考前定心卷02（解析版）-2022年新高考數(shù)學提分精練（新高考地區(qū)專用）

考前定心卷02

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的.

1.設集合A={x|-24x43},8={x|-14xvg）,則人03=（）

A.[-1,3]B.（-8,-1）53,田）C.12,g）D.[-2,3]

【答案】A

【解析】

【分析】

利用交集的概念運算即可得答案.

【詳解】

因為集合4=卜|-24出3},8=卜|一14》44，

所以AcB={x|-14x43},即AnS=[T,3]

故選：A.

2.已知復數(shù)z滿足z（4-3i）=3+4i,則復數(shù)z的虛部是（）

A.iB.1C.—iD.—1

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)z,即可求解z的虛部.

【詳解】

3+4i_（3+4i）（4+3i）_25ij

解：解法一：由z（4-3i）=3+4i得

4-3i-（4-3i）（4+3i）"25

復數(shù)z的虛部是1.

解法二：設z=a+Z?i（a,beR）,

由z（4-3i）=3+4i得（a+歷）（4-3i）=3+4i,即4a+38+（4/?-3a）i=3+4i,

4a+34=3a=0

所以,解得

4b—3。=4h=\

...復數(shù)Z的虛部是1.

故選:B.

i_1

3.已知向量。=（1,一2）,6=（1,幾），則“2＜：”是與坂的夾角為銳角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)2與?的夾角為銳角求出力的取值范圍，再結合必要不充分條件的概念可得答案.

【詳解】

當2與B的夾角為銳角時，公④>0且7H不不共線，

[l-2A>01

即ICZX?***>1<-11/1^—2，

[2+2^02

，“兀<g”是“￡與5的夾角為銳角”的必要不充分條件.

故選：B.

4.己知拋物線V=2px（p>0）的準線與x軸交于點“，點/到直線y=x+l的距離為0,

則。的值為（）

A.—B.y/2C.2D.6

2

【答案】D

【解析】

【分析】

易得M坐標為卜0）,再根據(jù)點到線的距離求解。的值即可

【詳解】

由已知拋物線的準線4x軸的交點M坐標為其到直線x-y+1=0的距離

-K-0+1

=后解得（舍去）.

d=2_____P=6p=-2

VF+T

故選：D.

5.如圖，己知某圓錐形容器的軸截面是面積為166的正三角形，在該容器內(nèi)放置一個圓柱，

使得圓柱的上底面與圓錐的底面重合，且圓柱的高是圓錐的高的則圓柱的體積為（）

A.44B.8萬C.4\取D.8七

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，作出軸截面圖，進而根據(jù)軸截面的面積得正三角形邊長為8,再結合題意得圓柱

的底面半徑為2,高為26，進而計算體積即可.

【詳解】

解：如圖，作出軸截面，則根據(jù)題意，口/lBC為正三角形，且面積為166，

所以，設正三角形的邊長為2a，則AB=AC=BC=24,OC=&a,

所以，16G=1x2ax6a,解得a=4,

2

因為圓柱的上底面與圓錐的底面重合，且圓柱的高是圓錐的高的g,,

所以。E=1OC=2后，OD=\OA=2,即圓柱的底面半徑為2,高為26，

所以，圓柱的體積為y=4%x26=86r

故選：D

6.我國古代數(shù)學家僧一行應用“九服唇影算法”在《大衍歷》中建立了唇影長/與太陽天頂距

6（0。464180。）的對應數(shù)表，這是世界數(shù)學史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學知識可

知，唇影長度/等于表高〃與太陽天頂距9正切值的乘積，即/=〃tan?.對同一“表高”兩次測

量，第一次和第二次太陽天頂距分別為a,P,若第一次的“唇影長”是“表高”的3倍，且

tan(a-/?)=l,則第二次的喔影長”是“表高”的()倍.

257

A.1B.-C.-D.一

322

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意可得tana=3,tan(a-0=；,再根據(jù)血尸:的心一心-廣才結合兩角差的正切公

式即可得解.

【詳解】

解：由題意可得tana=3,tan(a-/7)=g,

tanof-tan(6Z-/7)

所以tan夕=tan[a-(a-/7)]=

1+tancrtan(a-/?)l+3x-

2

即第二次的“號影長''是"表高”的1倍.

