2024屆湖南長(zhǎng)沙一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆湖南長(zhǎng)沙一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，如果，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形2．設(shè)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A． B． C． D．3．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（）A． B． C． D．4．若，則下列不等式不成立的是（）A． B． C． D．5．不論為何值，直線恒過(guò)定點(diǎn)A． B． C． D．6．在一個(gè)錐體中，作平行于底面的截面，若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為（）A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶7．設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則（）A． B．C． D．8．已知點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率滿足()A．或 B．或 C． D．9．將的圖像怎樣移動(dòng)可得到的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位10．同時(shí)拋擲三枚硬幣，則拋擲一次時(shí)出現(xiàn)兩枚正面一枚反面的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列滿足，（），則________.12．函數(shù)f(x)＝coscos的最小正周期為_(kāi)_______．13．某學(xué)校高一年級(jí)舉行選課培訓(xùn)活動(dòng)，共有1024名學(xué)生、家長(zhǎng)、老師參加，其中家長(zhǎng)256人．學(xué)校按學(xué)生、家長(zhǎng)、老師分層抽樣，從中抽取64人，進(jìn)行某問(wèn)卷調(diào)查，則抽到的家長(zhǎng)有___人14．下列結(jié)論中正確的是______.（1）將圖像向左平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到的圖像；（2）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（3）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（4）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（5）將圖像向左平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到的圖像；15．已知，，若，則實(shí)數(shù)_______.16．將正整數(shù)按下圖方式排列，2019出現(xiàn)在第行第列，則______；12345678910111213141516………三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在梯形ABCD中，，，，.（1）求AC的長(zhǎng)；（2）求梯形ABCD的高．18．已知函數(shù)，，且是R上的奇函數(shù)，（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)）的單調(diào)性（不必說(shuō)明理由），并求不等式的解集；（3）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.19．已知向量，，．（1）求函數(shù)的解析式及在區(qū)間上的值域；（2）求滿足不等式的x的集合．20．愛(ài)心超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫單位：有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份每天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)216362574（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的頻率；（2）當(dāng)六月份有一天這種酸奶的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，求這一天銷售這種酸奶的平均利潤(rùn)（單位：元）21．近年來(lái),鄭州經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展,躋身新一線城市行列,備受全國(guó)矚目．無(wú)論是市內(nèi)的井字形快速交通網(wǎng),還是輻射全國(guó)的米字形高鐵路網(wǎng),鄭州的交通優(yōu)勢(shì)在同級(jí)別的城市內(nèi)無(wú)能出其右．為了調(diào)查鄭州市民對(duì)出行的滿意程度,研究人員隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查,并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如下的頻率分布直方圖,其中．（I）求的值；（Ⅱ）求被調(diào)查的市民的滿意程度的平均數(shù),眾數(shù),中位數(shù)；（Ⅲ）若按照分層抽樣從,中隨機(jī)抽取8人,再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取2人,求至少有1人的分?jǐn)?shù)在的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

結(jié)合正弦定理和三角恒等變換及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果【題目詳解】利用正弦定理得，化簡(jiǎn)得，即，則或，解得或故的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)正弦定理和三角恒等變化，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題2、D【解題分析】

由題意可得恒成立，討論，，運(yùn)用基本不等式，可得最值，進(jìn)而得到所求范圍．【題目詳解】恒成立，即為恒成立，當(dāng)時(shí)，可得的最小值，由，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值8，即有，則；當(dāng)時(shí)，可得的最大值，由，當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值，即有，則，綜上可得．故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和分類討論思想，以及基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和運(yùn)算能力．3、A【解題分析】

根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O，過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長(zhǎng)CO1交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．∵CO1=，∴，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∴S△ABC=，∴．考點(diǎn)：棱錐與外接球，體積．【名師點(diǎn)睛】本題考查棱錐與外接球問(wèn)題，首先我們要熟記一些特殊的幾何體與外接球（內(nèi)切球）的關(guān)系，如正方體（長(zhǎng)方體）的外接球（內(nèi)切球）球心是對(duì)角線的交點(diǎn)，正棱錐的外接球（內(nèi)切球）球心在棱錐的高上，對(duì)一般棱錐來(lái)講，外接球球心到名頂點(diǎn)距離相等，當(dāng)問(wèn)題難以考慮時(shí)，可減少點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如先考慮到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形的外心，球心一定在過(guò)此點(diǎn)與此平面垂直的直線上．如直角三角形斜邊中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等等等．4、B【解題分析】

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)、重要不等式、函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：∵，∴，，∴，即，故A成立；，即，故B不成立；，即，故C成立；∵指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴，故D成立；故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，作差法比較大小，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

根據(jù)直線方程分離參數(shù)，再由直線過(guò)定點(diǎn)的條件可得方程組，解方程組進(jìn)而可得m的值．【題目詳解】恒過(guò)定點(diǎn)，恒過(guò)定點(diǎn)，由解得即直線恒過(guò)定點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題考查含有參數(shù)的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，過(guò)定點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6、D【解題分析】解：因?yàn)樵谝粋€(gè)錐體中，作平行于底面的截面，若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3，那么分為的兩個(gè)錐體的體積比為1：，因此錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為．1∶7、C【解題分析】

