江蘇省南通學(xué)科基地2021屆高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（六）（ 解析版）

江蘇省南通學(xué)科基地2021屆高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷(六)

(滿分：150分，考試時間：12()分鐘)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知集合4={幻注一2x<0},6={x|x-l<0},則Ap|5=()

A.{x\l<x<2}B.{x\-2<x<\]C.{x|-l<x<0}D.{x|0<x<l}

【答案】D

【解析】A={x|x;-2j<0}={jr|0<x<2}?B={z所

以408={川0<]<1).

2.己知復(fù)數(shù)z滿足z(l—i)=5+i,其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是()

A.3B.3iC.2D.2i

【答案】A

Aa+ei.._5+i_(5+i)(1+i)4+6i

【r解析】由題M意知N―j__j—(]—j)([+j)=2+3i.

2

3.甲、乙、丙、丁4名學(xué)生假期積極參加體育鍛煉，每人在游泳、籃球、競走這三個鍛煉項(xiàng)目中選擇一項(xiàng)進(jìn)

行鍛煉，則甲不選游泳、乙不選籃球的概率為()

I475

A.-C.—D.-

39129

【答案】B

2X2X3X34

【解析】甲不選游泳、

4.《張丘建算經(jīng)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍

數(shù)的計(jì)算、各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等.書中記載如下問題：“今有女子善織，日增

等尺，初日織五尺，三十日共織390尺，問日增幾何？”那么此女子每日織布增長()

416168

A.—RB.—尺C.—尺D.—尺

7八31八29八15八

【答案】C

【解析】設(shè)每日織布增長.r尺.則5+(5+i)+(5+2.r)+…+(5+29.r)=390,即

1Z?

5X30+i+2.r+…+291=390.解得x=.

5.已知x>0,y>0,且x+y=l,則下列結(jié)論中正確的是()

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A.工+工有最小值48.沖有最小值LC.2'+2,有最大值、巧D.4+。有最大值2

xy4、

【答案】/

【解析】對于A,:+(=(5+*)(*+?)=1+1+?+*>4.當(dāng)且僅當(dāng),r=

1y■時取等號?正確.

對于B,1(守?當(dāng)且僅當(dāng)工=?=2時取等號.錯誤.

對于C.2,+2。2"?2、'=27^=20當(dāng)且僅當(dāng)才=/4時取等號.錯誤.

對于D?)2=、r+y+2/i亍<2(.r+y)=2?所以+-/y，當(dāng)且僅當(dāng)才=

時取等號.錯誤.

6.某校開展社會實(shí)踐活動，學(xué)生到工廠制作一批景觀燈箱(如圖，在直四樓柱上加工，所有頂點(diǎn)都在樓上)，

燈箱最上面是正方形，與之相鄰的四個面都是全等的正三角形，燈箱底部是邊長為fl的正方形，燈箱的高

度為10a,則該燈箱的體積為()

S359311932393

A.1(kzB.—aC.-----ciD.-----a

61224

念

【答案】c

【解析】因?yàn)闊粝涞撞渴沁呴L為"的正方形.燈箱的高度為10a,所以

長方體的體積匕S/i=10<?.因?yàn)闊粝渥钌厦媸钦叫?與之相鄰的四個面都是全等的

正三角形.所以四個缺口的體積匕=4乂［><-1"a2X=Ja3.從而該燈箱的體積為

OO41Z

119,

12a'

7.已知函數(shù)/(x)=土二竽土2的最大值為"，最小值為小則M+機(jī)的值為()

A.08.2C.40.6

【答案】B

第2頁共17頁

r,、-tanJ-4-2,tanx..、tanJ-.x.,

【解析】/1）=----j：*+2---=]-]，+2'令/行）=/'+2'工夫

于是g（一.）=渺\j；=—';工=-g（工）.所以8（才）是奇函數(shù),從而8（工）的最大

（-j）+Zj*-rZ

值G與最小值x的和為0.而M+/H—1—x+1—G=2.

