理論力學(xué)課件

第2章

平面匯交力系與平面力偶系

返回總目錄平面匯交力系合成與平衡的幾何法

平面匯交力系合成與平衡的解析法平面力對點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算平面力偶理論習(xí)題與思考題本章內(nèi)容2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法一、平面匯交力系合成的幾何法

設(shè)如圖2.1(a)所示為作用于任一剛體上的力F1、F2、F3、F4，它們的作用線交于點(diǎn)A，組成一平面匯交力系。由力的可傳性，將各力沿其作用線移至匯交點(diǎn)A，如圖2.1(b)所示。根據(jù)力的三角形法則，將各力依次合成，即從任意點(diǎn)a作矢量ab代表力矢F1，在其末端b作矢量bc代表力矢F2，則虛線ac表示力矢F1和F2的合力矢FR1；再從點(diǎn)c作矢量cd代表力矢F3，則ad表示FR1和F3的合力FR2；最后從點(diǎn)d作de代表力矢F4，則ae代表力矢FR2與F4的合力矢，亦即原匯交力系F1、F2、F3、F4的合力矢FR，其大小和方向如圖2.1(c)所示，其作用線通過匯交點(diǎn)A。實(shí)際作圖時(shí)，不必畫出虛線所示的中間合成力FR1和FR2，只需把各分力矢首尾相連，形成一個不封閉的多邊形abcde，則第一個力矢F1的起點(diǎn)a向最后一個力矢F4的終點(diǎn)e作ae，即得合力矢FR。各分力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形，合力矢是力多邊形的封閉邊。這種求合力的幾何作圖法稱為力多邊形法則。由圖2.1(d)可見，若改變各力矢的作圖順序，所得的力多邊形的形狀則不同，但是這并不影響最后所得的封閉邊的大小和方向，即不會影響合成或簡化的最終結(jié)果。但應(yīng)注意，各分力矢必須首尾相連，環(huán)繞力多邊形周邊的同一方向，而合力矢則逆向封閉力多邊形。圖2.1平面匯交力系的幾何合成

將上述方法推廣到由n個力F1、F2、…、Fn組成的平面匯交力系，可得結(jié)論：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個合力，其合力的大小和方向等于原力系中所有各力的矢量和，可由力多邊形的封閉邊確定，合力的作用線過力系的匯交點(diǎn)?？捎檬噶渴奖硎緸?2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法

若力系中各力的作用線沿同一直線，則稱此力系為共線力系。在這種特殊情況下，力多邊形變成一條直線，合力為:

(矢量和)2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法(代數(shù)和)

【例2.1】同一平面的三根鋼索邊連結(jié)在一固定環(huán)上，如圖2.2(a)所示，已知三鋼索的拉力分別為：F1＝500N，F(xiàn)2＝1000N，F(xiàn)3＝2000N。試用幾何作圖法求三根鋼索在環(huán)上作用的合力。圖2.2合成鋼索拉力解：(1)先確定力的比例尺如圖2.2所示。(2)應(yīng)用多邊形法，將力F1、F2和F3首尾相接后，再從F1的起點(diǎn)a至F3的終點(diǎn)d連一直線，此封閉邊ad即合力矢FR(見圖2.2(b))。(3)用直尺和量角器即可確定合力矢FR的大小和方向：FR＝2840N，F(xiàn)R與F1的夾角為(與x軸夾角為)。最后將結(jié)果在原圖中標(biāo)出(見圖2.2(a))

平面匯交力系的合成結(jié)果是一個合力。顯然，如果力系處于平衡，則力系的合力必須等于零。反之，若合力等于零，則力系必處于平衡。故平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。即：在幾何法中，平面匯交力系的合力是由力多邊形的封閉邊表示的。因此，要使合力等于零，則封閉邊的長度必須為零，即力多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，這種情況稱為力多邊形自行封閉?？梢姡矫鎱R交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：該力系的力多邊形自行封閉。

求解平面匯交力系的平衡問題時(shí)可用圖解法，即按比例先畫出封閉的力多邊形，然后量得所要求的未知量；也可根據(jù)圖形的幾何關(guān)系用三角公式計(jì)算出所要求的未知量。二、平面匯交力系平衡的幾何條件2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法【例2.2】水平梁AB的中點(diǎn)C作用著力P，其大小等于20kN，方向與梁的軸線成角，支承情況如圖2.3(a)所示。試求固定鉸鏈支座A和活動鉸鏈支座B各點(diǎn)所受的反力(梁的自重不計(jì))。圖2.3水平梁AB的受力分析解：(1)取梁AB為研究對象。(2)畫受力圖。作用在梁AB上的力有：主動力P；活動鉸鏈支座B的反力FB，方向垂直于支承面；固定鉸鏈支座A的反力FA，方向待定。現(xiàn)在梁AB只受三個力作用而平衡，故由三力平衡時(shí)的匯交定理知，F(xiàn)A的作用線必通過P和FB的交點(diǎn)D，如圖2.3(b)所示。所得的力系是平面匯交力系。(3)應(yīng)用平衡的幾何條件畫力P、FA和FB的閉合三角形。為此先畫已知力P，然后從過力P的始端E和末端F分別作直線平行于FA和FB得交點(diǎn)G，于是得力三角形EFG，順著E→F→G→E的方向標(biāo)出箭頭，使其首尾相連，則矢量和就分別表示力FA和FB的大小和方向(見圖2.3(c))。(4)求得結(jié)果。由三角關(guān)系得(方向如圖所示)一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影設(shè)力F作用于剛體上的A點(diǎn)(如圖2.4所示)，在力F作用的平面內(nèi)建立坐標(biāo)系Oxy，由力F的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別向x軸作垂線，得垂足a和b，這兩條垂線在x軸上所截的線段再冠以相應(yīng)的正負(fù)號，稱為力F在x軸上的投影，用Fx表示。力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，其正負(fù)號規(guī)定：若由a到b的方向與x軸的正方向一致時(shí)，力的投影為正值，反之為負(fù)值。同理，從A和B分別向y軸作垂線，得垂足a‘和b’，求得力F在y軸上的投影Fy。設(shè)和分別表示力F與x、y軸正向的夾角，則由圖2.4可得：2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

圖2.4力在直角坐標(biāo)軸上的投影

又由圖2.4可知，力F可分解為兩個分力Fx、Fy，其分力與投影有如下關(guān)系：2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

故力F的解析表達(dá)式為

反之，若已知力F在坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy，則該力的大小及方向余弦為

應(yīng)當(dāng)注意，力的投影和力的分量是兩個不同的概念。投影是代數(shù)量，而分力是矢量；投影無所謂作用點(diǎn)，而分力作用點(diǎn)必須作用在原力的作用點(diǎn)上。另外，僅在直角坐標(biāo)系中力在坐標(biāo)軸上投影的絕對值和力沿該軸分量的大小相等。一、平面匯交力系合成的解析法

設(shè)一平面匯交力系如圖2.5所示，在由幾何法所得的力多邊形ABCDE的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系Oxy，封閉邊AE表示該力系合力矢FR，在力的多邊形所在位置將所有的力矢都投影到x軸和y軸上。得：由圖2.5可知：

ae=－ba+bc+cd+de即FRx=F1x+F2x+F3x+F4x同理FRy=F1y+F2y+F3y+F4y2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

FRx=ae，F(xiàn)1x=－ba，F(xiàn)2x=bc，F(xiàn)3x=cd，F(xiàn)4x=de圖2.5解析法合成平面匯交力系將上述關(guān)系式推廣到任意平面匯交力系的情形，得：2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

這就是合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。用解析法求平面匯交力系的合成時(shí)，首先在其所在的平面內(nèi)選定坐標(biāo)系Oxy。求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，由合力投影定理得：則合力矢的大小和方向余弦為：(2.8)2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

【例2.3】試用解析法重解例2.1。

解：建立如圖2.6所示直角坐標(biāo)系。根據(jù)合力投影定理，有：由式(2.9)得合力的大小方向?yàn)椋?/p>

解得：圖2.6解析法合成鋼索拉力

(2.9)三、平面匯交力系平衡的解析條件

從前面知道，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是合力FR等于零，即2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