故選：A.

7.在EJABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若acosB=3bsinA-6cosA,則(“+"

ab

的取值范圍是()

A.[3,5]B.[4,6]C.[4,2+V13]D.[4,2+715]

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理川得，sinC=3sinAsinB,由基本不等式可求出擔或的最小值，再根據(jù)余

ab

弦定理以及正弦定理可將心包化成關于角C的函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大

ab

值，從而得到取值范圍.

【詳解】

因為acos3=3加inA—Z?cosA,由正弦定理得sinAcos3=3sinBsinA—sin3cosA,即

sinC=3sinAsinB.

("+")-=/+02+2%她=4,當且僅當。=6時取等號.

ababab

rpi，272c,=與二I”(a+b)Q-+b-+2abc~+2aZ?cosC_c~

因為c=a+/r-2abcosC，所以=-----------=2+------------=2+2cosC+一

abababab

=2+2cosC+—=3sinC+2cosC+2=V13sin(C+ffl)+2,其中tane=；ee(0,=],

sinAsin8v13I

而0<C<兀，所以當C+s=g時，(”+“)-取最大值2+g.即("+“)-的取值范圍是

2abab

[4.2+VI3].

故選：C.

【點睛】

本題主要考查正余弦定理的應用，以及利用三角函數(shù)的性質(zhì)求范圍，解題關鍵是通過消元思

想將所求式子轉(zhuǎn)化成關于角C的函數(shù)，再結合輔助角公式求出其最大值.

(xxN0

8.己知函數(shù)/(x)=；一八，若方程〃x)=ae"有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)〃的取

I—X,X<U

值范圍為()

【答案】B

【解析】

【分析】

等價轉(zhuǎn)化之后數(shù)形結合，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點個數(shù)來處理

【詳解】

—,x>0

e，

/(x)=aevoa=<

-x2

—-,x<0

e

JxNO

設g(x)=(e、

-x-

~~^x<0

當時，g〈x)=g^

所以當0Mx<l時，g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增;

當x>l時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減

X=1時，g(x)取得極大值;

當X趨向于+8,g(x)趨向于0

當％<0時,g'(x)=x(x：2)>0,g(x)單調(diào)遞增

依題意可知，直線x=”與g(x)的圖象有兩個不同的交點

如圖所示，”的取值范圍為

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知曲線C的方程為片+上=1(〃*0,〃R6,〃€R),則下列說法正確的是()

n6-n

A.當〃>6時，曲線C是焦點在％軸上的雙曲線

B.當0<“<6時，曲線C是橢圓

C.若實數(shù)”的值為2,則曲線C的離心率為亞

2

D.存在實數(shù)〃，使得曲線C表示漸近線方程為y=±x的雙曲線

【答案】AC

【解析】

【分析】

對A,根據(jù)雙曲線方程的性質(zhì)求解即可；

對B,舉反例判斷即可；

對c,根據(jù)離心率的公式求解即可；

對D,根據(jù)漸近線的方程與雙曲線方程關系求解判斷即可

【詳解】

22

對A,當〃>6時，〃-6>0,曲線C的方程為工-工=1,表示焦力:在x軸」:的雙曲線，

nn-6

故A正確；

對B,當〃=3時，曲線C為f+y2=3,曲線C表示圓，故B不正確；

對C,n=2,曲線C表示橢圓，焦點在y軸上，可得e=￡==正，故選項C正確；

a2

對D,假設存在實數(shù)〃，使得曲線C表示漸近線方程為y=±x的雙曲線,此時有m（6-〃）<0,

得〃<0或”>6,當〃<0時，6-n=-n,無解；當〃>6時，n=-（6-n）,無解，所以滿足

題意的實數(shù)〃不存在，故D不正確.

故選：AC.

