（1）求平穩(wěn)放置時燈座DC與燈桿DE的夾角的大?。?/p>

（2）為保護視力，寫字時眼睛離桌面的距離應保持在30cm,為防止臺燈刺眼，點A離桌面的距離應不

超過30CM,求臺燈平穩(wěn)放置時/ABE的最大值.（結果精確到0.010,參考數(shù)據：V3?1,732，

O_lilin16.07°?0.2768,C“UoJ3.93°?0.2768,「I.d1115.47°?0.2768）

20.如圖，XABC內接于。。，CP是。。的切線，點P在直徑AB的延長線上.

（1）特例探究：

若4=30°,則ZPCB=°;

若4=50°，則ZPCB=°;

（2）數(shù)學結論:

猜想/PCB與/A的大小關系，請說明理由;

（3）拓展應用：

若BC=^AC,AP=4.5,求PC的長.

21.如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為(6,4)，反比例函數(shù)y=^(x>0)的圖象交矩形OABC的

邊BC,AB于D、E兩點，連接DE,AC.

(1)當點D是BC的中點時，k=，點E的坐標為；

(2)設點D的橫坐標為m.

①請用含m的代數(shù)式表示點E的坐標；

②求證：DE“AC.

22.已知拋物線C1.y=x2—4%+3m和。2：丫=7nx2—4mx+3nl,其中且.

yf

__I

I

—

I_

—

「

—

—

I

-*

x

(1)拋物線G的對稱軸是,拋物線C2的對稱軸是；

(2)這兩條拋物線相交于點E,F(點E在點F的左側)，求E、F兩點的坐標(用含m的代數(shù)式表示)并

直接寫出直線EF與x軸的位置關系：

(3)設拋物線G的頂點為M,C2的頂點為N；

①當m為何值時，點M與點N關于直線EF對稱？

②是否存在實數(shù)m,使得MN=2EF?若存在，直接寫出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由.

23.在Rt△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,動點D在直線BC上(不與點B,C重合)，連接

力。，把4。繞點A逆時針旋轉90。得到AE,連接DE,F,G分別是DE,CD的中點，連接FG.

（1）（特例感知）如圖1,當點D是BC的中點時，F(xiàn)G與BD的數(shù)量關系是.FG與直線

BC的位置關系是.

（2）（猜想論證）當點D在線段BC上且不是BC的中點時，（1）中的結論是否仍然成立？

①請在圖2中補全圖形；

②若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）若AB=4C=近，其他條件不變，連接BF、CF.當△ACF是等邊三角形時，（拓展應用）

請直接寫出4BDF的面積.

答案解析部分

一、單選題

1.-2021的倒數(shù)是()

A.2021B.康C.-2021D.--

2021

【答案】D

【考點】有理數(shù)的倒數(shù)

【解析】【解答】解：-2021的倒數(shù)為：-表，

故答案為：D.

【分析】求一個數(shù)的倒數(shù)，就用1除以這個數(shù).

2.下列運算正確的是().

A.2a2-3a3=6a6B.(a—2)2=a2—2a+4C.(—2ab2)3=—Sab6D.(遮—2)(6+2)=—1

【答案】D

【考點】單項式乘單項式，完全平方公式及運用，平方差公式及應用

【解析】【解答】解：A2a2.3a3=6a5,故不符合題意；

B.(a—2)2=a2—4a+4,故不符合題意；

C.(-2ab2)3——8a3b6,故不符合題意;

D.(V3-2)(73+2)=3-4=-1,符合題意，

故答案為：。

【分析】利用單項式乘單項式、完全平方公式、積的乘方或募的乘方及平方差公式逐項判斷即可。

3.如圖是由6個相同的小正方體搭成的幾何體，若去掉上層的一個小正方體，則下列說法正確的是().

正面

A.主視圖一定變化B.左視圖一定變化C.俯視圖一定變化D.三種視圖都不變化

【答案】A

【考點】簡單幾何體的三視圖

【解析】【解答】解：去掉最上面的小正方體，其左視圖與俯視圖不變，即左視圖兩層下層兩個小正方形,

上層一個小正方形，俯視圖依然還是兩層，底層中間有一個正方形，上層有1個正方形；

變化的是正視圖上層有兩個，拿走一個，由兩個小正方形組成長方形變?yōu)橐粋€小正方形.