首先比較自變量與的大小，然后利用單調(diào)性比較函數(shù)值與的大小.【題目詳解】因?yàn)?，函?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以.故選C.【題目點(diǎn)撥】已知函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小，可以借助自變量的大小來(lái)比較函數(shù)值的大小.8、A【解題分析】

畫(huà)出三點(diǎn)的圖像，根據(jù)的斜率，求得直線斜率的取值范圍.【題目詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作直線軸交線段于點(diǎn)，作由直線①直線與線段的交點(diǎn)在線段(除去點(diǎn))上時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，斜率的范圍是.②直線與線段的交點(diǎn)在線段(除去點(diǎn))上時(shí)，直線的傾斜角為銳角，斜率的范圍是.因?yàn)?，，所以直線的斜率滿足或.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查兩點(diǎn)求斜率的公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

因?yàn)閷⑾蜃笃揭苽€(gè)單位可以得到，得解.【題目詳解】解：將向左平移個(gè)單位可以得到，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解.【題目詳解】每枚硬幣正面向上的概率都等于，故恰好有兩枚正面向上的概率為：.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布.本題也可根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、31【解題分析】

根據(jù)數(shù)列的首項(xiàng)及遞推公式依次求出、、……即可.【題目詳解】解：，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用遞推公式求出數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.12、2【解題分析】f(x)＝coscos＝cos·sin＝sinπx，最小正周期為T＝＝213、16【解題分析】

利用分層抽樣的性質(zhì)，直接計(jì)算，即可求得，得到答案．【題目詳解】由題意，可知共有1024名學(xué)生、家長(zhǎng)、老師參加，其中家長(zhǎng)256人，通過(guò)分層抽樣從中抽取64人，進(jìn)行某問(wèn)卷調(diào)查，則抽到的家長(zhǎng)人數(shù)為人．故答案為16【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的概念和性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、（1）（3）【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像伸縮變換與平移變換的原則，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到的圖像；（1）正確；（2）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（2）錯(cuò)；（3）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（3）正確；（4）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（4）錯(cuò)；（5）將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到的圖像；（5）錯(cuò)；故答案為（1）（3）【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.15、【解題分析】

利用平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系可得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，解方程即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以，整理得：，解得：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．16、128【解題分析】

觀察數(shù)陣可知：前行一共有個(gè)數(shù)，且第行的最后一個(gè)數(shù)為，且第行有個(gè)數(shù)，由此可推斷出所在的位置.【題目詳解】因?yàn)榍靶幸还灿袀€(gè)數(shù)，且第行的最后一個(gè)數(shù)為，又因?yàn)?，所以在第行，且?5行最后數(shù)為，又因?yàn)榈谛杏袀€(gè)數(shù)，，所以在第列，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列在數(shù)陣中的應(yīng)用，著重考查推理能力，難度一般.分析數(shù)列在數(shù)陣中的應(yīng)用問(wèn)題，可從以下點(diǎn)分析問(wèn)題：觀察每一行數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與行號(hào)關(guān)系，同時(shí)注意每一行開(kāi)始的數(shù)據(jù)或結(jié)尾數(shù)據(jù)，所有行數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)，注意等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2).【解題分析】

（1）首先計(jì)算，再利用正弦定理計(jì)算得到答案.（2）中，由余弦定理得，作高，在直角三角形中利用三角函數(shù)得到高的大小.【題目詳解】（1）在中，,.由正弦定理得：，即.（2）在中，由余弦定理得：，整理得，解得．過(guò)點(diǎn)D作于E，則DE為梯形ABCD的高．，，．在直角中，．即梯形ABCD的高為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和解決問(wèn)題的能力.18、（1）0（2），（3）【解題分析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得．，由此求得值（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性不等式即可（3）不等式．．分離參數(shù)即可．【題目詳解】（1），是上的奇函數(shù)．．即得：．即，得：．，．（2）由（1）得．函數(shù)在上單調(diào)遞增，由不等式得不等式．所以，解得不等式的解集為，．（3）由不等式在上恒成立，可得，即．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，．令，．故實(shí)數(shù)b的取值范圍.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．19、（1）值域?yàn)椋?）【解題分析】

（1）由向量，，利用數(shù)量積運(yùn)算得到；由，得到，利用整體思想轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求值域.（2）不等式，轉(zhuǎn)化為，利用整體思想，轉(zhuǎn)化為三角不等式，利用單位圓或正弦函數(shù)的圖象求解.【題目詳解】（1）因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)椋?）由，得，即．所以，解得，不等式的解集為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）460元.【解題分析】

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求得最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求得相應(yīng)的概率；（2）分別求出溫度不低于、溫度在，以及溫度低于時(shí)的利潤(rùn)及相應(yīng)的概率，即可求解這一天銷售這種酸奶的平均利潤(rùn)，得到答案．【題目詳解】（1）根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，得到最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數(shù)