平面解析幾何（解析版）-2021年新高考數(shù)學(xué)模擬題分項匯編（第五期5月）

專題05平面解析幾何

22

I.（2021.重慶高三二模）已知雙曲線C:[-4=l（a>0,b>0）的左焦點為廣，直線y="與雙曲線C交于

ab

3

A,8兩點（其中點力位于第一象限），NAFB=9（）°,且△￡鉆的面積為一〃，則直線AR的斜率為（）

2

A1RV2J_逝

3322

【答案】A

【分析】設(shè)雙曲線右焦點為乙，連接由圖形的對稱性知AEB8為矩形，然后利用雙曲線的定

義和已知條件可求出|A尸|=3?,|45|=〃，從而可求出直線A尸的斜率

【解析】設(shè)雙曲線右焦點為B，連接AF2,BF2,由圖形的對稱性知AFBF2為矩形，則有|AF|-\AF2\=2a,

2

\AF\]AF2\=3a,

|AF|=3fl,|AF,|=tz,在RIAAF6中，kAF=tanZAFF2=,

故選:A.

2.（2021?重慶高三二模）已知實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則點尸（2,-1）到直線依+勿+c=0的最大距離

是（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得a+c=?,求出點到直線的距離，代入消元后應(yīng)用基本不等式可得最大值.

12a—hc\12a—b+2b—ci\|a+b|

【解析】山已知a+c=?,點P到直線的距離d=

8+3Ja?+/^cr+b~

由均值不等式知（a+0）2,,2（/+〃），當(dāng)且僅當(dāng)。時取等，故&,、歷，最大值為行.

故選：C.

3.（2021?福建莆田市高三三模）明朝的一個葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢

圓盤如圖（2）所示，北宋的一個汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）、

（2）、（3）中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別U、至、—,設(shè)圖（1）、（2）、（3）中橢圓的離心率分

9457

別為6］、e2、e},則（）

(1)(2)(3)

A.el>e3>e2B.e2>e3>e]

C.eI>e2>e3D.e2>et>e3

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的離心率公式可知，橢圓的長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大，比較出三個橢圓

的長軸長與短軸長的比值大小，由此可得出結(jié)論.

【解析】因為橢圓的離心率

所以橢圓的長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大.

「、，13…56,?10…,,,131056…

因為—~1.44,—?1.24,—a1.43,則—>—>—,所以耳>03>62.

94579745

故選：A.

4.（2021?福建龍巖市高三三模）已知拋物線/=4），的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,過拋物線上一點P作PQ，/,

垂足為。，若|尸目=4,則ZFQP=（）

A.30。B.45°C.60D.75°

【答案】C

【分析】先由題中條件，求出點P坐標(biāo)，從而得到點Q坐標(biāo)，求出|Q尸判定AFQP為等邊三角形，即可

得出結(jié)果.

［解析】設(shè)P（x°，％），則IPQ|=%+1，

由拋物線的定義可得|PQ|=|PF|,即%+1=4,則%=3,

又玉）2=4笫，則％o'TZ,不妨令P位于第一象限，則%=26,即網(wǎng)263）,因此Q（2百1）,

所以也刊=012+4=4,所以|「。|=忸曰=|。耳，因此AFQP為等邊三角形，所以/FQP=60".

故選：C.

22

5.（2。2卜廣東高三二模）已知雙曲線》/叱。"。）的一條漸近線平行于直線人+2尹5=。，則

雙曲線的離心率為（）

A.2B.V5C.8

【答案】D

b1

【分析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線平行于立線，得到-2=-；求解.

a2

X2V2

【解析】因為雙曲線二-七=l（a>o/>0）的一條漸近線平行于直線/：工+2>+5=0,

/b2

h1

所以由―2=_:，

a2

所以與=之《=02

aa4

解得e=@

2

故選：D.

22

6.（2021.廣東高三二模）已知橢圓C:之+六=1（。>6>0）的短軸長為4,焦距為2夜.過橢圓C的上端

點6作圓爐+卜2=2的兩條切線，與橢圓c分別交于另外兩點加，N.則ABNA/的面積為（）

144C.乜15

A.6B.一D.—

2552

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的短軸長為4,焦距為2夜，求得橢圓方程，再設(shè)直線8N的方程，利用直線與圓相切,

求得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得M,N的坐標(biāo)即可.