10.為了解某貧困地區(qū)實施精準扶貧后的成果，現(xiàn)隨機抽取了該地區(qū)三個縣市在2021年建

檔立卡人員年人均收人提升狀況.經(jīng)統(tǒng)計，A縣建檔立卡人員年人均收人提升狀況用餅狀圖

表示，B縣建檔立卡人員年人均收人提升狀況用條形圖表示，C縣建檔立卡人員年人均收入

提升的均值為122（百元），方差為4,A,B,C三縣建檔立卡人數(shù)比例為3：4：5,則下列

A.A縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為122

B.8縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為5.6

C.估計該地區(qū)建檔立卡人員的年人均收入提升120.75百元

D.C縣精準扶貧的效果最好

【答案】BCD

【解析】

【分析】

A.利用均值公式求解；B.先求得平均數(shù)，再利用方差公式求解：C.利用均值公式求解；D.

利用平均數(shù)和方差判斷.

【詳解】

711

A.A縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為123x^+114x^+121x：=121,故錯

1264

誤；

B.B縣建檔立卡人員年人均收入提升的平均數(shù)為

115x10%+117x20%+119x50%+123x20%=119,

8縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為

(115-119)2X0.1+(117-119)2X0.2+(119-119)2XO.5+(123-119)2XO.2=5.6,

故正確；

C.該地區(qū)建檔立卡人員的年人均收入提升：*x(121x3+119x4+122x5)=120.75百元，故

正確；

D.A縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為

g[(123-121『+(114-121)2+(⑵=17.7,

所以又C>GA>》A，S2C<S：<S2A，故C縣精準扶貧的效果最好，故正確；

故選：BCD

11.已知，ne2"+(，〃-2)e"-a=〃?e"'+(，〃-2)e'',則()

A.當〃ze(-l,O),a,6w(-oo,0)時,a>b

B.當n?w(T,O),a,be(-oo,0)時，a<b

C.當，a,b?0,+oo)時，a>h

D.當a,b?0,+oo)時,a<b

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)等號兩邊式子的結構特征構造函數(shù)/(x),利用導數(shù)分類討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性進行求解.

【詳解】

設/(x)=〃花”'+(m-2)ex-x,

因為，Me?"+(m-2)ea—a=me2b+(m-2)e”,

所以/(a)=/(b)+6,當仁6e(9,0)時，

/⑷-f(b)=b<0,即/⑷</(〃).

易知/(x)=(，m'-*21+1),

當1,0)時，/'(x)<0,所以/(x)在(—e,0)上單調(diào)遞減，

所以”>b,故選項A正確，選項B錯誤.

當力?0,用)時,f{a)-f[b)=b>G,即/⑷>/(b).

當nze(l,2)時，令/'(x)=0,解得x=-lnm,

所以f(x)在(y°,Tn")上單調(diào)遞減，在(Tn%,+oo)上單調(diào)遞增，

所以“>〃，故選項C正確，選項D錯誤.

故選：AC.

12.如圖，已知三棱柱ABC-%瓦G的底面是邊長為1的正三角形，NAA8=NAAC=60。,

M是棱2c上一點(與端點不重合)，則()

A.BClAAt

B.平面平面BBgC

C,三棱錐Bi-AiQM的體積為定值

D.當AA=I時，A”長度的最小值為走

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】

A：取BC的中點N,連接AN、AN、A/、A(,證明BC_L平面A4N即可；B：當M

為BC中點時，易知平面A41MJ_平面54GC,不為中點時，平面A41M_L平面不成

立;C:根據(jù)根-AG"5G即可判斷；D：過點4作A。，平面ABC,垂足為。，易知。

在4V上.在口445中，作AQLAB,垂足為。，連接設MN=x,根據(jù)兒何關系表示

出A何即可求其最小值.

【詳解】

對于A,取BC的中點N,連接AN、AZ、AB、AC,易知4V_L8C,絲△^AC,

/.\B=\C,：.\NVBC,

又4VnAN=N,平面AAN,，BCLAA，故A正確.

對于B,由選項A知，當”為BC的中點時，BCJ_平面他用，

,/BCu平面.?.平面AAtM1平面BB&C,

當M不為BC的中點時，平面AAtM，平面BBCC不成立，故B錯誤；

對于c,易知3c〃平面A4G，則點M到平面4gG的距離為定值，又△ABC的面積為

定值，=V"-"嗎G為定值，故?正確.

對于D,取BC的中點N,連接AN、\B,過點人作A。，平面ABC,垂足為。，易知。

在AN上.在口4A8中，作垂足為。，連接00.

