2023-2024學年上海市上海外國語大學附屬中學八年級（上）學期期末數(shù)學試題（含解析）

2023學年第一學期初二年級數(shù)學期末考試試卷一、填空題（10×2分＋6×3分＝38分）1．的根為．2．在實數(shù)范圍內分解因式：．3．設是方程的兩個根，．4．一次函數(shù)的圖像在y軸上的截距是1，且y隨著x的增大而減小，則．5．正比例函數(shù)的圖像經過，且，則k的范圍是．6．正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經過，則正比例函數(shù)的解析式為．7．在中，，的垂直平分線與邊所在直線相交所成銳角為，則．8．已知，在x軸上找一點P，使得點P到A，B兩點的距離相等，則點P的坐標為．9．若直線與坐標軸圍成的三角形面積為6，則．10．若關于的方程的解為負數(shù)，則的取值范圍是．11．函數(shù)與圖象沒有交點，則b的取值范圍是．12．如圖，在中，，，是等邊三角形，，則．13．如圖，在中，點D是斜邊的中點，點P在上，于點E，于點F，若，，則．14．如圖，P1是反比例函數(shù)(k＞0)在第一象限圖象上的一點，點A1的坐標為(2，0)．若△P1OA1與△P2A1A2均為等邊三角形，則A2點的坐標為．

15．在平面直角坐標系中，線段的端點坐標為，若直線與線段總有交點，則的取值范圍是．16．已知中，，將它其中一個銳角沿著某條直線翻折，使該銳角頂點落在其對邊的中點D，折痕交另一直角邊于E，交斜邊于F，則的長為．二、選擇題（3分×4＝12分）17．下列命題中，真命題的有（

）個．到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線；以為底邊的等腰三角形頂點的軌跡是線段的垂直平分線；反比例函數(shù)，隨著的增大而增大；過原點的一條直線一定是正比例函數(shù)的圖象．A． B． C． D．18．一次函數(shù)的圖像不經過第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四19．在同一直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．20．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖像交矩形的邊于點，交邊于點，且．若四邊形的面積為，則值為（

）A． B． C． D．（三）解方程（4分×2＋6分＝14分）21．解方程：2x2+3x﹣1=0(用配方法)22．解方程：23．解方程：（m為常數(shù)）（四）簡答題（6分×3＝18分）24．已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，點的坐標是(1)求點A的坐標和這個一次函數(shù)解析式；(2)求出另一個交點的坐標，并根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出時的范圍．25．已知：如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD與高BE相交于點F，G為BF的中點．求證：(1)DG＝DE；(2)∠DEG＝∠DEC．26．小王準備投資銷售一種進價為每公斤40元的堅果．通過試營銷發(fā)現(xiàn)：當銷售單價在每公斤40元到90元之間（含40元和90元）時，每月的銷售量y（元/公斤）之間的關系可近似地看作一次函數(shù)，其圖像如圖所示．(1)求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)如果小王想要每月獲得2400元的利潤，那么銷售單價應定為每公斤多少元？（五）解答題（9分×2＝18分）27．如圖，在直角坐標平面內，正比例函數(shù)的圖像與一個反比例函數(shù)圖像在第一象限內的交點為點A，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，AB=3．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在直線AB上是否存在點C，使點C到直線OA的距離等于它到點B的距離？若存在，求點C的坐標；若不存在，請說明理由；(3)已知點P在直線AB上，如果△AOP是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．28．如圖，中，，，，點分別是邊、上的一個動點，且，過點作交射線于點，交線段于點，設