爐+工

【解析】因為橢圓C:=l(a>b>0)的短軸長為4,焦距為20，

b=2,c=\/2,a2—6>

22

所以橢圓方程為三+匕=1,

64

如圖所示：

設(shè)直線BN的方程為y=kx+2,

,2

則原點到直線BN的距離為d=

Jl+公

又因為直線8N與圓V+/=2相切,

所以卷二

0'解得々=±1，

則直線BN的方程為y=-x+2,

y^-x+2

由，

二+J1

64

同理求得

1124（2、144

所以ABNA/的面積為S=5XMNXB￡>=『XWX2+W=W，

故選：B

Y2V2

7.（2021.河北高三二模）橢圓。：—+與=1（。>〃>0）的左右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過點”的直線/交橢

ab~

圓C于A,B兩點,已知（4后+耳工）21=0,AFX=-F,B,則橢圓C的離心率為（）

10石￡

A?D?\?z?Un.

7233

【答案】A

【分析】根據(jù)向量運算和橢圓的定義可得關(guān)于，的方程，由橢圓的離心率的定義可得選項.

【解析】設(shè)忸閭=2c,

因為（麗+質(zhì)）?麗=（它+質(zhì)）?（砧-而）=而2_質(zhì)2=0,

所以=|耳聞=2c,所以|純j|=2a-2c,

因為彳E=g月瓦所以忸用=g（a—c）,所以忸用=]+當(dāng)，

設(shè)4耳中點為“，則g”_LAB,|A//|=a-c,忸*=g（a-c）,

\F2Af-\AH|2=國砰一代入數(shù)據(jù)并整理得:7c2-12ac+5a2=0,

等式兩邊同除以/得：7e2-12e+5=0.解得：e=]或e=l（舍）.

故選：A.

22

8.（2021.河北高三二模）設(shè)雙曲線C:今-當(dāng)=l（a>0/>0）的焦距為2c（c>0）,左、右焦點分別是6,F2,

點尸在C的右支上，且。|產(chǎn)馬=4尸周，則C的離心率的取值范圍是（）

A.（1,V2）B.（"+oo）C.（I,l+V2]D.[1+/,+8）

【答案】C

【分析】求出|尸川=4,化簡不等式幺一■-。即得解.

11c-ac-a

【一解…析】一由條一件得1P身￡L=一c，所以!」=——c-a，即由2a=一c-a，

|「周a\PF2\a\PF2\a

Q2

又因為|尸瑪|2c-a,所以仍居|=，2c—a,

~c-a

即42+2。。一。22（）,得e2-2e—140，

又e>l，所以l<e?l+0.

故選：C

9.（2021.河北高三一模）已知長方體ABC?！?4G2，動點P到直線AD的距離與到平面8gGC的距

離相等，則「在平面CGRD上的軌跡是（）

A.線段B.橢圓一部分C.拋物線一部分D.雙曲線一部分

【答案】C

【分析】根據(jù)長方體里的線線，線面關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離與到定直線的距離相等，即拋

物線定義，從而得出軌跡是拋物線的一部分.

【解析】如圖所示長方體，

則ADLPZ），即點P到AO的距離為PO，

作PE1CG,則PE為彘P到平面BCC&I的距離，

在平面DCGA中，動點P到定點D的距離與到定直線C4的距離相等，滿足拋物線定義,

故點P的軌跡是拋物線的一部分.

故選：C

10.（2021.河北高三一模）過圓O：x2+y2=5外一點產(chǎn)（2,司作圓。的切線,切點分別為A、B,則|AB|=

()

A.2B.75C.D.3

3

【答案】C

【分析】本題首先可結(jié)合題意繪出圖像，然后根據(jù)圓的方程得出|。4|=|。卻=石，再然后根據(jù)兩點間距離

公式以及勾股定理得出|。叫=3、1PH=2,最后通過等面積法即可得出結(jié)果.

