小學六年級奧數(shù)-第十八章-圓的周長和面積

第十八章圓的周長和面積知識要點如右圖所示，當一條線段OA繞著固定端點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，它的另一端點A在平面內(nèi)畫出了一條封閉的曲線，這條封閉的曲線叫做圓。圍成圓的曲線叫做圓周，線段OA叫做圓的半徑，通常用r或R表示。O點是這個圓的圓心。在同一個圓中，所有的半徑都相等。通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個圓內(nèi)，所有直徑都相等，且等于半徑的2倍。圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。無論什么圓，它的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù)，這個數(shù)叫圓周率，用表示。如果用C表示圓周的長度，d表示這個圓的直徑，那么，＝。是一個無限不循環(huán)小數(shù)：圓的周長：C＝2r或C＝d圓的面積：S＝r2＝()2＝()2＝扇形是由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形。如果扇形的圓心角是n，那么當圓周長C＝2r時，扇形的弧長計算方法：L＝×2r＝×r例1(第五屆“希望杯〞邀請賽試題)如圖，ABCD是邊長為10厘米的正方形，且AB是半圓的直徑，那么陰影局部的面積是平方厘米。(取3.14)點撥過E點作AB的垂線，垂足為O，因為∠CAB＝45°，所以點O是半圓的圓心，那么陰影局部的面積等于梯形OECB的面積，減去圓O面積的。解過E點作AB的垂線，垂足為0?！摺螩AB＝45°，∴點0是半圓的圓心。那么S陰影＝S梯形OECB－S⊙O＝(5＋10)×5÷2－×52＝17.875(平方厘米)例2將半徑分別是4厘米和3厘米的兩個半圓，如圖放置。求陰影局部的周長。點撥陰影局部的周長為小半圓的弧長加上大半圓的弧長，再加兩條線段的長。兩個半圓的半徑分別為4厘米和3厘米；兩條線段分別是4厘米和3×2－4＝2(厘米)。解(1)兩個半圓的弧長是：2×3.14×4÷2＋2×3.14×3÷2＝21.98(厘米)(2)兩條線段的長：4＋(3×2－4)＝6(厘米)(3)陰影局部的周長為：21.98＋6＝27.98(厘米)答：陰影局部的周長是29.98厘米。例3直徑均為1分米的四根管子被一根金屬帶緊緊地捆在一起，如以下圖。試求金屬帶的長度和陰影局部的面積。點撥要想求金屬帶的長度，我們必須把它分成8個局部來觀察，金屬帶的長度正好是管子直徑的4倍和一根管子圓周長度的總和。中心陰影局部的面積等于中間正方形的面積減去一個圓的面積，其中正方形的邊長等于直徑。解金屬帶的長度：1×4＋3.14×1＝7.14(分米)陰影面積：1×1－3.14×()2＝＝0.215(平方分米)答：金屬帶的長度為7.14分米，陰影局部的面積為0.215平方分米。說明我們在計算比擬復雜的周長和面積時，要善于把這個圓形分解再重新組合，這樣才會看得清楚明白。例4如圖，圓的周長是12.56厘米，圓的面積是長方形面積的，求陰影局部的周長。點撥陰影局部的周長是半圓的弧長，加上兩條長方形的長和一條寬。圓的周長，容易求出半徑，再求出圓的面積。求出圓的面積，就可以求出長方形的面積，長方形的寬就是圓的直徑，從而可以求出長方形的長，這樣就可以求出陰影局部的周長了。