8.瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲線，這是一種分形曲線，它的分形過程是：從一個正三角形（如圖D）

開始，把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉“底邊”線段,

這樣就得到一個六角形（如圖），所得六角形共有12條邊.再把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長

度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉"底邊”線段，反復(fù)進(jìn)行這一分形，就會得到一個“雪花”樣子的曲線，

這樣的曲線叫作科

赫曲線或“雪花”曲線已知點(diǎn)。是六角形的對稱中心，A,B是六角形的兩個頂點(diǎn)，動點(diǎn)P在六角形上（內(nèi)部

以及邊界）.若方=xE+y而，則x+y的取值范圍是（）

A.[-3,3]8[-4,4]C.[-5,5]D.[-6,6]

圖②

【解析】如圖.設(shè)示=a.五=b.求/+》的最大值.只需考慮

圖中以（）為起點(diǎn),6個頂點(diǎn)分別為終點(diǎn)的向量即可.討論如下：

當(dāng)點(diǎn)尸在A處時,z=l.1y=0,故.r+y=l；

當(dāng)點(diǎn)P在B處時7=0,y=l.故I+y=l；

當(dāng)點(diǎn)/）在（'處時,次=示+充=a+26,故.r+y=3；

（第8題答圖）

當(dāng)點(diǎn)。在Q處時.而（JT+CDOC+BC=2（JC-OH2a+3b.

故7+_y=5；

當(dāng)點(diǎn)P在E處時.這=示+荏=a+6.故z+y=2；

當(dāng)點(diǎn)/'在F處時,辦戶=方才+彳7=a+3b.故,r+y=4.

于是.r+y的最大值為5.

根據(jù)其對稱性可知.r+y的最小值為-5.故”十》的取值范圍是I.-5.5].

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全

部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

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9.若（％+3）8=%+4。+1）+出（％+1）2+…+6（%+1）8/€火，則下列結(jié)論中正確的有（）

8

A.a0=2

B.%=8G力

C.q+a2+…+6=3*

D.（%+出+%+46+@）~_（。1+q+q+%1=38

【答案】AD

【解析】對于A.令.r=—1.則（—1+3）8=28=。0.正確.

對于B.（a'+3）8=[2+（x+l>]8=284-27CJ（x4-l）4-2,a（x+l）2+25q（x4-l）34—?

+（才+1”.于是“3=25（1=1792,而8（^=960.錯誤.

對于C,令7=0.則3"=?o+a1+。2+…+a?.于是“I+a2+…+an=3"—?o=3'k—28?

錯誤.

對于D.令1=-2,則1=a0—a?+aj—…+au.因?yàn)閍o+ai+az+…+“8=3?.所以

-

（a<）+“2+a$+?！?。8）2-（?1+。3+。5+。7）2=（。（）+。1+”?+…+"（1）（"0+

a2—…+。8）=38,正確.

10.已知點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-3,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,0）,直線/尸與8P相交于點(diǎn)P,且它們的斜率之積為

非零常數(shù)根，那么下列說法中正確的有（）

A.當(dāng)初<-1時，點(diǎn)P的軌跡加上力,8兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

B.當(dāng)，〃=-1時，點(diǎn)P的軌跡加上兒8兩點(diǎn)所形成的曲線是圓心在原點(diǎn)的圓

C.當(dāng)-1<0時，點(diǎn)P的軌跡加上A,8兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓

。當(dāng)機(jī)>0時，點(diǎn)P的軌跡加上A,B兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

【答案】BD

【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（彳，?），則，^,所以丁=布（12—9）.

vz-r2

當(dāng)m<—1時，y2—mxl=-9m,即------I-K=L表示焦點(diǎn)在3軸上的橢圓.故A

-9m9

錯誤.

當(dāng)M=—1時，=9,表示圓心在原點(diǎn)的圓.故B正確.

工2yZ

當(dāng)一IVmVO時,丁+土一=1,表示焦點(diǎn)在Z軸上的橢圓.故C錯誤.

9—9m

12y2

當(dāng)m>0時,K-A=1,表示焦點(diǎn)在1軸上的雙曲線.故D正確.

