滬科版七年級數學上冊專題特訓 專題1.8 數軸貫穿有理數的經典考法【九大題型】（原卷版+解析版+解析版）

專題1.8數軸貫穿有理數的經典考法【九大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數軸上點的平移】 1【題型2數軸上點表示的數】 3【題型3判斷數軸上點的符號或原點位置】 4【題型4數軸上兩點距離的和差倍分問題】 5【題型6數軸與方程思想的運算】 12【題型7數軸上的動點定值問題】 13【題型8數軸上的折疊問題】 17【題型9數軸上點的規(guī)律問題】 20【題型1數軸上點的平移】【例1】（2022?惠安縣校級月考）在數軸上有三個點A、B、C，如圖所示．（1）將點B向左平移4個單位，此時該點表示的數是；（2）將點C向左平移3個單位得到數m，再向右平移2個單位得到數n，則m，n分別是多少？（3）怎樣移動A、B、C中的兩點，使三個點表示的數相同？你有幾種方法？【變式1-1】（2022?沂水縣一模）在數軸上，點A，B在原點O的兩側，分別表示數a，1，將點A向右平移2個單位長度，得到點C（點C不與點B重合），若CO＝BO，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【變式1-2】（2022?乳山市期中）已知點A，B在數軸上表示的數分別是﹣2，3，解決下列問題：（1）將點A在數軸上向左平移13個單位長度后記為A1，A1表示的數是，將點B在數軸上向右平移1個單位長度后記為B1，B1表示的數是（2）在（1）的條件下，將點B1向移動個單位長度后記為B2，則B2表示的數與A1表示的數互為相反數；（3）在（2）的條件下，將原點在數軸上移動5個單位長度，則點B2表示的數是多少？【變式1-3】（2022?工業(yè)園區(qū)期末）【理解概念】對數軸上的點P按照如下方式進行操作：先把點P表示的數乘以2，再把表示得到的這個數的點沿數軸向右平移3個單位長度，得到點P′．這樣的操作稱為點P的“倍移”，數軸上的點A、B、C、D、E、F經過“倍移”后，得到的點分別為A′、B′、C′、D′、E′、F′．【鞏固新知】（1）若點A表示的數為﹣1，則點A′表示的數為．（2）若點B′表示的數為9，則點B表示的數為．【應用拓展】（3）若點C表示的數為5，且CD′＝3CD，求點D表示的數；（4）已知點E在點F的左側，將點E′、F′再次進行“倍移”后，得到的點分別為E″、F″，若E″F″＝2020，求EF的長．【題型2數軸上點表示的數】【例2】（2022秋?三元區(qū)期中）如圖，半徑為1個單位的圓片上有一點Q與數軸上的原點重合（提示：圓的周長C＝2πr，本題中π的取值為3.14）（1）把圓片沿數軸向右滾動1周，點Q到達數軸上點A的位置，點A表示的數是；（2）圓片在數軸上向右滾動的周數記為正數，圓片在數軸上向左滾動的周數記為負數，依次運動情況記錄如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2①第幾次滾動后，Q點距離原點最近？第幾次滾動后，Q點距離原點最遠？②當圓片結束運動時，Q點運動的路程共有多少？此時點Q所表示的數是多少？【變式2-1】（2022秋?德惠市校級月考）東方紅中學位于東西方向的一條路上，一天我們學校的李老師出校門去家訪，他先向西走100米到聰聰家，再向東走150米到青青家，再向西走200米到剛剛家，請問：（1）如果把這條路看作一條數軸，以向東為正方向，以校門口為原點，請你在這條數軸上標出聰聰家與青青家的大概位置（數軸上一格表示50米）．（2）聰聰家與剛剛家相距多遠？（3）聰聰家向西20米所表示的數是多少？（4）你認為可用什么辦法求數軸上兩點之間的距離？【變式2-2】（2022春?海淀區(qū)校級月考）直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達O'點，點O'對應的數是（）A．3 B．3.1 C．π D．3.2【變式2-3】（2022?