理論力學課件

第2章

平面匯交力系與平面力偶系

返回總目錄平面匯交力系合成與平衡的幾何法

平面匯交力系合成與平衡的解析法平面力對點之矩的概念及計算平面力偶理論習題與思考題本章內(nèi)容2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法一、平面匯交力系合成的幾何法

設如圖2.1(a)所示為作用于任一剛體上的力F1、F2、F3、F4，它們的作用線交于點A，組成一平面匯交力系。由力的可傳性，將各力沿其作用線移至匯交點A，如圖2.1(b)所示。根據(jù)力的三角形法則，將各力依次合成，即從任意點a作矢量ab代表力矢F1，在其末端b作矢量bc代表力矢F2，則虛線ac表示力矢F1和F2的合力矢FR1；再從點c作矢量cd代表力矢F3，則ad表示FR1和F3的合力FR2；最后從點d作de代表力矢F4，則ae代表力矢FR2與F4的合力矢，亦即原匯交力系F1、F2、F3、F4的合力矢FR，其大小和方向如圖2.1(c)所示，其作用線通過匯交點A。實際作圖時，不必畫出虛線所示的中間合成力FR1和FR2，只需把各分力矢首尾相連，形成一個不封閉的多邊形abcde，則第一個力矢F1的起點a向最后一個力矢F4的終點e作ae，即得合力矢FR。各分力矢與合力矢構成的多邊形稱為力多邊形，合力矢是力多邊形的封閉邊。這種求合力的幾何作圖法稱為力多邊形法則。由圖2.1(d)可見，若改變各力矢的作圖順序，所得的力多邊形的形狀則不同，但是這并不影響最后所得的封閉邊的大小和方向，即不會影響合成或簡化的最終結果。但應注意，各分力矢必須首尾相連，環(huán)繞力多邊形周邊的同一方向，而合力矢則逆向封閉力多邊形。圖2.1平面匯交力系的幾何合成

將上述方法推廣到由n個力F1、F2、…、Fn組成的平面匯交力系，可得結論：平面匯交力系合成的結果是一個合力，其合力的大小和方向等于原力系中所有各力的矢量和，可由力多邊形的封閉邊確定，合力的作用線過力系的匯交點?？捎檬噶渴奖硎緸?2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法

若力系中各力的作用線沿同一直線，則稱此力系為共線力系。在這種特殊情況下，力多邊形變成一條直線，合力為:

(矢量和)2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法(代數(shù)和)

【例2.1】同一平面的三根鋼索邊連結在一固定環(huán)上，如圖2.2(a)所示，已知三鋼索的拉力分別為：F1＝500N，F(xiàn)2＝1000N，F(xiàn)3＝2000N。試用幾何作圖法求三根鋼索在環(huán)上作用的合力。圖2.2合成鋼索拉力解：(1)先確定力的比例尺如圖2.2所示。(2)應用多邊形法，將力F1、F2和F3首尾相接后，再從F1的起點a至F3的終點d連一直線，此封閉邊ad即合力矢FR(見圖2.2(b))。(3)用直尺和量角器即可確定合力矢FR的大小和方向：FR＝2840N，F(xiàn)R與F1的夾角為(與x軸夾角為)。最后將結果在原圖中標出(見圖2.2(a))

平面匯交力系的合成結果是一個合力。顯然，如果力系處于平衡，則力系的合力必須等于零。反之，若合力等于零，則力系必處于平衡。故平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。即：在幾何法中，平面匯交力系的合力是由力多邊形的封閉邊表示的。因此，要使合力等于零，則封閉邊的長度必須為零，即力多邊形的起點和終點重合，這種情況稱為力多邊形自行封閉。可見，平面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：該力系的力多邊形自行封閉。

求解平面匯交力系的平衡問題時可用圖解法，即按比例先畫出封閉的力多邊形，然后量得所要求的未知量；也可根據(jù)圖形的幾何關系用三角公式計算出所要求的未知量。二、平面匯交力系平衡的幾何條件2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法【例2.2】水平梁AB的中點C作用著力P，其大小等于20kN，方向與梁的軸線成角，支承情況如圖2.3(a)所示。試求固定鉸鏈支座A和活動鉸鏈支座B各點所受的反力(梁的自重不計)。圖2.3水平梁AB的受力分析解：(1)取梁AB為研究對象。(2)畫受力圖。作用在梁AB上的力有：主動力P；活動鉸鏈支座B的反力FB，方向垂直于支承面；固定鉸鏈支座A的反力FA，方向待定。現(xiàn)在梁AB只受三個力作用而平衡，故由三力平衡時的匯交定理知，F(xiàn)A的作用線必通過P和FB的交點D，如圖2.3(b)所示。所得的力系是平面匯交力系。(3)應用平衡的幾何條件畫力P、FA和FB的閉合三角形。為此先畫已知力P，然后從過力P的始端E和末端F分別作直線平行于FA和FB得交點G，于是得力三角形EFG，順著E→F→G→E的方向標出箭頭，使其首尾相連，則矢量和就分別表示力FA和FB的大小和方向(見圖2.3(c))。(4)求得結果。由三角關系得(方向如圖所示)一、力在直角坐標軸上的投影設力F作用于剛體上的A點(如圖2.4所示)，在力F作用的平面內(nèi)建立坐標系Oxy，由力F的起點A和終點B分別向x軸作垂線，得垂足a和b，這兩條垂線在x軸上所截的線段再冠以相應的正負號，稱為力F在x軸上的投影，用Fx表示。力在坐標軸上的投影是代數(shù)量，其正負號規(guī)定：若由a到b的方向與x軸的正方向一致時，力的投影為正值，反之為負值。同理，從A和B分別向y軸作垂線，得垂足a‘和b’，求得力F在y軸上的投影Fy。設和分別表示力F與x、y軸正向的夾角，則由圖2.4可得：2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

圖2.4力在直角坐標軸上的投影

又由圖2.4可知，力F可分解為兩個分力Fx、Fy，其分力與投影有如下關系：2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

故力F的解析表達式為

反之，若已知力F在坐標軸上的投影Fx、Fy，則該力的大小及方向余弦為

應當注意，力的投影和力的分量是兩個不同的概念。投影是代數(shù)量，而分力是矢量；投影無所謂作用點，而分力作用點必須作用在原力的作用點上。另外，僅在直角坐標系中力在坐標軸上投影的絕對值和力沿該軸分量的大小相等。一、平面匯交力系合成的解析法

設一平面匯交力系如圖2.5所示，在由幾何法所得的力多邊形ABCDE的平面內(nèi)建立直角坐標系Oxy，封閉邊AE表示該力系合力矢FR，在力的多邊形所在位置將所有的力矢都投影到x軸和y軸上。得：由圖2.5可知：

ae=－ba+bc+cd+de即FRx=F1x+F2x+F3x+F4x同理FRy=F1y+F2y+F3y+F4y2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

FRx=ae，F(xiàn)1x=－ba，F(xiàn)2x=bc，F(xiàn)3x=cd，F(xiàn)4x=de圖2.5解析法合成平面匯交力系將上述關系式推廣到任意平面匯交力系的情形，得：2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

這就是合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。用解析法求平面匯交力系的合成時，首先在其所在的平面內(nèi)選定坐標系Oxy。求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，由合力投影定理得：則合力矢的大小和方向余弦為：(2.8)2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

