考研數(shù)學(xué)歷年真題

20XX年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)三試題及答案詳解

一、選擇題

1.已知當(dāng)x->0時(shí)，函數(shù)f(x)=3sinx-sin3x與ex*是等價(jià)無窮小，則

Ak=1,c=4Bk=a,c=-4Ck=3,c=4Dk=3,c=-4

2.一知在x=o處可導(dǎo)，且/（o）=o,則二2""）=

XTOX

A-2/（0）B-/z（0）C/z（0）DO

3.設(shè)｛Uj是數(shù)列，則下列命題正確的是

A若￡力收斂，則￡（%“一什力,）收斂

“=1"=|

B若￡（力“T+4,,）收斂，則收斂

“131

C若收斂，則￡（%“_「小”）收斂

”=1n=\

D若之電1-力“）收斂，則￡%收斂

"=1"=1

4.設(shè)/=「Insinxdx,J=Jjncotxdx,K=j；Ineosxdx則/'，、K的人小關(guān)系是

AI<J<KBI<K<JCJ<I<KDK<J<I

5.設(shè)A為3階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B,再交換B

1oo100

P,=111,P,001,

的第二行與第一行得單位矩陣。記[000_010J則

A=

APRBP;'P2CP遇、DPJR

6.設(shè)A為4x3矩陣，7%%是非齊次線性方程組版=夕的3個(gè)線性無

關(guān)的解，匕自為任意常數(shù)，則Ax=A的通解為

C+k4%一7)+七(小一7)D+砥(%—7)+&3仇一7)

7.設(shè)A(x),居(X)為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度力(x)/(x)是連續(xù)

函數(shù)，則必為概率密度的是

A/,(X)/2(X)B2/2(X)F2(X)C/(X)E(X)D1(x)鳥(x)+9(x)耳(x)

8.設(shè)總體X服從參數(shù)〃義>0)泊松分布篇/「..*?(〃22)為來自總體的

簡單隨機(jī)樣本，則對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量7；4￡匕,7>上/匕+!尤

〃/=]n—iz=]n

<。4

\ETX>ET2,DTX>DT2BET;

CETX<ET2,DTX>DT2DETI<ET2，DT]<DT?

二、填空題

X

9.設(shè)/(x)=limx(l+3獷，則f'(x)=

x->0

X

10.設(shè)函數(shù)Z=(l+與7,㈤”0)=

y'

11.曲線tan(x+y+2)=e>在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

4

12.曲線y=GT,直線x=2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所

成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

13.設(shè)二次型/(X|,X2，X3)=xZx的秩為1,A中行兀素之和為3,則/在

正交變換下x=Qy的標(biāo)準(zhǔn)為

14.設(shè)二維隨機(jī)變量(*,丫)服從"(〃,〃；4,/；0),則E(xy2)=

三、解答題

15.求極限lim如宜岳二二1

ioxln(14-x)

16.已知函數(shù)了(“#)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，川,1)=2是〃”,1，)的極值，

z=f[(x+y),f(x,y)]求

odxdy1

s+rarcsinVx+lnx,

17.求J----j=-------dx

l8.證明4arctanx-x+—-V3=0恰有2實(shí)根。

3

I9j(x)在[0,l]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),/(0)=l,且JJ—(x+y)阿y=JJ_f(x+yMMy,

D,D,

D,={(x,y)|05y<f,0<x<r](()<r<l),求/'(x)的表達(dá)式。

20.%=(1,0,1尸，%=(0，U)"%=(135尸不能由4=(1,。?,&=(1,2,3尸，

四=(1,3,5)，線性表出，①求“；②將四,%A由6,%，%線性表出。

Jnr-ir

2LA為三階實(shí)矩陣，R(A)=2,且400=00

、-用111

(1)求A的特征值與特征向量；(2)求A。

求：（1）（X,Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）「乂丫

23.（X,Y）在G上服從均勻分布，G由x-y=0,x+y=2與y=0圍成。

（1）求邊緣密度/x（x）；（2）求/x|y（布）。

2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題及答案詳解

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)

符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

（1）已知為XTO時(shí),函數(shù)/。）=35山》-3113X。）是等價(jià)無窮小.則（）

（A）A=l,c=4（B）A=l,c=-4

(C)A=3,c=4(D)k=3,c=-4

【答案】應(yīng)選（C）

【分析】由泰勒公式及無窮小階的比較可得。

27.一

(詳解一】sinx=x---+o(x3),sin3x=3x-+0”)

3!

