【數(shù)學(xué)】用空間向量研究距離、夾角問題課件-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊

課時10用空間向量研究距離、夾角問題新授課1.能利用投影向量推導(dǎo)出點到直線和點到平面的距離公式．2.能用向量方法解決點到直線、平行線間、點到平面、直線到平面（直線與平面平行）、平行平面間的距離問題．任務(wù)1：復(fù)習(xí)回顧平面向量的投影向量.目標一：能利用投影向量得到點到直線和點到平面的距離公式.如圖，在空間中任取一點，作，.1.怎樣表示向量b方向上的單位向量u？2.如何作出向量a在向量b方向上的投影向量？3.怎樣用單位向量u表示向量a在向量b方向上的投影向量及投影向量的模？2.過點M作MM1垂直于直線ON，垂足為M1，向量即為a在b方向上的投影向量.3.，即，.M1任務(wù)2：探究利用向量求解空間點到已知直線的距離的方法.已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，如何利用這些條件求點P到直線l的距離？PQlAu如圖，設(shè)，則向量在直線l上的投影向量在中，由勾股定理得點P到直線l的距離(1)若AP與直線l垂直，點P到直線l的距離還等于嗎？(2)在立體幾何圖形中求解距離的問題時，已知條件中一般只會給出點P以及直線l，那么點P應(yīng)該如何確定？(3)求解距離的過程中是否需要確定垂線段的垂足？(1)若AP與l垂直，則，.(2)點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度不會隨著點A的變化而變化，故點A可以是直線l上的任意一點.(3)到直線的距離為參考向量的平方與投影向量的平方差的算術(shù)平方根.因此，求解點P到直線l距離問題時，只需直線l的方向向量及l(fā)上任意一點A，這樣得到參考向量或，再求得直線的單位方向向量，帶入公式即可，因此不需要確定垂線段的垂足.(4)求點到直線距離的主要有哪些方法？歸納總結(jié)求點到直線距離的方法：1.作點到直線的垂線,點到垂足的距離即為點到直線的距離；2.在三角形中用等面積法求解；3.向量法，即點到直線的距離為參考向量的平方與投影向量的平方差的算術(shù)平方根.思考：類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行線間的距離？如圖，在其中一條直線上任取一點，將求兩條平行直線之間的距離轉(zhuǎn)化為求點到另一條直線的距離.l1l2uAPQa任務(wù)3：探究利用向量求解空間點到已知平面的距離的方法.已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P

是平面α外一點，過點P作出平面α的垂線l，交平面α于點Q.(1)類比點到直線距離的研究過程，如何用向量表示？點P到平面α的距離應(yīng)該怎樣表示？如圖，向量在直線l上的投影向量是，且

lPQαnA(2)在立體幾何圖形中求解距離的問題時，已知條件中一般只會給出點P及平面α，那點A該如何確定？求解距離的過程中是否需要找出點P在平面α內(nèi)的投影及垂線段？求解點P到平面α距離問題時，只需平面α的法向量及平面α內(nèi)的任意一點A，這樣得到“參考向量”，明確點到平面的距離為參考向量與法向量數(shù)量積的絕對值與法向量的模之比，即參考向量與法向量方向上的單位向量的數(shù)量積取絕對值.因此點A可以是平面α內(nèi)任意一點，不需要找出點P在平面α內(nèi)的投影及垂線段.(3)求點到平面的距離主要有哪些方法？歸納總結(jié)求點到平面的距離的方法：1.作點到平面的垂線，點與垂足的距離即為點到平面的距離.2.在三棱錐中用等體積法求解.3.向量法：點到平面的距離為參考向量與法向量數(shù)量積的絕對值與法向量的模之比.思考：如果直線l與平面α平行，如何求直線與平面的距離？如何求兩平行平面之間的距離？證明直線與平面平行或面面平行，再轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.目標二：能用向量方法解決點到直線、平行線間、點到平面、直線到平面（直線與平面平行）、平行平面間的距離問題.任務(wù)：用向量方法求解空間中點到直線和平面的距離.在棱長為1的正方體ABCD

－A1B1C1D1

中，E為線段A1B1的中點，F(xiàn)為線段AB的中點.（1）求點B到直線AC1的距離；（2）求直線FC

到平面AEC1的距離.解：以D1為原點，D1

A1，D1

C1，D1

D所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,1)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，C1(0,1,0)，所以（1）取則所以，點B到直線AC1的距離為設(shè)平面AEC1的法向量為n=(x,y,z)，則(2)因為所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1.所以點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離.所以取z=1，則x=1，y=2，所以n=(1,2,1)是平面AEC1的一個法向量.，所以又因為所以點F到平面AEC1的距離為即直線FC到平面AEC1的距離為思考：上述過程中，求點到直線和點到平面兩種距離的步驟是怎樣的？點P到直線l的距離：1.建系，在直線l上任取一點A(注：選擇特殊便于計算的點)，求“參考向量(或)”的坐標.2.依據(jù)圖形先求出直線l的單位方向向量u.3.帶入公式求解.點P到平面α的距離：1.建系，選擇“參考向量”；2.確定平面α的法向量n；3.帶入公式求值.歸納總結(jié)1.建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；2.通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問題；3.把向量運算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：練一練

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點，N為BC的中點．(1)求點M到直線AC1的距離；(2)求點N到平面MA1C1的距離．解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，直線AC1的一個單位方向向量為，故點M到直線AC1的距離為.(2)設(shè)平面MA1C1的一個法向量為＝(x，y，z)，則，即取x＝1，得