因為圓0：/+：/=5,直線E4、PB是圓。的切線，

所以0(0,0),|3|=|。耳二石，PA1OA<PB1OB,

因為尸(2,逃)，所以Qp|=五+后=3,1PAi=J。產(chǎn)-OT=2,

根據(jù)圓的對稱性易知OP,AB,則《倉懼P||AC|=g倉，O4|\AP\,

解得|40|=半，何同=2M。|=警，

故選：C.

22

11.(2021?湖南高三三模)￡、場分別是雙曲線L-21=1的左、右焦點，過￡的直線分別交該雙曲線的

24

左、右兩支于A、3兩點，若和，36,|傷|=怛閭，則|人用=()

A.2B.272C.4D.472

【答案】C

【分析】由雙曲線的定義可得，|A用—|A￡|=2a,忸耳|一忸閭=勿，結(jié)合已知條件可得|A8|=4a,然后

在直角三角形ABF2中利用勾股定理可求得答案

【解析】由雙曲線的定義可得，|然卜|伍|=勿,忸制-忸圖=2a,

因為|你|=忸閭,所以忸E|—|A用=2a,

所以忸耳|-|M|=4a,即網(wǎng)=4a,

因為4工±BF?,

所以|A周，忸用2=|AB「，所以21A用2=|AB|2=16?2,

22

由^-——=1.得“2=2,

24

所以21AM「=|AB「=16/=32,得|A用=4,

故選：C

22

12.（2021?湖北高三二模）已知雙曲線C:=-4=lm>0,b>0）的左、右焦點分別為K，F(xiàn),,過￡作與其

a~b~

中一條漸近線平行的直線與C交于點A,若AAK6為直角三角形，則雙曲線。的離心率為（）

A.石B.6C.V2D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，利用由她耳工邊角關(guān)系列方程求解，即可求出結(jié)論.

m-n=2a

mb工，，一

【解析】如圖，設(shè)|傷|=m，|A耳|=%,由題意可得<—=—，解得b=2a,則

na

m2+A?=4c2

故選：A

13.（2021?湖北高三二模）已知拋物線（7:丁=〃儲（根>0）上的點A（a,2）到其準(zhǔn)線的距離為4，則根=

（）

A.-B.8C.-D.4

48

【答案】C

【分析】首先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，確定K的值，再根據(jù)焦半徑公式求解.

2

【解析】x2=-y,（m>0）,

m

因為點A（a,2）到。的準(zhǔn)線的距離為4,所以—1+2=4,得機=」.

4m8

故選：C

22

14.（2021.湖北高三二模）設(shè)橢圓工+匕=1的一個焦點為尸，則對于橢圓上兩動點A,B,AABF周長

43

的最大值為（）

A.4+逐B(yǎng).6C.275+2D.8

【答案】D

【分析】設(shè)耳為橢圓的另外一個焦點，由橢圓的定義可得AF+BF+AB=8+A8-5片一,然后可得

當(dāng)A,B,F{三點共線時，AAB尸的周長取得最大值.

【解析】設(shè)E為橢圓的另外一個焦點

則由橢圓的定義可得

AF+BF+AB=2a-AF{+2a-BF,+AB^Aa+AB-BF}-AB-BFy-AF,

當(dāng)A,8,6三點共線時，AB-BF.-AF^O

當(dāng)AB,6三點不共線時，48-36一41<0

所以當(dāng)A8,耳三點共線時，AABF的周長取得最大值8

故選：D

15.（202卜遼寧高三一模）已知拋物線。：>2=4%的焦點為77,A為。上一點且在第一象限，以尸為圓

心，E4為半徑的圓交。的準(zhǔn)線于M，N兩點，且A,尸，以三點共線，則|AF|=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)A,F，M三點共線，結(jié)合點廠到準(zhǔn)線的距離為2,得至“4V|=4,再利用拋物線的定義求

解.

【解析】如圖所示：

A,F，M三點共線，

二A/0是圓的直徑，

:.ANLMN，4V〃x軸，

又/為AM的中點，且點尸到準(zhǔn)線的距離為2,

.,.|/UV|=4,

由拋物線的定義可得|AF|=|A7V|=4,

故選：B.