解半圓的弧長：12.56÷2＝6.28(厘米)長方形的面積：3.14×(12.56÷3.14÷2)2÷＝3.14×4÷＝31.4(平方厘米)長方形的長：31.4÷(12.56÷3.14)＝7.85(厘米)陰影局部的周長：＝6.28＋15.7＋4＝25.98(厘米)答：陰影局部的周長為25.96厘米。例5如右圖，半圓的半徑為15厘米，∠AOB＝90°，∠COD＝120°，CD＝26厘米，半圓中陰影局部的面積是多少平方厘米？點撥此題是一道比擬復雜的問題，需要引輔助線和求扇形面積等方面的知識。解三角形COD的面積：過點O作CD的垂線交互于F，交CD于E，連接DF，因為∠FOD＝60°，那么△DFO是正三角形。DE為△DFO的對稱軸，所以FE＝EO＝7.5(厘米)。那么三角形COD的面積為：26×7.5×＝97.5(平方厘米)圓心角為120°的扇形的面積：×120＝＝235.5(平方厘米)由弦CD和弧圍成的弓形面積：235.5－97.5＝138(平方厘米)圓心角為90°的扇形面積：×90＝176.625(平方厘米)三角形AOB的面積：15×15×＝112.5(平方厘米)由弦AB和弧圍成的弓形的面積：＝64.125(平方厘米)陰影局部的面積：138－64.125＝73.875(平方厘米)答：陰影局部的面積是73.875平方厘米。例6如圖，在半徑AB為20厘米，圓心角為45°的扇形中，以半徑AB的中點O為圓心，以O(shè)A為半徑畫一個半圓，交BC于D。求陰影局部的面積。點撥圖中陰影局部看似兩個毫不相干的圖形，但如果我們連接AD就會發(fā)現(xiàn)：弓形BD和弓形AD的面積相等，如果用圓心角45°的扇形面積減去中間等腰直角三角形的面積，就可以求出兩個陰影局部的面積的和。解圓心角45°的扇形的面積：×45＝157(平方厘米)等腰直角三角形ADB的面積：20×(20÷2)÷2＝100(平方厘米)陰影局部的面積：157－100＝57(平方厘米)答：陰影局部的面積是57平方厘米。說明在求兩塊或兩塊以上陰影局部的面積時，有時也把這幾塊合在一起求。例7如右圖所示，大圓的直徑是4厘米，黑色面積大還是陰影面積大？是黑色局部周長大，還是陰影局部的周長大？并求出各自的面積。點撥大圓面積＝×()2＝4(平方厘米)，4個小圓面積＝×()2×4＝4(平方厘米)，由此我們可以看出，黑色局部面積之和正好等于四個小圓互相重疊的局部面積之和，所以這兩局部的面積應相等。黑色局部的周長應該等于大圓周長再加上8個的小圓周長，而陰影局部的周長恰好等于8個小圓的周長，所以黑色局部的周長大于陰影局部的周長。解S大圓＝×()2＝4(平方厘米)S小圓＝×()2＝(平方厘米)S陰＝8×(－1×1÷2)＝2－4(平方厘米)＝2.28(平方厘米)S黑＝S大圓－(4S小圓－S陰)＝4－(4－2.28)＝2.28(平方厘米)S陰＝S黑C大圓＝×4＝4C小圓＝×2＝2C黑＝4＋8××2＝8C陰＝8××2C黑＞C陰解題技巧計算周長時，首先要分清圍成這一圖形的邊有哪些，再正確計算。計算組合圖形的面積，有很多圖形都是不規(guī)那么的，很難直接用公式計算出它們的面積，必須將組合圖形進行分解，看清組合圖形是由哪幾個根本圖形合并起來的，或是從哪一個根本圖形里去掉哪一個或幾個根本圖形得到的。有時需要把其中的局部圖形進行平移、翻轉(zhuǎn)、添加輔助線、割補、等積變形等方法，化難為易，這需要精巧的構(gòu)思和恰當?shù)慕忸}策略，從而提高自己的形象思維和抽象思維能力。競賽能級訓練A級1.(第十一屆“華羅庚金杯〞邀請賽試題)如下左圖，圓O中直徑AB與CD互相垂直，AB＝10厘米，CA＝50厘米。以C為圓心，CA為半徑畫弧。求月牙ADBEA(陰影局部)的面積。2.(第五屆“希望杯〞邀請賽試題)如上右圖，大圓直徑上的黑點是五等分點，那么A、B、C三局部的面積比為。