要使上式成立，必須同時(shí)滿足

上式表明，平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。式(2.10)稱為平面匯交力系的平衡方程。這是兩個獨(dú)立的方程，因而可以求解兩個未知量。(2.10)

【例2.4】起重架可借繞過滑輪B的繩索將重P＝20kN的重物勻速吊起，絞車的繩子繞過光滑的定滑輪(如圖2.7(a)所示)，滑輪B用AB和BC兩桿支撐，設(shè)兩桿的自重及滑輪B的大小、自重均不計(jì)。試求桿AB、BC所受的力。解：(1)取研究對象。桿AB和BC都是二力桿，假設(shè)均受拉力，如圖2.7(c)所示。如將桿AB和BC作用于滑輪B的力求出，則兩桿所受的力即可求出(互為作用力與反作用力)，同時(shí)重物的重力與繩索的拉力也都作用于滑輪上，故取滑輪連同銷釘B為研究對象。(2)畫受力圖。重物通過繩索直接加在滑輪的一邊。在其勻速上升時(shí)，拉力FT＝P，而繩索又在滑輪的另一邊施加同樣大小的拉力，即FT‘＝FT。此外桿AB和BC對滑輪的約束力為FBA與FBC。因不計(jì)滑輪B的大小，故諸力組成一個平面匯交力系(見圖2.7(b))。(3)列平衡方程。取坐標(biāo)系Bxy如圖2.7(b)所示，選取坐標(biāo)軸。2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

圖2.7起重架受力分析【例2.5】連桿機(jī)構(gòu)CABD由三個無重桿鉸接組成，在鉸鏈A、B處有F1、F2作用，如圖2.8(a)所示。該機(jī)構(gòu)在圖示位置，試求力F1與F2的關(guān)系。2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

由①②

其中，P=FT=20kN，代入上列方程求得

FBA=54.64kN，F(xiàn)BC=－74.64kN

(4)關(guān)于解的討論。圖2.7(b)中待求力FBA和FBC的指向是假定的，當(dāng)由平衡方程求得某一未知力之值為負(fù)時(shí)，表示原先假定的該力指向與實(shí)際方向相反。所以本題中FBC為負(fù)值，其實(shí)際指向與圖示相反，即桿BC實(shí)際受壓力；而桿AB則受拉力。

2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

圖2.8連桿機(jī)構(gòu)受力分析解：這是一個物體系統(tǒng)的平衡問題。從整個機(jī)構(gòu)來看，它受四個力F1、F2、FCA、FDB作用，不是平面匯交力系(圖2.8(a))，所以不能取整體作為研究對象求解。要求解的未知力F1與F2分別作用于鉸A、鉸B上，鉸A與鉸B均受平面匯交力系的作用，所以應(yīng)該通過分別研究鉸A與鉸B的平衡來確定F1與F2的關(guān)系。(1)取鉸A為分離體。鉸A除受未知力F1外，還受有二力桿AC和AB的約束反力FAB和FBA(均設(shè)為壓力)，其受力圖如圖2.8(b)所示。因?yàn)榕c所求無直接關(guān)系的力FCA可不必求出，故選取x軸與FBA垂直。由平衡方程

2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

(2)取鉸B為分離體。其受力圖如圖2.8(c)所示(FDB設(shè)為壓力)。選取x軸與反力FDB垂直，由平衡方程比較①、②兩式，并注意到FAB=FBA，解得②

通過以上分析和求解過程可以看出，在求解平衡問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x取分離體，恰當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)軸，以最簡捷、合理的途徑完成求解工作。盡量避免求解聯(lián)立方程，以提高計(jì)算的工作效率。這些都是求解平衡問題所必須注意的。

2.3平面力對點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算

一、力對點(diǎn)之矩(力矩)

力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動的力學(xué)效應(yīng)稱為力對該點(diǎn)之矩，簡稱為力矩。以扳手旋轉(zhuǎn)螺母為例(如圖2.9(a)所示)，設(shè)螺母能繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動。由經(jīng)驗(yàn)可知，螺母能否旋動，不僅取決于作用在扳手上的力F的大小，而且還與點(diǎn)O到F的作用線的垂直距離d有關(guān)。因此，用F與d的乘積作為力F使螺母繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度。其中距離d稱為F對O點(diǎn)的力臂，點(diǎn)O稱為矩心。由于轉(zhuǎn)動有逆時(shí)針和順時(shí)針兩個轉(zhuǎn)向，故一般用正負(fù)號表示轉(zhuǎn)動方向。因此在平面問題中，力對點(diǎn)之矩定義如下：力對點(diǎn)之矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)號通常規(guī)定：力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正，反之為負(fù)。力對點(diǎn)之矩以符號Mo(F)表示，記為：圖2.9用扳手?jǐn)Q螺母2.3平面力對點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算

由圖2.9(b)可見，力F對O點(diǎn)之矩的大小也可以用三角形OAB的面積的兩倍來表示，即其中，為三角形OAB的面積，如圖2.9(b)所示。顯然，當(dāng)力的作用線過矩心時(shí)，則它對矩心的力矩等于零；當(dāng)力沿其作用線移動時(shí)，力對點(diǎn)之矩保持不變。力矩的單位常用牛頓·米(N·m)或千牛頓·米(kN·m)。二、合力矩定理在計(jì)算力系的合力矩時(shí)，常用到所謂的合力矩定理：平面匯交力系的合力對其平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于所有各分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即：

(2.13)(2.12)

按力系等效概念，上式易于理解，且式(2.13)應(yīng)適用于任何有合力存在的力系。如圖2.10所示，已知力F，作用點(diǎn)A(x，y)及其夾角。欲求力F對坐標(biāo)原點(diǎn)之矩，可按式(2.13)，通過其分力Fx與Fy對O點(diǎn)之矩而得到，即：或2.3平面力對點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算

(2.14)

若將式(2.14)代入式(2.13)，即可得合力FR對坐標(biāo)原點(diǎn)之矩的解析表達(dá)式，即圖2.10力F的力矩(2.15)【例2.6】試計(jì)算圖2.11(a)中力F對A點(diǎn)之矩。解：可以用三種方法計(jì)算力F對A點(diǎn)之矩MA(F)。(1)由力矩的定義計(jì)算。先求力臂d。由圖中幾何關(guān)系有：所以：2.3平面力對點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算

圖2.11求力F對A點(diǎn)之矩(2)根據(jù)合力矩定理計(jì)算。將力F在C點(diǎn)分解為兩個正交的分力Fx和Fy(如圖2.11(a)所示)，則：

由合力矩定理可得(3)先將力F移至D點(diǎn)，再將F分解為兩個正交的分力Fx、Fy(如圖2.11(b)所示)，其中Fx通過矩心A，力矩為零，由合力矩定理得2.3平面力對點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算

綜上可見，計(jì)算力矩常用下述兩種方法：(1)直接計(jì)算力臂，由定義求力矩。(2)應(yīng)用合力矩定理求力矩。此時(shí)應(yīng)注意：①將一個力恰當(dāng)?shù)胤纸鉃閮蓚€相互垂直的分力，利用分力取矩，并注意取矩方向；②剛體上的力可沿其作用線移動，故力可在作用線上任一點(diǎn)分解，而具體選擇哪一點(diǎn)，其原則是使分解后的兩個分力取矩比較方便。一、力偶與力偶矩在日常生活和工程實(shí)際中，我們往往同時(shí)施加兩個等值、反向而不共線的平行力來使物體轉(zhuǎn)動。例如，汽車司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動方向盤(如圖2.12(a)所示)、工人用扳手和絲錐攻螺紋(如圖2.12(b)所示)、用兩個手指擰動水龍頭(如圖2.12(c)所示)等。等值反向平行力的矢量和顯然等于零，但是由于它們不共線而不能相互平衡，它們能使物體改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)。這種由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，稱為力偶，如圖2.13所示，記作(F，F(xiàn)')。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力偶臂，力偶所在的平面稱為力偶的作用面。2.4平面力偶理論圖2.12方向盤、絲錐、水龍頭受力示意圖(a)

(b)

(c)