(1)如圖1，當點和點重合時，求的面積；(2)如圖2，設當點在的延長線上時，，求關于的函數(shù)解析式，并求出定義域；(3)若為直角三角形，求的值．

參考答案與解析

1．【分析】本題主要考查了解一元二次方程，根據(jù)方程左邊正好是一個完全平方式，利用直接開平方的方法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，解得，故答案為：．2．【分析】本題考查了對一個多項式進行因式分解的能力，當要求在實數(shù)范圍內進行分解時，分解的結果一般分到出現(xiàn)無理數(shù)為止．【詳解】解：，，故答案為：．3．【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，一元二次方程解的定義，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數(shù)根，則，據(jù)此可得，再由一元二次方程解的定義得到，則所求式子可變形為，則所求式子可變形為，據(jù)此代值計算即可．【詳解】解：∵是方程的兩個根，∴，，∴，故答案為：177．4．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的截距問題，對于一次函數(shù)，其在y軸上的截距是b，據(jù)此可得，則．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像在y軸上的截距是1，∴，∴，故答案為：．5．##【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質，根據(jù)題意可知y隨x增大而減小，則，可得．對于正比例函數(shù)，當時，y隨x增大而增大，當時，y隨x增大而減?。驹斀狻拷猓骸哒壤瘮?shù)的圖像經過，且，∴，∴，故答案為：．6．【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，先將點代入求出，再代入正比例函數(shù)的解析式即可得出答案．【詳解】解：把點的坐標代入得，∴點的坐標為，把代入，得，∴正比例函數(shù)的解析式為，故答案為：．7．或【分析】本題考查了等腰三角形與線段垂直平分線的性質．首先根據(jù)題意作圖，然后由的垂直平分線與所在的直線相交所得到銳角為，即可得，，然后分兩種情況討論：①當三角形是銳角三角形時，即可求得的度數(shù)，②當三角形是鈍角三角形時，可得的鄰補角的度數(shù)；又由，根據(jù)等邊對等角與三角形內角和的定理，即可求得．【詳解】解：∵的垂直平分線與所在直線相交所得的銳角為，∴，，①如圖1，當是銳角三角形時，．∵，∴，②如圖2，當是鈍角三角形時，．∵，∴．綜上所述：的度數(shù)是或．故答案為：或．8．【分析】本題主要考查了勾股定理，設點P的坐標為，則，，根據(jù)點P到A，B兩點的距離相等，得到，解方程即可得到答案．【詳解】解：設點P的坐標為，∴，，∵點P到A，B兩點的距離相等，∴，∴，解得，∴點P的坐標為，故答案為：．9．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與坐標軸圍成的圖形面積問題，先求出一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標分別為，再根據(jù)圍成的圖形面積為6得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：在中，當時，，但時，，∴一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標分別為，∵直線與坐標軸圍成的三角形面積為6，∴，∴，∴，故答案為：．10．且【分析】本題考查了分式方程的解與解不等式，把看作常數(shù)，根據(jù)分式方程的解法求出的表達式，再根據(jù)方程的解是負數(shù)列不等式組并求解即可，解題的關鍵是牢記分式有意義的條件，熟練掌握解方程的步驟．【詳解】解：，，，，，∵分式方程的解為負數(shù)，∴，解得：，又∵，∴且，解得：且，綜上可知：且，故答案為：且．11．【分析】本題考查了函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解，如果兩函數(shù)無交點，那么聯(lián)立兩函數(shù)解析式所得的方程(組)無解，由于兩個函數(shù)沒有交點，那么聯(lián)立兩函數(shù)解析式所得的方程無解，由此可求出的取值范圍.【詳解】解：的圖象是過原點且在第一、三象限的一條直線，要使與它無交點，則的圖象只能在第二、四象限，∴，∴，故答案為：．12．【分析】此題考查了等腰三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，勾股定理和角所對直角邊是斜邊的一半，過作于點，則，從而可得出，再根據(jù)等邊三角形的性質得到，最后用勾股定理即可求解，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用．【詳解】如圖，過作于點，則，∵，，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，設，∴，在中，由勾股定理得：，∴∴，解得：，∴，在中，由勾股定理得：，故答案為：．13．【分析】此題考查了直角三角形斜邊中線定理，勾股定理和三角形面積等知識，解題的關鍵是利用面積法求高．作于點M，連接，首先根據(jù)題意得到，，然后利用求出，然后利用代入求解即可．【詳解】如圖所示，作于點M，連接，∵，，，，∴，，∵，∴，解得，∴，∴，∴．故答案為：．14．(2，0)【分析】由于△P1OA1為等邊三角形，作P1C⊥OA1，垂足為C，由等邊三角形的性質及勾股定理可求出點P1的坐標，根據(jù)點P1是反比例函數(shù)y＝(k＞0)圖象上的一點，利用待定系數(shù)法求出此反比例函數(shù)的解析式；作P2D⊥A1A2，垂足為D．設A1D＝a，由于△P2A1A2為等邊三角形，由等邊三角形的性質及勾股定理，可用含a的代數(shù)式分別表示點P2的橫、縱坐標，再代入反比例函數(shù)的解析式中，求出a的值，進而得出A2點的坐標．【詳解】作P1C⊥OA1，垂足為C，∵△P1OA1為邊長是2的等邊三角形，∴OC＝1，P1C＝2×＝，∴P1(1，)．代入y＝，得k＝，所以反比例函數(shù)的解析式為y＝．作P2D⊥A1A2，垂足為D．設A1D＝a，則OD＝2+a，P2D＝a，∴P2(2+a，a)．∵P2(2+a，a)在反比例函數(shù)的圖象上，∴代入y＝，得(2+a)?a＝，化簡得a2+2a﹣1＝0解得：a＝﹣1±．∵a＞0，∴a＝﹣1+．∴A1A2＝﹣2+2，∴OA2＝OA1+A1A2＝2，所以點A2的坐標為(2，0)．故答案為：(2，0)．