南安市模擬）如圖，數軸上點D對應的數為d，則數軸上與數﹣3d對應的點可能是（）A．點A B．點B C．點D D．點E【題型3判斷數軸上點的符號或原點位置】【例3】（2022秋?岳池縣期中）有理數a、b、c在數軸上所對應的點的位置如圖所示，有下列四個結論：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2＜1b；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝A．4 B．3 C．2 D．1【變式3-1】（2022秋?新鄭市期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直線上，如果把直線看作數軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述錯誤的是（）A．數軸是以小明所在的位置為原點 B．數軸采用向北為正方向 C．小剛所在的位置對應的數有可能是?5D．小剛在小穎的南邊【變式3-2】（2022秋?海淀區(qū)校級期末）如圖，數軸上點A，M，B分別表示數a，a+b，b，那么原點的位置可能是（）A．線段AM上，且靠近點A B．線段AB上，且靠近點B C．線段BM上，且靠近點B D．線段BM上，且靠近點M【變式3-3】（2022秋?海陵區(qū)校級期中）如圖，數軸上的點M，N表示的數分別是m，n，點M在表示0，1的兩點（不包括這兩點）之間移動，點N在表示﹣1，﹣2的兩點（不包括這兩點）之間移動，則下列判斷正確的是（）A．m2﹣2n的值一定小于0 B．|3m+n|的值一定小于2 C．1m?n的值可能比2000大D．1m【題型4數軸上兩點距離的和差倍分問題】【例4】（2022秋?盱眙縣期中）已知數軸上兩點A、B，其中A表示的數為﹣2，B表示的數為2，若在數軸上存在一點C，使得AC+BC＝n，則稱點C叫做點A、B的“n節(jié)點”，例如圖1所示，若點C表示的數為0，有AC+BC＝2+2＝4，則稱點C為點A、B的“4節(jié)點”．請根據上述規(guī)定回答下列問題：（1）若點C為點A、B的“n節(jié)點”，且點C在數軸上表示的數為﹣3，則n＝．（2）若點D是數軸上點A、B的“5節(jié)點”，請你直接寫出點D表示的數為；（3）若點E在數軸上（不與A、B重合），滿足B、E之間的距離是A、E之間距離的一半，且此時點E為點A、B的“n節(jié)點”，求出n的值．【變式4-1】（2022秋?江夏區(qū)校級月考）在數軸上，點A代表的數是﹣12，點B代表的數是2，AB代表點A與點B之間的距離．（1）①AB＝；②若點P為數軸上點A與B之間的一個點，且AP＝6，則BP＝；③若點P為數軸上一點，且BP＝2，則AP＝．（2）若C點為數軸上一點，且點C到點A點的距離與點C到點B的距離的和是35，求C點表示的數．（3）若P從點A出發(fā)，Q從原點出發(fā)，M從點B出發(fā)，且P、Q、M同時向數軸負方向運動，P點的運動速度是每秒6個單位長度，Q點的運動速度是每秒8個單位長度，M點的運動速度是每秒2個單位長度，當P、Q、M同時向數軸負方向運動過程中，當其中一個點與另外兩個點的距離相等時，求這時三個點表示的數各是多少？【變式4-2】（2022?長汀縣期中）點A、B、C為數軸上三點，如果點C在A、B之間且到A的距離是點C到B的距離3倍，那么我們就稱點C是{A，B}的奇點．例如，如圖1，點A表示的數為﹣3，點B表示的數為1．表示0的點C到點A的距離是3，到點B的距離是1，那么點C是{A，B}的奇點；又如，表示﹣2的點D到點A的距離是1，到點B的距離是3，那么點D就不是{A，B}的奇點，但點D是{B，A}的奇點．如圖2，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為﹣3，點N所表示的數為5．（1）數所表示的點是{M，N}的奇點；數所表示的點是{N，M}的奇點；（2）如圖3，A、B為數軸上兩點，點A所表示的數為﹣50，點B所表示的數為30．