力偶不能簡化為一個力，即力偶不能用一個力等效替代，因此力偶無合力，也不能被一個力平衡。因此，力和力偶是靜力學(xué)的兩個基本要素。力偶對物體的作用效果是使物體轉(zhuǎn)動。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)可以用力偶矩來度量，即用力偶的兩個力對其作用面內(nèi)某點(diǎn)之矩的代數(shù)和來度量。如圖2.13所示，力偶對O點(diǎn)之矩Mo(F，F(xiàn)'

)為2.4平面力偶理論

于是可得結(jié)論：力偶矩是一個代數(shù)量，其絕對值等于力的大小與力偶臂的乘積，正負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向，通常規(guī)定以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。力偶矩的單位與力矩相同，也是或kNm。從幾何上看，力偶矩在數(shù)值上等于△ABC面積的兩倍(如圖2.13所示)。

矩心O是任選的，可見力偶的作用效應(yīng)決定于力的大小、力偶臂的長短以及力偶的轉(zhuǎn)向，與矩心的位置無關(guān)。因此在平面問題中，將力偶中力的大小與力偶臂的乘積并冠以正負(fù)號稱為力偶矩，記為M(F，F(xiàn)')或簡記為M。圖2.13力偶

由于力偶對物體只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，而該轉(zhuǎn)動效應(yīng)是用力偶矩來度量的。因此可得如下的力偶等效定理。定理：作用在剛體上同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。

由這一定理可得關(guān)于平面力偶性質(zhì)的兩個推論：(1)力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對剛體的作用效果。換句話說，力偶對剛體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無關(guān)，如圖2.14(a)、(b)所示。2.4平面力偶理論二、力偶的等效定理圖2.14力偶移轉(zhuǎn)和力偶臂長度變化與力偶矩(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長短時(shí)，而不改變力偶對剛體的作用，如圖2.14(c)、(d)所示。由此可見，力偶中力的大小和力偶臂的長短都不是力偶的特征量，力偶矩才是力偶作用效果的唯一度量。因此，常用圖2.14(e)所示的符號表示力偶，其中M表示力偶矩的大小，帶箭頭的圓弧表示力偶的轉(zhuǎn)向。由作用在物體同一平面內(nèi)的若干力偶組成的力系稱為平面力偶系。平面力偶系也是一種基本力系。2.4平面力偶理論三、平面力偶系的合成

設(shè)在剛體的同一平面內(nèi)作用有兩個力偶M1和M2，M1＝F1d1，M2＝F2d2，如圖2.15(a)所示，求它們的合成結(jié)果。根據(jù)上述力偶的性質(zhì)，在力偶作用面內(nèi)任取一線段AB=d，將這兩個力偶都等效地變換為以d為力偶臂的新力偶(F3，F(xiàn)3'

)和(F4，F(xiàn)4'

)，經(jīng)變換后力偶中的力可由F3d=F1d1=M1，F(xiàn)4d=F2d2=M2算出。然后移轉(zhuǎn)各力偶，使它們的力偶臂都與AB重合，則原平面力偶系變換為作用于點(diǎn)A、B的兩個共線力系(如圖2.15(b)所示)。將這兩個共線力系分別合成(設(shè)F3＞F4)，得：2.4平面力偶理論圖2.15平面力偶系的合成

可見，力F與F'等值、反向、作用線平行而不共線，構(gòu)成了與原力偶系等效的合力偶(F，F(xiàn)')，如圖2.15(c)所示。以M表示此合力偶的矩，得2.4平面力偶理論

如果有兩個以上的平面力偶，可以按照上述方法合成。即平面力偶系可以合成為一個合力偶，合力偶矩等于力偶系中各個力偶矩的代數(shù)和，可寫為(2.17)

四、平面力偶系的平衡條件

平面力偶系可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要與充分條件：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。即(2.18)

平面力偶系有一個平衡方程，可以求解一個未知量?！纠?.7】電動機(jī)軸通過聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，如圖2.16所示。此圓的直徑d＝150mm，電動機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩M＝2.5kNm。試求每個螺栓所受的力。2.4平面力偶理論圖2.16聯(lián)軸器

解：(1)取聯(lián)軸器為研究對象。(2)畫受力圖。作用于聯(lián)軸器上的力有電動機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶，每個螺栓的反力，受力圖如圖2.16所示。因?yàn)橹鲃恿橐涣ε迹胶鈺r(shí)螺栓的反力必構(gòu)成反力偶。設(shè)4個螺栓的受力均勻，即F1=F2=F3=F4=F，則組成兩個力偶并與電動機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶平衡。(3)列平衡方程并求解。由解得

【例2.8】在圖2.16(a)所示的結(jié)構(gòu)中，各構(gòu)件的自重忽略不計(jì)，在構(gòu)件AB上作用一力偶矩為M的力偶。求支座A和C處的約束反力。

2.4平面力偶理論圖2.17曲連桿機(jī)構(gòu)受力分析解：(1)取AB桿為研究對象。(2)畫受力圖。作用于AB桿的是一個主動力偶，A、C兩點(diǎn)的約束反力也必然組成一個力偶才能與主動力偶平衡。由于BC桿是二力桿，F(xiàn)C必沿B、C兩點(diǎn)的連線(如圖2.17(c)所示)，而FA應(yīng)與FC平行，且有FA＝FC(如圖2.17(b)所示)。(3)列平衡方程。其中則一、思考題

1.圖2.18所示的平面匯交力系的各力多邊形，各代表什么意義？

2.5習(xí)題及思考題(a)(a)

(b)

(c)(d)

圖2.18力多邊形2.力F沿軸Ox，Oy的分力與力在兩軸上的投影有何區(qū)別？試分別以圖2.19(a)，2.19(b)所示的兩種情況為例進(jìn)行分析說明?；騀=Fxi+Fyj對圖(a)，(b)都成立嗎？3.兩電線桿之間的電線總是下垂，能否將電線拉成直線？輸電線跨度l相同時(shí)，電線下垂h越小，電線越易于拉斷，為什么？4.由力的解析表達(dá)式F=Fxi+Fyj能確定力的大小和方向嗎？能確定力的作用線(點(diǎn))的位置嗎？5.三個力匯交于一點(diǎn)，但不共面，這三個力能互相平衡嗎？6.力矩和力偶矩有什么相同？又有什么區(qū)別？7.一矩形鋼板放在水平地面上，其邊長a

=3m，b

=2m如圖2.20所示。按圖示方向加力，轉(zhuǎn)動鋼板需要P

=P'

=250N。試問如何加力才能使轉(zhuǎn)動鋼板所用的力最小，并求這個最小力的大小。圖2.19力F的投影2.5習(xí)題及思考題8.如圖2.21所示中四個力作用在剛體的A、B、C、D四點(diǎn)(ABCD為一矩形)，這四個力的力矢恰好首尾相接，此剛體是否平衡？若F1和F'1都改變方向，此剛體是否平衡？圖2.20轉(zhuǎn)動鋼板圖2.21剛體上的作用力

9.力偶不能與一力平衡，那么如何解釋如圖2.22所示的平衡現(xiàn)象？10.四連桿機(jī)構(gòu)如圖2.23所示，作用于曲柄O1A的力偶矩為M1，作用于搖桿O2B的力偶矩為M2，若M1=－M2，此四連桿機(jī)構(gòu)是否平衡？2.5習(xí)題及思考題11.在如圖2.24所示的各圖中，力或力偶對點(diǎn)A的矩都相等，它們引起的支座反力是否相同？圖2.22力偶平衡圖2.23四連桿機(jī)構(gòu)圖2.24支座反力10.四連桿機(jī)構(gòu)如圖2.23所示，作用于曲柄O1A的力偶矩為M1，作用于搖桿O2B的力偶矩為M2，若M1=－M2，此四連桿機(jī)構(gòu)是否平衡？2.5習(xí)題及思考題1.三個力的力矢起點(diǎn)都為點(diǎn)(3，3)，三力作用線分別經(jīng)過下列各點(diǎn)：力126N經(jīng)過點(diǎn)(8，6)，力183N經(jīng)過點(diǎn)(2，－5)，力269N經(jīng)過點(diǎn)(－6，3)。求力系的合力。2.如圖2.25所示，一鋼結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)，在沿OA、OB、OC的方向受到三個力的作用，已知F1=1kN，F(xiàn)2=1.41kN，F(xiàn)3=2kN，試求這三個力的合力。3.如圖2.26所示，圓柱形容器擱在兩個滾子上，滾子A和B處于同一水平線。已知容器重G=30kN，半徑R=500mm，滾子半徑r=50mm，兩滾子中心距離l=750mm。試求滾子A和B所受的壓力。2.5習(xí)題及思考題二、習(xí)題圖2.25鋼結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)圖2.25鋼結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)