16.(2021?遼寧高三一模)以點(3,-1)為圓心，且與直線x-3y+4=0相切的圓的方程是()

A.(x-3)2+(y+l)2=10B.(x-3)2+(y+l)2=100

C.(X+3)2+(J-1)2=10D.(x+3)2+(y-l)2=100

【答案】A

【分析】先求得圓心到直線的距離即半徑，再寫出圓的方程即可.

【解析】圓心(3,—1)直線x—3y+4=0的距離為：

J=V1+7

因為直線與圓相切,

所以r=y/10，

所以圓的方程是(x—3)2+(y+l)2=10,

故選：A

17.(2021?遼寧高三一模)已知拋物線。：產(chǎn)=20%(°>0)上一點加(七,2立)到焦點廠的距離

3

\MF\=-x0,則片()

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【分析】由拋物線的定義可知|A"|=x0+^,與已知條件結(jié)合得X0=p,把點M的坐標(biāo)代入拋物線方程

即可得解.

【解析】由拋物線的定義可知|知尸|=%+5,

3口3

?/=-XQ,Xg+—=—Ag,即尤0=P,

?.?點M(x0,2V2)在拋物線C:丁=2px(p>0)上，8=2p2

解得：P=2或一2(舍去)，

故選：B.

18.(2021?遼寧高三二模)歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯(公元前375年—325年)，大約100

年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比

如：從拋物線的焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平

行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點.設(shè)拋物線C：y2=x,一束平行

于拋物線對稱軸的光線經(jīng)過4(5,2),被拋物線反射后，又射到拋物線C上的。點，則。點的坐標(biāo)為()

A

-HBROC.(?D.(W

【答案】D

【分析】求出入射光線與拋物線的交點坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，利用斜率相等列式可解得結(jié)果.

【解析】設(shè)從點A(5,2)沿平行于拋物線對稱軸的方向射出的直線與拋物線交丁點p,易知為=2,將

(4,%)代入拋物線方程得％=4,即P(4,2),

設(shè)焦點為。貝設(shè)Q（其,%），由p，F(xiàn)，Q三點共線，

2—0_y0-0

有「T"丁丁，化簡得8%—15%—2=。，

4）。4

解得九=一5或%=2（舍），即°[±，一"

o\04oy

故選：D

19.（2021?山東高三二模）已知拋物線％2=2刀（〃。0）的準(zhǔn)線與圓/+3—2）2=9相切，貝1"=（）

A.2B.6或一6C.—2或10D.2或—10

【答案】D

【分析】求出圓尤2+（丁一2）2=9與>軸的交點坐標(biāo)，可得出關(guān)于P的等式，進而可求得P的值.

【解析】圓/+（廣2）2=9與3軸的交點為4（0,—1）、3（0,5）,

拋物線x2=2py（pH0）的準(zhǔn)線方程為y=苦，

由題意可得一"=-1或一2=5,解得p=2或—10.

22

故選：D.

22

20.（2021?福建南平市高三二模）設(shè)耳，工分別是雙曲線。：上——上一=1的左、右焦點，且由瑪|=8,

s+ts-t

則下列結(jié)論正確的是（）

A.s=8B.t的取值范圍是（—8,8）

C.士到漸近線的距離隨著，的增大而減小D.當(dāng)。=4時，C的實軸長是虛軸長的3倍

【答案】ABC

【分析】先根據(jù)焦距算出s,再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式判斷出s的范圍，從而可判斷出AB的正誤.根據(jù)虛半軸

長的表達式可判斷C的正誤，根據(jù)/=4時算出的實軸長和虛軸長可判斷出D的正誤.

【解析】因為c2=s+/+s—f=2s=16,所以5=8,故A正確；

s+f>0,

因為雙曲線焦點在X軸上，由｛c且s=8,得f的取值范圍是（一8,8）,故B正確：

ST>0,

因為耳到漸近線的距離等于虛半軸長為幅7,其在fG(-8,8)上單調(diào)遞減，故C正確;

當(dāng)r=4時，C的實軸長為4百，虛軸長4,。的實軸長是虛軸長的6倍，故D錯誤.

故選：ABC.

