11.2+平面的基本事實(shí)與推論+課件-【基礎(chǔ)夯實(shí)與拓展提升】高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第四冊

新授課課時(shí)10

平面的基本事實(shí)與推論1.了解平面的基本事實(shí)與推論，能用圖形、文字、符號三種語言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論.2.能運(yùn)用平面基本事實(shí)與推論解決相關(guān)問題.目標(biāo)一：了解平面的基本事實(shí)與推論，能用圖形、文字、符號三種語言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論.任務(wù)1：通過觀察實(shí)例，思考問題，體會平面的基本事實(shí).問題1：觀察如圖的凳子，把凳子看成一個(gè)平面，思考：(1)如果把一個(gè)平面固定在空間中，至少需要固定幾個(gè)點(diǎn)？三個(gè)點(diǎn)無數(shù)個(gè)、無數(shù)個(gè).(2)有多少個(gè)平面能通過空間中指定的一點(diǎn)？有多少平面能通過空間中指定的兩點(diǎn)？平面基本事實(shí)1：文字表示：經(jīng)過不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.符號表示：A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α圖形表示：新知講解即“不共線的3點(diǎn)確定一個(gè)平面”.注：(1)“有且只有一個(gè)”的含義：“有”說明對象存在；“只有一個(gè)”說明對象是唯一的.(2)過不共線的3點(diǎn)A，B，C的平面，通常記作平面ABC，用圖像直觀地表示平面時(shí)，為了增加立體感，習(xí)慣上講平面用平行四邊形表示.作用：①確定平面的依據(jù)；

②判定點(diǎn)、線共面.問題2：如圖，是一長排掛鉤，在墻上釘這個(gè)掛鉤時(shí)，我們只需釘幾個(gè)釘子？由此，思考直線上至少已知幾個(gè)點(diǎn)在某平面內(nèi)時(shí)，就能確保直線在該平面內(nèi)？新知講解平面基本事實(shí)2：文字表示：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).符號表示：A∈α，B∈α?AB?α；圖形表示：注意：直線和平面是數(shù)學(xué)上的概念，具有較強(qiáng)的抽象性，直線是沒有粗細(xì)，無限延伸的，平面是沒有厚度，無限延伸的.作用：①判定直線是否在平面內(nèi)；②判斷一個(gè)面是否是平面：如果一個(gè)面內(nèi)的任意兩點(diǎn)所確定的直線都在這個(gè)平面內(nèi)，那么這個(gè)面就是平面.例如，球面不是一個(gè)平面，因?yàn)榍蛎嫔先我鈨牲c(diǎn)所確定的直線中，只有兩個(gè)點(diǎn)在球面上.問題3：當(dāng)用裁紙刀裁紙時(shí)，可以認(rèn)為刀鋒是在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動的.(1)裁紙刀裁出的是什么樣的痕跡？(2)兩個(gè)平面相交時(shí)，公共點(diǎn)具有什么特點(diǎn)？(1)直線；(2)共線.平面基本事實(shí)3：文字表示：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.符號表示：P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l圖形表示：新知講解注：(1)基本事實(shí)3說明，兩個(gè)不重合的平面，只要有一個(gè)公共點(diǎn)，就一定有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)能構(gòu)成一條直線，這條直線通常也稱為兩個(gè)平面的交線，如圖(1)所示，有

；(2)在畫兩個(gè)平面相交時(shí)，其中一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮住的部分應(yīng)該畫出虛線或不畫，這樣可使畫出的圖形立體感更強(qiáng)一些，如圖(2)所示.作用：①判定兩個(gè)平面是否相交；②判定多點(diǎn)共線、多線共點(diǎn).練一練下列命題正確的是(