故答案為：A.

【分析】根據從上面看得到的圖形是俯視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視

圖，可得答案。

4.本學期某校舉行了四次數(shù)學測試，李娜同學四次的成績(單位：分)分別為80,70,90,70,王現(xiàn)同學

四次的成績分別為80,a(a>70),70,90,且李娜同學四次成績的中位數(shù)比王現(xiàn)同學四次成績的中位

數(shù)少5分，則下列說法正確的是().

A.a的值為70

B.兩位同學成績的平均數(shù)相同

C.李娜同學成績的眾數(shù)比王珥同學成績的眾數(shù)大

D.王現(xiàn)同學的成績比李娜同學的成績穩(wěn)定

【答案】D

【考點】分析數(shù)據的集中趨勢

【解析】【解答】解：李娜同學四次的成績排序(單位：分)分別為70,70,80,90,

王現(xiàn)同學四次的成績分別排序為70,80,a(a>70),90,或70,a(a>70),80,90,

70+80,-a+80

根據中位數(shù)得+5=

2—

解得a=80,

故A不符合題意;

李娜x=7。+7。+8。+90=775

4

丁工口-70+80+80+90cc

王川X=----------------=80,

4

故B不符合題意；

李娜同學眾數(shù)為70,王珥同學眾數(shù)為80,

70<80,

故C不符合題意；

S?2=i(7.52+2.52+2.52+12.52)=56,25,

;(102+02+02+102)=50,

S李娜2>$翔2,

故D符合題意.

故答案為：D.

【分析】利用數(shù)據的集中趨勢進行分析求解即可。

5.將一個等腰三角形沿底邊上的中線剪開，用剪下的兩個三角形拼成的所有四邊形中，是中心對稱圖形的

有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【考點】中心對稱及中心對稱圖形

【解析】【解答】解：以長直角邊吻合來拼可得到一個平行四邊形，以短直角邊吻合也可得到一個平行四

邊形，以斜邊吻合來拼可得到一個不規(guī)則四邊形和一個長方形.

所以，在這4個四邊形中是中心對稱圖形的有3個，

故答案為：C

【分析】根據中心對稱圖形的定義求解即可。

6.如圖，在四邊形4BCD中，NB=/D=90°，連接AC,ZBAC=45°,ZCAD=30"，

CO=2,點P是四邊形ABCD邊上的一個動點，若點P至。AC的距離為遮，則點P的位置有（）.

A.4處B.3處C.2處D.1處

【答案】B

【考點】解直角三角形，四邊形-動點問題

【解析】【解答】解：過。作DE_LAC于E,過8作BF_LAC于F,

ND=90°,ZCAD=30°,

AC=2CD=4,

，AO=ACxcos30°=2遮,

-AC-DE=-CD-AD,

22

.八.CDAD2x2百片

..DE=--------=---------=V3，

AC4

ZABC=90°，ZBAC=45，

ZBCA=900-ZBAC=45°=ZBAC,

??.BC=BA,

BF=CF=AF=2f

,?12>V3，

在8F上截取FM=次，過/W作直線GH_LBF交BC于G,交BA于”，

點P是四邊形ABCD邊上的一個動點，點P到AC的距離為百，點P在點。，點G,點H時

滿足條件，

故點P有三個點.

故答案為:B.

【分析】根據已知條件得到NB4C=4CB=45°,ZDAC=60",ZACD=30"，根據點

P到AC的額距離為百，于是得到結論。

二、填空題

7.分解因式：a2—4b2=.

【答案】(a+2b)(a-2b)

【考點】因式分解-運用公式法

【解析】【解答】因為。2_助2符合平方差公式，所以a2-4b2=(a+2b)(a-2b).

【分析】觀察此多項式的特點，可以利用平方差公式分解因式。

8.中國網3月1日訊，國家統(tǒng)計局發(fā)布2020年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，初步核算，全年國內生產總

值約101.6萬億元，將數(shù)據101.6萬億元用科學記數(shù)法表示為元.

【答案】1.016x1014

【考點】科學記數(shù)法一表示絕對值較大的數(shù)

【解析】【解答】解：1億=1。8,1萬=1。4,

101.6萬億=1.016x102x104x1()8=1Q16X1014.

故答案為：1.016x1014.