21.(2021?福建莆田市高三三模)已知曲線C的方程為J高+與=次+2川,圓

M:(x-5)2+/=r2(r>0),WiJ()

A.C表示一條直線

B.當(dāng)尸=4時，C與圓M有3個公共點

C.當(dāng)r=2時，存在圓N,使得圓N與圓M相切，且圓N與C有4個公共點

D.當(dāng)C與圓M的公共點最多時，/?的取值范圍是(4,+8)

【答案】BC

【分析】對于A,由尸B7=|x+2y|，得y(4x+3y)=0,則。表示兩條直線；對于B,C,利用點到

直線的距離公式進行判斷；對于D,舉反例判斷即可

【解析】由"2+y2=卜+23,得》2+y2=|x+2)f=f+4盯+4),2,即y(4x+3y)=0,

則。表示兩條直線，其方程分別為y=0與4x+3y=0,所以A錯誤；

20

因為M(5,0)到直線4x+3y=0的距離〃=彳=4,所以當(dāng)廠=4時，直線4x+3y=0與圓M相切，易知

直線>=0與圓M相交，C與圓M有3個公共點，所以B正確；

當(dāng)r=2時，存在圓N,使得圓加內(nèi)切于圓N,且圓N與這兩條直線都相交，即與。有4個公共點。與

圓加的公共點的個數(shù)的最大值為4,所以C正確；

當(dāng)r=5時，圓M與直線了=0相切，與直線4x+3y=0有兩個公共點，所以公共點的個數(shù)為3,所以D錯

誤，故選：BC

22.(2021?福建高三三模)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于

同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線''.直線/與>軸

22

及雙曲線0-營=1(a>Q,b>0)的兩條漸近線的三個不同交點構(gòu)成集合M,且M恰為某三角形的外

心，重心，垂心所成集合.若/的斜率為1,則該雙曲線的離心率可以是()

A.華B.停C.V2D.V10

【答案】ABD

【分析】設(shè)/：y=x+m,分別與兩條漸近線和y軸聯(lián)立求出A,的坐標(biāo)，求出|AB|、iAPI、IBPI,

再分類討論重心、垂心和外心，并根據(jù)重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半列式求出人的關(guān)系，再

根據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.

【解析】設(shè)/:y=x+m,

am

y=x+mx--------

b~a，得4ambm

由，b，得，），

bmb-a'b-a

ay=------

b-a

am

y=x+mx----------

",得B(-ambm

由《b，得v），

y=——xbmb+a'b+a

ay二

b+a

y=x+mx=0

由，，得《,得P(0,〃2),

x=0y=m

_2y/2ah|m\

amam2bmbm2

|A8|=J(----------1----------)+(r=\b2-a2\

b-ah+ab-ab+a

加|=/(9)2+(普-獷=與粵

Vb-ab-a\b-a\

IBP|=J(_j+心j)2=伍M

Vh-\-ah+ab+a

若A為重心、8為外心、P為垂心，則|A8|='|AP|,

2

26ab|m\1yfla\m\

所以，化簡得Q=3人，此時雙曲線的離心率

|〃一/|2\b-a\

若A為重心、8為垂心、P為外心，貝

2

^^2a\m\12yJ2ah\ml八出小八十為、

所以lvl--------=-x—4~~安，化簡得。=0不成立;

\b-a\2\b2-a2\

若5為重心、A為垂心、P為外心，則|3P|=」|AB|,

2

所以立也社=J_x絲也化筒得。=處，此時雙曲線的離心率e=+=息=立,

b+a2\b2-a2\7aY42

若3為重心，P為垂心、A為外心，則|8A|=2|BP|,

2

2yJ2ah\m\1\J2a\m\八也/日〃L1V26

---=—x-------,化筒得。=5人，此時雙曲線的周心率6=J1T=----；

斯_〃|2b+aV255

若P為重心、A為垂心、8為外心，貝IJ|BP|=L|AP|,

2

所以叵回=j_xYl也"，化簡得〃=3?；颉?3。，

b+a2\b—a\

此時雙曲線的離心率e=V1+9=而或e=Jl+J=平，

若P為重心，8為垂心、A為外心，則|AP|=g|BP|,

所以缶I加|=2*叵1%1,化簡得人=一3?；?。=_3b都不成立.