99m

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11.現(xiàn)有以下四個命題：①線性相關(guān)系數(shù)，?越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱，n

E(2X+3)=2E(X)+3,V(2X+3)=2V(X),口有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取2件，若X表

14

示取得次品的個數(shù)，則P(X<2)=石④以模型y=cek去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z=Iny,

將其變換后得到線性方程z=().3x+4,則c,左的值分別是和0.3.從這四個命題中任意選兩個，至少有

一個假命題的是()

A.①口8.①口C□④。.□④

【答案】ABC

r解析】線性相關(guān)系數(shù)r在一1到1之間,有正有負(fù).有正相關(guān)和負(fù)相關(guān).線性相關(guān)

系數(shù)廠的絕對值的大小越接近于1.兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之.線性相關(guān)性越弱.

故①錯誤.

由期望和方差的性質(zhì)可得E(2X+3)=2E(X)+3,V(2X+3)=4V(X),故②錯誤.

7714一

P(XV2)=P(X=0)+P(X=D=N+：i7=d.故③正確.

131010

在等式y(tǒng)=ce^兩邊取對數(shù)得Inj=Inc+?即n=+Inc=0.31+4,所以

k伏==0.34,解得伏=故0.3④g正琉

12.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，我們聽到的聲音是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)

/(x)=Asin@:(A>0,<y>0),音調(diào)、音色、音長、響度等都與正弦函數(shù)及其參數(shù)有關(guān).若一個復(fù)合音的數(shù)

學(xué)模型是函數(shù)/(x)=2sinx+sin2x,則下列結(jié)論中正確的有()

A./(x)是奇函數(shù)

B.7(x)最大值為孚

C./*)在［0,2m上有兩個零點(diǎn)

TT

D./(x)在［0,7］是增函數(shù)

【答案】ABD

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【解析】對于A?由題意知/(-x)=2sin(-x)+sin(-2?r)=-2sin工一

sin2i=所以/(/)為奇函數(shù)?故A正確.

2

對于B./(x)=2sinx+sin2x=2sinJC+2sinJ-COSxf=2cosx+2cosx一

ZsinZiuZMcodz+cosi—1),令/'(E)=0,解得cos?r=^■或cos工=—1?因此/(i)在

cos/€(—1，上單調(diào)遞增?在cosx￡,1)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)cos/=?時,

/Cr)取得最大值,則sinz=§.所以/Cr)a=2X§+2x￡x§=^，故B正確.

乙乙乙乙乙

對于C■當(dāng)/(z)=2sin>r+sin2/=0,/￡［(),2n］時.2sini+2sin工(:0$K=0,解得工=

?；騔=n或I=2K.所以/Cr)在［0,20上有3個零點(diǎn)，故C錯誤.

/o

對于D,當(dāng)時.K<COS=cosx是減函數(shù).由B知/(/)在cosJCE

bL

(y,1)上單調(diào)遞減,從而當(dāng)0<r4"1?時/Cr)是增函數(shù).故D正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知|Z|=1,向=2,7+1=(—2,g),則|2%一加=.

【答案】2

因?yàn)镼+b=(-2,點(diǎn))，所以(a+b)2=02+2a?b+b2=l+2a?b+4=

7,解得a?8=19從而|2。一6|2=4<12—441?6+。2=4—4+4=4.即12a一方|=2.

22

14.已知橢圓C:j+5=l(a>b>0),A,F分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，圓+9=/,過

ab~

左焦點(diǎn)尸作尸/Mx軸，交圓。于點(diǎn)P,直線AP恰好與圓O相切，則橢圓C的離心率為.

【答案】氏1

【解析】設(shè)橢圓C的焦距為2c.由題意知0P=6,OF=c,OA=a,AF=a~c,

PF_Lr軸，APJLPO,所以AP=/QV-OP2=r.從而PF2=OP2-OF2=APZ-

fc—1

AF?,即hz-c2=c2-（a-c/，整理得j+e-i=0,解得0==尸（負(fù)值舍去）.

