19-20版2.2.1平面向量基本定理

19-20版2.2.1平面向量基本定理匯報人：AA2024-01-14CATALOGUE目錄平面向量基本定理概述平面向量的線性運算平面向量的坐標(biāo)表示平面向量基本定理的應(yīng)用典型例題解析01平面向量基本定理概述在平面內(nèi)既有大小又有方向的量稱為平面向量。定義與性質(zhì)平面向量長度為0的向量稱為零向量，記作0。零向量長度為1的向量稱為單位向量。單位向量方向相同或相反的非零向量稱為平行向量，也稱為共線向量。平行向量（共線向量）長度相等且方向相同的向量稱為相等向量。相等向量長度相等但方向相反的向量稱為相反向量。相反向量向量的叉乘（外積）兩向量的叉乘結(jié)果是一個向量，垂直于原兩向量所在的平面。向量的點乘（內(nèi)積）兩向量的點乘結(jié)果是一個實數(shù)，表示兩向量的相似程度。向量的數(shù)乘實數(shù)與向量的乘積，滿足數(shù)乘的運算律。向量的加法滿足平行四邊形法則或三角形法則。向量的減法與加法相對應(yīng)，結(jié)果指向被減數(shù)。幾何意義在平面直角坐標(biāo)系中，可以用一對實數(shù)來表示一個平面向量，這對實數(shù)稱為該向量的坐標(biāo)。向量的坐標(biāo)表示兩非零向量之間的夾角θ滿足0≤θ≤π，當(dāng)θ=0時，兩向量同向；當(dāng)θ=π時，兩向量反向；當(dāng)0<θ<π時，兩向量不共線。向量的夾角向量的長度稱為向量的模，記作|a|。向量的模滿足交換律、結(jié)合律、分配律等基本的運算規(guī)律。向量的運算律01030204代數(shù)表示02平面向量的線性運算向量加法定義向量加法性質(zhì)向量減法定義向量減法性質(zhì)向量的加法與減法01020304兩個向量相加，即將它們的對應(yīng)分量相加，結(jié)果仍是一個向量。滿足交換律和結(jié)合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。向量a減去向量b，等于向量a加上向量b的反向量，即a-b=a+(-b)。滿足反身性，即a-a=0；不滿足交換律和結(jié)合律。一個數(shù)與一個向量的乘積，是將向量的每個分量都乘以這個數(shù)，結(jié)果仍是一個向量。向量數(shù)乘定義向量數(shù)乘性質(zhì)單位向量與零向量滿足結(jié)合律和分配律，即(λμ)a=λ(μa)，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb。模長為1的向量稱為單位向量；模長為0的向量稱為零向量，零向量與任何向量的數(shù)乘結(jié)果都是零向量。030201向量的數(shù)乘123若干個向量與一個數(shù)的乘積之和稱為這些向量的線性組合。向量線性組合定義如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0，則稱向量組a1,a2,…,an線性相關(guān)；否則稱向量組線性無關(guān)。線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩。極大線性無關(guān)組與向量組的秩向量的線性組合03平面向量的坐標(biāo)表示定義在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a=xi+yj。因此，把實數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y)。性質(zhì)向量的坐標(biāo)表示具有唯一性。向量的坐標(biāo)

向量的模與方向角向量的模向量a的大小，也就是向量a的長度（或稱模），記作|a|。方向角非零向量a與x軸正方向的夾角叫做向量a的方向角。性質(zhì)向量的模是一個非負實數(shù)，方向角是一個[0,π]內(nèi)的角。已知向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a+向量b=(x1+x2,y1+y2)。加法運算已知向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a-向量b=(x1-x2,y1-y2)。減法運算實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，且|λa|=|λ|*|a|。當(dāng)λ>0時，λa與a同方向；當(dāng)λ<0時，λa與a反方向；當(dāng)λ=0時，λa是零向量。數(shù)乘運算向量的坐標(biāo)運算04平面向量基本定理的應(yīng)用共線向量定理內(nèi)容向量a與向量b共線的充要條件是存在唯一實數(shù)λ，使得a=λb。共線向量定理的應(yīng)用用于證明向量共線、求解向量方程等。共線向量定義方向相同或相反的非零向量稱為共線向量。共線向量定理共面向量定義平行于同一平面的兩個或多個向量稱為共面向量。共面向量定理內(nèi)容如果兩個向量a和b不共線，那么向量c與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的一對實數(shù)x和y，使得c=xa+yb。共面向量定理的應(yīng)用用于證明向量共面、求解向量方程等。共面向量定理平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)x和y，使得a=xe1+ye2。平面向量基本定理在幾何中的應(yīng)用用于證明幾何定理，如平行四邊形的性質(zhì)、三角形的重心性質(zhì)等。用于解決幾何問題，如求解三角形的面積、判斷點是否在多邊形內(nèi)等。用于建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行處理。平面向量基本定理在幾何中的應(yīng)用05典型例題解析已知向量$vec{a}=(1,2)$，$vec=(2,1)$，求$vec{a}+vec$和$2vec{a}-vec$。根據(jù)向量的線性運算規(guī)則，$vec{a}+vec=(1+2,2+1)=(3,3)$，$2vec{a}-vec=2(1,2)-(2,1)=(0,3)$。例題一：向量的線性運算解析題目描述已知點$A(1,2)$和點$B(3,4)$，求向量$vec{AB}$的坐標(biāo)表示。題目描述根據(jù)向量的坐標(biāo)表示方法，$vec{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)=(3-1,4-2)=(2,2)$。解析例題二：向量的坐標(biāo)表示VS已知向量$vec{a}$和$vec$不共線，且$|vec{a}|=3$，$|vec|=4$，$vec{a}$與$vec$的夾角為$60^circ$，求$|vec{a}+vec|$和$|vec{a}-vec|$。解析根據(jù)平面向量基本定理，$|vec{a}+vec|^2=|vec{a}|^2+|vec|^2+2|vec{a}||vec|cos60^circ=9+16+2times3times4timesfrac{1}{2}=37$，所以$|vec{a}+vec|=sqrt{37}$；同理，$|vec{a}-vec|^2=|vec{a}|^2+|vec|^2-2|