=?。?學(xué)竺Llim竽=

3sinx-sin3.v

lim

r⑷exzcrcr

所以c=4<=3

3sinx-sin3K3cos.r-3cos3.v3-2sin2.rsin(-.x-)

［詳解一】lim=㈣=lim

“一?ockxi'*Mckji-i

—Iim4r=

所以￡-l=2,M=l2,即*=3,c=4

//(x)-2/(M)等「

（2）己知〃x）在x=0處可導(dǎo)，ll./（O）=O,則lim)

(A)-2//(0)(B)(C)/'(O)(D)0

【捽案】1鋤i（B）

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)4：某點(diǎn)的定義求解.

［詳解】隔蟲⑶:2/2=.立3二立⑼-"（『）；2/（0）

IfXXK

因?yàn)?（X）在x=。處可導(dǎo),所以

山二/(+2/，)=而產(chǎn)/3T/嘰?2一)[2/(。)

月TOXXT°x~XT?K

=.no)-2r(o)=-r(o)

(3)設(shè)｛(｝是數(shù)列，則卜列命題正確的是()

(A)心￡收斂.則+u2n)收斂

*Ih

(B)若￡(k_1+”2”)收斂，則￡以收斂

M?1>'I

<c)若Ex收斂，則￡他“一「心)收斂

,IIn'

<D)若收斂.則Ex收斂

【芥案】J；選(A)

【詳解】收斂.則對(duì)它的任意項(xiàng)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂，逆命題不一定正確，所

A?l

以選(A).

(4)設(shè)/uplnsinxar.JuJjlncotxaLK=J4IncosAzZr.則/JK的大小關(guān)系是

(A)!<J<K(B)I<K<J(C)J<1<K(D)K<J<1

【答案】應(yīng)選(B)

【詳解】在區(qū)間[0,白匕sinx<cosx<colx,lnx是增函數(shù)，所以

4

Insinx<Incosx<Incotx,由定積分比較大小的性質(zhì)可知,應(yīng)選(B)

(5)設(shè)A為三階矩陣,將A的第二列加到第?列得到矩陣B,再交換B的第:行與第.行

'100、‘I00、

得到單位矩陣,記/?=1I0，2=00I.則A=()

、00I,、0I0,

(A)<6；(B)甲6；(C)64；(D)鳥中.

【答案】應(yīng)選(D).

【詳解】由初等變換及初等矩陣的性質(zhì)易知名44=￡從血/=右‘k'=￡夕',答案應(yīng)

選(D).

⑹設(shè)A為4x3矩陣,小人，/是非齊次線性方程組4￥=4的三個(gè)線件無關(guān)的解，

k?k2為任總實(shí)數(shù)，則AX=fl的通解為()

(A)歸為+&(小-%);(B)巧近+M小-7)；

(C)(/-/)+&(%-/)：⑹巧2+人(小-7)+k式小-%).

【答案】應(yīng)選(C).

【洋解】由小彷，/是非齊次線性方程組4￥=夕的：個(gè)線性無關(guān)的解.知

7,F,，小一/為4￥=0的基礎(chǔ)髀系.非齊次線性方程組解的線性組合并系數(shù)和為1是非

齊次線件方程組解，從血”互為4￥=力的解.山非齊次線件方程絹解的結(jié)構(gòu),知

巧h+h(小—％)+k式小一小)為AX=B的通解，故應(yīng)選(C).