15.若正三棱錐P-ABC的側(cè)棱與底面所成的角為60°,高為2百，則這個三棱錐外接球的表面積為

【答案】等

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【解析】設(shè)三枝推P-ABC的高為PH，其外接球的球心為O,則PH=26，

NPAH=60°,PO=AO,所以AH=2.在RtAAHO中，HO=PH-PO=2&-AO,

J/n

AO2=HO2+AH2.npAOZ=（26-AO）2+4.解得AO=*，從而三棱維P-ABC夕卜

J

接球的表面積為4nx停『=竽

16.我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽形容他創(chuàng)立的“割圓術(shù)'’說："割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可

割，則與圓周合體而無所失矣即用正〃邊形進(jìn)行內(nèi)外夾逼，可以求得圓周率乃的精確度較高的近似值，借

用這和，以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線，再進(jìn)

InY

行相關(guān)計(jì)算.若函數(shù)/（%）=——，則曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,0）處的切線方程為（2分）；用

x

此結(jié)論計(jì)算：In2021-In2020?.（3分）

2021

【答案】x-y-1=0,

20202

【解析】由題意知/Cr）的定義域?yàn)椋?,+8）,/'Gr）=I""1"，故曲線/=/Gr）

X

在點(diǎn)（1,0）處的切線的斜率為&=1,所以切線的方程為x-y-1=Q.

ln/2021\

因e為.>220201非“常**接近y,1，所以》有一2'202012—0/=,,/（20210\卜202210i,1=20120'則nI,n2?021~

2020

2021

足202但陪.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為“，6,c,且。？-?——bcsinA+c2=a2

3

（1）求角4；

（2）若a=2g,」-=」一+」一,求△ABC的面積.

tanAtanBtanC

第7頁共17頁

【解析】(1)由題意及余弦定理得〃?+/—M=2儀?cosAu一丁〃csinA,

所以cosA=w§inA?從而tanA=g\.......................................2分

0

因?yàn)锳￡(0,3所以4=告.................................................4分

o

.2a_h.c?2acosA_6cosB.ccosC

U)由高苣=嬴豆十嬴)sinA=高萬十飛記'

所以由正弦定理得cos8+cosC=2cosA=L................................6分

又因?yàn)?+。=孕，所以3=C=S

從而△ABC是等邊三角形.

因?yàn)閍=26，所以SAABcHgHsinCMSyi................................10分

乙

18.(本小題滿分12分)

在①4=1，4，。3嗎成等比數(shù)列，②a,+包=1?4q=9,；③4=3,」-----=-------(n>2),這

a“3n(n-l)

三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.

問題：已知數(shù)列｛4｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，,數(shù)列｛墨｝的前n項(xiàng)和為

S,,,是否存在m使m-3<Stl<m(nGN*)

恒成立？若存在，求出所有的正整數(shù)〃7；若不存在，請說明理由.

注：在第(1)問中，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

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【解析】選擇條件①：由5=1,即，/，明成等比數(shù)列得?！?〃,于是崇=2

乙乙

.........................................................................................................................2分

所以S.==+,"1----1■搟，

兩邊同乘以'■得----1■鼎，

上述兩式相減得當(dāng)----1■＞鼎=L=

所以S.=2—耍.........................................................9分

乙

因?yàn)槟洌?,所以S”單調(diào)遞增.于是當(dāng)?=1時,S”取得最小值"

因?yàn)?＞0,所以S“V2.

因此，當(dāng)m=2或〃i=3時，m-3Vs.Ot恒成立............................12分

選擇條件②：由az+a4=10,?。5=9得a.=2〃-1,于是祟=與"，........2分

乙La

dG1.3..2/1—1

所以----1王一，

兩邊同乘以義得恭”=卷+卷+…+自―，

一》"a—azS”_1,2,?22n—1_1,/,1\2n—1_31

上述兩式相或得2=2+^-----^7一下丁=_彳+o2（1一聲）一~聲丁=1■一行

2n—I

--^-，

所以S.=3-22r一_...................................................9分

因?yàn)楹冢?,所以S”單調(diào)遞增，于是當(dāng)?=1時,S"取得最小值

匕乙

2〃-1

因?yàn)?2）＞0,"—＞0,所以S＜3.