【分析】利用科學記數(shù)法的定義及書寫要求求解即可。

2

9.已知x1,x2是方程x+mx-3=0的兩個實數(shù)根，且與=3,則2m—2xrx2=.

【答案】2

【考點】一元二次方程的根與系數(shù)的關系

2

【解析】【解答】解：:x1=3,x2是方程x+mx-3=0的兩個實數(shù)根，

?-3?+3nl-3=0,Xj,%2=-3

m=—2

2ni-2%1%2=2x(—2)—2x(-3)=2

故答案為：2

【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求解即可。

10.如圖，在平面直角坐標系中，已知菱形04BC的頂點C在x軸上，若點A的坐標為(3,4),經過點A

的雙曲線交邊BC于點D,則△。4D的面積為.

【答案】10

【考點】菱形的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

【解析】【解答】解：?.?點A坐標為(3,4),

OA-V32+42=5,

四邊形A8C。為菱形,

S差）gA8CO=5x4=20,

11

/.SAOAD=-S爰形八BCO=-x20=10.

故答案為10.

【分析】先利用勾股定理計算出OA=5,再利用菱形的面積公式計算出S至彩A8CO=5x4=20,然后根據三角

形面積公式，利用5AoAD=iS新“8C。求解即可。

11.勾股定理是一個基本的幾何定理，有數(shù)百種證明方法."青朱出入圖"是我國古代數(shù)學家證明勾股定理的

幾何證明法.劉徽描述此圖"勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，加就其余不動也，

合成弦方之幕，開方除之，即弦也若圖中BF=4,DF=2,貝ij4E=.

AB

【答案】3m

【考點】勾股定理，相似三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：

根據題意知四邊形ACDB為正方形，8F=4,DF=2,

AB=BF+FD=4+2=6,

■■ABWDE,

ZBAF=NDEF,ZBFA=ZDFE,

ABF-△EDF,

..-A-B=-B-F?

EDDF

.「「ABDF6X2

??ED_------=——=3Q,

CE=CD+DE=AB+DE=6+3=9,

在RSACE中，由勾股定理AE=y/AC2+EC2=V62+92=3g，

故答案為：3同.

【分析】由BF+CF求出BC的長，即為正方形ABCD的邊長，由AB與CE平行，得比例求出CE的長，由DC+CE

求出DE的長，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的長即可。

12.當一2WXS1時，二次函數(shù)y=-。一根)2+巾2+1有最大值%則實數(shù)m的值為.

【答案】2或一聲

【考點】二次函數(shù)的最值

【解析】【解答】解：二次函數(shù)y=—(x-m)2+m2+l的對稱軸為直線x=m,且開口向下，

①m<-2時,x=-2取得最大值，-(-2-m)2+m2+l=4,

解得m=,

4

v-->-2,

4

不符合題意，

②-2Vm41時，x=m取得最大值,m2+l=4,

解得m-+V3，

所以m=—y/3，

③m>l時，x=l取得最大值，-(1-m)2+m2+l=4,

解得m=2,

綜上所述，m=2或7時，二次函數(shù)有最大值.

故答案為：2或一次.

【分析】求出二次函數(shù)對稱軸為直線x=m，再分m<-2,-,m>l三種情況，根據二次函數(shù)的

增減性列方程求解即可。

三、解答題

13.

(1)計算：(2+舊)。+(_1)2021_|通一1|；

(2)如圖，己知AABC,點E在邊AC上，過點B作BD“AC,且4E=BD,連接DE交A8于

點F.求證：AF=BF.

【答案】(1)解：(2+W)°+(—1)2°21一|%-1|

=1-1-(272-1)

=1—2V2;

(2)解：；BD//AC,

ZA=/DBF,

在XAEF和4BDF中，

ZA=/DBF

｛々FE=/BFD

AE=BD

：.t^AEFXBDF（AAS）,

AF=BF.

【考點】實數(shù)的運算，三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）先利用0指數(shù)哥、有理數(shù)的乘方及二次根式的性質化簡，再計算即可；

（2）利用"AAS"證明號△BDF，再利用全等三角形的性質求解即可。

14.化簡求值：（爰三一1）+￡三，其中x=\?

【答案】解：原式=（爰三一集|），（7+%）

=7——r?x（x+1）

X

工?