\h-a\2b+a

綜上所述：e=叵或6=巫或e=J記或e=@.

532

故選：ABD

23.（2021?廣東高三二模）已知圓C:f—2如+;/+/—1=。與圓。：％2+卜2=4有且僅有兩條公共切

線，則實數(shù)。的取值可以是（）

A.-3B.3C.2D.-2

【答案】CD

【分析】由兩圓方程可確定圓心和半徑，根據(jù)兩圓公切線條數(shù)可知兩圓相交，根據(jù)相交時圓心距和兩圓半

徑之間關(guān)系構(gòu)造不等式求得。的取值范圍，進而得到結(jié)果.

【解析】圓C方程可化為：（％-4+丁=1,貝煙心C（a,0）,半徑4=1；

由圓O方程知：圓心。（0,0）,半徑弓=2；

???圓C與圓。有且僅有兩條公切線，，兩圓相交，

又兩圓圓心距4=同，；.2—1＜同＜2+1,即1＜同＜3,解得：—3＜a＜—1或1＜。＜3,

可知CD中的。的取值滿足題意.

故選：CD.

24.（2021?河北高三一模）已知曲線C上的點P（x,y）滿足方程%歸一1|+引'-1|=0,則下列結(jié)論中正確

的是（）

A.當(dāng)龍?-1,2］時，曲線。的長度為2夜+叵

B.當(dāng)XG［-1,2］時，的最大值為1,最小值為一!

LJX+22

兀1

C.曲線。與X軸、y軸所圍成的封閉圖形的面積和為-----

42

D.若平行于X軸的直線與曲線。交于A,B,C三個不同的點，其橫坐標(biāo)分別為王，9，七，則％+々+芻

（3⑸

的取值范圍是2,—+——

22

【答案】ACD

【分析】先作出方程％打一1|+〉上一1|=0表示的曲線。，然后對每個選項逐個判斷即可.

【解析】對于方程-l|+y?—1|=0,

①當(dāng)時，方程變?yōu)閤-/+y-y2=o,即=；,表示半圓弧EOF；

②當(dāng)x>l,丁<1時，方程變?yōu)?一%+y一;/=00（無一，］=（y—工］,即x+y=l,表示射線RV；

③當(dāng)X>1,y>l時，方程變?yōu)?-X+V-y=0o(x-J_+y-1=-,該圓不在X>1,、>1范

圍內(nèi)，故舍去;

④當(dāng)X<1,y>l時，方程變?yōu)閄—x2+y2—y=0o,即x+y=l,表示射線EM.

綜上可知，曲線。由三段構(gòu)成：射線半圓弧EOF和射線FN.

對于選項A,當(dāng)龍e［-1,2］時，曲線C由三段構(gòu)成：線段半圓弧EO尸和線段FM.其長度為

0+且+收=2&+正，故A正確;

對于選項B,令人=2二，其表示曲線C上的動點(X,y)與定點p(-2,l)連線的斜率，由圖可知,

x+2

&僦=kpM=/J=1，但是其最小值是過點口-2,1)且與半圓弧EOF相切的切線斜率，顯然,

(-l)-(-Z)

..(―1)—11

Knin<kpN~~——T~=，故B錯誤；

對于選項c,由圖可知，曲線c與x軸、y軸圍成的封閉圖形為兩個相同的弓形，其面積和為

//-、2

c1|V21,17T1,,

2x--7V----I-故C正確；

4(212242

對于選項D,設(shè)平行于％軸的直線為y=機，要使丁=機與曲線c有三個交點，則加w----,o,不妨

(22J

設(shè)丁=機與半圓弧E0尸的交點為A,3，顯然，A.B兩點橫坐標(biāo)之和％+々=1，丁=加與射線川的

「1⑸一「3⑸

交點為C,則點C的橫坐標(biāo)七=1一meL—■+―-,所以玉+%2+工€2,—+——,故D止確.

<227122,

故選：ACD.