4.飛機(jī)沿與水平線成θ角的直線作勻速飛行，已知發(fā)動機(jī)的推力為F1，飛機(jī)的重力為P，求如圖2.27所示中飛機(jī)的升力F2和迎面阻力Q的大小。5.如圖2.28所示，輸電線ACB架在兩電線桿之間，形成一下垂曲線，下垂距離CD=f=1m，兩電線桿間距離AB=40m。電線ACB段重P=400N，可近似認(rèn)為沿AB連線均勻分布。求電線的中點(diǎn)和兩端的壓力。6.繩子一端A固定在墻上，另一端跨過滑輪B并在末端懸掛重為W的物體，在繩中間有動滑輪C吊起另一重物Q=100N，如圖2.29所示。已知平衡時(shí)，h=0.5m，l=2.4m。試求物體重量W是多少？7.簡易起重機(jī)如圖2.30所示，A、B和C為光滑鉸鏈，物體重力P=20kN，由絞車D通過滑輪B吊起，若不計(jì)桿重、摩擦和滑輪大小，試求平衡時(shí)桿AB和BC所受的力。2.5習(xí)題及思考題2.5習(xí)題及思考題圖2.27飛機(jī)升力和阻力圖2.28求電線壓力

圖2.29滑輪懸物平衡

圖2.30簡易起重機(jī)

8.在如圖2.31所示的壓榨機(jī)BAC中，鉸鏈B固定不動。作用在鉸鏈A處的水平力P使壓塊C壓緊物體D。假設(shè)壓塊C與墻壁間以及壓塊C與物體D之間均是光滑接觸，壓榨機(jī)尺寸h和l如圖2.32所示，壓塊C和各桿自重均不計(jì)。試求物體D所受的力。9.液壓式夾緊機(jī)構(gòu)如圖2.32所示，D為固定鉸鏈，B，C，E為活動鉸鏈。已知力F，機(jī)構(gòu)平衡時(shí)角度如圖2.32所示，各構(gòu)件自重不計(jì)，求此時(shí)工件H所受的壓緊力。2.5習(xí)題及思考題圖2.31壓榨機(jī)圖2.32液壓式夾緊機(jī)構(gòu)10.如圖2.33所示的均質(zhì)桿AB重P=50N，兩端分別放在與水平面成和傾角的光滑斜面上。求平衡時(shí)這兩斜面對桿的反力以及桿與水平面間的夾角。11.兩均質(zhì)輪各重為P1與P2，用長為l的無重細(xì)桿鉸接，放在傾角為的光滑斜面上，如圖2.34所示。求系統(tǒng)平衡時(shí)的位置(用長度s表示)。圖2.33均質(zhì)桿平衡

圖2.33均質(zhì)桿平衡2.5習(xí)題及思考題12.試計(jì)算如圖2.35所示各圖中力F對O點(diǎn)之矩。13.如圖2.36所示，作用在扳手上一力F，其大小為250N，試計(jì)算此力對螺栓中心O的力矩。2.5習(xí)題及思考題圖2.35力F對O點(diǎn)之矩2.5習(xí)題及思考題圖2.36扳手14.如圖2.37所示，一齒輪受力F=100kN，該齒輪的節(jié)圓直徑D=0.16m，壓力角，試求力F對齒輪軸心O的力矩。15.在如圖2.38所示的結(jié)構(gòu)中，力F作用在D點(diǎn)上，其大小為10N，試計(jì)算此力對A點(diǎn)之矩。16.在如圖2.39所示的工件上作用有三個力偶。三個力偶的矩分別為M1=M2=10Nm，M3=20Nm；固定螺柱A和B的距離l=200mm。求兩個光滑螺柱所受的水平力。17.在如圖2.40所示結(jié)構(gòu)中，各構(gòu)件的自重略去不計(jì)，在構(gòu)件BC上作用一力偶矩為M的力偶，各尺寸如圖2.40所示。求支座A的約束力。2.5習(xí)題及思考題圖2.37齒輪

圖2.38力F對A點(diǎn)之矩圖2.39工件

18.如圖2.41所示的結(jié)構(gòu)中，均在構(gòu)件BC上作用有一力偶。試分別求(a)、(b)圖中A和B點(diǎn)的約束力。已知：(a)M=1.5kNm，r=0.3m；(b)M=800Nm，r=12cm。圖2.40連桿機(jī)構(gòu)2.5習(xí)題及思考題圖2.41題18圖

19.設(shè)有一力偶矩為M的力偶作用在曲桿AB上，試求在下列兩種支承情況下A、B點(diǎn)的約束反力。20.在如圖2.43所示的結(jié)構(gòu)中，已知力偶矩為M，不計(jì)各構(gòu)件的自重。求支座A與鉸鏈E的約束力。圖2.42曲桿2.5習(xí)題及思考題圖2.43連桿結(jié)構(gòu)

21.如圖2.44所示勻質(zhì)桿AB，長為15m，重為1500N，由繩子懸掛起來，兩端與光滑鉛垂墻壁接觸，求A、B兩點(diǎn)的約束反力。22.在圖示機(jī)構(gòu)中，曲柄OA上作用一力偶，其矩為M；另在滑塊D上作用水平力F。機(jī)構(gòu)尺寸如圖2.45所示，各桿重量不計(jì)。求當(dāng)機(jī)構(gòu)平衡時(shí)，力F與力偶矩M的關(guān)系。圖2.44懸掛勻質(zhì)桿

2.5習(xí)題及思考題圖2.45機(jī)構(gòu)平衡時(shí)F與M的關(guān)系第3章

平面任意力系

返回總目錄力的平移定理平面任意力系向已知點(diǎn)的簡化平面任意力系的簡化結(jié)果平面任意力系的平衡條件和平衡方程物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算習(xí)題與思考題本章內(nèi)容如圖3.1(a)所示，在剛體的A點(diǎn)作用著一個力F，B點(diǎn)為剛體上的任一指定點(diǎn)。現(xiàn)在討論如何將作用于A點(diǎn)的力F平行移動到B點(diǎn)，而不改變其原來的作用效果？我們可在B點(diǎn)加上大小相等、方向相反且與力F平行的兩個力和，并使F＝=，如圖3.1(b)所示。顯然和F組成一力偶，稱為附加力偶，其力偶臂為d。于是作用于A點(diǎn)的力F可以用由作用于B點(diǎn)的力及附加力偶M(，)來替代，如圖3.1(c)所示。其中附加力偶矩為；由此可知：作用于剛體上的力均可以從原來的作用位置平行移至剛體內(nèi)任一指定點(diǎn)。欲不改變該力對于剛體的作用效應(yīng)，則必須在該力與指定點(diǎn)所決定的平面內(nèi)附加一力偶，其力偶矩等于原力對于指定點(diǎn)之矩。這就是力的平移定理。

3.1力的平移定理圖3.1平行移動作用于剛體的力另外，我們也可以利用上述定理的逆步驟，將作用于剛體上的力偶矩為M的力偶(，)與作用于同一平面內(nèi)的B點(diǎn)的力合成為一個作用于A點(diǎn)的力F。即該定理的逆過程也成立。