【例2.3】試用解析法重解例2.1。

解：建立如圖2.6所示直角坐標系。根據(jù)合力投影定理，有：由式(2.9)得合力的大小方向為：

解得：圖2.6解析法合成鋼索拉力

(2.9)三、平面匯交力系平衡的解析條件

從前面知道，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是合力FR等于零，即2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

要使上式成立，必須同時滿足

上式表明，平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。式(2.10)稱為平面匯交力系的平衡方程。這是兩個獨立的方程，因而可以求解兩個未知量。(2.10)

【例2.4】起重架可借繞過滑輪B的繩索將重P＝20kN的重物勻速吊起，絞車的繩子繞過光滑的定滑輪(如圖2.7(a)所示)，滑輪B用AB和BC兩桿支撐，設兩桿的自重及滑輪B的大小、自重均不計。試求桿AB、BC所受的力。解：(1)取研究對象。桿AB和BC都是二力桿，假設均受拉力，如圖2.7(c)所示。如將桿AB和BC作用于滑輪B的力求出，則兩桿所受的力即可求出(互為作用力與反作用力)，同時重物的重力與繩索的拉力也都作用于滑輪上，故取滑輪連同銷釘B為研究對象。(2)畫受力圖。重物通過繩索直接加在滑輪的一邊。在其勻速上升時，拉力FT＝P，而繩索又在滑輪的另一邊施加同樣大小的拉力，即FT‘＝FT。此外桿AB和BC對滑輪的約束力為FBA與FBC。因不計滑輪B的大小，故諸力組成一個平面匯交力系(見圖2.7(b))。(3)列平衡方程。取坐標系Bxy如圖2.7(b)所示，選取坐標軸。2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

圖2.7起重架受力分析【例2.5】連桿機構CABD由三個無重桿鉸接組成，在鉸鏈A、B處有F1、F2作用，如圖2.8(a)所示。該機構在圖示位置，試求力F1與F2的關系。2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

由①②

其中，P=FT=20kN，代入上列方程求得

FBA=54.64kN，F(xiàn)BC=－74.64kN

(4)關于解的討論。圖2.7(b)中待求力FBA和FBC的指向是假定的，當由平衡方程求得某一未知力之值為負時，表示原先假定的該力指向與實際方向相反。所以本題中FBC為負值，其實際指向與圖示相反，即桿BC實際受壓力；而桿AB則受拉力。

2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

圖2.8連桿機構受力分析解：這是一個物體系統(tǒng)的平衡問題。從整個機構來看，它受四個力F1、F2、FCA、FDB作用，不是平面匯交力系(圖2.8(a))，所以不能取整體作為研究對象求解。要求解的未知力F1與F2分別作用于鉸A、鉸B上，鉸A與鉸B均受平面匯交力系的作用，所以應該通過分別研究鉸A與鉸B的平衡來確定F1與F2的關系。(1)取鉸A為分離體。鉸A除受未知力F1外，還受有二力桿AC和AB的約束反力FAB和FBA(均設為壓力)，其受力圖如圖2.8(b)所示。因為與所求無直接關系的力FCA可不必求出，故選取x軸與FBA垂直。由平衡方程

2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

(2)取鉸B為分離體。其受力圖如圖2.8(c)所示(FDB設為壓力)。選取x軸與反力FDB垂直，由平衡方程比較①、②兩式，并注意到FAB=FBA，解得②

通過以上分析和求解過程可以看出，在求解平衡問題時，要恰當?shù)剡x取分離體，恰當?shù)剡x取坐標軸，以最簡捷、合理的途徑完成求解工作。盡量避免求解聯(lián)立方程，以提高計算的工作效率。這些都是求解平衡問題所必須注意的。

2.3平面力對點之矩的概念及計算

一、力對點之矩(力矩)

力使物體繞某點轉(zhuǎn)動的力學效應稱為力對該點之矩，簡稱為力矩。以扳手旋轉(zhuǎn)螺母為例(如圖2.9(a)所示)，設螺母能繞點O轉(zhuǎn)動。由經(jīng)驗可知，螺母能否旋動，不僅取決于作用在扳手上的力F的大小，而且還與點O到F的作用線的垂直距離d有關。因此，用F與d的乘積作為力F使螺母繞點O轉(zhuǎn)動效應的量度。其中距離d稱為F對O點的力臂，點O稱為矩心。由于轉(zhuǎn)動有逆時針和順時針兩個轉(zhuǎn)向，故一般用正負號表示轉(zhuǎn)動方向。因此在平面問題中，力對點之矩定義如下：力對點之矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負號通常規(guī)定：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)向時為正，反之為負。力對點之矩以符號Mo(F)表示，記為：圖2.9用扳手擰螺母2.3平面力對點之矩的概念及計算

由圖2.9(b)可見，力F對O點之矩的大小也可以用三角形OAB的面積的兩倍來表示，即其中，為三角形OAB的面積，如圖2.9(b)所示。顯然，當力的作用線過矩心時，則它對矩心的力矩等于零；當力沿其作用線移動時，力對點之矩保持不變。力矩的單位常用牛頓·米(N·m)或千牛頓·米(kN·m)。二、合力矩定理在計算力系的合力矩時，常用到所謂的合力矩定理：平面匯交力系的合力對其平面內(nèi)任一點之矩等于所有各分力對同一點之矩的代數(shù)和。即：

(2.13)(2.12)

按力系等效概念，上式易于理解，且式(2.13)應適用于任何有合力存在的力系。如圖2.10所示，已知力F，作用點A(x，y)及其夾角。欲求力F對坐標原點之矩，可按式(2.13)，通過其分力Fx與Fy對O點之矩而得到，即：或2.3平面力對點之矩的概念及計算

(2.14)

若將式(2.14)代入式(2.13)，即可得合力FR對坐標原點之矩的解析表達式，即圖2.10力F的力矩(2.15)【例2.6】試計算圖2.11(a)中力F對A點之矩。解：可以用三種方法計算力F對A點之矩MA(F)。(1)由力矩的定義計算。先求力臂d。由圖中幾何關系有：所以：2.3平面力對點之矩的概念及計算

圖2.11求力F對A點之矩(2)根據(jù)合力矩定理計算。將力F在C點分解為兩個正交的分力Fx和Fy(如圖2.11(a)所示)，則：

由合力矩定理可得(3)先將力F移至D點，再將F分解為兩個正交的分力Fx、Fy(如圖2.11(b)所示)，其中Fx通過矩心A，力矩為零，由合力矩定理得2.3平面力對點之矩的概念及計算

綜上可見，計算力矩常用下述兩種方法：(1)直接計算力臂，由定義求力矩。(2)應用合力矩定理求力矩。此時應注意：①將一個力恰當?shù)胤纸鉃閮蓚€相互垂直的分力，利用分力取矩，并注意取矩方向；②剛體上的力可沿其作用線移動，故力可在作用線上任一點分解，而具體選擇哪一點，其原則是使分解后的兩個分力取矩比較方便。一、力偶與力偶矩在日常生活和工程實際中，我們往往同時施加兩個等值、反向而不共線的平行力來使物體轉(zhuǎn)動。例如，汽車司機用雙手轉(zhuǎn)動方向盤(如圖2.12(a)所示)、工人用扳手和絲錐攻螺紋(如圖2.12(b)所示)、用兩個手指擰動水龍頭(如圖2.12(c)所示)等。等值反向平行力的矢量和顯然等于零，但是由于它們不共線而不能相互平衡，它們能使物體改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)。這種由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，稱為力偶，如圖2.13所示，記作(F，F(xiàn)')。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力偶臂，力偶所在的平面稱為力偶的作用面。2.4平面力偶理論圖2.12方向盤、絲錐、水龍頭受力示意圖(a)