現有一動點P從點B出發(fā)向左運動，到達點A停止．P點運動到數軸上的什么位置時，P、A和B中恰有一個點為其余兩點的奇點？【變式4-3】（2022?湖里區(qū)校級期中）已知數軸上兩點A．B對應的數分別為﹣2和7，點M為數軸上一動點．（1）請畫出數軸，并在數軸上標出點A、點B；（2）若點M到A的距離是點M到B的距離的兩倍，我們就稱點M是【A，B】的好點．①若點M運動到原點O時，此時點M【A，B】的好點（填是或者不是）②若點M以每秒1個單位的速度從原點O開始運動，當M是【B，A】的好點時，求點M的運動方向和運動時間（3）試探究線段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定發(fā)生變化？若變化，請說明理由：若不變，請求其值．【題型5數軸上的行程問題】【例5】（2022秋?東阿縣期末）如圖，三點A、B、P在數軸上，點A、B在數軸上表示的數分別是﹣4，12（AB兩點間的距離用AB表示）（1）C在AB之間且AC＝BC，C對應的數為；（2）C在數軸上，且AC+BC＝20，求C對應的數；（3）P從A點出發(fā)以1個單位/秒的速度在數軸向右運動，Q從B點同時出發(fā)，以2個單位/秒在數軸上向左運動．求：①P、Q相遇時求P對應的數②P、Q運動的同時M以3個單位長度/秒的速度從O點向左運動．當遇到P時，點M立即以同樣的速度（3個單位/秒）向右運動，并不停地往返于點P與點Q之間，求當點P與點Q相遇時，點M所經過的總路程是多少？【變式5-1】（2022秋?市中區(qū)校級期中）如圖，A、B分別為數軸上的兩點，A點對應的數為﹣20，B點對應的數為100．（1）請寫出與A、B兩點距離相等的點M所對應的數；（2）現有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的C點相遇，你知道C點對應的數是多少嗎？（3）若當電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，請問：當它們運動多少時間時，兩只螞蟻間的距離為20個單位長度？【變式5-2】（2022?越秀區(qū)二模）甲、乙兩個昆蟲分別在數軸原點和+8的A處，分別以1單位長度/s，1.5單位長度/s速度同時相向而行．（1）第一次相遇在數軸上何處；（2）若同時沿數軸的負方向而行，乙昆蟲在數軸上何處追上甲昆蟲？（3）在（1）的條件下，兩個昆蟲分別到達點A和O處后迅速返回第二次相遇于數軸何處？【變式5-3】（2022春?南關區(qū)校級月考）一次數學課上，小明同學給小剛同學出了一道數形結合的綜合題，他是這樣出的：如圖，數軸上兩個動點M，N開始時所表示的數分別為﹣10，5，M，N兩點各自以一定的速度在數軸上運動，且M點的運動速度為2個單位長度/s．（1）M，N兩點同時出發(fā)相向而行，在原點處相遇，求N點的運動速度．（2）M，N兩點按上面的各自速度同時出發(fā)，向數軸正方向運動，幾秒時兩點相距6個單位長度？（3）M，N兩點按上面的各自速度同時出發(fā)，向數軸負方向運動，與此同時，C點從原點出發(fā)沿同方向運動，且在運動過程中，始終有CN：CM＝1：2．若干秒后，C點在﹣12處，求此時N點在數軸上的位置．【題型6數軸與方程思想的運算】【例6】（2022秋?越秀區(qū)校級期中）在數軸上有若干個點，每相鄰兩個點之間的距離是1個單位長度，有理數a，b，c，d表示的點是這些點中的4個，且在數軸上的位置如圖所示．已知3a＝4b﹣3，則代數式c﹣5d的值是（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【變式6-1】（2022秋?余姚市期末）數軸上有6個點．每相鄰兩個點之間的距離是1個單位長，有理數a，b，c，d所對應的點是這些點中的4個，位置如圖所示：（1）完成填空：c﹣a＝，d﹣c＝，d﹣a＝；（2）比較a+d和b+c的大??；（3）如果4c＝a+2b，求a+b﹣c+d的值．