AAi=\,N4A￡>=60。，AO=g,

易知A01AB,ABA.A.D,故A81,平面A。。，故A8_L。。,

在RtEA。。中，NOAO=30。，：.0A=AD=—,

cos3003

OA.=JAA；-OA2=—,ON=AN-OA=—.

1V136

設MN=x,則04X<L連接OM,

2

2222

則AtM=yJOA^+OM=y]OA；+ON+MN=J1+x>亭，

當且僅當x=0,即M為BC的中點時等號成立，

A例長度的最小值為趙，故D正確.

2

故選：ACD.

【點睛】

本題以三棱柱為載體，設置不同的選項，多維度考查立體幾何的有關知識，設題方式靈活,

對考生的空間想象能力和邏輯思維能力要求較高，重視對數(shù)學本質(zhì)的考查.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若(l+2x)(l—x+x?)=&++,??+a”"',則q+a?"**~"i8=*

【答案】0

【解析】

【分析】

根據(jù)題意,令x=l得3=%+%+出+…+q9，x=0得1=%,再求解％9=2即可得答案.

【詳解】

解：因為(1+2幻(1一%+九2)9=。0+4/+4*2+…+4/兇，

所以，令x=1得(1+2)(1—1+1~)=3=%+4+%+…+49，

令x=0得(1+0)0-0+02)=l=aQ,

1929

另-方面，6719x=2x-q(x)=2Z\即/=2,

所以%+C1-,H-----=(/+q+叼+…+。19)一“0—《9=3-]—2=0.

故答案為：0

14.己知函數(shù)“X)的定義域為R,且/(T)=〃X),/(l-x)=-/(x),若于

16

【答案】-1##-0.2

【解析】

【分析】

由已知得出函數(shù)的周期，然后利用周期性及已知式求值.

【詳解】

由(X),得〃I+X)=—〃T),又〃T)=F(X),所以〃i+x)=-/"),得

“x+2)=-/(x+l)=-(-/(x))=/(x),

16

所以/1+-

故答案為：-y.

15.已知數(shù)列｛叫的前〃項和S,=2"-1,數(shù)列他,｝滿足伉=4,hn+l=2a?+3b?,neN\則

也｝的通項公式為.

n

【答案】bn=3-2"##b?=-2"+3"

【解析】

【分析】

利用4和S“關系可求出｛%｝通項公式，再利用遞推關系可得｛"+2"｝是以3為首項，3為公

比的等比數(shù)列，即可求出.

【詳解】

當〃=1時，q=S[=一1=1,所以4=1.

當〃22時，％=S“—S,i=2"—2"T=2〃T,當〃=1時，也符合上式,故4=2"」.

因為4=1,%=2"+3b,,,所以hn+l+2向=2"+3〃,+2向=3僅,+2"）,

即數(shù)列也+2"｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以〃+2"=3",即么=3"-2".

a

故答案為：bn=y-2.

16.把〉：國!!》的圖象向右平移0（0＜0＜5）個單位，再把所得圖象各點的橫坐標縮短為原

來的3倍，再把所得圖象各點的縱坐標伸長為原來的2倍.得到函數(shù)/'3）的圖象，若

/（x）＜對VxeR成立.

IT57r

①/（X）的一個單調(diào)遞減區(qū)間為；

J0

②/（X）的圖象向右平移加機＞0）個單位得到的函數(shù)是一個偶函數(shù)，則，”的最小值為T；

③/（X）的對稱中心為1萬■+五eZ）；

④若關于x的方程2"（x）f+叭x）+l=0在區(qū)間上有兩個不相等的實根，則”的取

值范圍為[-3,-2夜）.

其中，判斷正確的序號是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

根據(jù)平移得/（x）=2sin（2x-e）,山陪卜I。的范圍解得。，再根據(jù)x的范圍和

y=2sinf的單調(diào)性可判斷①；求出〃x）向右平移制機＞0）個單位的解析式，利用誘導公式和

加的范圍可判斷②；求出/（x）的對稱中心可判斷③；令f=2x-g,轉(zhuǎn)化為2s2+〃s+l=O在

6

[0,1]上有兩個不相等的實根，根據(jù)二次函數(shù)根的分布可判斷④.