【點睛】此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正三角形的性質等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．15．或【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質，根據(jù)性質即可求解，熟練掌握一次函數(shù)的性質時解題的關鍵．【詳解】解：把代入得，，解得：，把代入得，，解得，∵直線與線段總有交點，∴的取值范圍是或，故答案為：或．16．或【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，分當銳角B翻折時，點B與點D重合，當銳角A翻折時，點A與點D重合，兩種情況根據(jù)折疊前后對應線段相等，在中利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：如圖，當銳角B翻折時，點B與點D重合，由折疊的性質可得，D為的中點，，設，則，在中，由勾股定理得，解得；如圖，當銳角A翻折時，點A與點D重合，由折疊的性質可得，D為的中點，設，則，在中，由勾股定理得，，解得故答案為：或．17．A【分析】此題考查了命題，根據(jù)命題的概念判斷真假即可，解題的關鍵是熟練掌握掌握知識點的應用和正確理解命題．【詳解】在角的的內部且到這個角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的的平分線（端點除外），故該命題是假命題；底邊為定長的等腰三角形的頂角頂點的軌跡是底邊的垂直平分線，底邊的中點除外，故該命題是假命題；反比例函數(shù)，在每一象限內，隨著的增大而增大，故該命題是假命題；過原點的一條直線不一定是正比例函數(shù)的圖象，經過原點的可能是或軸，故該命題是假命題；所以真命題的有個，故選：．18．B【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，根據(jù)一次函數(shù)圖象在坐標平面內的位置關系先確定的取值范圍，再根據(jù)的取值范圍確定一次函數(shù)圖象在坐標平面內的位置關系，從而求解．【詳解】解：，∵，，∴一次函數(shù)的圖像經過第一、三、四象限，∴一次函數(shù)的圖像不經過第二象限，故選：．19．B【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，先根據(jù)一次函數(shù)經過的象限判斷的符號，再根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經過的象限，判斷出的符號，看是否一致，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．【詳解】解：、一次函數(shù)的圖象經過第一、三、四象限，則，，，反比例函數(shù)圖象經過第二、四象限，則，此選項錯誤，不符合題意；、一次函數(shù)的圖象經過第一、二、三象限，則，，，反比例函數(shù)圖象經過第二、四象限，則，此選項正確，符合題意；、一次函數(shù)的圖象經過第二、三、四象限，則，，，反比例函數(shù)圖象經過第一、三象限，則，此選項錯誤，不符合題意；、一次函數(shù)的圖象經過第一、二、四象限，則，，，反比例函數(shù)圖象經過第二、四象限，則，此選項錯誤，不符合題意；故選：．20．C【分析】本題考查了矩形的性質、三角形面積的計算、反比例函數(shù)的圖象與解析式的求法，連接，由矩形的性質和已知條件得出，再求出的面積，即可得出k的值，熟練掌握矩形的性質和反比例函數(shù)解析式的求法是解決問題的關鍵．【詳解】連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，，∵、在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∵，∴，由，∴，故選：．21．，.【詳解】試題分析：先移項，再將二次項系數(shù)化為1，然后配方解出x即可.試題解析：2x2+3x﹣1=0,移項，得2x2+3x=1，二次項系數(shù)化為1，得x2+x=，配方，得x2+x+（）2=+（）2，即（x+）2=，解得，x+=±，即x1=，x2=.點睛：配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；（4）解出未知數(shù).22．或或【分析】本題主要考查了解分式方程，設，則，則可把原方程化為，解得或，進而得到或，即或，再分別解兩個一元二次方程即可．【詳解】解：設，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得或，∴或，∴或，解方程得，解方程得或，經檢驗，，，都是原方程的解，∴原方程的解為或或．