25.(2021?河北高三二模)已知直線/：區(qū)+y=0與圓M:x2+y2—2x—2y+l=0,則下列說法中正確的

是()

A.直線/與圓M一定相交

B.若k=0,則直線/與圓何相切

C.當(dāng)攵=一1時，直線/與圓何的相交弦最長

D.圓心M到直線/的距離的最大值為逝

【答案】BCD

【分析】A.由直線/過原點，再判斷原點與圓的位置關(guān)系即可：B.利用圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系判

斷；C.由直線/的方程為y=x,判斷是否過圓M的圓心即可；D.建立圓心到宜線距高公式模型求解判斷

【解析】M:f+y2-2%—2y+l=0,即（x—l/+（y—1）2=1,是以（1,1）為圓心，以1為半徑的圓，

A.因為直線/:依+y=0,直線/過原點，02+（）2_2x—2x0+l>0，原點在圓外，所以直線/與圓M不

一定相交，故錯誤；

B.若2=0,則直線/:y=0,直線/與圓M相切，故正確；

C.當(dāng)女=一1時，直線/的方程為丁=》，過圓M的圓心，故正確；

\k+\\_lk2+l+2k_f.廠rr

D.由點到直線距高公式，知4=7返+1F0+1=1+1丁”q2（當(dāng)％=1時，等號成立）.故正確,

故選：BCD.

26.（2021.湖南長沙市高三一模）數(shù)學(xué)中的很多符號具有簡潔、對稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的

基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計作品的主要幾何元素.如我們熟悉的8符號，我們把形狀類似8的曲線稱為曲

線”.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，把到定點6（-4,0）,K（a,O）距離之積等于>0）的點的軌跡稱為

曲線”C.已知點P（%,為）是“8曲線，，C上一點，下列說法中正確的有（）

A.“8曲線”C關(guān)于原點。中心對稱；

a,,a

B.—?%?一

2°2

C.“8曲線"C上滿足|尸制=歸用的點P有兩個；

D.|尸。|的最大值為伍.

【答案】ABD

【分析】對A中，設(shè)動點C（x,y）,求得曲線C的軌跡方程，結(jié)合方程，可判定A正確；由。（毛,％）,故

恒EHR，根據(jù)1mHp用=/，得到一可判定B正確；由|尸耳|=歸用，則

pGo，%）在GK的中垂線為>’軸上，代入運算，可得判定c不正確；由NP°G+NP°E=%，結(jié)合余

弦定理，化簡得到210Pl2+2。2=|產(chǎn)耳『+忸聞2,進而得到|OP區(qū)缶,可判定D正確.

【解析】對A中，設(shè)動點C（x,y）,可得C的軌跡方程為J-ay+Vja+aU=/,

把（x,y）關(guān)于原點對稱的點（一%-歷代入軌跡方程，顯然成立；

對B中，因為尸伍，滅,），故S△呻產(chǎn)今刊訃陀周小皿/甲5居=g內(nèi)瑪?|為］,

又歸用療用=",所以鳥=2a-|y0|,

即|%|=全也/耳「工故—■|wyo4"|,故8正確；

對C中，若忸耳|=|尸聞，則P&,%）在耳瑪?shù)闹写咕€即y軸上.

故此時x0=0,代入J（x—a）2+y2J*+a）2,

可得%=0,即P（0,0）,僅有一個，故C錯誤；

對D中,因為NPOK+ZPOF2=7i,故cos4P0F、+cosZPOF2=0,

IOPF+|O612Tp用2jopf+Q居JTP^J0

210PlM+2\OP\-\OF2\-

因為|0娟=|0g|=a,|P6Hp閭=/,故21。尸|2+202=歸耳『+忸聞2

即2|OP『+2/=（歸用_歸圖）2+2歸用.歸國，所以2|OP『=Qp制_歸周了

又|尸川一歸片區(qū)閨用=為,當(dāng)且僅當(dāng)P,K，鳥共線時取等號.

故2|02|2=（歸用一忙周y?（2a）2,B|J\opf<2a2,解得|0產(chǎn)區(qū)缶，故。正確.