【詳解】

根據(jù)題意得，函數(shù)經(jīng)過平移伸縮變換后的解析式為：/（x）=2sin（2x-e）,

'?./（X）及值=/（弓），'2*？-。=E+W，左€2,解得P=-E+J,kwZ,

JJ26

?/0<6?<—,“=￡J(x)=2sin(2x-J

26

、[,兀5兀7T7T37r7jr13兀

當,——,「2x-/-,時，—在-上單調(diào)遞減，①正確;

366y2'>2T

IM的圖象向右平移皿，〃>0）個單位得到的函數(shù)是

y=2sin（2（尤一加）一看=2$也（2%一專一2根）是一個偶函數(shù),

l?兀-兀，&7C7C.__7C>/it?m

則一二一2機=<=-----,^sZ,?/m>0,m=-,②錯質(zhì)；

6223m6in

令2.七也"號+去皿，所以削的對稱中心為舁展,。（丘Z）,

故③正確;

兀7兀3兀兀55兀兀

—,——,/=2x——E—，兀,y=2sinf,所以yw[O,l],

21266

令S=/（X）,S￡[O,l],則關于X的方程2"（切2+植。）+1=0在區(qū)間上有兩個不相等

的實根等價于2d+小+1=o在[0,1]上有兩個不相等的實根,

設g（s）=2s2+ns+l,則函數(shù)與X軸有兩個交點，函數(shù)對稱軸為s=-g,實數(shù)“滿足

6

0<--<1

4

.g（O）=l>°,解得：一34〃<-2夜，所以④正確.

g⑴=3+〃20

A=/I2-8>0

故答案為：①③④.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

設數(shù)列｛q｝的前〃項和為s“，已知4=2,a?+l=25?+2.

（1）求｛為｝的通項公式；

⑵若anb?=jn,求數(shù)列也｝的前〃項和7“.

【答案】⑴4=2x3"一

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)川=2S“+2以及a?=S?-S?_t，即可求解數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)將數(shù)列｛%｝的通項公式帶入數(shù)列｛2｝,進行化簡，利用錯位相減法進行求解.

(1)

a“+i=2S“+2,①

當“22時，a?=2sM+2,②

①-②得%-a.=2(S“-S“_J=2%,.?.%=3a“("22),，T=3,

a6

a,=2,/.a2=2S,+2=6,■^?=5=3也滿足上式，

，｛%｝為等比數(shù)列且首項為2,公比為3,??.a“=a「3"T=2-3"T.

即｛4｝的通項公式為4=2x3"!

(2)

,f2nn

由(1)知凡=2X3〃T,所以""=/=踵，

令北=5+孕+???+^"+訶，①

1e12n—\n與

得+于+…+亍②

小小和2T1,1,1,,1n3CFJnif,11n

①-②得/=§+三+于+…+3-/==一-產(chǎn)=金行J-嚴，

-3

所以7

m'n44x3",

18.(12分)

在①AB=2右，②NA￡>8=135。，③4MQ=NC這三個條件中任選一個，補充在下面的問

題中，使得問題成立，并求8。的長和DABC的面積.如圖，在DABC中，。為BC邊上一點，

AD±AC,AD=\,sinABAC=,求30的長和匚45C的面積.注：如果選擇多

個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

選條件①：根據(jù)sinNB4C=311(90。+NflAD)求得sinN84D,再在△ABO中用正余弦定理

分別求得8。和sinZADB,進而求得AC與匚MC的面積；

選條件②：根據(jù)豆11/班。=力11(90。+/皿>)求得311/84。，再求sinB,再在△ABO中，

由正弦定理得43=6，80=0，進而求得面積；

選條件③：根據(jù)411/847=5山(90。+/84￡>)求得5畝/84。，即sinC,再根據(jù)

由13=411(/B4￡>+/4。3)計算$出8,再在△ABE)中，由正弦定理得A3,80,進而求得面

積

【詳解】

2Is

選條件①，sinZBAC=sin(90°+ZBAD)=cosNBAD=

所以sinZBAD=

在△ABD中，由余弦定理，得8￡>=J20+1-2X2&X1X￥=而

2>/5_V13

ABBD

在△AB。中，由正弦定理，得，即sinZADB一萬，

sinNADBsinZBAD

5

所以sinNAQB=冬空

13

所以sinZADC=,cosZADC=.，所以tanZ.ADC=—,所以AC=—.