當尤=2時，三=工=一1.

【考點】利用分式運算化簡求值

【解析】【分析】先利用分式的混合運算化簡，再將X的值代入計算即可。

15.如圖是由2個全等的正方形錯位疊放組成的圖形，請僅用沒有刻度的直尺按要求完成下列作圖.

圖】圖2

（1）在圖1中畫一個平行四邊形（要求所畫出的平行四邊形不是矩形）；

（2）在圖2中畫一個菱形（要求所畫出的菱形不是正方形）.

【答案】（1）解：圖1中平行四邊形ABCD為所求；

（2）解：圖2中菱形ABCD為所求.

【考點】平行四邊形的判定，菱形的判定

【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質結合矩形的性質得出結論即可；

（2）利用菱形的性質結合矩形的性質得出符合題意的答案。

16.《笠翁對韻》是明末清初著名戲曲家李漁的作品，是學習寫作近體詩、詞，用來熟悉對仗、用韻、組織

詞語的啟蒙讀物，"天對地，雨對風.大陸對長空.山花對海樹，赤日對蒼穹…."就是其中的句子.現(xiàn)將

"A.天"，"B.地"，"C.雨"，"D.風"，"E.大陸"，"F長空"分別書寫在材質、大小完全相同

的6張卡片上，洗勻后背面朝上.

（1）第一次抽取時先抽取了一張，翻開后是幺.天"，那么在剩下的五張卡片中恰好抽取得到卡片

"B.地”，使得對仗工整的概率是；

（2）若第一次已經把"A.天"、"B.地”兩張卡片抽走，第二次在剩下的四張卡片中隨機抽取兩張，請

用列表或畫樹狀圖的方法求出能夠對仗工整的概率.

【答案】⑴1

（2）解：依題意可列表為

CDEF

CDCECFC

DCDEDFD

ECEDEFE

FCFDFEF

共有12種等可能發(fā)生的結果，其中對仗工整的有CD、DC、EF、FE共4種，所以概率為2=：.

【考點】列表法與樹狀圖法，概率公式

【解析】【解答】解：（1）在剩下的五張卡片中恰好抽中的概率均相等，則恰好得到卡片"8?地”的概

率為|,

故答案為：|;

【分析】（1）利用概率公式求解即可；

（2）利用列表法或樹狀圖法求出所有情況，再利用概率公式求解即可。

17.某工廠現(xiàn)有甲種原料10噸，乙種原料15噸，計劃用這兩種原料生產A、B兩種產品，兩種原料都恰好

全部用完.生產一件A、一件B產品與所需原料情況如下表所示：

甲種原料（噸）乙種原料（噸）

A產品（件）13

B產品（件）21

（1）求該廠生產A、B兩種產品各有多少件；

（2）如果購買這批原料共花費5萬元，A、B產品的銷售單價分別為2萬元/件和3萬元/件，求全部銷售

這批產品獲得的利潤是多少萬元.

【答案】（1）解：設力、B兩種產品各有x件和y件，

根據題意得，喧】黑

9x3-②得，

y=3,

把y=3代入①，得

%=4

rx=4

“{y=3，

經檢驗，符合題意，

答：該廠生產A種產品4件，B種產品3件.

（2）解：2x4+3x3-5=12萬元，

答：全部銷售這批產品獲得的利潤是12萬元.

【考點】二元一次方程組的其他應用

【解析】【分析】（1）設A、B兩種產品各有x件和y件，根據題意列二元一次方程組，利用加減

消元法解方程組即可；

（2）根據利潤=售價-進價解題即可。

18.王老師對他所教的九（1）,九（2）兩個班級的學生進行了一次檢測，批閱后對其中一道試題的得分情

況進行了歸類統(tǒng)計（各類別的得分如下表）.并繪制了如圖所示的每班各類別得分人數(shù)的統(tǒng)計圖（不完整）.

各類別的得分表

類別得分

A:沒有作答0

B:解答但沒有正確1

C：僅做對第（1）問3

D：完成正確6

九（1）班各類別得分條形統(tǒng)計圖

人故

九（2）班各類別得分扇形統(tǒng)計圖

已知兩個班一共有50%的學生得6分.其中九（2）班得6分的學生有22人，九（2）班這道試題的平均

得分為3.7分.請解決如下問題：

（1）九（2）班有名學生，兩個班共有名學生；

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）求m,n的值.