Z"w

因此.當(dāng)m=3時9m—3Vs.Vm恒成立.......................................12分

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1

選擇條件③:由ai=3,-------=7r~~內(nèi)(〃>2)得a“=3”，于是金=招，....2分

aK-ia?3?(n-i)22

所以S.='+卷T----伴,

兩邊同耒以土"得:5”=,+/+…+券7，

上述兩式相成得:=券+微■!---H怖一怖魯=3(1—微卜爵=3_怖一爵，

因?yàn)槌?gt;0,所以S“單調(diào)遞增.于是當(dāng)〃=1時.S"取得最小值？.

因?yàn)殡pF>0,所以S.V6.

乙

因此，不存在m,使機(jī)一3VS1toM恒成立....................12分

19.(本小題滿分12分)

《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)著作，是“算經(jīng)十書”中最重要的一部，它對幾何學(xué)的研究比西方要早1000

多年在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，如圖，在塹堵

ABC—4瓦C中ABLAC,AA=AB=AC=1,M,N分別是CG，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A4上.

(1)若尸為A4的中點(diǎn)，求證：PM/平面AAG。.

(2)是否存在點(diǎn)P,使得平面尸MN與平面48c所成的二面角為45。？若存在，試確定點(diǎn)尸的位置；若不

存在，請說明理由.

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【解析】(1)證明：取AiG的中點(diǎn)H.連接PH,HC.

在壁堵ABC-AIiG中，四邊形BCGBi為平行四邊形，

所以BIG〃BC且BiG=BC.

在△AIiG中.P，H分別為AI】，AC的中點(diǎn)，

所以PH〃BiCi且PH=￡BiG.............................................................................3分

因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以NC=4BC?

從而NC=PH且NC〃PH,

所以四邊形PHCN為平行四邊形，于是PN//CH.

因?yàn)镃HU平面ACCA,PNU平面ACiCA,所以PN〃平面AACiC............5分

(2)以A為原點(diǎn)，AB,AC,AAi所在直線分別為工軸、y軸、z軸.建立空間直角坐標(biāo)

系，則ANO,0,1),B,(l,0,1),N(J,0)，M(0,1,4).

易知平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1).

假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在,令瓦節(jié)=久A|B；=Q.0,0),

則7^=(-J,J,J),■—入，｝,-1,)..............................................8分

設(shè)平面PMN的一個法向量是〃=(i,2),

_1^1,1八

m.NM=0,一丁+0+『°，

則，—?即《,

n?PN=0,/1.\?1

|(y-A)x+y^-^=0A.

令彳=3,得_y=l+2A,z=2—2A?

所以”=(3,1+2A,2-2A)....................................................................................10分

_______12~2A|J2I

由題意得|cos<m,n)|一■，解得a=一行，故點(diǎn)P不在線

/9+(l+2A)2+(2-2A)2乙乙

段AiBi上.12分

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20.(本小題滿分12分)

2020年受疫情影響，我國企業(yè)曾一度停工停產(chǎn)，中央和地方政府紛紛出臺各項(xiàng)政策支持企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn),

以減輕企業(yè)負(fù)擔(dān)，為了深入研究疫情對我國企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營的影響，幫扶困難職工，在甲、乙兩行業(yè)里隨機(jī)

抽取了200名工人進(jìn)行月薪情況的問卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的月薪在2000元到8000元之間，具體統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)見下表

月薪阮[20003000)[3000,4000)[40005000)[5000,6000)[6000,7000)[7000,8000)

人數(shù)203644504010

將月薪不低于6000元的工人視為“I類收入群體”，低于6000元的工人視為“II類收入群體”，并將頻率視為

概率.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的2X2列聯(lián)表：

I類收入群體II類收入群體總計(jì)

甲行業(yè)60

乙行業(yè)20

總計(jì)

根據(jù)上述列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“H類收入群體”與行業(yè)有關(guān).

n(ad-bc)2廿》,,

附：力-2=-------------------------，其中〃=a+〃+c+d.

z(?+b)(c+d)(a+c)(b+d)

k3.8416.63510.828

0.050.0100.001

(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)該地區(qū)工人的月薪X(單位：元)近似地服從正態(tài)分布N(4,140。),其中//

近似為樣本的平均數(shù)x(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值)，若X落在區(qū)間(〃一2b,〃+2b)

外的左側(cè)，則可認(rèn)為該工人“生活困難”，政府將聯(lián)系本人，咨詢月薪過低的原因，并提供幫助.

