立體幾何單元測試卷

立體幾何單元測試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分）

1.設勿2,幾是兩條不同的直線，a,4是兩個不同的平面，則下列四個命題：

①若a〃夕，MUQ,則相〃夕；②若/n〃a,則相〃〃；③若，m〃a,則機_1_彼；

④若加J_a,機〃4，則a_LQ.

其中為真命題的是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

2.用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為兀，則球的體積為（）

A.yB.當5C.86兀D.苧

3.某個長方體被一個平面所截，得到幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積

為（

工

卜&|-厲|

1正視圖側視圖

J2?

居

上

俯視圖

A.4B.2^2C.yD.8

4.如圖所示，正四棱錐P—A8CD的底面積為3,體積為乎，E為側棱PC的中點，則

PA與8E所成的角為（）

A.TB;C.1D，2

5.如果底面直徑和高相等的圓柱的側面積是S,那么圓柱的體積等于

A.）非B.邛C.工石

22丫萬4

6.如圖所示是一個直徑等于4的半球，現(xiàn)過半球底面的中心作一個與底面成80。角的截

面，則截面的面積為（）

兀

A，2B.7iC.2nD.nsin80°

7.設/，山是兩條不同的直線，a是一個平面，則下列命題正確的是

人.若/nua,則/_LaB.若/J_a,1〃m,則"z_La

C.若Illa,mua,貝lj力1必D.若/Ila,mila,則l\\m

8.二面角的棱上有4、B兩點,直線AC、8。分別在這個二面角的兩個半平面內，且

都垂直于A8.已知AB=4,AC=6,80=8,CD=2y[n,則該二面角的大小為（）

A.150°B.45°C.60°D.120°

9.如圖所示，已知AABC為直角三角形，其中NACB=90。，M為AB的中點，PM垂

直于aABC所在平面，那么（）

A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCc

C.PA=PB=PCD.PA#PB#PC

10.正方體ABCO-AliGG中，E是棱中點，G是中點，F(xiàn)是BC上一點且

FB=±BC,則GB與EF所成的角為（）

A.30°B.120°C.60°D.90°

11.已知正方體488—4|5?。|棱長為1,點。在線段8。|上，當/4PC最大時，三

棱錐P-ABC的體積為（）

A-24B18C9D12

12.已知正三棱錐P—ABC的高尸。為〃，點￡>為側棱PC的中點，PO與8D所成角的

余弦值為坐，則正三棱錐P-ABC的體積為（）

A.^/i3C.93D.手始

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分）

13.已知A、B、C、。為空間四個點，且A、B、C、。不共面，則直線A8與C￡>的位

置關系是.

14.在空間四邊形ABC。的邊AB、BC、CD、D4上分別取點E、尸、G、H,如果EH、

FG相交于一點M,那么M一定在直線_______上.

15.一個幾何體的三視圖如圖所示，已知這個幾何體的體積為I0ji,則11=

第15題圖

16.判斷下列命題的正確性，并把所有正確命題的序號都填在橫線上________

①若直線a〃直線66u平面a,則直線a〃平面a

②在正方體內任意畫一條線段/,則該正方體的一個面上總存在直線與線段/垂直

③若平面少1■平面a,平面y_La,則平面“〃平面y

④若直線a,平面a,直線方〃平面a,則直線方_L直線a

三、解答題（本大題共6小題，共70分

17已知正方體43CD—A/ICQI的棱長為a,M、N分別為A山和AC上的點，A,M=

AN=^a,如圖.

(1)求證：MN〃面BBiCiC；

⑵求MV的長.

18.體小題滿分10分)如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCD為平行四邊形,

NAOC=45。，AD=AC=l,。為AC的中點，PO_L平面ABCQ,PO=2,M為的中點.

(1)證明：PB〃平面ACM；

(2)證明：A￡)J_平面PAC；

(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.

19.(本小題滿分12分)如圖所示，在六面體ABC-OEFG中，平面ABC〃平面。EFG,

ADmDEFG,EDLDG,E尸〃。G.且AB=AO=DE=DG=2,AC=￡F=1.

(1)求證：B/〃平面4CG。；

(2)求二面角。一CG-F的余弦值.

20.在直三棱柱ABC-AiBiC中,AB」BCi，AB=CC|=1,BC=2.

(1)求證：A|Ci±AB：

(2)求點B,到平面ABC＞的距離.

B

21.(如圖，OC_L平面ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2,ZACB=120°,P,Q

分別為AE,AB的中點.

(1)證明：PQ〃平面ACC；

(2)求AD與平面ABE所成角的正弦值.

22.(22.如圖，在多面體ABCZJEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EF//AB,

EFLFB,ZBFC=90°,BF=FC,，為BC的中點.