故選:A8D

27.（2021.湖南高三二模）設(shè)拋物線C:/=4x的焦點為F,。為坐標(biāo)原點，過尸的直線與C分別交于

A（N，yJ,8（%2，%）兩點，則（）

A.弘必為定值

B.NA05可能為直角

C.以8尸為直徑的圓與），軸有兩個交點

D.對于確定的直線A8，在C的準(zhǔn)線上存在三個不同的點P,使得ZVIBP為直角三角形

【答案】AD

【分析】設(shè)/AB：X="+1，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，再根據(jù)拋物線的定義，一判

斷即可；

【解析】解：設(shè)L：x=D'+l，與V=4x聯(lián)立可得：y2-4fy-4=0,%%=-4,故A對；

29

因為％尤2=上五=1，所以心/左。8="^工一1,，〃。呂工工，故B錯：

1-16玉々2

設(shè)8尸的中點呼=與也"，則以5F為直徑的圓與y軸相切，故C錯；

設(shè)A3的中點出苧,岑叢），N到C準(zhǔn)線的距離為當(dāng)±士歪+1,因為網(wǎng)=±±±+1

I22J222

故有以AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切，對于確定的直線AB，當(dāng)NP為直角，此時/,為切點；

當(dāng)NA或D5為直角，此時P為過A（或B）的AB的垂線與準(zhǔn)線的交點，故。正確.

故選：AD

28.（2021.湖北高三二模）已知圓M:（x—3A:）2+（y—4左—2）2=1+公，則下列四個命題中正確的命題有

（）

A.若圓M與y軸相切，則％=±注

4

B.圓例的圓心到原點的距離的最小值為《

C.若直線y=x平分圓M的周長，則后=2

D.圓M與圓（X-34產(chǎn)+「=41可能外切

【答案】ABD

【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)、配方法、圓周長性質(zhì)、外切的性質(zhì)，結(jié)合零點存在原理進行判斷即可.

【解析】圓M：（x—3Z）2+（y—4攵一2）2=1+22的圓心坐標(biāo)為：（3人,4k+2）,半徑為廠=&+42.

若圓”與＞軸相切，則|3Z|=J1+F,解得左=±走，所以A為真命題.

893636

因為（3Q29+（4女+9=25k29+16^+4=（5^+|）2+^|>^|,

所以10Ml2所以B為真命題.

若直線N=x平分圓M的周長，則3左=4左+2,即左=一2,所以C為假命題.

若圓”與圓*一3左了+；/=4左2外切，則|4攵+2|=Jl+公+瘋）

設(shè)函數(shù)/（外=|4k+2|—Jl+廿—JZF，因為/（0）=1>0,/（-1）=-V2<0,

所以/（￡>在（一1,0）內(nèi)必有零點，則方程|41+2|=J1+必+瘋7有解，所以力為真命題.

故選：ABD

29.（2021?遼寧高三一模）已知拋物線。：％2=2胡（〃>0）的準(zhǔn)線方程為丁=一2,焦點為F，。為坐標(biāo)

原點，A（%,y）,3（%,%）是C上兩點，則下列說法正確的是（）

A.點尸的坐標(biāo)為（0,2）

B.若|A卻=16,則的中點到x軸距離的最小值為8

C.若直線45過點（0,4）,則以為直徑的圓過點。

D.若直線OA與OB的斜率之積為-一，則直線A8過點產(chǎn)

4

【答案】AD

【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線求得焦點坐標(biāo)判斷A,設(shè)直線A8方程為丫=依+加，A（X］，X）,B（X2，>2），直

線方程代入拋物線方程，應(yīng)用韋達定理得玉+工2，%/2,求出AB中點坐標(biāo)得中點到％軸距離，求得最小值

后判斷B,計算A3的長和中點到原點的距離，比較后判斷C,由斜率之積求出加為常數(shù)，可得直線過

定點判斷D.

【解析】A.拋物線準(zhǔn)線方程是y=-2,‘=2,p=4,則焦點為（0,2）,A正確；

2

B.顯然A3斜率存在，設(shè)直線A3方程為>="+機，A（xI,y1）,B（x2,y2）,

［y=kx+m

由<2c得，—8fcx—8/zz=0，A=（Ak2+32m>0>

［廠=8y

所以|A：=J