力的平移定理既是力系向一點(diǎn)簡化的理論基礎(chǔ)，同時(shí)也可直接用來分析和解決工程實(shí)際中的力學(xué)問題。例如圖3.2(a)中廠房柱子受偏心載荷F的作用，為觀察F的作用效應(yīng)，可將力F平移至柱的軸線上成為與矩為M的力偶(如圖3.2(b)所示)，軸向力使柱子壓縮，而矩為M的力偶將使柱彎曲。又如圖3.3中，用絲錐攻絲時(shí)，若僅用一只手加力，如圖3.3(a)所示，即只在B點(diǎn)有作用一力F，雖然扳手也能轉(zhuǎn)動，但卻容易使絲錐折斷。這是因?yàn)椋焊鶕?jù)力的平移定理，將作用于扳手B點(diǎn)的力F平行移動到絲錐中心O點(diǎn)時(shí)，需附加一個力偶矩3.1力的平移定理為M=Fd的力偶，如圖3.3(b)所示。這個力偶可使絲錐轉(zhuǎn)動，而這個力卻是使絲錐折斷的主要原因?？梢钥紤]：為什么用兩手握扳手，而且用力相等時(shí)，就不會出現(xiàn)折斷的現(xiàn)象。圖3.2柱子受力示意圖3.3絲錐攻絲示意圖

如圖3.4(a)所示，設(shè)剛體上受一平面任意力系F1、F2、…Fn的作用，各力的作用點(diǎn)分別為A1、A2、…An。在力系所在的平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，稱為簡化中心。求該力系向O點(diǎn)簡化的結(jié)果。應(yīng)用力的平移定理，將各力平移至簡化中心O點(diǎn)，同時(shí)加入相應(yīng)的附加力偶。這樣原力系就等效變換成為作用在O點(diǎn)的平面匯交力系、、…和作用于匯交力系所在平面內(nèi)的力偶矩為M1、M2、…Mn的附加平面力偶系，如圖3.4(b)所示。這樣，平面任意力系被分解成了兩個力系：平面匯交力系和平面力偶系。然后再分別合成這兩個力系。3.2平面任意力系向已知點(diǎn)的簡化圖3.4將力系向O點(diǎn)簡化一、主矢

3.2平面任意力系向已知點(diǎn)的簡化

圖3.4(c)中，平面匯交力系、…可合成為一作用于簡化中心O的力，其大小和方向等于匯交力系的矢量和，即：而平面匯交力系中各力的大小和方向分別與原力系中對應(yīng)的各力相同，即：，…，所以

我們將平面任意力系中各力的矢量和稱為該力系的主矢，以表示，由于原力系中各力的大小和方向是一定的，所以它們的矢量和也是一定的，因而當(dāng)簡化中心不同時(shí)，原力系的矢量和不會改變，即力系的主矢與簡化中心的位置無關(guān)。

圖3.4(c)中，平面附加力偶系可合成為一力偶，其力偶矩等于各附加力偶的力偶矩的代數(shù)和，用表示，即：而各附加力偶的力偶矩分別等于原力系中各力對簡化中心O點(diǎn)的矩，即：3.2平面任意力系向已知點(diǎn)的簡化二、主矩

，···，所以

我們將原力系中各力對簡化中心的矩的代數(shù)和稱為該力系對簡化中心O的主矩，以表示，

當(dāng)簡化中心的位置改變時(shí)，原力系中各力對簡化中心的矩是不同的，對不同的簡化中心的矩的代數(shù)和一般也不相等，所以力系對簡化中心的主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。所以，說到主矩時(shí)一般必須指出是力系對哪一點(diǎn)的主矩。綜上所述：平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)簡化的結(jié)果一般可以得到一個力和一個力偶。該力作用于簡化中心，它的矢量等于原力系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢；該力偶的矩等于原力系中各力對簡化中心的矩的代數(shù)和，即等于原力系對簡化中心的主矩。3.2平面任意力系向已知點(diǎn)的簡化三、主矢和主矩的解析表達(dá)式

為了用解析法計(jì)算力系主矢的大小和方向，可以通過O點(diǎn)選取直角坐標(biāo)系Oxy，如圖3.4(c)所示。則有：上式中和以及、、…和、、…分別為主矢以及原力系中各力F1、F2、…Fn在X軸和Y軸上的投影。所以，主矢的大小和方向可分別由以下兩式確定：3.2平面任意力系向已知點(diǎn)的簡化式中

為主矢與x軸間的夾角。在平面力系的情況下，力系對簡化中心的主矩是代數(shù)量，可直接由式(3.2)計(jì)算。我們知道，在工程實(shí)際當(dāng)中常見的支座一般有三種：可動鉸支座、固定鉸支座和固定端支座。關(guān)于前兩種支座的特點(diǎn)，我們在第1章中已做了介紹，現(xiàn)應(yīng)用平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化的結(jié)論，來分析固定端支座的特性。如圖3.5(a)所示，桿件的一端牢固地嵌入墻內(nèi)而使桿件固定不動，墻對桿件的這種約束稱為固定端或插入端約束，或固定支座。在工程結(jié)構(gòu)中，像一端深埋于地下的電線桿、牢固地澆筑在基礎(chǔ)上的柱子，還有夾緊在刀架上的車刀等，都可簡化為固定端約束。圖3.5(b)為桿件所受的約束力簡圖。當(dāng)桿件所受的荷載是平面力系時(shí)，固定端所產(chǎn)生的約束反力也為一平面任意力系。若取一簡化中心A，則可將約束反力系簡化為作用在A點(diǎn)的一個力和一個力偶，或可將力沿直角坐標(biāo)軸分解為兩個分力。則一般情況下，平面固定支座所產(chǎn)生的約束反力有三個：水平反力、鉛垂反力和反力偶，如圖3.5(c)所示?？梢娺@種約束既能阻礙物體在平面內(nèi)沿任何方向移動，又能阻礙物體在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。3.2平面任意力系向已知點(diǎn)的簡化圖3.5固定端的約束反力一、簡化結(jié)果分析

由上節(jié)可知，平面任意力系向一點(diǎn)簡化后，一般來說可以得到一個力和一個力偶；但這并不是平面任意力系簡化的最后結(jié)果，所以還有必要根據(jù)力系的主矢和主矩這兩個量可能出現(xiàn)的幾種情況作進(jìn)一步的分析討論。

(1)當(dāng)主矢

0，主矩

0時(shí)，如上節(jié)所述，此時(shí)原力系簡化為作用線通過簡化中心O的一力和一力偶，如圖3.6(a)所示。由力的平移定理的逆過程可知，原力系最后可以簡化為一個合力。為求此合力，可將力偶矩為的力偶用一對力(、)表示，并令，如圖3.6(b)所示。再根據(jù)加減平衡力系公理，即可將一力和一力偶最終合成為一個力，如圖3.6(c)所示。該力就是原力系的合力，合力的大小和方向與原力系的主矢相同；合力作用線到點(diǎn)O的距離d，可由下式計(jì)算：3.3平面任意力系的簡化結(jié)果

而合力的作用線在簡化中心O的哪一側(cè)，需由主矢和主矩的方向確定；或可按如下方法判斷：若為正值，即為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，則從簡化中心O沿主矢的箭頭指向看過去，合力應(yīng)在主矢的右側(cè)，如圖3.6所示；若為負(fù)值，則合力應(yīng)在主矢的左側(cè)。3.3平面任意力系的簡化結(jié)果

圖3.6平面任意力系的進(jìn)一步簡化(2)當(dāng)主矢

0，主矩=0時(shí)，此時(shí)原力系與一力等效。這個力就是原力系的合力。該合力的大小和方向與原力系的主矢相同，作用線通過簡化中心O。(3)當(dāng)主矢=0，主矩

0時(shí)，此時(shí)原力系只與一個力偶等效。這個力偶的力偶矩等于原力系對簡化中心的主矩，即等于原力系中各力對簡化中心的矩的代數(shù)和。只有在這種情況下，主矩才與簡化中心的位置無關(guān)，因?yàn)榱ε紝θ我稽c(diǎn)的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)，也就是說，原力系無論向哪一點(diǎn)簡化都是一個力偶矩保持不變的力偶。(4)當(dāng)主矢=0，主矩=0時(shí)，則原力系為一平衡力系，這種情形將在下節(jié)中討論。由上可知，平面任意力系簡化的最后結(jié)果有三種可能性，即：可能為一個力、可能為一個力偶、或者可能平衡。綜上所述，求解平面任意力系合成的步驟可總結(jié)為：①任選一簡化中心；②計(jì)算力系的主矢和對簡化中心的主矩；③對簡化結(jié)果進(jìn)行分析而得到最終的合成結(jié)果。3.3平面任意力系的簡化結(jié)果