(b)

(c)

力偶不能簡化為一個力，即力偶不能用一個力等效替代，因此力偶無合力，也不能被一個力平衡。因此，力和力偶是靜力學的兩個基本要素。力偶對物體的作用效果是使物體轉(zhuǎn)動。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應可以用力偶矩來度量，即用力偶的兩個力對其作用面內(nèi)某點之矩的代數(shù)和來度量。如圖2.13所示，力偶對O點之矩Mo(F，F(xiàn)'

)為2.4平面力偶理論

于是可得結論：力偶矩是一個代數(shù)量，其絕對值等于力的大小與力偶臂的乘積，正負號表示力偶的轉(zhuǎn)向，通常規(guī)定以逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。力偶矩的單位與力矩相同，也是或kNm。從幾何上看，力偶矩在數(shù)值上等于△ABC面積的兩倍(如圖2.13所示)。

矩心O是任選的，可見力偶的作用效應決定于力的大小、力偶臂的長短以及力偶的轉(zhuǎn)向，與矩心的位置無關。因此在平面問題中，將力偶中力的大小與力偶臂的乘積并冠以正負號稱為力偶矩，記為M(F，F(xiàn)')或簡記為M。圖2.13力偶

由于力偶對物體只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應，而該轉(zhuǎn)動效應是用力偶矩來度量的。因此可得如下的力偶等效定理。定理：作用在剛體上同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。

由這一定理可得關于平面力偶性質(zhì)的兩個推論：(1)力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對剛體的作用效果。換句話說，力偶對剛體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無關，如圖2.14(a)、(b)所示。2.4平面力偶理論二、力偶的等效定理圖2.14力偶移轉(zhuǎn)和力偶臂長度變化與力偶矩(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短時，而不改變力偶對剛體的作用，如圖2.14(c)、(d)所示。由此可見，力偶中力的大小和力偶臂的長短都不是力偶的特征量，力偶矩才是力偶作用效果的唯一度量。因此，常用圖2.14(e)所示的符號表示力偶，其中M表示力偶矩的大小，帶箭頭的圓弧表示力偶的轉(zhuǎn)向。由作用在物體同一平面內(nèi)的若干力偶組成的力系稱為平面力偶系。平面力偶系也是一種基本力系。2.4平面力偶理論三、平面力偶系的合成

設在剛體的同一平面內(nèi)作用有兩個力偶M1和M2，M1＝F1d1，M2＝F2d2，如圖2.15(a)所示，求它們的合成結果。根據(jù)上述力偶的性質(zhì)，在力偶作用面內(nèi)任取一線段AB=d，將這兩個力偶都等效地變換為以d為力偶臂的新力偶(F3，F(xiàn)3'

)和(F4，F(xiàn)4'

)，經(jīng)變換后力偶中的力可由F3d=F1d1=M1，F(xiàn)4d=F2d2=M2算出。然后移轉(zhuǎn)各力偶，使它們的力偶臂都與AB重合，則原平面力偶系變換為作用于點A、B的兩個共線力系(如圖2.15(b)所示)。將這兩個共線力系分別合成(設F3＞F4)，得：2.4平面力偶理論圖2.15平面力偶系的合成

可見，力F與F'等值、反向、作用線平行而不共線，構成了與原力偶系等效的合力偶(F，F(xiàn)')，如圖2.15(c)所示。以M表示此合力偶的矩，得2.4平面力偶理論

如果有兩個以上的平面力偶，可以按照上述方法合成。即平面力偶系可以合成為一個合力偶，合力偶矩等于力偶系中各個力偶矩的代數(shù)和，可寫為(2.17)

四、平面力偶系的平衡條件

平面力偶系可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要與充分條件：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。即(2.18)

平面力偶系有一個平衡方程，可以求解一個未知量。【例2.7】電動機軸通過聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，如圖2.16所示。此圓的直徑d＝150mm，電動機軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩M＝2.5kNm。試求每個螺栓所受的力。2.4平面力偶理論圖2.16聯(lián)軸器

解：(1)取聯(lián)軸器為研究對象。(2)畫受力圖。作用于聯(lián)軸器上的力有電動機傳給聯(lián)軸器的力偶，每個螺栓的反力，受力圖如圖2.16所示。因為主動力為一力偶，平衡時螺栓的反力必構成反力偶。設4個螺栓的受力均勻，即F1=F2=F3=F4=F，則組成兩個力偶并與電動機傳給聯(lián)軸器的力偶平衡。(3)列平衡方程并求解。由解得

【例2.8】在圖2.16(a)所示的結構中，各構件的自重忽略不計，在構件AB上作用一力偶矩為M的力偶。求支座A和C處的約束反力。

2.4平面力偶理論圖2.17曲連桿機構受力分析解：(1)取AB桿為研究對象。(2)畫受力圖。作用于AB桿的是一個主動力偶，A、C兩點的約束反力也必然組成一個力偶才能與主動力偶平衡。由于BC桿是二力桿，F(xiàn)C必沿B、C兩點的連線(如圖2.17(c)所示)，而FA應與FC平行，且有FA＝FC(如圖2.17(b)所示)。(3)列平衡方程。其中則一、思考題

1.圖2.18所示的平面匯交力系的各力多邊形，各代表什么意義？

2.5習題及思考題(a)(a)

(b)

(c)(d)

圖2.18力多邊形2.力F沿軸Ox，Oy的分力與力在兩軸上的投影有何區(qū)別？試分別以圖2.19(a)，2.19(b)所示的兩種情況為例進行分析說明?；騀=Fxi+Fyj對圖(a)，(b)都成立嗎？3.兩電線桿之間的電線總是下垂，能否將電線拉成直線？輸電線跨度l相同時，電線下垂h越小，電線越易于拉斷，為什么？4.由力的解析表達式F=Fxi+Fyj能確定力的大小和方向嗎？能確定力的作用線(點)的位置嗎？5.三個力匯交于一點，但不共面，這三個力能互相平衡嗎？6.力矩和力偶矩有什么相同？又有什么區(qū)別？7.一矩形鋼板放在水平地面上，其邊長a

=3m，b

=2m如圖2.20所示。按圖示方向加力，轉(zhuǎn)動鋼板需要P

=P'

=250N。試問如何加力才能使轉(zhuǎn)動鋼板所用的力最小，并求這個最小力的大小。圖2.19力F的投影2.5習題及思考題8.如圖2.21所示中四個力作用在剛體的A、B、C、D四點(ABCD為一矩形)，這四個力的力矢恰好首尾相接，此剛體是否平衡？若F1和F'1都改變方向，此剛體是否平衡？圖2.20轉(zhuǎn)動鋼板圖2.21剛體上的作用力