【變式6-2】（2022秋?武昌區(qū)校級月考）如圖，數軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D對應的數分別是a、b、c、d，且b﹣2a＝9，請在圖中標出原點O，并求出3c+d﹣2a的值．【變式6-3】（2022?洛川縣校級期末）如圖所示，數軸（不完整）上標有若干個點，每相鄰兩點相距一個單位長度，點A，B，C，D對應的數分別是a，b，c，d，且有一個點表示的是原點．若d+2a+5＝0，則表示原點的應是點．【題型7數軸上的動點定值問題】【例7】（2022秋?普寧市期末）已知如圖，在數軸上有A，B兩點，所表示的數分別為﹣10，﹣4，點A以每秒5個單位長度的速度向右運動，同時點B以每秒3個單位長度的速度也向右運動，如果設運動時間為t秒，解答下列問題：（1）運動前線段AB的長為；運動1秒后線段AB的長為；（2）運動t秒后，點A，點B運動的距離分別為和；（3）求t為何值時，點A與點B恰好重合；（4）在上述運動的過程中，是否存在某一時刻t，使得線段AB的長為5，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．【變式7-1】（2022秋?綏寧縣期中）閱讀下面的材料：如圖1，在數軸上A點所示的數為a，B點表示的數為b，則點A到點B的距離記為AB．線段AB的長可以用右邊的數減去左邊的數表示，即AB＝b﹣a．請用上面的知識解答下面的問題：如圖2，一個點從數軸上的原點開始，先向左移動1cm到達A點，再向左移動2cm到達B點，然后向右移動7cm到達C點，用1個單位長度表示1cm．（1）請你在數軸上表示出A．B．C三點的位置：（2）點C到點A的距離CA＝cm；若數軸上有一點D，且AD＝4，則點D表示的數為；（3）若將點A向右移動xcm，則移動后的點表示的數為；（用代數式表示）（4）若點B以每秒2cm的速度向左移動，同時A．C點分別以每秒1cm、4cm的速度向右移動．設移動時間為t秒，試探索：CA﹣AB的值是否會隨著t的變化而改變？請說明理由．【變式7-2】（2022秋?黃陂區(qū)期末）數軸上A，B，C三點對應的數a，b，c滿足（a+40）2+|b+10|＝0，B為線段AC的中點．（1）直接寫出A，B，C對應的數a，b，c的值．（2）如圖1，點D表示的數為10，點P，Q分別從A，D同時出發(fā)勻速相向運動，點P的速度為6個單位/秒，點Q的速度為1個單位/秒．當點P運動到C后迅速以原速返回到A又折返向C點運動；點Q運動至B點后停止運動，同時P點也停止運動．求在此運動過程中P，Q兩點相遇點在數軸上對應的數．（3）如圖2，M，N為A，C之間兩點（點M在N左邊，且它們不與A，C重合），E，F分別為AN，CM的中點，求AC?MNEF【變式7-3】（2022?荔灣區(qū)期末）數軸上有兩點A，B，點C，D分別從原點O與點B出發(fā)，沿BA方向同時向左運動．（1）如圖，若點N為線段OB上一點，AB＝16，ON＝2，當點C，D分別運動到AO，BN的中點時，求CD的長；（2）若點C在線段OA上運動，點D在線段OB上運動，速度分別為每秒1cm，4cm，在點C，D運動的過程中，滿足OD＝4AC，若點M為直線AB上一點，且AM﹣BM＝OM，求ABOM【題型8數軸上的折疊問題】【例8】（2022秋?豐臺區(qū)校級期中）平移和翻折是初中數學兩種重要的圖形變化（1）平移運動①把筆尖放在數軸的原點處，先向負方向移動3個單位長度，再向正方向移動2個單位長度，這時筆尖的位置表示什么數？用算式表示以上過程及結果是A．（+3）+（+2）＝+5B．（+3）+（﹣2）＝+1C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5D．（﹣3）+（+2）＝﹣1②一機器人從原點O開始，第1次向左跳1個單位，緊接著第2次向右跳2個單位，第3次向左跳3個單位，第4次向右跳4個單位，…，依次規(guī)律跳，當它跳2017次時，落在數軸上的點表示的數是．