二、合力矩定理

當(dāng)平面任意力系合成為一個合力時(shí)，如圖3.6所示，合力對點(diǎn)O的矩為由力系對O點(diǎn)的主矩的定義：所以

3.3平面任意力系的簡化結(jié)果

上式表明：若平面任意力系可簡化為一個合力時(shí)，則其合力對該力系作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。這就是平面任意力系的合力矩定理。該定理無論在理論推導(dǎo)方面，還是在實(shí)際應(yīng)用方面都具有非常重要的意義。3.3平面任意力系的簡化結(jié)果

【例3.1】重力壩受力情況如圖3.7所示。設(shè)W1

=450kN，W2

=200kN，F(xiàn)1

=300kN，F(xiàn)2

=70kN。求力系的合力FR的大小和方向，以及合力與基線OA的交點(diǎn)到點(diǎn)O的距離x。圖3.7重力壩受力情況解：該重力壩受到一平面任意力系的作用，可先將力系向一已知點(diǎn)簡化，然后再定出合力作用線的位置。選取O為簡化中心，計(jì)算力系的主矢和主矩。因?yàn)樗灾魇竫、y軸上的投影為：由式(3.5)可知主矢的方向：因?yàn)镕R’為正、FR’為負(fù)，所以可以判斷主矢應(yīng)在第四象限，且：即主矢與軸的夾角為－70.83度由式(3.2)可求得對簡化中心O的主矩為其向O點(diǎn)的簡化結(jié)果如圖3.7(b)所示。(2)求合力FR與基線OA的交點(diǎn)到點(diǎn)O的距離x，如圖3.7(b)所示。由合力矩定理：因?yàn)樗越獾?.3平面任意力系的簡化結(jié)果

【例3.2】如圖3.8所示，邊長為a

=1m的正方形板，受一平面力系作用，其中P1=50N，P2=100N，M=50Nm，若P3=200N，要使得力系的合力作用線通過D點(diǎn)，

角應(yīng)為多大？3.3平面任意力系的簡化結(jié)果

圖3.8正方形板受力圖解：要使得合力過D點(diǎn)，則將力系向D點(diǎn)簡化后，其主矩應(yīng)為零，即所以代入數(shù)據(jù)可得故即當(dāng)P鉛垂向上或水平向左時(shí)，可滿足題意要求。一、平面任意力系平衡的充要條件

3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

由上節(jié)對平面任意力系簡化結(jié)果的分析可知，當(dāng)平面任意力系向一已知點(diǎn)O簡化所得的主矢和主矩不同時(shí)為零時(shí)，原力系將同一力或一力偶等效，則剛體在此力系作用下是不可能保持平衡的。只有在剛體所受到的平面任意力系為一平衡力系時(shí)，剛體才可以處于平衡狀態(tài)。而要保證平面任意力系平衡，必須使其主矢和對任意點(diǎn)的主矩同時(shí)為零，即：所以，平面任意力系平衡的必要和充分條件是：其主矢和對簡化中心的主矩同時(shí)為零。二、平面任意力系的平衡方程

3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

由平面任意力系的主矢和主矩的解析計(jì)算式可知：由上式可知：

上式即為平面任意力系的平衡方程。它有兩個投影方程和一個力矩方程，且其相互獨(dú)立，我們稱其為平面任意力系的平衡方程，它是平衡方程的基本形式。根據(jù)這三個方程可求解三個未知量。(3.10)(3.9)

我們在建立上述方程時(shí)，所選的二個投影軸是互相垂直的，大家可以考慮這是否是必須的。事實(shí)上，選取相互垂直的坐標(biāo)軸只是為了計(jì)算上的方便，同平面匯交力系的問題一樣，在應(yīng)用時(shí)可任意選取兩個相交的投影軸，且矩心也是可以任選的。在應(yīng)用上式求解相關(guān)問題時(shí)，往往需要聯(lián)立方程求解，特別是當(dāng)分析包含較多研究對象的物體系統(tǒng)的平衡問題時(shí)，會由于需聯(lián)立方程數(shù)目較多而使計(jì)算過程很煩瑣。所以，為了簡化運(yùn)算，我們可以利用力系以及力對點(diǎn)的矩的特性來選擇適當(dāng)?shù)钠胶夥匠痰男问健?shí)際上，平面任意力系的平衡方程除了上述的基本形式外，還有更便于我們應(yīng)用的另外兩種形式：(1)二力矩式：3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

其中包含兩個力矩方程和一個投影方程。但其限制條件是：兩矩心A、B的連線不能垂直于投影軸x。(3.11)

這是因?yàn)槿鬉、B連線與投影軸垂直，則即使力系滿足上述三個方程，也不能保證該力系為平衡力系。如圖3.9所示，若力系簡化結(jié)果為一通過A、B矩心的力F，很明顯上述二力矩式方程均可滿足，但事實(shí)上該力系不平衡。另外，如果已知一平面任意力系為一平衡力系，是不是就可以不受上述條件的限制呢？我們說在這種情況下，方程中的兩個力矩方程就不是相互獨(dú)立的，實(shí)際上是一個方程。所以，只有在A、B連線不垂直于投影軸時(shí)，滿足上述三個方程才是平面任意力系平衡的充要條件。(2)三力矩式：以上三個方程均為力矩形式，其限制條件為：

A、B、C三個矩心的連線不共線。原因可參考關(guān)于對二力矩式方程限制條件的解釋自行思考。3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

圖3.9力系簡化結(jié)果(3.12)

利用上述式(3.10)、式(3.11)、式(3.12)三種形式的平衡方程均可解決平面任意力系的平衡問題，在使用時(shí)可根據(jù)具體問題的條件來選擇。同時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)耐队拜S和矩心位置等，亦可使解題過程得以簡化。例如，應(yīng)盡可能讓投影軸與未知力的方向垂直；將較多未知力的交點(diǎn)選為矩心等。這樣，所列出的平衡方程中的未知量就會較少，從而可簡化對聯(lián)立方程的求解。對于受平面任意力系作用的單個剛體的平衡問題，只能寫出三個獨(dú)立的平衡方程來求解三個未知量。對于任何形式的第四個方程都不是獨(dú)立的，而是前三個方程的線性組合。但可利用這個方程對計(jì)算結(jié)果的正確性進(jìn)行校核。3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

【例3.3】圖3.10所示AB梁自重不計(jì)，已知其所受外力：P=80N，m=50Nm，q=20N/m，且l=1m，

=30

。試求支座A、B的約束反力。

解：選梁AB為研究對象。它所受的主動力有：均布載荷q、重力P和矩為m的力偶；約束反力有：固定鉸支座A的約束反力應(yīng)通過點(diǎn)A，但方向不定，故可用兩個分力和表示；可動鉸支座B處的約束反力方向鉛直向上。取圖示坐標(biāo)系，應(yīng)用平面力系平衡方程：3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

圖3.10AB梁受力圖(1)(2)(3)聯(lián)立求解方程可得：由上例可知，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和矩心可減少方程中未知量的數(shù)目。在上例中若用方程來取代方程，即用二力矩式方程求解上述問題，可自行思考力矩式方程同投影式方程相比有何優(yōu)越性？【例3.4】如圖3.11所示為一不計(jì)自重的電線桿，A端埋入地下，B端作用有導(dǎo)線的最大拉力F1=15kN，

=5

，在C點(diǎn)處用鋼絲繩拉緊，其拉力F2=18kN，

=45

。試求A端的約束反力。

圖3.11電線桿受力分析

3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

解：取電桿為研究對象，其受力圖如圖3.11(b)所示；應(yīng)用平面任意力系平衡方程：(1)(2)(3)由方程求解得：

最后結(jié)果為正表示與該力假設(shè)方向相同，負(fù)號表示與假設(shè)方向相反。

當(dāng)平面力系的所有力的作用線均相互平行時(shí)，稱為平面平行力系。顯然，平面平行力系是平面任意力系的一種特殊形式。所以，平面平行力系的平衡方程可由平面任意力系的平衡方程導(dǎo)出。如圖3.12所示，選取圖示坐標(biāo)軸，使剛體所受的平面平行力系與軸垂直。則不論該力系是否平衡，各力在軸上的投影恒等于零，即。所以，平面平行力系的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目只有兩個，即：