131333

所以口ABC的面積為氈=&

2353

2/s

選條件②，sinNBAC=sin(90°+NBA。)=cosZBAD=學

所以sinNBA。=

且xj叵|+氈x立Vio

所以sinB=sin(NR4D+135°)=

5I2J52i(r

得AB_=BD

在△ABO中，由正弦定理,得ABf,BD=C.

'sinl35°-sinBsinZBAD

因為/4OB=135。，所以NA￡)C=45°,所以AC=1,

所以匚43C的面積為L&xlx偵=1.

25

*?/s

選條件③，sinABAC=sin(90°+/BAD)=cos/BAD=曦.

_7|

所以sinZBAD=

一5

因為N8AQ=NC,所以sinC二^^,

5

在心△4CD中，可得cos/AOC=，所以cosNADB=--,sinZA￡)B=2叵.

555

所以sin3=sin(ZBAZ)+/ADB)=

在△ABO中，由正弦定理，得「笠心黑=.%＞，得人8=坐回=與

sinZADBsinBsin/.BAD33

因為sinC=好，所以cosC=26，所以tanC=:，所以AC=2.

552

所以14品的面積為k拽x2x述=±

2353

19.（12分）

為了發(fā)展中國經(jīng)濟的持續(xù)發(fā)展制定了從2021年2025年發(fā)展綱要，簡稱“十四五”規(guī)劃，為了

普及"十四五''的知識，某黨政機關舉行“十四五”的知識問答考試，從參加考試的機關人員中,

隨機抽取100名人員的考試成績的部分頻率分布直方圖，其中考試成績在［70,80）上的人數(shù)

沒有統(tǒng)計出來.

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

（1）估算這次考試成績的平均分數(shù);

（2）把上述的頻率看作概率，把考試成績的分數(shù)在［80,100］的學員選為“十四五”優(yōu)秀宣傳員,

若從黨政機關所有工作人員中，任選3名工作人員，其中可以作為優(yōu)秀宣傳員的人數(shù)為4,

求4的分布列與數(shù)學期望.

【答案】（1）70.5

⑵分布列見解析，數(shù)學期望為0.9

【解析】

【分析】

(1)設出分數(shù)在［70,80)內(nèi)的頻率為x,根據(jù)頻率分布直方圖可得矩形的面枳和為1,求出x

的值，再根據(jù)平均數(shù)的定義，即可求解；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖和二項分布的性質(zhì)，即可求解.

(1)

設分數(shù)在［70,80)內(nèi)的頻率為x,根據(jù)頻率分布直方圖得，

(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)xl0+x=l,解得x=0.25，

可知分數(shù)在［70,80)內(nèi)的頻率為0.25,則考試成績的平均分數(shù)為

45x0.10+55x0.15+65x0.2+75x0.25+85x0.25+95x0.05=70.5.

(2)

根據(jù)頻率分布直方圖可知考試成績在［80,100］的頻率為(0.025+0.005)x10=0.3,

則孑=0』,2,3.

P（^=0）=00.3。x0.73=,%=1）=C；0.3x0.7?=

^=2)=C^XO,7=2,%=3)=C；03q禽

故隨機變量4的分布列為

40123

34344118927

P

1000100010001000

因為該分布為二項分布，所以該隨機變量的數(shù)學期望為￡《)=3XO.3=O.9.

20.(12分)

如圖，已知平面。麻尸，平面ABC。，AB//CD,ADLDC,AB=AO=gcO=1.

(1)求證：BCLDF；

(2)若DRLDF,點尸在線段OF上，且三棱錐P-ACD的體積為g,求二面角P-AC-O的

余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵g

【解析】

【分析】

(1)由題，根據(jù)直角梯形的結構特征，結合勾股定理逆定理可得BC_LB￡?,再根據(jù)面面垂

直的性質(zhì)可得BCL平面D3砂，進而得到BC±DF

(2)先證明￡>bJ_平面ABCZ),再以。為坐標原點建立空間直角坐標系，結合三棱錐

P-ACO的體積為:得到相關點的坐標，進而得到相關向量的坐標，再根據(jù)向量的夾角公式

可得二面角的余弦值

(1)

VAB//CD,DALDC,四邊形ABC。為直角梯形，

又他=仞=1,8=2,易得BC=叵.