(1)求證：FH〃平面EDB；

(2)求證：AC_L平面EDB-,

(3)求四面體B—DEF的體積.

立體幾何單元測試卷答案

l.C2.B3.D4.C5.D6.C7.B8.C9.C10.D11.B12.C13.異面14.BD15.+16.②④

17.解：(1)證明：作NP_LAB于尸，連接MP.NP〃BC,

.AP_AN_A}M

"AB=AC=^B'：.MP//AA\//BB\,:.面MPN〃面BBCC.

MNU面MPN,：.MN〃面BBCC.

也

NPAN3a11?

(2)反=前=^^=1,NP=]a,同理MP=ga.又MP〃BBi，

面ABC。，MPLPN.在RtAMPN中MN=yJ蘇2+/2=冬.

18.解析(1)連接B￡>,MO,在平行四邊形A8C。中，因為。為AC的中點，所以。為

8。的中點.又M為產(chǎn)力的中點，所以PB〃MO.因為PBQ平面ACM,MOU平面4CM,所

以PB〃平面ACM.

A

AB

(2)因為/AZ)C=45。，且

AD=AC=\,所以ND4c=90°,即4￡>J_AC.又PO_L平面A8CO,

AQU平面ABC。，所以PO_LAD而ACnPO=O,所以A。_L平面BIC.

(3)取。。中點N,連接MN,AM因為M為P。的中點，所以MV〃PO,且MN=；PO

=1.由POJ_平面ABC。，得MN_L平面ABC。，所以NM4N是直線AM與平面ABC。所成

11A/S

的角.在RtADAO中，AD=1,AO=g,所以。0=為-.從而AN=/￡)O=力-.在Rt/\ANM中，

tan/MAN=*=^=￥，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為竽.

4

19.解析方法一：(1)設。G的中點為M,連接AM,FM.

則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形.

J.MF//DE,且平面A8C〃平面DEFG,

：.AB//DE.'：AB=DE,

：.MF//AB,且M尸=A8,二四邊形ABFM是平行四邊形.

J.BF//AM.

又BR2平面ACG。，AMU平面ACG。，

故B尸〃平面4CGD

(2)由已知AC_L平面QEFG,：.DELAD.^DE±DG,且AOClOG=。，

二DEI平面ADGC.,/MF//DE,：.M尸，平面ADGC.

在平面ADGC中，過胡作A/NLGC,垂足為N,連接NF,則NMNF為所求二面角的

平面角.

連接CM：平面ABC〃平面DEFG,；.AC〃OM,又AC=DM=\,所以四邊形ACMD

為平行四邊形，S.CM//AD,且CM=A￡>=2.

?.,4。_1_平面。￡/6,平面。EFG,：.CM1.DG.

在放/XCMG中，：CM=2,MG=1,二MN=產(chǎn)=太=乎.

在RtACMG中，

2^5

:MF=2,MN=乎，/.FN=yl4+7=^^..,.cosZM^F=^=y^==^.

JVJJrIY2/3U0

5

二二面角。一CG一尸的余弦值為小.

方法二：由題意可得，AD,DE,0G兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系.

則40,0,2),8(2,0,2),C(0,l,2),￡(2,0,0),G(0,2,0),

"2,1,0).

(1)BF=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2),CG=(0,2,0)—(0,1,2)=(0,1,-2),：.BF=CG.：.

BF//CG.

又8R平面ACGO,故Bf1〃平面ACGO.

(2)FG=(0,2,0)-Q,1,0)=(一2,1,0).

設平面BCG77的法向量為〃[=(x,y,z),

〃-CG=y—2z=0,

一

{n\'FG=—2x+y—0.

令y=2,則〃]=(121).

則平面4QGC的法向量n2=(1,0,0).

,/、nyn2____________aJ____________^6

?(小，敢)

"OS-|WIH?2|-^12+22+12X^12+02+02-6-

由于所求的二面角為銳二面角，.?.二面角。一CG—F的余弦值為坐.

20.17.證明：(1)連結則

又,:—8_LBC、/.AB)±平面AiBCl

：.AB,1A,C,..........4分

又A,C,±BB]：.4G-L平面ABB]

/.A.C,1AB

(2)由(1)知AB,ACVAB1AC,

VAB=1BC=2

AC=V3AC,=2SAASG=1

設所求距離為d

:VB「ABCI=

**,§^AAHCi，d=3S氏?AG

=B

21.解：（1）證明：因為尸，Q分別為AE,A8的中點,

所以PQ〃EB.又。C〃EB,因此PQ〃OC,

又P0I平面ACD,

從而尸Q〃平面ACD

（2）如圖，連接C。，DP,因為。為A8的中點，且AC=BC,所以CQ_LA8.

因為。C_L平面ABC,EB//DC,

所以EB_L平面ABC,因此CQL