計算機應用數(shù)學 計算機數(shù)學 第三章

?微分的計算

難點

要求期gm

，理解

可導、微分的定義

?掌握

導數(shù)、微分的運算法則

導數(shù)公式

復合函數(shù)及隙

3.1導數(shù)的概念

3.1.1導數(shù)的定義

設函數(shù)＞=/（%）在點須）處及其左右近旁有定

義，當自變量X在％處有改變量時△%（△%，。），相

應的函數(shù)y有改變量△、=/（%+△%）—（△（））如果

當0時，F(xiàn)的極限存在，即lim生存在，

-0Ar，

Ay

則稱［r巴。入；為函數(shù)丁二（月在點兩處的導數(shù)。

記為y\x=x0

△y/(/+Ax)-f(x0)

即N_=lim

%一和—△x△x

也可以記作：/'(%)或今

或y'x一

X=XQ

函數(shù)y=/(x)在點x=/處存在導數(shù)，簡稱為函

數(shù)”/⑴在點X=xo處可導。

例

已知/⑴=%2，求/?，⑴,/，⑴,/，(通).

2

].(x()+AX)2—%2%2+2工2^冗+(△%)?—%

f(x)=hm------------二lim---------------------

△x-?oAx△%一()Ax

「Ax(2x+△%)八

二hm——---------=2x

△%->oAx

3.12導數(shù)的幾何意義

313可導與連續(xù)的關系

定理1若函數(shù)y=/(%)在點工?？蓪?貝l]/(x)

在點明必連續(xù)。

注意此定理的逆定理不成立。即連續(xù)不一

定可導，但連續(xù)是可導的必要條件。

3.2導數(shù)的運算

jf3.2.1幕函數(shù)的導數(shù)

1.求導公式「

（一），=以”（4為任意常數(shù)）

2.兩點說明

1）幕函數(shù)的求導公式的特點是：求一次導

數(shù)，幕指數(shù)降低一次。

2）在求幕函數(shù)的導數(shù)時，若遇到根式和分

式，應先化成分數(shù)指數(shù)或負指數(shù)，然后

再用上述公式求導。

例閶msiHHgq

已知/(X)=萬,求T(x)

JC

解

1

因為"x)=?=x

所以廣⑴=-2/T=-2]

3.2.2代數(shù)和的導數(shù)

如果力(X)/(X)，....fn(%)(〃為正整數(shù))在點X可導

則[力⑴土八⑴……±fn(x)y=fi\x)±f2\x)±……±fn\x)

323乘積的導數(shù)

如果力⑴，力⑴都在點可導，則

[/1（%）?%（x）T=%'（%）?%（尤）+fl⑴/'⑴

特別地，當力（x）=c（c為常量）時，[或%（，）=。叫

k/i（x）r=cf\（X）｛或[c/<2（x）r=cf\（%）｝即常數(shù)因子可以

移到導數(shù)符號外面來。

?1

例已知]⑺=（1+/）（3--），W（1）

JQ

解因為]

尸（兀）=（1+%3）（3一%—2）+（1+元3）（3—%—2）,=3/2（3一%—2）+Q+%3）X2/一3

2-32

=9x-3+2x+2=9x+2-1所以/'⑴=9+2-1=10

22T商的導數(shù)

，如果力⑴/⑴都在點可導且%(%)wO貝代.

“1叫"一'1(X)?/2(X)—力二)?廣2(外

/l2(X)H⑴

特別地，當/i(x)=c(°為常數(shù))時，有［，-r=_J⑴

例%⑴于2⑴

已知，=T―7，求y'=?

解wKx+1

(X2+l)(x2-l)-(x2-l)(x2+1)12x(x2+1)-2x(x2-1)4x

”(x2+1)2(x2+l)2(x2+l)2

3.2.5復合函數(shù)的導數(shù)

\設函數(shù)y=f(u),u=(p(x)即y是X的一個復合

函數(shù)，即>=/[。(創(chuàng)如果在點x處有導數(shù)

.(X),>=/(〃)在點"處有導數(shù)仆)，則>=H。(創(chuàng)

在點X處的導數(shù)也存在，且f'(x)=「C

或寫成蟲=包.也

dxdudx/

例已知y=(l+2x)3°求y，(x)