(7)設(shè)片⑶、鳥(x)為兩個(gè)分布函數(shù)，比相應(yīng)的概率密度A⑶/⑶是連續(xù)函數(shù)，則必為

概率密展的是()

(A)￡(x)〃x)⑻2或x)￡(x)(C)f^F^x)(D)/；(x)瑪(x)+￡(x)￡(x)

【答案】應(yīng)選案).

【解析】由概率密度的性質(zhì)知，概率密度必須滿足J'r(xMt=i,故由題知

匚LA(x)E(x)+&X拓(X)]&=「好=￡3外=I

故選擇D.

(8)設(shè)總體￥服從參數(shù)為4(/1>0)的泊松分布，％,占,…,X"("N2)為來自正態(tài)總體的

簡單隨機(jī)樣本.則對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量1=：￡X，1==皆％1X.滿足()

(A)ET、>ETrDT\>DT\(B)ETt>ET^DT^DT.

(C)ET^ET^DT^D^(D)ETt<ET2,DTt<DT2

【答案】應(yīng)選(D).

【解析】由題知?dú)W,=4必=M=LZ…,〃)，故有

【答案】R4

P24

【詳解】V=J-nyrdx=-n

(13)設(shè)二次型〃m,X2，xJ=X,4T的秩為1.A的行元素之和為3.則/'在正交變換

X=QY卜的標(biāo)準(zhǔn)形為

【答案】應(yīng)答現(xiàn).

【詳解】由A的行元素之和為3,得/1=31,從而3為其特征值.因?yàn)?/)=1,所

<dli

以f在正交變換X=QY卜的標(biāo)準(zhǔn)形為3療.

(14)設(shè).維隨機(jī)變成(X,Y)服從MM4。?,/,。),則￡(川2)=.

【答案】〃("+")

【詳解】由題知x與y的相關(guān)系數(shù)0m=o,即x與丫不相關(guān).在：維正態(tài)分布條件F,x

與丫不相關(guān)與*與y獨(dú)立等價(jià),所以x與丫獨(dú)立,則有

EX=EY=p,DX=DY=a-

￡72=。丫+(")2=〃、/

E(XY2)=EXEY'=〃("+cr)

三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答庖紙指定的位置上解答應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步51

(15)(本題滿分10分)求極限lim業(yè)WH

…xln(l+x)

…m-S+2sinx-x-lVl+2sinx-x-l

[洋解]hrm----———■——=hmr--------------；----------

Ixln(1+x)7x*

..cosx-Vl+2sin.r..cosx-Vl+2sinx

=lim------7--?—=hm-----------------------

…ZrV1+2sinx…2x

1..z,cosx、1

2…Vl+2sinx2

…a,.Vl+2sin.t-x-ll+2sin.v-(.r+l)2

[詳解]Inn-------_-——=lim,,----------2,~—

fxln(l+x)f]Jl+2sinx-x-1)

2sinx-.v2-2KI”sinx-xI鏟cosx-1

=—lim=--4-lim----；——=--+hm-------=

2r.?O2xr2f2x2

(16)《本題滿分10分)已知函數(shù)八〃e)II有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，/(1.1)=2是的極

值'z=〃(W(3))'求矗

【詳解】里=Z.+ZJ「d^z

=Zw+Z=M+(ZR+Z?vjv,+2,.V?,

ax

由=2是v)的極值工。,1)=/(U)=o.

所以費(fèi)|“=小2)+〃2.2工?！?

(17)(本題滿分10分)求產(chǎn)an先In”

JVx

【詳解】令t=&,則仃

rarcsinVx+Inx.rarcsinz+ln/-_,

J--------丁-----dx=J------------------2tdt=2](arcsint+\nr)dt

=2/(arcsin/+

=2/(arcsin/4-In/2)-2j了L「di_4i

=2/(arcsin/+In-)-4/+j*二？

=2/(arcsin/+ln/>41+2jl-1+C

=2<7x(arcsin4+lnx)-4\/7+25/l-x+C

(18)(本即滿分10分)證明4arctanx-x+亨-石=0恰仃兩個(gè)實(shí)根.