3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

三、平面平行力系的平衡方程

圖3.12平面平行力系

同平面任意力系一樣，平面平行力系的平衡方程亦可表示為二力矩形式：

其限制條件為：A、B矩心連線不與各力作用線平行。否則，兩個力矩方程不相互獨(dú)立。可見，對單個剛體而言，平面平行力系只有兩個獨(dú)立的平衡方程，只能求解兩個未知量。3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

【例3.5】塔式起重機(jī)如圖3.13所示，機(jī)架重P=700kN，作用線通過塔架的中心。最大起重量W=200kN，最大懸臂長為12m，軌道AB的間距為4m。平衡塊重G，到機(jī)身中心線距離為6m。試問：(1)保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)都不致翻倒，求平衡塊的重量G應(yīng)為多少？(2)當(dāng)平衡塊重G=180kN時(shí)，求滿載時(shí)軌道A、B給起重機(jī)輪子的反力？解：(1)以起重機(jī)整體為研究對象。其受到一平行力系作用，其中有主動力P、G及W，被動力有軌道的約束反力FA、FB。當(dāng)滿載時(shí)，應(yīng)保證機(jī)身不會繞B輪翻轉(zhuǎn)。在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)A=0，此時(shí)G值應(yīng)有所允許的最小值Gmin。所以由①3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

當(dāng)空載時(shí)，應(yīng)保證機(jī)身不繞A輪翻轉(zhuǎn)。在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)B=0，此時(shí)G值應(yīng)有所允許的最大值Gmax。所以由解得解得②

起重機(jī)在工作時(shí)是不允許處于極限狀態(tài)的，所以，為保證其在工作時(shí)不致翻倒，平衡塊的重量G應(yīng)在所允許的Gmin和Gmax之間，即(2)當(dāng)已知平衡塊重G=180kN時(shí)，同樣可以整體機(jī)身為研究對象，由平面平行力系平衡方程：由③式解得由④式解得可以利用平衡方程來驗(yàn)證以上的計(jì)算結(jié)果是否正確。說明計(jì)算結(jié)果正確。3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

③④

在工程實(shí)際中，絕大多數(shù)結(jié)構(gòu)、設(shè)備都是由若干個物體通過約束所組成的，我們將其統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱物系。如圖3.14所示三鉸拱結(jié)構(gòu)是由兩個曲桿AC、BC通過鉸鏈C連接組合而成。在研究其平衡問題時(shí)，不僅要求出結(jié)構(gòu)所受的A、B處的約束反力，同時(shí)還要求出它們在中間C點(diǎn)處相互作用的內(nèi)力。而其內(nèi)力和外力是根據(jù)選取研究對象的范圍相對而言的：內(nèi)力：組成研究對象的各剛體間相互作用的力。外力：研究對象以外的物體作用于研究對象的力。另外，即使只需求出整體結(jié)構(gòu)所受的約束反力，對如圖3.14所示的結(jié)構(gòu)而言，在平面任意力系的作用下也只有三個獨(dú)立的平衡方程，而固定鉸支座A、B處的未知量卻有四個。所以，若只取整體結(jié)構(gòu)為研究對象也不可能將所有約束反力求出。這時(shí)，就需要把某些剛體(如AC或BC曲桿)從結(jié)構(gòu)中分開來單獨(dú)研究，才能求出所有未知量。一般而言，當(dāng)物體系統(tǒng)平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個物體亦都處于平衡狀態(tài)，即：整體平衡，其局部亦平衡。而對每一個受平面任意力系作用的物體，均可寫出三個獨(dú)立的平衡方程。若物系由n個物體組成，則可有3n個獨(dú)立的平衡方程。若系統(tǒng)中未知量的數(shù)目與平衡方程的數(shù)目相等，則可由平衡方程求解出所有未知量，這樣的問題稱為靜定問題。但是在工程實(shí)際當(dāng)中，為了減小結(jié)構(gòu)的過大變形、提高其承載能力或增加其穩(wěn)定性，往往要給結(jié)構(gòu)增加支撐，使其產(chǎn)生了多于維持基本平衡的約束，稱為多余約束。這樣，未知量的數(shù)目將多于平衡方程的數(shù)目，從而僅由力系的平衡方程就不能將所有的未知量求出，這樣的問題稱為靜不定問題，或稱超靜定問題。圖3.14所示的三鉸拱及如圖3.15所示的結(jié)構(gòu)的平衡問題均為靜定問題；圖3.16所示的結(jié)構(gòu)的平衡問題都是靜不定問題。

3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

在靜不定問題中將總未知量數(shù)與平衡方程數(shù)之差，稱為超靜定次數(shù)。例如圖3.16(a)、(b)、(c)中未知量數(shù)分別為4、7、4個，而獨(dú)立平衡方程數(shù)分別為3、6、3個，所以均為一次超靜定問題。對于解決超靜定問題，僅用靜力學(xué)平衡方程是不夠的，還需要考慮作用于物體上的外力和物體的變形的關(guān)系，列出相應(yīng)于靜不定次數(shù)的補(bǔ)充方程數(shù)并聯(lián)立平衡方程才能解決。由于理論力學(xué)的研究對象是剛體，并不考慮物體的變形，所以，靜不定問題已超出了本教材的研究范圍，而對其問題的解決將在后續(xù)課程材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等學(xué)科中研究。3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

圖3.14三鉸拱結(jié)構(gòu)圖3.15靜定結(jié)構(gòu)

下面著重討論靜定的物體系統(tǒng)的平衡問題。在求解物系的平衡問題時(shí)，可以選物系中某個剛體、也可取幾個剛體的組合為研究對象，或者可取整個物系為分離體。而要如何選取需考慮問題的具體情況來決定。總的原則是：要使每一個方程中的未知量數(shù)盡量減少，最好只含有一個未知量，以避免求解聯(lián)立方程。3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

圖3.16靜不定結(jié)構(gòu)【例3.6】組合梁ABCD，受集中力P、力偶矩為M的力偶及均布載荷q的作用，其中，，如圖3.17所示。試求A、B的約束反力。解：(1)取CBD梁為研究對象，受力圖如圖3.17(b)所示，列平衡方程：可得(2)取整體為研究對象，受力圖如圖3.17(a)所示，列平衡方程：3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

圖3.17組合梁受力圖①3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

②③④由(3)式得由(4)式得所以【例3.7】如圖3.18(a)所示的三鉸拱，受鉛垂主動力P及2P作用，幾何尺寸如圖所示，且構(gòu)件自重不計(jì)。試求鉸鏈A、B、C處的約束反力。解：三鉸拱由AC和BC兩構(gòu)件構(gòu)成，而在A、B、C處的未知力數(shù)目共有6個。所以，可分別取AC、BC構(gòu)件為研究對象，列平衡方程聯(lián)立求解即可。3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

(1)以AC為研究對象，列平衡方程圖3.18三鉸拱受力分析①②③

(2)以BC為研究對象，列平衡方程④⑤⑥3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

聯(lián)立上述六個方程，且，，解得

在分析物系的平衡問題時(shí)，對同一問題可采用不同的方法來解決，如上例也可利用整體和局部相結(jié)合的方法來求解：首先，以整體為研究對象，受力圖如圖3.18(a)所示，列平衡方程，①②③

由上述方程可解得但要求出C點(diǎn)的約束反力及A、B處的水平反力還需要取其一部分為研究對象，如可取AC構(gòu)件為研究對象，列平衡方程3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

，④⑤⑥聯(lián)立求解可得對上述兩種解法可自已進(jìn)行分析，并總結(jié)出其各自的特點(diǎn)。，

【例3.8】圖3.19(a)所示構(gòu)架是由折桿ABC及直桿CE和BD組成。桿件自重不計(jì)，受力如圖示，試求其支座的約束反力和BD桿的內(nèi)力。解：結(jié)構(gòu)只受到一鉛垂方向的均布荷載的作用，故其所受到的所有的力應(yīng)為一平行力系，所以支座產(chǎn)生的約束反力有FD和FE，如圖所示。以整體為研究對象，列平衡方程①②解得圖3.19構(gòu)架3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