解/設y=/,"=i+2x,則由復合函數(shù)求導公式

得了(犬)=330人.(1+2%)[=30〃29X2=60"29=60(1+2%)29

326三角函數(shù)的導數(shù)

1,正弦函數(shù)的導數(shù)(sinx)'=cosx

2.余弦函數(shù)的導數(shù)(cosx)'=-sinx

(tanxy=sec2%=-^-

.正切函數(shù)的導數(shù)

3COSX

—1

(cotx),=-csc2X=

sin2x

廠〕，327指數(shù)函數(shù)的導數(shù)”[]

(axy=ax=e時,(1)'=e'

例

已知/。)=*與11碼求：7。)=?/'(1)=?

解「Jt

f\x)=(e玄)'sin;zx+e加(siivzx)'=e加(加)'sin/zx+e加?cos^x(^x)1

?一=碇"?sin衣+加公?cos7tx=庇公(sinm+cos吟

[7i

/*(—)=^^(sin—+cos-)-ne1

222

—Y3,2.8對數(shù)函數(shù)的導數(shù)一

(logax)，=—logae,當a=e時，(lnx)=—

例

已知y=Insin2X,求/(￡)=?

解因為了⑶二,；Gil?%)=2smxcosx“eg

sinxsinx

所以y，(g)=2cotg=2百

329隱函數(shù)的導數(shù)M

例

已知y=xlny,求

解

3210取對數(shù)求導法

例

已知y=爐皿求y（］）=?

解等號兩邊取對數(shù):

1isinx

——y=cosxlnxd-------

Iny=sinxInxyx

,/sinx、sm%/[sinx、

y=y(cosxl1nxH-------)=x(cosxlnxH-------)

xSHHHx

象此類的幕指函數(shù)還可以按以下方法求導:

sinx

)=(■)，=(/n%inxy=eSin%in、(sinx?lnx)'=eSii(cosxlnx+

X

■

3.ZH導數(shù)公式

公式見教材公式

3.3高階導數(shù)

13.3.1高階導數(shù)的概念

如果函數(shù)＞=/（無）的導數(shù)廣⑴在點x處可導，則

稱/'⑴在點X處的導數(shù)為二階導數(shù)，記作：

廣⑴y或今

dx

（〃-1）階導數(shù)y（i）=/（〃-，%）的導數(shù)稱為函數(shù)

y=/（%）的n階導數(shù)，記作：

332高階導數(shù)的運算

例

已知y=InX,求：

1-2_2

產-門二丁

解X3

例

已知求：y的二階、三階……幾階導數(shù)

用牛y=ae,y=ae,y—ae，泮-aeax

3.4^分

341微分的概念

在引入微分概念之前，我們先回顧我下

導數(shù)定義：設，=/（尤）在*處可導，則

AxfoAx

因此⑴+。其中

Ax

o為Axf0時無窮小故Ay=f\x）Ax+a-Ax顯然

戊&是廣（x）Ax的高階無窮小。.

當|Ax|很小時，有Ayp尸⑴Axo

定義1設函數(shù),在點x。具有導數(shù)/'5)則稱

/，(％)?Ar為函數(shù)＞=/(/庵點元=%0處的微分，

記作dyX=XQ即閾X=%0=f(X。),X

函數(shù)的微分有以下兩個特點：

L微分明自變量心成正比，即有線性關系。

2.函數(shù)微分辦與函數(shù)改變量與之差是一個比Ax

高階的無窮小量，因此函數(shù)微分是函數(shù)改變量

的主要部分。于是我們稱函數(shù)微分為函數(shù)改變

量的線性主部。

3.4.2微分的運算

例

已知y=e*sinx,求：dy

解dy=(e，sinx)"dx="(sin犬+cosx)dx

3.4.3微分形式的不變性

設函數(shù)y=/(x)在x處可微，當X為自變量時，

有力="x)dx當/為中間變量時，設

%=0⑺且“⑺存在,貝|J辦=電.心力=f,(x)(p'(t)dt

dxdt

乂dx="。)力，所以dy=即：無論X是

自變量還是中間變量，y=/(%)的微分力總可用

尸(元磔來表示，這個性質稱為微分形式的不變性。

3.4.4微分的應用

例

求也.02的近似值

解設/⑴=VI則小）二毋'