（2）翻折變換①若折疊紙條，表示﹣1的點與表示3的點重合，則表示2017的點與表示的點重合；②若數軸上A、B兩點之間的距離為2018（A在B的左側，且折痕與①折痕相同），且A、B兩點經折疊后重合，則A點表示B點表示．③若數軸上折疊重合的兩點的數分別為a，b，折疊中間點表示的數為．（用含有a，b的式子表示）【變式8-1】（2022秋?蘇州期末）一條數軸上有點A、B、C，其中點A、B表示的數分別是﹣16、9，現以點C為折點，將數軸向右對折，若點A對應的點A′落在點B的右邊，并且A′B＝3，則C點表示的數是．【變式8-2】（2022秋?豐城市期中）操作探究：小聰在一張長條形的紙面上畫了一條數軸（如圖所示），操作一：（1）折疊紙面，使1表示的點與﹣1表示的點重合，則﹣3表示的點與表示的點重合；操作二：（2）折疊紙面，使﹣2表示的點與6表示的點重合，請你回答以下問題：①﹣5表示的點與數表示的點重合；②若數軸上A、B兩點之間距離為20，其中A在B的左側，且A、B兩點經折疊后重合，求A、B兩點表示的數各是多少③已知在數軸上點M表示的數是m，點M到第②題中的A、B兩點的距離之和為30，求m的值．【變式8-3】（2022秋?邗江區(qū)校級月考）已知在紙面上有一數軸，折疊紙面．（1）若1表示的點與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與數表示的點重合（2）若﹣2表示的點與4表示的點重合，回答以下問題：①數7對應的點與數對應的點重合；②若數軸上A、B兩點之間的距離為2019（點A在B的左側），且A、B兩點經折疊后重合，求A、B兩點表示的數是多少？（3）點C在數軸上，將它向右移動4個單位，再向左2個單位后，若新位置與原位置到原點的距離相等，則C原來表示的數是多少？請列式計算，說明理由．【題型9數軸上點的規(guī)律問題】【例9】（2022秋?茅箭區(qū)校級月考）已知數軸上有A，B，C三點，它們分別表示數a，b，c，且|a+6|+（b+3）2＝0，又b，c互為相反數．（1）求a，b，c的值．（2）若有兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點同時出發(fā)相向而行，甲的速度為4個單位/秒，乙的速度為6個單位/秒，當兩只螞蟻在數軸上點m處相遇時，求點m表示的數．（3）若電子螞蟻從B點開始連續(xù)移動，第1次向右移動1個單位長度；第2次向右移動2個單位長度；第3次向左移動3個單位長度；第4次向左移動4個單位長度；第5次向右移動5個單位長度；第6次向右移動6個單位長度；第7次向左移動7個單位長度；第8次向左移動8個單位長度…依次操作第2019次移動后到達點P，求P點表示的數．【變式9-1】（2022秋?成都期末）在數軸上，點P表示的數是a，點P′表示的數是11?a，我們稱點P′是點P的“相關點”，已知數軸上A1的相關點為A2，點A2的相關點為A3，點A3的相關點為A4…，這樣依次得到點A1、A2、A3、A4，…，An．若點A1在數軸表示的數是12，則點A2016在數軸上表示的數是【變式9-2】（2022秋?翁牛特旗期中）已知A、B在數軸上對應的數分別用+2、﹣6表示，P是數軸上的一個動點．（1）數軸上A、B兩點的距離為8．（2）當P點滿足PB＝2PA時，求P點表示的數．（3）將一枚棋子放在數軸上k0點，第一步從k點向右跳2個單位到k1，第二步從k1點向左跳4個單位到k2，第三步從k2點向右跳6個單位到k3，第四步從k3點向左跳8個單位到k4．①如此跳6步，棋子落在數軸的k6點，若k6表示的數是12，則ko的值是多少？②若如此跳了1002步，棋子落在數軸上的點k1002，如果k1002所表示的數是1998，那么k0所表示的數是__（請直接寫答案）．