3.如下左圖所示，正方形的邊長為10厘米，在正方形中畫了兩個四分之一圓，試求圖中陰影面積。4.如上右圖，三角形ABC是直角三角形，陰影工的面積比陰影Ⅱ的面積小23平方厘米。問BC的長度是多少厘米？(取3)5.如下左圖，直徑AB為3厘米的半圓，繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使AB到達AC位置。求圖中陰影局部的周長。1厘米，陰影局部的周長是多少厘米？7.如下左圖所示，正方形的邊長是6厘米，求圖中陰影局部的面積。8.如上右圖所示，小明從家到學校有三條由半圓弧組成的路可以走，怎么走近？為什么？9.有一個長方形如下左圖所示位置，在桌子上不滑動地每秒鐘轉(zhuǎn)動90°。試答復以下問題：(1)如果長方形AB＝3厘米，AD＝4厘米，AC＝BD＝5厘米。把長方形轉(zhuǎn)動一周后，頂點A所經(jīng)過的痕跡的長是多少厘米？(2)13秒以后，長方形B點離A點開始位置的水平距離是多少厘米？10.如上右圖所示，扇形的弧長為12.56厘米。求陰影局部的面積。11.右圖是400米跑道的示意圖，兩頭是兩個半圓，每一個半圓的弧長是100米；中間是直線，長為100米。求兩個半圓的面積之和與跑道所圍成的面積之比。12.求以下圖中陰影局部的面積。(單位：厘米)B級1.將邊長為1的正三角形放在一條直線上(如下左圖)，讓三角形繞頂點C順時針轉(zhuǎn)動到位置2，再繼續(xù)這樣轉(zhuǎn)到3的位置。求A點走過的痕跡的長度。2.上右圖中的三角板(等腰直角)、正方形紙板、圓形紙板的面積都是40cm2，陰影局部的面積總和是30cm2，三張紙板蓋住的面積總和是70cm2。求三張紙板重疊局部A的面積。3.下左圖是＝座古鐘的示意圖，有白、黃、藍三局部。試問白色局部的面積與藍色扇形的面積誰更大一些？為什么？3倍。當圓環(huán)形繞正方形無滑動地滾動一周又回到原來位置時，這個圓環(huán)轉(zhuǎn)了幾圈？5.在右圖中，直角三角形ABC的斜邊AC長20厘米，∠A＝30°，以C點為固定點將直角三角形順時針旋轉(zhuǎn)使斜邊AC與短邊BC成一直線。求圖中陰影局部的面積。10厘米，求圖中陰影局部的面積。7.在上右圖中，AB長8cm，OB長5cm，求陰影局部的面積。8.求下左圖中陰影局部的面積。(圓的半徑r＝4厘米)9.如上右圖，在每邊長為10厘米的正方形ABCD中，有以BC邊為半徑的圓和以CD為直徑的半圓。求陰影局部的面積。10.如下左圖，三角形ABC是邊長為24厘米的正三角形，陰影局部是以每邊長為直徑畫半圓時出現(xiàn)的如下圖的幾何圖形。求陰影局部的面積。11.求上右圖中陰影局部的面積。(單位：厘米)12.求下左圖中陰影局部的面積。(單位：厘米)13.求上右圖中陰影局部的周長。(單位：厘米)能力測試一、填空題(每題6分，共30分)1.半圓的周長是5.14厘米(取3.14)，它的半徑是()。2.長方形、正方形、圓形的周長相等，請按照面積的大小排序。()＞()＞()。3.奧運會中我們經(jīng)?？梢钥吹轿瀛h(huán)旗，五環(huán)圖的每個環(huán)形的內(nèi)半徑都是4厘米，外半徑為5厘米，其中陰影面積都相等。五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5平方厘米，那么每個陰影局部的面積是()平方厘米。()平方厘米。5.上右圖中三個等圓的半徑為5cm，三個圓兩兩交于圓心。那么陰影局部的面積為()。二、選擇題(每題5分，共10分)1.一個圓形的周長擴大8倍，面積擴大()倍。A.16