【答案】⑴50；98

（2）解：由（1）得九（1）班的人數(shù)為：98-50=48（人），

得分3分的學生有：4836-27=12（人），

如圖所示：

（3）解：依題意可列方程組為｛篇:°15m乳122f,

0.5m4-1.5九+22x6=3.7X50

解得邛=±2.

n=30

【考點】利用統(tǒng)計圖表分析實際問題

【解析】【解答］解：（1）九（2）班的人數(shù)為：22+44%=50（人），

兩個班的總人數(shù)為：（27+22）+50%=98（人），

故答案為：50,98；

【分析】（1）根據九（2）班得6分的學生數(shù)和所占的百分比，可以求得九（2）班的人數(shù)，從而求得兩

個班的總人數(shù)；

（2）先求得九（1）班的人數(shù)，再求得得分3分的學生數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；

（3）根據題意列出二元一次方程組，計算即可求解。

19.圖1是一種可折疊臺燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2,其中點B,E,D均為可轉動點.現(xiàn)測

得AB=BE=ED=CD=14cm，經多次調試發(fā)現(xiàn)當點B，E所在直線垂直徑過CD的中點F時（如圖

3所示）放置較平穩(wěn).

（1）求平穩(wěn)放置時燈座DC與燈桿DE的夾角的大??；

（2）為保護視力，寫字時眼睛離桌面的距離應保持在30cm,為防止臺燈刺眼，點A離桌面的距離應不

超過30cm,求臺燈平穩(wěn)放置時/ABE的最大值.（結果精確到0.01°,參考數(shù)據：V3?1.732，

1,

Ociil!n16.07°a0.2768,L「mU〉73.93°?0.2768,Itdq1n115.47?0.2768）

【答案】（1）解：由題意得：DF=^CD=7cm,EF1CD,

/D=60°.

答:平穩(wěn)放置時燈座DC與燈桿DE的夾角是60。.

（2）解：如圖，過4作力交EB的延長線于H,

HF=30,

EF=14x—=7V3,

2

=30-BF-FF=16-7V3?3.876，

cosZABH=—^0.2768,

AB

???ZABHx73.93°,

ZABE=106.07°.

答：臺燈平穩(wěn)放置時NABE的最大值是106.07°.

【考點】解直角三角形的應用

【解析】【分析】（1）由題意得：DF=^CD=7cm,EFA.CD,根據三角函數(shù)的定義即可得到

結論;

⑵如圖,過4作4H1BE交EB的延長線于〃,求得EF=14xf,根據cos4BH=

0.2768,即可求出結果。

20.如圖，AABC內接于。。，CP是。。的切線，點P在直徑AB的延長線上.

A

（1）特例探究：

若4=30°，則NPCB=°;

若4=50°，則ZPCB=°;

（2）數(shù)學結論：

猜想ZPCB與4的大小關系，請說明理由;

（3）拓展應用：

若BC=^AC,4P=4.5,求PC的長.

【答案】（1）30；50

（2）解：NPCB=ZA..理由如下：

如圖1,CP是。。的切線，

?-.NOCP=90°，即NOCB+/PCB=90°

???AB是直徑，

ZACB=90°，即NOCB+NACO=90°

???ZACO=NPCB，

OA=OC,

ZACO=ZA,

???/PCB=ZA.

（3）解：由（2）可知，ZA.=ZPCB,

NP=NP,

△CBPs△ACP,

...—BC=—PC.

ACPA

?

BC=-AC,

3

BCPC2

??~~=一,

ACPA3

又；PA=4.5,

PC=3.

【考點】圓的綜合題，相似三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：（1）連接0C,如圖1

圖1

OA^OC,ZA=30°

Z8OC=60°

OC=OB

△BOC是等邊三角形，

ZOCB=60°

CP是o。的切線，

OC1CP,即NOCP=90°

ZPCB=4OCP-AOCB=90°-60°=30°

同理，當N4=50°時，NPCB=50°

故答案為：30,50；

【分析】（1）利用圓周角及切線的性質求解即可；

（2）根據（1）的方法求解，并發(fā)現(xiàn)等量關系即可；

（3）先證出ACBP，aACP，再利用相似的性質列出比例式求解即可。

21.如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（6,4），反比例函數(shù)y=^（x>0）的圖象交矩形04BC的

邊BC,4B于D、E兩點，連接DE,AC.