：.BC2+BD2=CD2,二BCA.BD.

:平面平面ABC。，平面DBEFc平面43c￡>=8。，8Cu平面A8C。，

...BCJ?平面OBEF,又以'u平面D3￡F,二BCLDF.

(2)

,/DFLDB,平面DBEF1.平面ABCD,平面DBEFc平面ABCD=BD,：.DF±平面

ABCD,故可以。為坐標原點，DA，DC，麗的方向分別為x,>,z軸的正方向，建立

如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

V三棱錐尸―ACD的體積為:，,VP_ACD=^XDAXDCXDP=^,

Hp|xlxlx2xDP=l,解得OP=1..?.￡）（0,0,0）,P（0,0,l）,A（l,0,0）,C（0,2,0）,

AD?=（0,0,1）,R4=（l,0,-l）,定=（0,2,-1）,設平面PAC的法向量為G=（x,y,z）,

則,[iP無A?n="0（）‘得,|[2xy—-zz==00'令得1=2,...〃-=（2,L2）,

易知平面ACO的一個法向量為麗=（0,0,1）,

IUIMI

/r盟.匕22

costn,DP）=mitfatj=/=-

、/”.網(wǎng),4+1+43

7

故二面角P—AC—。的余弦值為：.

21.（12分）

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓G：/+，=l（a>6>0）經(jīng)過點[乎,1],橢圓

G：二+4=1的離心率為的邁?

3a3b~3

⑴求橢圓G與橢圓Q的標準方程;

（2）設過原點且斜率存在的直線/與橢圓G相交于A,C兩點，點P為橢圓C2的上頂點，直

線必與橢圓C,相交于點B,直線PC與橢圓相交于點。，設EPO4，GPOB,△POC,

口POD的面積分別為5一邑，S3,54,試問率+*是否為定值，若是，求出該定值；若不

?2d4

是，請說明理由.

【答案】⑴G：f+/=i,c2t上+￡=1

393

（2）是定值，定值為2

【解析】

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法，求橢圓方程；

（2）首先設A（八力，m/0,直線P4,PC的斜率分別為占，右，直線以分別和橢圓GC

3好+1|PC|

聯(lián)立方程組，求得點AB的橫坐標,并求局的值，將

3（將+3）

面積比值表示為要+3，即可求解.

32，\rt>\\rLf\

（1）

因為橢圓G經(jīng)過點所以小+5=1，①

因為橢圓G的離心率為立，所以6=且口史=如，

3y/3a3

二C

即尸&，②由①②可得"，

b=1

故橢圓G的標準方程為/+]=1，橢圓c2的標準方程為[+（=i.

（2）

2

設加工0,則C（一八一〃），m2+（=1,即3-〃2=3〉.

由題意知P（0,百），設直線F4,PC的斜率分別為占，J

2

貝Uk\k,=-〃-6h（〃一句（：+句=〃[3=2^=_3

m-mm2nt2m2

（點撥：得到占，42的關系式，為下面消元做準備）

y=k、x+下）

直線叢的方程為），=%》+6,則由，'x2+^=l

I3

消去y得,；+3）x2+2GA=o,

2限

解得x=0或x=則，/?=-

6+3將+3

y=匕元+G

由’X2y2，消去丁得（3攵：+l）x2+65/3^,X=0,

------F--二1

93

解得x=0或x=-絆%,所以點B的橫坐標4=-絆%

3K]I13K]I1

2限

所喘1+3

6風

3K?+1

（點撥：因為點p在>軸上，所以可以將線段之比轉(zhuǎn)化為點的橫坐標的絕對值之比）

,+1,,

PC_36+1_（kJ_k；+27_k；+27

,PD-3（3^2+9）-9（^2+3）'

因為匚PO4,DPOB的高均為原點到直線PA的距離，

所以1=卷.（將面積比轉(zhuǎn)化為線段氐之比）

因為△POC,11P8的高均為原點到直線PC的距離，所以號=懸，

S\S3PAPC3#+12；+27