(2)欲求BD桿的內(nèi)力FBD，須取部分構(gòu)件為研究對象，且已知BD桿為二力桿。如可取折桿ABC為研究對象，列平衡方程3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

③解得另外，若取CE桿為研究對象，亦可求出FBD，可自行分析。

在工程結(jié)構(gòu)中，諸如屋架、橋梁、起重機(jī)架、輸電鐵塔等等各類大型結(jié)構(gòu)物都是由許多桿件在其兩端通過焊接、鉚接或螺栓連接等某種方式結(jié)合而成。在對這類構(gòu)架進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，可將桿件在其兩端所受的約束簡化為鉸鏈連接。我們將這類由桿件鉸結(jié)而成且受力后幾何形狀不變的桿系結(jié)構(gòu)稱為桁架結(jié)構(gòu)。其桿件間的鉸接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。若構(gòu)成桁架的桿件軸線在同一平面內(nèi)，稱為平面桁架；否則稱為空間桁架。在對桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力分析時(shí)，為簡化計(jì)算，通?？勺魅缦录僭O(shè)：

1.軸線均為直線；

2.節(jié)點(diǎn)均為光滑鉸鏈連接；

3.所有外力(包括主動力和約束反力)均集中作用于節(jié)點(diǎn)，即桿件身體部分無任何外力；

4.對于平面桁架，各力的作用線都在桁架的平面內(nèi)。

5.桿件自重忽略不計(jì)；或?qū)⑵渥灾乜善骄峙涞綏U件的兩端節(jié)點(diǎn)上。通過以上假設(shè)可知，桁架中的桿件同鏈桿約束具有相同的特點(diǎn)，即均為二力桿。所以，桁架具有如下優(yōu)點(diǎn)：其中各桿均只承受拉力和壓力；可使材料力學(xué)性能得以較充分發(fā)揮；可減輕結(jié)構(gòu)自身重量，使用材料比較經(jīng)濟(jì)合理。3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

符合上述假定條件的桁架稱為理想桁架。在此基礎(chǔ)之上的設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果一般可以滿足工程實(shí)際的要求。

按照桁架的幾何組成方式可將其分為簡單桁架、聯(lián)合桁架和復(fù)雜桁架；其中簡單桁架是在一相互鉸接的三角形的基礎(chǔ)上，每增加一個節(jié)點(diǎn)需增加兩個桿件，如此延伸而形成一個幾何形狀不變的整體，如圖3.20所示；聯(lián)合桁架是由簡單桁架組合而成的；除了上述兩類桁架以外的其他形式的桁架，稱為復(fù)雜桁架。若僅由靜力學(xué)平衡方程即可將桁架的約束反力和各桿的內(nèi)力全部求出，則稱為靜定桁架，反之稱為靜不定桁架。關(guān)于各類桁架的受力分析、計(jì)算方法等將在結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)科中詳細(xì)討論；而本課程主要利用平面力系的平衡方程對平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算作一個初步的介紹。

下面舉例說明計(jì)算桁架內(nèi)力的兩種基本方法：節(jié)點(diǎn)法和截面法。3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

一、節(jié)點(diǎn)法【例3.9】圖3.21所示為一平面桁架，幾何尺寸如圖所示。在節(jié)點(diǎn)D處受一集中力P的作用。試求桁架中各桿件所受的內(nèi)力。解：欲求出各桿的內(nèi)力，首先應(yīng)求出桁架的約束反力，然后再對各節(jié)點(diǎn)進(jìn)行受力分析，即可依次求出各桿內(nèi)力。(1)求支座反力：以整體為研究對象，列平衡方程

解得約束反力(2)求各桿內(nèi)力：在求桿件的內(nèi)力時(shí)，須假設(shè)將桿件截?cái)?，再以?jié)點(diǎn)為研究對象，列平衡方程即可。桁架的每個節(jié)點(diǎn)都是在外力(主動力和約束反力)和桿件的內(nèi)力共同作用下3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

①②③而平衡的，且構(gòu)成了一個平面匯交力系。所以，對每一個節(jié)點(diǎn)均可列出兩個獨(dú)立的平衡方程，故其未知量不能超出兩個。一般可先假設(shè)各桿都受拉力。本題中可依次以節(jié)點(diǎn)A、C、D為研究對象，其受力圖如3.21(b)所示。

對節(jié)點(diǎn)A，列平衡方程3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

圖3.21平面桁架受力分析④⑤將代入，解得(壓)(拉)對節(jié)點(diǎn)C，列平衡方程3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

⑥⑦將代入，解得(壓)(拉)對節(jié)點(diǎn)D，只有一個未知量F4，可列平衡方程解得⑧(拉)

由計(jì)算結(jié)果可知，內(nèi)力F1、F3、F4為正值，表示桿件受拉；F2、F5為負(fù)值，表示與假設(shè)方向相反，桿件受壓。通過以上舉例，可對利用節(jié)點(diǎn)法求桁架內(nèi)力的要點(diǎn)和步驟總結(jié)如下：(1)一般先應(yīng)用靜力平衡方程求解桁架的約束反力。(2)依次取各節(jié)點(diǎn)為研究對象。節(jié)點(diǎn)上的已知力按實(shí)際方向畫出；桿件的未知內(nèi)力均假設(shè)為拉力，即力的方向遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)；所選節(jié)點(diǎn)所含未知量不能超過2個，否則不能全部求出。3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

二、截面法當(dāng)只需求解桁架內(nèi)某個或幾個桿件的內(nèi)力時(shí)，可以適當(dāng)?shù)剡x取一截面將桁架截開，并取其一部分為研究對象，由平衡方程求出被截?cái)嗟臈U件的內(nèi)力，這種方法稱為截面法?！纠?.10】用截面法求圖3.22所示的桁架中指定桿件1、2的內(nèi)力，載荷及幾何尺寸如圖所示。解：(1)取整體為研究對象，受力圖如圖3.22(a)所示，列平衡方程①可解得約束反力為3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

②③圖3.22桁架桿件受力分析(2)作截面m－m，取左邊部分為研究對象，受力圖如圖3.22(b)所示，列平衡方程解得(3)作截面n－n，取右邊部分為研究對象，受力圖如圖3.22(c)所示，列平衡方程3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

④⑤代入，解得

在應(yīng)用截面法求解桁架的內(nèi)力時(shí)，應(yīng)注意：在選取截面時(shí)每次最多只能截?cái)嗳鶙U件，因?yàn)樵趹?yīng)用平面任意力系列平衡方程時(shí)只有三個獨(dú)立的方程；在選取平衡方程時(shí)要適當(dāng)選擇力矩方程或投影方程，應(yīng)以計(jì)算簡便為原則；所有未知內(nèi)力，均假定為受拉力，若結(jié)果為負(fù)值，則說明桿件受壓。

在對平面桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力分析時(shí)，不管用節(jié)點(diǎn)法還是截面法，都可先根據(jù)桁架的結(jié)構(gòu)特性及受力特點(diǎn)，勿需計(jì)算即可判斷出某些桿件內(nèi)力為零，從而使計(jì)算過程大為簡化。在桁架中內(nèi)力為零的桿稱為零桿。對零桿的判斷有以下四種情況：

1.無外力作用的節(jié)點(diǎn)連接兩根不共線的桿件，則這兩根均為零桿，如圖3.23(a)中1、2桿均為零桿；

2.連接兩不共線的桿件的節(jié)點(diǎn)，且有一外力與其中一桿件共線，則另一根桿件為零桿，如圖3.23(b)中1桿為零桿；

3.無外力作用的節(jié)點(diǎn)連接三根桿件，若其中兩根桿件共線，則另一根桿件為零桿，如圖3.23(c)中1桿為零桿。

4.無外力作用的節(jié)點(diǎn)連接四根桿件，且兩兩共線，則共線的兩桿內(nèi)力相同，如圖3.23(d)中所示，。3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

圖3.23零桿的四種情況試用力的平移