【變式9-3】（2022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，數軸上有三個點A、B、C，表示的數分別是﹣4、﹣2、3，請回答：（1）若將點B向左移動3個單位后，三個點所表示的數中，最小的數是；（2）若使點B所表示的數最大，則需將點C至少向移動個單位；（3）若使C、B兩點的距離與A、B兩點的距離相等，則需將點C向左移動個單位；（4）若移動A、B、C三點中的兩個點，使三個點表示的數相同，移動方法有種，其中移動所走的距離和最少的是個單位；（5）若在原點處有一只小青蛙，一步跳1個單位長．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此規(guī)律繼續(xù)跳下去，那么跳第101次時，應跳________-步，落腳點表示的數是；跳了第n次（n是正整數）時，落腳點表示的數是．

專題1.8數軸貫穿有理數的經典考法【九大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數軸上點的平移】 1【題型2數軸上點表示的數】 4【題型3判斷數軸上點的符號或原點位置】 6【題型4數軸上兩點距離的和差倍分問題】 9【題型6數軸與方程思想的運算】 18【題型7數軸上的動點定值問題】 20【題型8數軸上的折疊問題】 25【題型9數軸上點的規(guī)律問題】 29【題型1數軸上點的平移】【例1】（2022?惠安縣校級月考）在數軸上有三個點A、B、C，如圖所示．（1）將點B向左平移4個單位，此時該點表示的數是﹣3；（2）將點C向左平移3個單位得到數m，再向右平移2個單位得到數n，則m，n分別是多少？（3）怎樣移動A、B、C中的兩點，使三個點表示的數相同？你有幾種方法？【分析】（1）B點表示的數是1，再向左移動4個單位可得到表示的數是﹣3；（2）C點表示的數是3，向左移動3個單位得到數m＝3﹣3，再向右移2個單位得到數n＝0+2；（3）移動方法有3種，①把A、B兩點移到C點處；②把A、C兩點移到B點處；③把C、B兩點移到A點處．【解答】解：（1）點B表示的數是1，向左平移4個單位是1﹣4＝﹣3，即該點表示的數是﹣3；（2）點C表示的數是3，所以m＝3﹣3＝0，n＝0+2＝2；（3）有三種方法：①是C不動，將點A向右平移5個單位，將B向右平移2個單位；②是B不動，將A向右平移3個單位，將C向左平移2個單位；③是A不動，將B向左平移3個單位，將C向左平移5個單位．故答案為：﹣3【變式1-1】（2022?沂水縣一模）在數軸上，點A，B在原點O的兩側，分別表示數a，1，將點A向右平移2個單位長度，得到點C（點C不與點B重合），若CO＝BO，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【分析】根據CO＝BO且點C不與點B重合可得點C表示的數為﹣1，據此可得a＝﹣1﹣2＝﹣3．【解答】解：∵點C在原點的左側，且CO＝BO，∴點C表示的數為﹣1，∴a＝﹣1﹣2＝﹣3．故選：D．【變式1-2】（2022?乳山市期中）已知點A，B在數軸上表示的數分別是﹣2，3，解決下列問題：（1）將點A在數軸上向左平移13個單位長度后記為A1，A1表示的數是﹣213，將點B在數軸上向右平移1個單位長度后記為B1，B1表示的數是（2）在（1）的條件下，將點B1向左移動123個單位長度后記為B2，則B2表示的數與A1（3）在（2）的條件下，將原點在數軸上移動5個單位長度，則點B2表示的數是多少？【分析】（1）把點A表示的數減13得到A1表示的數，把點B表示的數加上1得到B1（2）若B2表示的數與A1表示的數互為相反數，則B2表示的數為213（3）討論：若將原點在數軸上向右移動5個單位長度，相當于把點B2向左平移5個單位，從而得到B2表示的數；若將原點在數軸上向左移動5個單位長度，相當于把點B2向右平移5個單位，從而得到B2表示的數．【解答】解：（1）A1表示的數為﹣2?13=?213（2）在（1）的條件下，將點B1向左移動123個單位長度后記為B2，則B2表示的數與A1（3）在（2）的條件下，若將原點在數軸上向右移動5個單位長度，則點B2表示的數是﹣223；若將原點在數軸上向左移動5個單位長度，則點B2表示的數是71故答案為﹣213；4；左，12【變式1-3】（2022?