9.力偶不能與一力平衡，那么如何解釋如圖2.22所示的平衡現(xiàn)象？10.四連桿機構如圖2.23所示，作用于曲柄O1A的力偶矩為M1，作用于搖桿O2B的力偶矩為M2，若M1=－M2，此四連桿機構是否平衡？2.5習題及思考題11.在如圖2.24所示的各圖中，力或力偶對點A的矩都相等，它們引起的支座反力是否相同？圖2.22力偶平衡圖2.23四連桿機構圖2.24支座反力10.四連桿機構如圖2.23所示，作用于曲柄O1A的力偶矩為M1，作用于搖桿O2B的力偶矩為M2，若M1=－M2，此四連桿機構是否平衡？2.5習題及思考題1.三個力的力矢起點都為點(3，3)，三力作用線分別經(jīng)過下列各點：力126N經(jīng)過點(8，6)，力183N經(jīng)過點(2，－5)，力269N經(jīng)過點(－6，3)。求力系的合力。2.如圖2.25所示，一鋼結構節(jié)點，在沿OA、OB、OC的方向受到三個力的作用，已知F1=1kN，F(xiàn)2=1.41kN，F(xiàn)3=2kN，試求這三個力的合力。3.如圖2.26所示，圓柱形容器擱在兩個滾子上，滾子A和B處于同一水平線。已知容器重G=30kN，半徑R=500mm，滾子半徑r=50mm，兩滾子中心距離l=750mm。試求滾子A和B所受的壓力。2.5習題及思考題二、習題圖2.25鋼結構節(jié)點圖2.25鋼結構節(jié)點

4.飛機沿與水平線成θ角的直線作勻速飛行，已知發(fā)動機的推力為F1，飛機的重力為P，求如圖2.27所示中飛機的升力F2和迎面阻力Q的大小。5.如圖2.28所示，輸電線ACB架在兩電線桿之間，形成一下垂曲線，下垂距離CD=f=1m，兩電線桿間距離AB=40m。電線ACB段重P=400N，可近似認為沿AB連線均勻分布。求電線的中點和兩端的壓力。6.繩子一端A固定在墻上，另一端跨過滑輪B并在末端懸掛重為W的物體，在繩中間有動滑輪C吊起另一重物Q=100N，如圖2.29所示。已知平衡時，h=0.5m，l=2.4m。試求物體重量W是多少？7.簡易起重機如圖2.30所示，A、B和C為光滑鉸鏈，物體重力P=20kN，由絞車D通過滑輪B吊起，若不計桿重、摩擦和滑輪大小，試求平衡時桿AB和BC所受的力。2.5習題及思考題2.5習題及思考題圖2.27飛機升力和阻力圖2.28求電線壓力

圖2.29滑輪懸物平衡

圖2.30簡易起重機

8.在如圖2.31所示的壓榨機BAC中，鉸鏈B固定不動。作用在鉸鏈A處的水平力P使壓塊C壓緊物體D。假設壓塊C與墻壁間以及壓塊C與物體D之間均是光滑接觸，壓榨機尺寸h和l如圖2.32所示，壓塊C和各桿自重均不計。試求物體D所受的力。9.液壓式夾緊機構如圖2.32所示，D為固定鉸鏈，B，C，E為活動鉸鏈。已知力F，機構平衡時角度如圖2.32所示，各構件自重不計，求此時工件H所受的壓緊力。2.5習題及思考題圖2.31壓榨機圖2.32液壓式夾緊機構10.如圖2.33所示的均質(zhì)桿AB重P=50N，兩端分別放在與水平面成和傾角的光滑斜面上。求平衡時這兩斜面對桿的反力以及桿與水平面間的夾角。11.兩均質(zhì)輪各重為P1與P2，用長為l的無重細桿鉸接，放在傾角為的光滑斜面上，如圖2.34所示。求系統(tǒng)平衡時的位置(用長度s表示)。圖2.33均質(zhì)桿平衡

圖2.33均質(zhì)桿平衡2.5習題及思考題12.試計算如圖2.35所示各圖中力F對O點之矩。13.如圖2.36所示，作用在扳手上一力F，其大小為250N，試計算此力對螺栓中心O的力矩。2.5習題及思考題圖2.35力F對O點之矩2.5習題及思考題圖2.36扳手14.如圖2.37所示，一齒輪受力F=100kN，該齒輪的節(jié)圓直徑D=0.16m，壓力角，試求力F對齒輪軸心O的力矩。15.在如圖2.38所示的結構中，力F作用在D點上，其大小為10N，試計算此力對A點之矩。16.在如圖2.39所示的工件上作用有三個力偶。三個力偶的矩分別為M1=M2=10Nm，M3=20Nm；固定螺柱A和B的距離l=200mm。求兩個光滑螺柱所受的水平力。17.在如圖2.40所示結構中，各構件的自重略去不計，在構件BC上作用一力偶矩為M的力偶，各尺寸如圖2.40所示。求支座A的約束力。2.5習題及思考題圖2.37齒輪

圖2.38力F對A點之矩圖2.39工件

18.如圖2.41所示的結構中，均在構件BC上作用有一力偶。試分別求(a)、(b)圖中A和B點的約束力。已知：(a)M=1.5kNm，r=0.3m；(b)M=800Nm，r=12cm。圖2.40連桿機構2.5習題及思考題圖2.41題18圖

19.設有一力偶矩為M的力偶作用在曲桿AB上，試求在下列兩種支承情況下A、B點的約束反力。20.在如圖2.43所示的結構中，已知力偶矩為M，不計各構件的自重。求支座A與鉸鏈E的約束力。圖2.42曲桿2.5習題及思考題圖2.43連桿結構

21.如圖2.44所示勻質(zhì)桿AB，長為15m，重為1500N，由繩子懸掛起來，兩端與光滑鉛垂墻壁接觸，求A、B兩點的約束反力。22.在圖示機構中，曲柄OA上作用一力偶，其矩為M；另在滑塊D上作用水平力F。機構尺寸如圖2.45所示，各桿重量不計。求當機構平衡時，力F與力偶矩M的關系。圖2.44懸掛勻質(zhì)桿

2.5習題及思考題圖2.45機構平衡時F與M的關系第3章

平面任意力系

返回總目錄力的平移定理平面任意力系向已知點的簡化平面任意力系的簡化結果平面任意力系的平衡條件和平衡方程物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題平面靜定桁架的內(nèi)力計算習題與思考題本章內(nèi)容如圖3.1(a)所示，在剛體的A點作用著一個力F，B點為剛體上的任一指定點?，F(xiàn)在討論如何將作用于A點的力F平行移動到B點，而不改變其原來的作用效果？我們可在B點加上大小相等、方向相反且與力F平行的兩個力和，并使F＝=，如圖3.1(b)所示。顯然和F組成一力偶，稱為附加力偶，其力偶臂為d。于是作用于A點的力F可以用由作用于B點的力及附加力偶M(，)來替代，如圖3.1(c)所示。其中附加力偶矩為；由此可知：作用于剛體上的力均可以從原來的作用位置平行移至剛體內(nèi)任一指定點。欲不改變該力對于剛體的作用效應，則必須在該力與指定點所決定的平面內(nèi)附加一力偶，其力偶矩等于原力對于指定點之矩。這就是力的平移定理。

3.1力的平移定理圖3.1平行移動作用于剛體的力另外，我們也可以利用上述定理的逆步驟，將作用于剛體上的力偶矩為M的力偶(，)與作用于同一平面內(nèi)的B點的力合成為一個作用于A點的力F。即該定理的逆過程也成立。