（1）當點D是BC的中點時，k=，點E的坐標為

（2）設點D的橫坐標為m.

①請用含m的代數(shù)式表示點E的坐標;

②求證：DE“AC.

【答案】⑴12；(6,2)

(2)解：

①.?,點D的橫坐標為m,CD//0A,點D與點B縱坐標相同,

二點D(m,4),

則k=4m,y=等(x>0)，

BE//y軸,

???B、E兩點橫坐標相同，點E橫坐標為6,

??.點E(6(m),

②由①知：BD=6-m,BE=4一|m,

?BD_6-m_11BE4-刎1

一~RC~~1~7m9—=——=1--m，

66tBA46

BDBE-r-j_____.

—=—t又N

BCBADBE=NCBA,

△DBE?△CBA,

ZBDE=ZBCA

DE[]AC.

【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質

【解析】【解答]解：(1).??點D是BC的中點，點B的坐標為(6,4),

...點D(3,4),

?.?點。在反比例函數(shù)y=^(x>0)的圖象，

4=,,解得k=12,

?-,BE//y軸，

；B、E兩點橫坐標相同，

/.當x=6時，y=”_2,點E(6,2),

故答案為12,(6,2);

【分析】(1)先根據中點坐標的公式求出點D的坐標，再將點D的坐標代入計算即可；

(2)①先利用含m的表達式求出點D的坐標，再將點D的坐標代入計算即可；②西安證出

△DBE?△CBA,再利用相似的性質得到NBDE=zBCA,即可證明DE//AC。

2

22.已知拋物線G：y=/_4%+3m和C2'.y=mx—4mx+3m，其中7nH0且mW1.

r

X

-r-

-"r-

(1)拋物線Cl的對稱軸是,拋物線C2的對稱軸是；

(2)這兩條拋物線相交于點E,F(點E在點F的左側)，求E、F兩點的坐標(用含m的代數(shù)式表示)并

直接寫出直線EF與x軸的位置關系；

(3)設拋物線G的頂點為M,C2的頂點為N；

①當m為何值時，點M與點N關于直線EF對稱？

②是否存在實數(shù)m,使得MN=2EF?若存在，直接寫出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)直線x=2；直線x=2

(2)解：令4尤+3m=mx2-4mx+3m,

整理得：(m-1)(%2-4x)=0.

1,

x2—4x=0,

解得：%i=0,x2=4.

■■■點E在點F的左側

.??點E的坐標為(0,3m)，點F的坐標為(4,3m),

E,F兩點縱坐標相同

EF〃x軸.

(3)解：①當x=2時，yi=-4+3m,二M(2,-4+3m),

當%=2時，y2——m，:.N(2,—m).

直線EF-.y=3m，且點M與N關于直線EF對稱，

拋物線G開口向上，故點M在直線EF的下方，

—m—3m=3m-（-4+3m）,

解得：m=-1.

②3或-1

【考點】二次函數(shù)y=a（x-h）八2+k的圖象，二次函數(shù)的其他應用

【解析】【解答】解：（1）拋物線Q的對稱軸是％=-三=2,

拋物線C的對稱軸是x=2；

2=-等2m

故答案為：直線工=2,直線％=2；

(3)②:M(2,-4+3m),N(2,-m)

???MN=|4m-4|

???點E的坐標為(0,3TH)，點F的坐標為(4,3m),

??.EF=4

?/MN=2EF

147n-4|=8

4m-4=8或4m—4=-8

解得，m=3或m=-1

???存在實數(shù)m,使得MN=2EF,此時m=3或m=—1.

【分析】（1）利用二次函數(shù)對稱軸的公式求解即可；

（2）根據題意聯(lián)立方程，再解出方程的解，即可得到點E、F的坐標，即可證明EF〃x軸；

（3）①將x=2分別代入力和y2,即可得到點M、N的坐標，再證明即可；②根據題意結合圖形直

接求解即可。

23.在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,動點D在直線BC上（不與點B,C重合），連接

40,把4D繞點A逆時針旋轉90。得到AE,連接DE,F,G分別是DE,CD的中點，連接FG.

（1）（特例感知）如圖1,當點D是BC