第十章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第2節(jié) 排列與組合

第2節(jié)排列與組合考試要求1.理解排列、組合的概念；2.能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；3.能解決簡單的實際問題.1.排列與組合的概念知

識

梳

理名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同元素按照_____________排成一列組合合成一組一定的順序2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有___________的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù).(2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有___________的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).不同排列不同組合3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！[常用結(jié)論與微點提醒]1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.2.對于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.診

斷

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√2.(老教材選修2－3P18例3改編)從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是(

) A.12 B.24 C.64 D.81答案B答案2104.(2020·泰安一中月考)某班星期一上午安排5節(jié)課，若數(shù)學(xué)2節(jié)，語文、物理、化學(xué)各1節(jié)，且物理、化學(xué)不相鄰，2節(jié)數(shù)學(xué)相鄰，則星期一上午不同課程安排種數(shù)為(

) A.6 B.12 C.24 D.48答案B5.(2020·東北三省四校模擬)安排5名學(xué)生去3個社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，且每人只去一個社區(qū)，要求每個社區(qū)至少有一名學(xué)生進(jìn)行志愿服務(wù)，則不同的安排方式共有(

) A.360種 B.300種

C.150種

D.125種答案C6.(2018·浙江卷)從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答).答案1260考點一排列問題【例1】

有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù). (1)選5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體排成一排，女生必須站在一起； (4)全體排成一排，男生互不相鄰； (5)(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊； (6)(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.規(guī)律方法排列應(yīng)用問題的分類與解法(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進(jìn)行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.【訓(xùn)練1】

(2019·青島二模)某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B，任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有(

) A.36種

B.44種

C.48種

D.54種答案B考點二組合問題【例2】

某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種. (1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種.∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.規(guī)律方法組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.【訓(xùn)練2】

(一題多解)(2018·全國Ⅰ卷)從2位女生、4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答).答案16考點三分組、分配問題【例3】(1)國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法. (2)(2020·荊門調(diào)研)學(xué)校在高一年級開設(shè)選修課程，其中歷史開設(shè)了三個不同的班，選課結(jié)束后，有5名同學(xué)要求改修歷史，但歷史選修每班至多可接收2名同學(xué)，那么安排好這5名同學(xué)的方案有________種(用數(shù)字作答).答案(1)90

(2)90

(3)BC【訓(xùn)練3】(1)(2020·濟(jì)南一中月考)在高三下學(xué)期初，某校開展教師對學(xué)生的家庭學(xué)習(xí)問卷調(diào)查活動，已知現(xiàn)有3名教師對4名學(xué)生進(jìn)行家庭問卷調(diào)查，若這3名教師每名至少到一名學(xué)生家中進(jìn)行問卷調(diào)查，這4名學(xué)生的家庭都能且只能得到一名教師的問卷調(diào)查，那么不同的問卷調(diào)查方案的種數(shù)為(