力的平移定理既是力系向一點簡化的理論基礎，同時也可直接用來分析和解決工程實際中的力學問題。例如圖3.2(a)中廠房柱子受偏心載荷F的作用，為觀察F的作用效應，可將力F平移至柱的軸線上成為與矩為M的力偶(如圖3.2(b)所示)，軸向力使柱子壓縮，而矩為M的力偶將使柱彎曲。又如圖3.3中，用絲錐攻絲時，若僅用一只手加力，如圖3.3(a)所示，即只在B點有作用一力F，雖然扳手也能轉(zhuǎn)動，但卻容易使絲錐折斷。這是因為：根據(jù)力的平移定理，將作用于扳手B點的力F平行移動到絲錐中心O點時，需附加一個力偶矩3.1力的平移定理為M=Fd的力偶，如圖3.3(b)所示。這個力偶可使絲錐轉(zhuǎn)動，而這個力卻是使絲錐折斷的主要原因?？梢钥紤]：為什么用兩手握扳手，而且用力相等時，就不會出現(xiàn)折斷的現(xiàn)象。圖3.2柱子受力示意圖3.3絲錐攻絲示意圖

如圖3.4(a)所示，設剛體上受一平面任意力系F1、F2、…Fn的作用，各力的作用點分別為A1、A2、…An。在力系所在的平面內(nèi)任選一點O，稱為簡化中心。求該力系向O點簡化的結果。應用力的平移定理，將各力平移至簡化中心O點，同時加入相應的附加力偶。這樣原力系就等效變換成為作用在O點的平面匯交力系、、…和作用于匯交力系所在平面內(nèi)的力偶矩為M1、M2、…Mn的附加平面力偶系，如圖3.4(b)所示。這樣，平面任意力系被分解成了兩個力系：平面匯交力系和平面力偶系。然后再分別合成這兩個力系。3.2平面任意力系向已知點的簡化圖3.4將力系向O點簡化一、主矢

3.2平面任意力系向已知點的簡化

圖3.4(c)中，平面匯交力系、…可合成為一作用于簡化中心O的力，其大小和方向等于匯交力系的矢量和，即：而平面匯交力系中各力的大小和方向分別與原力系中對應的各力相同，即：，…，所以

我們將平面任意力系中各力的矢量和稱為該力系的主矢，以表示，由于原力系中各力的大小和方向是一定的，所以它們的矢量和也是一定的，因而當簡化中心不同時，原力系的矢量和不會改變，即力系的主矢與簡化中心的位置無關。

圖3.4(c)中，平面附加力偶系可合成為一力偶，其力偶矩等于各附加力偶的力偶矩的代數(shù)和，用表示，即：而各附加力偶的力偶矩分別等于原力系中各力對簡化中心O點的矩，即：3.2平面任意力系向已知點的簡化二、主矩

，···，所以

我們將原力系中各力對簡化中心的矩的代數(shù)和稱為該力系對簡化中心O的主矩，以表示，

當簡化中心的位置改變時，原力系中各力對簡化中心的矩是不同的，對不同的簡化中心的矩的代數(shù)和一般也不相等，所以力系對簡化中心的主矩一般與簡化中心的位置有關。所以，說到主矩時一般必須指出是力系對哪一點的主矩。綜上所述：平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點簡化的結果一般可以得到一個力和一個力偶。該力作用于簡化中心，它的矢量等于原力系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢；該力偶的矩等于原力系中各力對簡化中心的矩的代數(shù)和，即等于原力系對簡化中心的主矩。3.2平面任意力系向已知點的簡化三、主矢和主矩的解析表達式

為了用解析法計算力系主矢的大小和方向，可以通過O點選取直角坐標系Oxy，如圖3.4(c)所示。則有：上式中和以及、、…和、、…分別為主矢以及原力系中各力F1、F2、…Fn在X軸和Y軸上的投影。所以，主矢的大小和方向可分別由以下兩式確定：3.2平面任意力系向已知點的簡化式中

為主矢與x軸間的夾角。在平面力系的情況下，力系對簡化中心的主矩是代數(shù)量，可直接由式(3.2)計算。我們知道，在工程實際當中常見的支座一般有三種：可動鉸支座、固定鉸支座和固定端支座。關于前兩種支座的特點，我們在第1章中已做了介紹，現(xiàn)應用平面任意力系向作用面內(nèi)任一點簡化的結論，來分析固定端支座的特性。如圖3.5(a)所示，桿件的一端牢固地嵌入墻內(nèi)而使桿件固定不動，墻對桿件的這種約束稱為固定端或插入端約束，或固定支座。在工程結構中，像一端深埋于地下的電線桿、牢固地澆筑在基礎上的柱子，還有夾緊在刀架上的車刀等，都可簡化為固定端約束。圖3.5(b)為桿件所受的約束力簡圖。當桿件所受的荷載是平面力系時，固定端所產(chǎn)生的約束反力也為一平面任意力系。若取一簡化中心A，則可將約束反力系簡化為作用在A點的一個力和一個力偶，或可將力沿直角坐標軸分解為兩個分力。則一般情況下，平面固定支座所產(chǎn)生的約束反力有三個：水平反力、鉛垂反力和反力偶，如圖3.5(c)所示?？梢娺@種約束既能阻礙物體在平面內(nèi)沿任何方向移動，又能阻礙物體在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。3.2平面任意力系向已知點的簡化圖3.5固定端的約束反力一、簡化結果分析

由上節(jié)可知，平面任意力系向一點簡化后，一般來說可以得到一個力和一個力偶；但這并不是平面任意力系簡化的最后結果，所以還有必要根據(jù)力系的主矢和主矩這兩個量可能出現(xiàn)的幾種情況作進一步的分析討論。

(1)當主矢

0，主矩

0時，如上節(jié)所述，此時原力系簡化為作用線通過簡化中心O的一力和一力偶，如圖3.6(a)所示。由力的平移定理的逆過程可知，原力系最后可以簡化為一個合力。為求此合力，可將力偶矩為的力偶用一對力(、)表示，并令，如圖3.6(b)所示。再根據(jù)加減平衡力系公理，即可將一力和一力偶最終合成為一個力，如圖3.6(c)所示。該力就是原力系的合力，合力的大小和方向與原力系的主矢相同；合力作用線到點O的距離d，可由下式計算：3.3平面任意力系的簡化結果

而合力的作用線在簡化中心O的哪一側(cè)，需由主矢和主矩的方向確定；或可按如下方法判斷：若為正值，即為逆時針轉(zhuǎn)向，則從簡化中心O沿主矢的箭頭指向看過去，合力應在主矢的右側(cè)，如圖3.6所示；若為負值，則合力應在主矢的左側(cè)。3.3平面任意力系的簡化結果