①已知工人王強(qiáng)參與了本次調(diào)查，其月薪為2500元，試判斷王強(qiáng)是否屬于“生活困難”的工人；

②某超市對調(diào)查的工人舉行了購物券贈送活動，贈送方式為：月薪低于〃的獲得兩次贈送，月薪不低于〃

的獲得一次贈送，每次贈送金額及對應(yīng)的概率如下：

贈送金額/元100200300

￡]_

概率

236

求王強(qiáng)獲得的贈送總金額的數(shù)學(xué)期望.

第12頁共17頁

[W](1)2X2列聯(lián)表如下:

I類收入群體U臭收入群體總計(jì)

甲行業(yè)306090

乙行業(yè)2090110

總計(jì)50150200

工一(30X90—20X60)2X200200匹……

于是“50X150X90X11033?6@1V6.635,

從而沒有99%的把握認(rèn)為“n類收入群體”與行業(yè)有關(guān)..........................3分

(2)①所調(diào)查的200名工人的月薪頻率分布表如下：

月薪/元[2000.3000)[3000,4000)[4000,5000)[5000,6000)[6000,7000)[7000,8000)

人數(shù)203644504010

頻率ai0.180.22a250.20.05

所以〃=2500X0.1+3500X0.18+45OOXO.22+5500X0.25+6500X0.2+7500X

0.05=4920..........................................................................................................................5分

因?yàn)檫@200名工人的月薪X服從正態(tài)分布N(〃，14002),

所以”=1400,

從而〃-2。=4920-2800=2120.

因?yàn)橥鯊?qiáng)的月薪為2500元,〃一%=2120,所以王強(qiáng)不屬于“生活困難”的工人.…7分

第13頁共17頁

②由①知“=4920,王強(qiáng)的月薪為2500元，低于4920元,所以王強(qiáng)可獲贈兩次購物券，

從而他獲得的贈送總金額丫的可能取值為200.300,400,500,600,則

p（y=2oo）=-1-Xy=^,

P（Y=300）=CxJW，

CJ

P（Y=4OO）=；X：+C1X-yX-^-=^,

o□ZOlo

p（y=5oo）=ex，）=l，

ooy

P（y=6OO）=4xT=^?...........................................................................................1°分

0000

故丫的分布列如下：

Y200300400500600

11511

P

T18V36

所以王強(qiáng)獲得的贈送總金額的數(shù)學(xué)期望E（y）=2oox4+300x4+400X^+500X-J-

43lo9

+6004=華..........................................................12分

ot）6

第14頁共17頁

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=aer-4,g(x)=lnx-x-l,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a&R.

(1)若對任意的々w(O,l]，總存在玉e(O,l],使得/(xjNg(X2)，求。的取值范圍;

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖像始終在函數(shù)曠=幽-2的圖像上方，求。的取值范圍

X

第15頁共17頁

【傾】⑴因?yàn)椋珿r）=；l=F，

所以當(dāng)OVrVl時,g'Gr）>0,從而gGr）在（0,1J上單調(diào)遞增，

所以g（x）<g（l）=ln1-1-1=-2,

由于對任意的心€（0,1］,總存在工16（0,1］,使得gCrz）&/（/），則需，（工）12

g（H）01ra........................................................................................................................2分

因?yàn)閒（x'）=aer

所以當(dāng)。=0時，八］）=一4,不滿足/Cr）E2gGr）1no，故”#0.

當(dāng)a>0時，f（.x）=ae-4在（0.1］上單調(diào)遞增.

2

所以/（x）^/（l）=ae—4.即一2&ae-4,解得a）—...............................................4分

e

當(dāng)°<0時,—4在（（）?1］上單調(diào)遞減，

所以/（1）=0^一4在（0,1］上沒有最大值?不滿足題意.

練上.a的取值范圍為［卷，+8）............................................6分

i￡（r）

（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=/Cr）的圖象始終在函數(shù)》="手一2的困泉上方.

所以