工業(yè)園區(qū)期末）【理解概念】對數軸上的點P按照如下方式進行操作：先把點P表示的數乘以2，再把表示得到的這個數的點沿數軸向右平移3個單位長度，得到點P′．這樣的操作稱為點P的“倍移”，數軸上的點A、B、C、D、E、F經過“倍移”后，得到的點分別為A′、B′、C′、D′、E′、F′．【鞏固新知】（1）若點A表示的數為﹣1，則點A′表示的數為1．（2）若點B′表示的數為9，則點B表示的數為3．【應用拓展】（3）若點C表示的數為5，且CD′＝3CD，求點D表示的數；（4）已知點E在點F的左側，將點E′、F′再次進行“倍移”后，得到的點分別為E″、F″，若E″F″＝2020，求EF的長．【分析】（1）由﹣1×2+3＝1，即可得出對應點A'表示的數為1；（2）設點B表示的數為x，2x+3＝9，即可得出結論；（3）設點D表示的數為d，則D′表示的數為2d+3，由|2d+3﹣5|＝3|d﹣5|，即可得出結論175（4）設點E表示的數為e，點F表示的數為f，則e＜f，則點E′表示的數為2e+3，點F′表示的數為2f+3，進而可表達E′′和F′′，再根據條件列等式求解．【解答】解：（1）∵點A表示的數為﹣1，∴﹣1×2+3＝1，∴點A'表示的數為1，故答案為：1．（2）設點B表示的數為x，∵點B'表示的數是9，∴2x+3＝9，解得：x＝3，故答案為：3．（3）設點D表示的數為d，D′表示的數為2d+3，∵CD′＝3CD，∴|2d+3﹣5|＝3|d﹣5|，解得：d＝13或d=17∴點D表示的數為13或175（4）設點E表示的數為e，點F表示的數為f，則e＜f，∴EF＝f﹣e，∴點E′表示的數為2e+3，點F′表示的數為2f+3，∴點E′′表示的數為2（2e+3）+3＝4e+9，點F′′表示的數為2（2f+3）+3＝4f+9，∴E′′F′′＝4f+9﹣（4e+9）＝4（f﹣e）＝2020，∴f﹣e＝505，即EF的長為505．【題型2數軸上點表示的數】【例2】（2022秋?三元區(qū)期中）如圖，半徑為1個單位的圓片上有一點Q與數軸上的原點重合（提示：圓的周長C＝2πr，本題中π的取值為3.14）（1）把圓片沿數軸向右滾動1周，點Q到達數軸上點A的位置，點A表示的數是6.28；（2）圓片在數軸上向右滾動的周數記為正數，圓片在數軸上向左滾動的周數記為負數，依次運動情況記錄如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2①第幾次滾動后，Q點距離原點最近？第幾次滾動后，Q點距離原點最遠？②當圓片結束運動時，Q點運動的路程共有多少？此時點Q所表示的數是多少？【分析】（1）利用圓的半徑以及滾動周數即可得出滾動距離；（2）①利用滾動的方向以及滾動的周數即可得出Q點移動距離變化；②利用絕對值得性質以及有理數的加減運算得出移動距離和Q表示的數即可．【解答】解：（1）∵2πr＝2×3.14×1＝6.28，∴點A表示的數是6.28，故答案為：6.28；（2）①∵+2﹣1﹣5+4＝0，∴第4次滾動后，Q點距離原點最近；∵（+2）+（﹣1）+（﹣5）＝﹣4，∴第3次滾動后，Q點距離原點最遠；②∵|+2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|＝17，∴17×2π×1＝106.76，∴當圓片結束運動時，Q點運動的路程共有106.76，∵2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，∴1×2π×1≈6.28，∴此時點Q所表示的數是6.28．【變式2-1】（2022秋?德惠市校級月考）東方紅中學位于東西方向的一條路上，一天我們學校的李老師出校門去家訪，他先向西走100米到聰聰家，再向東走150米到青青家，再向西走200米到剛剛家，請問：（1）如果把這條路看作一條數軸，以向東為正方向，以校門口為原點，請你在這條數軸上標出聰聰家與青青家的大概位置（數軸上一格表示50米）．