)A.經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面D.四邊形確定一個(gè)平面C任務(wù)2：根據(jù)平面的基本事實(shí)，探究平面的其他性質(zhì).推論1：文字表示：經(jīng)過一條直線與直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，可以簡記為：“直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面”.符號表示：A?l?存在唯一的平面α，使A∈α，且l?α圖形表示：新知講解推論2：文字表示：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，可以簡記為：“兩相交直線確定一個(gè)平面”.符號表示：l∩m＝A?存在唯一的平面α，使l?α，且m?α.圖形表示：注：三角形是平面圖形，因此三角形的性質(zhì)及解三角形等結(jié)論可以在空間中繼續(xù)應(yīng)用.推論3：文字表示：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面，可以簡記為：“兩條平行直線確定一個(gè)平面”.符號表示：l∥m?存在唯一的平面α，使l?α，且m?α.圖形表示：注：平行四邊形，梯形是平面圖形，因此平行四邊形，梯形的性質(zhì)及判定等結(jié)論在空間中仍然成立.思考：如何利用平面基本事實(shí)證明以上3個(gè)推論？推論1的證明：如圖1所示，在直線l上取兩點(diǎn)A，B，因?yàn)镃?l，所以A，B，C3點(diǎn)不共線.由基本事實(shí)1可知，A，B，C確定一個(gè)平面，記為α.由基本事實(shí)2以及A∈α，B∈α可知l?α.圖1推論2的證明：推論3的證明：如圖2所示直線BC和直線AC相交與C.由基本事實(shí)1可知A，B，C確定一個(gè)平面，記為α，由基本事實(shí)2以及A∈α,C∈α,可得直線AC?α，同理直線BC?α，如圖3所示，已知兩條平行線中一條直線上的點(diǎn)A和另一條直線上的點(diǎn)B，C.根據(jù)直線平行的定義，這兩條平行線在同一平面內(nèi)，又因?yàn)檫@個(gè)平面含有不共線的三點(diǎn)A，B，C，由平面的基本事實(shí)1可知，這個(gè)平面是確定的.圖2圖3練一練用符號表示下列語句，并畫出圖形.(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)但在平面β外；(2)直線a經(jīng)過平面α內(nèi)一點(diǎn)A，α外一點(diǎn)B；(3)直線a在平面α內(nèi)，也在平面β內(nèi)；解：(1)

(如圖①)；(2)

(如圖②)(3)

α∩β＝a(如圖③)目標(biāo)二：能運(yùn)用平面基本事實(shí)與推論解決相關(guān)問題.任務(wù)：運(yùn)用所學(xué)知識解決下列證明問題.問題1：證明：兩兩相交且不過同一個(gè)點(diǎn)的3條直線必在同一個(gè)平面內(nèi).法1：證明：設(shè)直線AB，BC，AC兩兩相交，交點(diǎn)分別是A，B，C.

顯然，A，B，C3點(diǎn)不共線，因此它們能確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳∈α，B∈α，那么直線AB?α.同理AC?α，BC?α.即直線AB，BC，AC都在平面α內(nèi).法2：設(shè)直線AB，BC，AC兩兩相交，交點(diǎn)、分別為A，B，C因?yàn)锳B∩AC=A，所以AB，AC確定一個(gè)平面α因?yàn)锳B∩BC=B，所以AB，BC確定一個(gè)平面β因?yàn)锳∈AB，AB?α，所以A∈α因?yàn)锳∈AB，AB?β，所以A∈β同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共線三點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)平面α和β重合，即AB，BC，AC都在同一平面內(nèi).證明點(diǎn)、線共面的常用方法：(1)“納入法”：先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)；(2)“同一法”：先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合；(3)“反證法”：假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾.歸納總結(jié)問題2：如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的一點(diǎn)，試說明D1，A，E3點(diǎn)確定的平面與平面ABCD相交，并畫出這兩個(gè)平面的交線.解：因?yàn)锳∈面D1AE，A∈面ABCD，所以面D1AE∩ABCD≠?，即面D1AE與面ABCD相交.延長D1E與DC，設(shè)它們相交于F，如圖所示，則：F∈直線D1E，直線D1E?面D1AE，F(xiàn)∈直線DC，直線DC?面ABCD，則F∈面D1AE∩面ABCD，從而AF為面D1AE與面ABCD的交線，如圖所示.歸納總結(jié)確定兩平面交線的方法：畫兩個(gè)平面的交線只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可確定，作圖時(shí)應(yīng)充分利用幾何體本身提供的線面、面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置.另外，畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，轉(zhuǎn)化為畫兩個(gè)平面的交線問題.如圖，已知E，F(xiàn)，G