23．當時，原方程無解，當時，原方程的解為且且【分析】本題主要考查了解分式方程，先解分式方程得到，則當時，原方程無解；當時，，再求出分式方程有增根時m的值，以及求出對應m值下方程的解即可得到答案．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，∴，∴，∴當時，原方程無解；當時，，當時，則，解得，當時，解得或（增根舍去），當時，則，解得，當時，解得或（增根舍去）；綜上所述，當時，原方程無解，當時，原方程的解為且且．24．(1)，；(2)，或．【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題，熟練運用圖象上的點的坐標滿足圖象的解析式是本題的關鍵．（1）將點的坐標代入反比例函數(shù)解析式可求的值，再將點的坐標代入一次函數(shù)的解析式可求得的值；（2）根據(jù)圖象，結合點和點的坐標，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，點的坐標為，代入一次函數(shù)得∴一次函數(shù)的解析式為：．（2）解：由題意得，解得∴另一交點的坐標為：，∴由圖象可知：的取值范圍為或．25．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)AD⊥BC，∠ABC＝45°，可以得到△ABD是等腰直角三角形，得到AD=BD，根據(jù)BE⊥AC，得到∠C+∠CBE=90°，根據(jù)∠CAD+∠C＝90°，得到∠FBD＝∠CAD，推出△BDF≌△ADC，得到BF＝AC，根據(jù)G為BF的中點，得到DG＝BF，根據(jù)AB＝CB，BE⊥AC，得到E為AC的中點．推出DE＝AC，得到DG＝DE；（2）根據(jù)BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，得到BG＝AE，根據(jù)∠DBG＝∠DAE，AD=BD，推出△BDG≌△ADE，得到∠BDG＝∠ADE，推出∠DGE＝∠DBG+∠BDG，根據(jù)∠DEC＝∠DAE+∠ADE，得到∠DGE＝∠DEC，根據(jù)DG＝DE，得到∠DGE＝∠DEG，推出∠DEG＝∠DEC．【詳解】（1）證明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BAD＝90°-∠ABC=45°，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠C+∠CBE=90°，∵∠CAD+∠C＝90°，∴∠FBD＝∠CAD，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF＝AC，∵G為BF的中點．∴DG＝BF，∵AB＝CB，BE⊥AC，∴E為AC的中點．∴DE＝AC，∴DG＝DE；（2）（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，∴BG＝AE，在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴∠BDG＝∠ADE，∴∠DGE＝∠DBG+∠BDG，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∴∠DGE＝∠DEC，∵DG＝DE，∴∠DGE＝∠DEG，∴∠DEG＝∠DEC．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形，全等三角形，等腰三角形，直角三角形斜邊上的中線，三角形外角．解決本題的關鍵是熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，三角形外角性質．26．(1)(2)60元或70元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應用，一元二次方程的實際應用：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)利潤（售價進價）銷售量列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設y與x之間的函數(shù)解析式為，把代入中得：，解得，∴y與x之間的函數(shù)解析式為（2）解：由題意得，，整理得，解得或，∴如果小王想要每月獲得2400元的利潤，那么銷售單價應定為每公斤60元或70元．27．(1)(2)或(3)的坐標為：或或或【分析】（1）先求解的坐標，再代入反比例函數(shù)解析式，從而可得答案；（2）分兩種情況討論：如圖，作的角平分線交于過作于而軸，