圖3.6平面任意力系的進一步簡化(2)當主矢

0，主矩=0時，此時原力系與一力等效。這個力就是原力系的合力。該合力的大小和方向與原力系的主矢相同，作用線通過簡化中心O。(3)當主矢=0，主矩

0時，此時原力系只與一個力偶等效。這個力偶的力偶矩等于原力系對簡化中心的主矩，即等于原力系中各力對簡化中心的矩的代數(shù)和。只有在這種情況下，主矩才與簡化中心的位置無關，因為力偶對任一點的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無關，也就是說，原力系無論向哪一點簡化都是一個力偶矩保持不變的力偶。(4)當主矢=0，主矩=0時，則原力系為一平衡力系，這種情形將在下節(jié)中討論。由上可知，平面任意力系簡化的最后結果有三種可能性，即：可能為一個力、可能為一個力偶、或者可能平衡。綜上所述，求解平面任意力系合成的步驟可總結為：①任選一簡化中心；②計算力系的主矢和對簡化中心的主矩；③對簡化結果進行分析而得到最終的合成結果。3.3平面任意力系的簡化結果

二、合力矩定理

當平面任意力系合成為一個合力時，如圖3.6所示，合力對點O的矩為由力系對O點的主矩的定義：所以

3.3平面任意力系的簡化結果

上式表明：若平面任意力系可簡化為一個合力時，則其合力對該力系作用面內(nèi)任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。這就是平面任意力系的合力矩定理。該定理無論在理論推導方面，還是在實際應用方面都具有非常重要的意義。3.3平面任意力系的簡化結果

【例3.1】重力壩受力情況如圖3.7所示。設W1

=450kN，W2

=200kN，F(xiàn)1

=300kN，F(xiàn)2

=70kN。求力系的合力FR的大小和方向，以及合力與基線OA的交點到點O的距離x。圖3.7重力壩受力情況解：該重力壩受到一平面任意力系的作用，可先將力系向一已知點簡化，然后再定出合力作用線的位置。選取O為簡化中心，計算力系的主矢和主矩。因為所以主矢x、y軸上的投影為：由式(3.5)可知主矢的方向：因為FR’為正、FR’為負，所以可以判斷主矢應在第四象限，且：即主矢與軸的夾角為－70.83度由式(3.2)可求得對簡化中心O的主矩為其向O點的簡化結果如圖3.7(b)所示。(2)求合力FR與基線OA的交點到點O的距離x，如圖3.7(b)所示。由合力矩定理：因為所以解得3.3平面任意力系的簡化結果

【例3.2】如圖3.8所示，邊長為a

=1m的正方形板，受一平面力系作用，其中P1=50N，P2=100N，M=50Nm，若P3=200N，要使得力系的合力作用線通過D點，

角應為多大？3.3平面任意力系的簡化結果

圖3.8正方形板受力圖解：要使得合力過D點，則將力系向D點簡化后，其主矩應為零，即所以代入數(shù)據(jù)可得故即當P鉛垂向上或水平向左時，可滿足題意要求。一、平面任意力系平衡的充要條件

3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

由上節(jié)對平面任意力系簡化結果的分析可知，當平面任意力系向一已知點O簡化所得的主矢和主矩不同時為零時，原力系將同一力或一力偶等效，則剛體在此力系作用下是不可能保持平衡的。只有在剛體所受到的平面任意力系為一平衡力系時，剛體才可以處于平衡狀態(tài)。而要保證平面任意力系平衡，必須使其主矢和對任意點的主矩同時為零，即：所以，平面任意力系平衡的必要和充分條件是：其主矢和對簡化中心的主矩同時為零。二、平面任意力系的平衡方程

3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

由平面任意力系的主矢和主矩的解析計算式可知：由上式可知：

上式即為平面任意力系的平衡方程。它有兩個投影方程和一個力矩方程，且其相互獨立，我們稱其為平面任意力系的平衡方程，它是平衡方程的基本形式。根據(jù)這三個方程可求解三個未知量。(3.10)(3.9)

我們在建立上述方程時，所選的二個投影軸是互相垂直的，大家可以考慮這是否是必須的。事實上，選取相互垂直的坐標軸只是為了計算上的方便，同平面匯交力系的問題一樣，在應用時可任意選取兩個相交的投影軸，且矩心也是可以任選的。在應用上式求解相關問題時，往往需要聯(lián)立方程求解，特別是當分析包含較多研究對象的物體系統(tǒng)的平衡問題時，會由于需聯(lián)立方程數(shù)目較多而使計算過程很煩瑣。所以，為了簡化運算，我們可以利用力系以及力對點的矩的特性來選擇適當?shù)钠胶夥匠痰男问健嶋H上，平面任意力系的平衡方程除了上述的基本形式外，還有更便于我們應用的另外兩種形式：(1)二力矩式：3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

其中包含兩個力矩方程和一個投影方程。但其限制條件是：兩矩心A、B的連線不能垂直于投影軸x。(3.11)

這是因為若A、B連線與投影軸垂直，則即使力系滿足上述三個方程，也不能保證該力系為平衡力系。如圖3.9所示，若力系簡化結果為一通過A、B矩心的力F，很明顯上述二力矩式方程均可滿足，但事實上該力系不平衡。另外，如果已知一平面任意力系為一平衡力系，是不是就可以不受上述條件的限制呢？我們說在這種情況下，方程中的兩個力矩方程就不是相互獨立的，實際上是一個方程。所以，只有在A、B連線不垂直于投影軸時，滿足上述三個方程才是平面任意力系平衡的充要條件。(2)三力矩式：以上三個方程均為力矩形式，其限制條件為：

A、B、C三個矩心的連線不共線。原因可參考關于對二力矩式方程限制條件的解釋自行思考。3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

圖3.9力系簡化結果(3.12)

利用上述式(3.10)、式(3.11)、式(3.12)三種形式的平衡方程均可解決平面任意力系的平衡問題，在使用時可根據(jù)具體問題的條件來選擇。同時，選擇適當?shù)耐队拜S和矩心位置等，亦可使解題過程得以簡化。例如，應盡可能讓投影軸與未知力的方向垂直；將較多未知力的交點選為矩心等。這樣，所列出的平衡方程中的未知量就會較少，從而可簡化對聯(lián)立方程的求解。對于受平面任意力系作用的單個剛體的平衡問題，只能寫出三個獨立的平衡方程來求解三個未知量。對于任何形式的第四個方程都不是獨立的，而是前三個方程的線性組合。但可利用這個方程對計算結果的正確性進行校核。3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

【例3.3】圖3.10所示AB梁自重不計，已知其所受外力：P=80N，m=50Nm，q=20N/m，且l=1m，

=30

。試求支座A、B的約束反力。

解：選梁AB為研究對象。它所受的主動力有：均布載荷q、重力P和矩為m的力偶；約束反力有：固定鉸支座A的約束反力應通過點A，但方向不定，故可用兩個分力和表示；可動鉸支座B處的約束反力方向鉛直向上。取圖示坐標系，應用平面力系平衡方程：3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

圖3.10AB梁受力圖(1)(2)(3)聯(lián)立求解方程可得：由上例可知，選取適當?shù)淖鴺溯S和矩心可減少方程中未知量的數(shù)目。在上例中若用方程來取代方程，即用二力矩式方程求解上述問題，可自行思考力矩式方程同投影式方程相比有何優(yōu)越性？【例3.4】如圖3.11所示為一不計自重的電線桿，A端埋入地下，B端作用有導線的最大拉力F1=15kN，