4/rl3—X2

【證明】設(shè)/(x)=4arclanx-x+多一班，則，(*)=二A

31+r

3-.V

令/'(x)==0.汨x=±G

l+x2

顯然"1X€(70,-6)或X€(石,y)時(shí),f'(x)<0,ll|Jf(x)在(70,-石)或(瓜-KO)L

單調(diào)遞減：“1XC(-G,G)時(shí)，/'(X)>0,即/'(X)陽-JIG)匕單調(diào)遞增.

又/(-6)=0,/(6)=2(￥_/)>0/imf(x)=-w,lim/(x)=y,故在：x=-g

處仃個(gè)實(shí)根,在區(qū)間(6內(nèi))內(nèi)仃且僅有個(gè)實(shí)根，陽和(-6后)內(nèi)都沒

有實(shí)根.

綜上所述.方程恰有兩個(gè)實(shí)根.

(19)(本題滿分10分)，(x)在［05內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),/(0)=l,H

J|f'(x+y)dxdy=JJf(t)(lxdy,

44

其中。={(x,y)|04x4/,04y4f,x+y4/}(0</4I),求/(.v)的衣達(dá)式.

【詳解】由題知

JJf'(x+y)dx(fy=￡rZv￡'f\x+y時(shí)=工［/")-f(x)］clx=tf(t)-￡/(x)<Zr

〃)

所以仃/(/)-1'/(x)去=%，/)，得/U)=J-3(。為任意常數(shù))

J。2(2-/)

4

將/(0)=1代入，得。=4,所以/(/)="1不

(20)(本小題滿分11分)設(shè)向吊組4=(1,0,1)。a,=(0,l,l)r,%=(135)。不能由

向量組4=(1，/1)‘，&=。，2,3)。4=(1,3,5).線性表出.

(1)求。的值.

⑵將4/A由%,a理性表出.

【詳解】(1)易知q,0V%線性無關(guān)，由其不能被后,%4線性表出，得到4為伙

線性相關(guān),從而r(片,為⑷<3.

'1irq11、

由a23T024

J35；、o2-a3-a,

得a=I.

(2)

01111、q01111、

013123T013123

15135；<04024,

由J

q011r'10021o'

->013123->0I0420

、001-101J、001-101,

'210、

得0Pz聞=3%。3)420

0L

f\i)(-\r

(21)(本小題滿分11分)A為:階實(shí)對(duì)稱矩陣.[4)=2且/00=00

<-iUI1L

(1)求A的特征值與特征向殳

⑵求矩陣兒

【詳解】⑴易如特征值T對(duì)應(yīng)的特征向以為0.特征值1對(duì)應(yīng)的特征向最為.由

r(A)=2知A的另?個(gè)特征值為0.因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣不同特征值得特征向量正交,從而特征

值0對(duì)應(yīng)的特征向量為1

◎

⑵由

IoY-iooVIioV

A=00101000I

I0乂00

0人T10,

得

'001、

4=000

J0。1

（22）《本題滿分11分）設(shè)的機(jī)變量X與y的概率分布分別為

?1

p

333

11尸（H=/）=1.

（?）求二維隨機(jī)變吊（x,r）的概率分布:

（II）求2=封的概率分布：

（川）求x與y的相關(guān)系數(shù)0“.

【解析】（1）由于產(chǎn)（犬=六）=],即

p（x=o,r=o）+p（^=i,r=-i）+p（^=i,y=i）=i

則有

p（-￥=i.r=o）=p（A,=o.r=-i）=p（A,=o,r=i）=o

p（x=o,y=o）=p（y=o）-p（x=i,y=o）=；

p（x=i,y=-i）=p（y=-i）-p（x=o,y=-i）=；

p（y=l,y=l）=p（y=l）-p（A,=O,K=l）=|

所以（x,y）的概率分布為

（II）易知隨機(jī)變顯Z的可能取值為T