=5

，在C點處用鋼絲繩拉緊，其拉力F2=18kN，

=45

。試求A端的約束反力。

圖3.11電線桿受力分析

3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

解：取電桿為研究對象，其受力圖如圖3.11(b)所示；應用平面任意力系平衡方程：(1)(2)(3)由方程求解得：

最后結果為正表示與該力假設方向相同，負號表示與假設方向相反。

當平面力系的所有力的作用線均相互平行時，稱為平面平行力系。顯然，平面平行力系是平面任意力系的一種特殊形式。所以，平面平行力系的平衡方程可由平面任意力系的平衡方程導出。如圖3.12所示，選取圖示坐標軸，使剛體所受的平面平行力系與軸垂直。則不論該力系是否平衡，各力在軸上的投影恒等于零，即。所以，平面平行力系的獨立平衡方程的數(shù)目只有兩個，即：

3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

三、平面平行力系的平衡方程

圖3.12平面平行力系

同平面任意力系一樣，平面平行力系的平衡方程亦可表示為二力矩形式：

其限制條件為：A、B矩心連線不與各力作用線平行。否則，兩個力矩方程不相互獨立?？梢?，對單個剛體而言，平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，只能求解兩個未知量。3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

【例3.5】塔式起重機如圖3.13所示，機架重P=700kN，作用線通過塔架的中心。最大起重量W=200kN，最大懸臂長為12m，軌道AB的間距為4m。平衡塊重G，到機身中心線距離為6m。試問：(1)保證起重機在滿載和空載時都不致翻倒，求平衡塊的重量G應為多少？(2)當平衡塊重G=180kN時，求滿載時軌道A、B給起重機輪子的反力？解：(1)以起重機整體為研究對象。其受到一平行力系作用，其中有主動力P、G及W，被動力有軌道的約束反力FA、FB。當滿載時，應保證機身不會繞B輪翻轉(zhuǎn)。在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)A=0，此時G值應有所允許的最小值Gmin。所以由①3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

當空載時，應保證機身不繞A輪翻轉(zhuǎn)。在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)B=0，此時G值應有所允許的最大值Gmax。所以由解得解得②

起重機在工作時是不允許處于極限狀態(tài)的，所以，為保證其在工作時不致翻倒，平衡塊的重量G應在所允許的Gmin和Gmax之間，即(2)當已知平衡塊重G=180kN時，同樣可以整體機身為研究對象，由平面平行力系平衡方程：由③式解得由④式解得可以利用平衡方程來驗證以上的計算結果是否正確。說明計算結果正確。3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

③④

在工程實際中，絕大多數(shù)結構、設備都是由若干個物體通過約束所組成的，我們將其統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱物系。如圖3.14所示三鉸拱結構是由兩個曲桿AC、BC通過鉸鏈C連接組合而成。在研究其平衡問題時，不僅要求出結構所受的A、B處的約束反力，同時還要求出它們在中間C點處相互作用的內(nèi)力。而其內(nèi)力和外力是根據(jù)選取研究對象的范圍相對而言的：內(nèi)力：組成研究對象的各剛體間相互作用的力。外力：研究對象以外的物體作用于研究對象的力。另外，即使只需求出整體結構所受的約束反力，對如圖3.14所示的結構而言，在平面任意力系的作用下也只有三個獨立的平衡方程，而固定鉸支座A、B處的未知量卻有四個。所以，若只取整體結構為研究對象也不可能將所有約束反力求出。這時，就需要把某些剛體(如AC或BC曲桿)從結構中分開來單獨研究，才能求出所有未知量。一般而言，當物體系統(tǒng)平衡時，組成該系統(tǒng)的每一個物體亦都處于平衡狀態(tài)，即：整體平衡，其局部亦平衡。而對每一個受平面任意力系作用的物體，均可寫出三個獨立的平衡方程。若物系由n個物體組成，則可有3n個獨立的平衡方程。若系統(tǒng)中未知量的數(shù)目與平衡方程的數(shù)目相等，則可由平衡方程求解出所有未知量，這樣的問題稱為靜定問題。但是在工程實際當中，為了減小結構的過大變形、提高其承載能力或增加其穩(wěn)定性，往往要給結構增加支撐，使其產(chǎn)生了多于維持基本平衡的約束，稱為多余約束。這樣，未知量的數(shù)目將多于平衡方程的數(shù)目，從而僅由力系的平衡方程就不能將所有的未知量求出，這樣的問題稱為靜不定問題，或稱超靜定問題。圖3.14所示的三鉸拱及如圖3.15所示的結構的平衡問題均為靜定問題；圖3.16所示的結構的平衡問題都是靜不定問題。

3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

在靜不定問題中將總未知量數(shù)與平衡方程數(shù)之差，稱為超靜定次數(shù)。例如圖3.16(a)、(b)、(c)中未知量數(shù)分別為4、7、4個，而獨立平衡方程數(shù)分別為3、6、3個，所以均為一次超靜定問題。對于解決超靜定問題，僅用靜力學平衡方程是不夠的，還需要考慮作用于物體上的外力和物體的變形的關系，列出相應于靜不定次數(shù)的補充方程數(shù)并聯(lián)立平衡方程才能解決。由于理論力學的研究對象是剛體，并不考慮物體的變形，所以，靜不定問題已超出了本教材的研究范圍，而對其問題的解決將在后續(xù)課程材料力學、結構力學等學科中研究。3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

圖3.14三鉸拱結構圖3.15靜定結構

下面著重討論靜定的物體系統(tǒng)的平衡問題。在求解物系的平衡問題時，可以選物系中某個剛體、也可取幾個剛體的組合為研究對象，或者可取整個物系為分離體。而要如何選取需考慮問題的具體情況來決定?？偟脑瓌t是：要使每一個方程中的未知量數(shù)盡量減少，最好只含有一個未知量，以避免求解聯(lián)立方程。3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

圖3.16靜不定結構【例3.6】組合梁ABCD，受集中力P、力偶矩為M的力偶及均布載荷q的作用，其中，，如圖3.17所示。試求A、B的約束反力。解：(1)取CBD梁為研究對象，受力圖如圖3.17(b)所示，列平衡方程：可得(2)取整體為研究對象，受力圖如圖3.17(a)所示，列平衡方程：3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

圖3.17組合梁受力圖①3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

②③④由(3)式得由(4)式得所以【例3.7】如圖3.18(a)所示的三鉸拱，受鉛垂主動力P及2P作用，幾何尺寸如圖所示，且構件自重不計。試求鉸鏈A、B、C處的約束反力。解：三鉸拱由AC和BC兩構件構成，而在A、B、C處的未知力數(shù)目共有6個。所以，可分別取AC、BC構件為研究對象，列平衡方程聯(lián)立求解即可。3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

(1)以AC為研究對象，列平衡方程圖3.18三鉸拱受力分析①②③

(2)以BC為研究對象，列平衡方程④⑤⑥3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

聯(lián)立上述六個方程，且，，解得

在分析物系的平衡問題時，對同一問題可采用不同的方法來解決，如上例也可利用整體和局部相結合的方法來求解：首先，以整體為研究對象，受力圖如圖3.18(a)所示，列平衡方程，①②③

由上述方程可解得但要求出C點的約束反力及A、B處的水平反力還需要取其一部分為研究對象，如可取AC構件為研究對象，列平衡方程3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

，④⑤⑥聯(lián)立求解可得對上述兩種解法可自已進行分析，并總結出其各自的特點。，

【例3.8】圖3.19(a)所示構架是由折桿ABC及直桿CE和BD組成。桿件自重不計，受力如圖示，試求其支座的約束反力和BD桿的內(nèi)力。解：結構只受到一鉛垂方向的均布荷載的作用，故其所受到的所有的力應為一平行力系，所以支座產(chǎn)生的約束反力有FD和FE，如圖所示。以整體為研究對象，列平衡方程①②解得圖3.19構架3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

(2)欲求BD桿的內(nèi)力FBD，須取部分構件為研究對象，且已知BD桿為二力桿。如可取折桿ABC為研究對象，列平衡方程3.5物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

③解得另外，若取CE桿為研究對象，亦可求出FBD，可自行分析。

在工程結構中，諸如屋架、橋梁、起重機架、輸電鐵塔等等各類大型結構物都是由許多桿件在其兩端通過焊接、鉚接或螺栓連接等某種方式結合而成。在對這類構架進行結構分析時，可將桿件在其兩端所受的約束簡化為鉸鏈連接。我們將這類由桿件鉸結而成且受力后幾何形狀不變的桿系結構稱為桁架結構。其桿件間的鉸接點稱為節(jié)點。若構成桁架的桿件軸線在同一平面內(nèi)，稱為平面桁架；否則稱為空間桁架。在對桁架結構進行受力分析時，為簡化計算，通?？勺魅缦录僭O：

1.軸線均為直線；

2.節(jié)點均為光滑鉸鏈連接；

3.所有外力(包括主動力和約束反力)均集中作用于節(jié)點，即桿件身體部分無任何外力；

4.對于平面桁架，各力的作用線都在桁架的平面內(nèi)。

5.桿件自重忽略不計；或?qū)⑵渥灾乜善骄峙涞綏U件的兩端節(jié)點上。通過以上假設可知，桁架中的桿件同鏈桿約束具有相同的特點，即均為二力桿。所以，桁架具有如下優(yōu)點：其中各桿均只承受拉力和壓力；可使材料力學性能得以較充分發(fā)揮；可減輕結構自身重量，使用材料比較經(jīng)濟合理。3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計算

符合上述假定條件的桁架稱為理想桁架。在此基礎之上的設計計算結果一般可以滿足工程實際的要求。

按照桁架的幾何組成方式可將其分為簡單桁架、聯(lián)合桁架和復雜桁架；其中簡單桁架是在一相互鉸接的三角形的基礎上，每增加一個節(jié)點需增加兩個桿件，如此延伸而形成一個幾何形狀不變的整體，如圖3.20所示；聯(lián)合桁架是由簡單桁架組合而成的；除了上述兩類桁架以外的其他形式的桁架，稱為復雜桁架。若僅由靜力學平衡方程即可將桁架的約束反力和各桿的內(nèi)力全部求出，則稱為靜定桁架，反之稱為靜不定桁架。關于各類桁架的受力分析、計算方法等將在結構力學學科中詳細討論；而本課程主要利用平面力系的平衡方程對平面靜定桁架的內(nèi)力計算作一個初步的介紹。

下面舉例說明計算桁架內(nèi)力的兩種基本方法：節(jié)點法和截面法。3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計算

一、節(jié)點法【例3.9】圖3.21所示為一平面桁架，幾何尺寸如圖所示。在節(jié)點D處受一集中力P的作用。試求桁架中各桿件所受的內(nèi)力。解：欲求出各桿的內(nèi)力，首先應求出桁架的約束反力，然后再對各節(jié)點進行受力分析，即可依次求出各桿內(nèi)力。(1)求支座反力：以整體為研究對象，列平衡方程

解得約束反力(2)求各桿內(nèi)力：在求桿件的內(nèi)力時，須假設將桿件截斷，再以節(jié)點為研究對象，列平衡方程即可。桁架的每個節(jié)點都是在外力(主動力和約束反力)和桿件的內(nèi)力共同作用下3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計算

①②③而平衡的，且構成了一個平面匯交力系。所以，對每一個節(jié)點均可列出兩個獨立的平衡方程，故其未知量不能超出兩個。一般可先假設各桿都受拉力。本題中可依次以節(jié)點A、C、D為研究對象，其受力圖如3.21(b)所示。

對節(jié)點A，列平衡方程3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計算

圖3.21平面桁架受力分析④⑤將代入，解得(壓)(拉)對節(jié)點C，列平衡方程3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計算

⑥⑦將代入，解得(壓)(拉)對節(jié)點D，只有一個未知量F4，可列平衡方程解得⑧(拉)

由計算結果可知，內(nèi)力F1、F3、F4為正值，表示桿件受拉；F2、F5為負值，表示與假設方向相反，桿件受壓。通過以上舉例，可對利用節(jié)點法求桁架內(nèi)力的要點和步驟總結如下：(1)一般先應用靜力平衡方程求解桁架的約束反力。(2)依次取各節(jié)點為研究對象。節(jié)點上的已知力按實際方向畫出；桿件的未知內(nèi)力均假設為拉力，即力的方向遠離節(jié)點；所選節(jié)點所含未知量不能超過2個，否則不能全部求出。3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計算

二、截面法當只需求解桁架內(nèi)某個或幾個桿件的內(nèi)力時，可以適當?shù)剡x取一截面將桁架截開，并取其一部分為研究對象，由平衡方程求出被截斷的桿件的內(nèi)力，這種方法稱為截面法?！纠?.10】用截面法求圖3.22所示的桁架中指定桿件1、2的內(nèi)力，載荷及幾何尺寸如圖所示。解：(1)取整體為研究對象，受力圖如圖3.22(a)所示，列平衡方程①可解得約束反力為3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計算

②③圖3.22桁架桿件受力分析(2)作截面m－m，取左邊部分為研究對象，受力圖如圖3.22(b)所示，列平衡方程解得(3)作截面n－n，取右邊部分為研究對象，受力圖如圖3.22(c)所示，列平衡方程3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計算

④⑤代入，解得

在應用截面法求解桁架的內(nèi)力時，應注意：在選取截面時每次最多只能截斷三根桿件，因為在應用平面任意力系列平衡方程時只有三個獨立的方程；在選取平衡方程時要適當選擇力矩方程或投影方程，應以計算簡便為原則；所有未知內(nèi)力，均假定為受拉力，若結果為負值，則說明桿件受壓。

在對平面桁架結構進行內(nèi)力分析時，不管用節(jié)點法還是截面法，都可先根據(jù)桁架的結構特性及受力特點，勿需計算即可判斷出某些桿件內(nèi)力為零，從而使計算過程大為簡化。在桁架中內(nèi)力為零的桿稱為零桿。對零桿的判斷有以下四種情況：

1.無外力作用的節(jié)點連接兩根不共線的桿件，則這兩根均為零桿，如圖3.23(a)中1、2桿均為零桿；

2.連接兩不共線的桿件的節(jié)點，且有一外力與其中一桿件共線，則另一根桿件為零桿，如圖3.23(b)中1桿為零桿；

3.無外力作用的節(jié)點連接三根桿件，若其中兩根桿件共線，則另一根桿件為零桿，如圖3.23(c)中1桿為零桿。

4.無外力作用的節(jié)點連接四根桿件，且兩兩共線，則共線的兩桿內(nèi)力相同，如圖3.23(d)中所示，。3.6平面靜定桁架的內(nèi)力計算

圖3.23零桿的四種情況試用力的平移