（2）聰聰家與剛剛家相距多遠？（3）聰聰家向西20米所表示的數是多少？（4）你認為可用什么辦法求數軸上兩點之間的距離？【分析】畫數軸要注意正方向，原點和單位長度；數軸上兩點間的距離公式是|a﹣b|＝|﹣100+150|＝50；聰聰家向西20米所表示的數是﹣120；求數軸上兩點間的距離可用右邊的點表示的數減去左邊的點表示的數．【解答】解：（1）依題意可知圖為：（2）∵|﹣100﹣（﹣150）|＝50（m），∴聰聰家與剛剛家相距50米．（3）聰聰家向西20米所表示的數是﹣100﹣20＝﹣120．（4）求數軸上兩點間的距離可用右邊的點表示的數減去左邊的點表示的數．【變式2-2】（2022春?海淀區(qū)校級月考）直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達O'點，點O'對應的數是（）A．3 B．3.1 C．π D．3.2【分析】計算出圓的周長即可知道點O′所表示的數，而圓的周長＝π×直徑．【解答】解：圓的周長＝π×1＝π，所以O′對應的數是π，故選：C．【變式2-3】（2022?南安市模擬）如圖，數軸上點D對應的數為d，則數軸上與數﹣3d對應的點可能是（）A．點A B．點B C．點D D．點E【分析】根據12＜d＜1，得到﹣3＜﹣3d【解答】解：∵12＜∴﹣3＜﹣3d＜?3故選：B．【題型3判斷數軸上點的符號或原點位置】【例3】（2022秋?岳池縣期中）有理數a、b、c在數軸上所對應的點的位置如圖所示，有下列四個結論：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2＜1b；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據數軸上各數的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出結論．【解答】解：由數軸上a、b、c的位置關系可知：①a＜0＜b＜c，∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0，故①正確；②∵0＜b＜1，∴b2＜b，b＜1∴b2＜b＜1b，故③∵|a|＞1，1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc；故③錯誤；④∵a＜b，c＞a，c＞b，a＜0，∴a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）+（c﹣b）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+c﹣b+a＝a．故④正確．故正確的結論有①④，一共2個．故選：C．【變式3-1】（2022秋?新鄭市期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直線上，如果把直線看作數軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述錯誤的是（）A．數軸是以小明所在的位置為原點 B．數軸采用向北為正方向 C．小剛所在的位置對應的數有可能是?5D．小剛在小穎的南邊【分析】根據數軸上四人的位置判斷即可．【解答】解：A、數軸以小明所在的位置為原點，說法正確，不符合題意；B、數軸采用向北為正方向，說法正確，不符合題意；C、小剛所在的位置的數可能為﹣2.4，說法不正確，符合題意；D、小剛在小穎的南邊，說法正確，不符合題意．故選：C．【變式3-2】（2022秋?海淀區(qū)校級期末）如圖，數軸上點A，M，B分別表示數a，a+b，b，那么原點的位置可能是（）A．線段AM上，且靠近點A B．線段AB上，且靠近點B C．線段BM上，且靠近點B D．線段BM上，且靠近點M【分析】由點A，B，M的位置可知，a和b的符號相反，則a＜0＜b，且|a|＜|b|，結合數軸的定義，可知原點一定在AB上，且靠近點A．【解答】解：由點A，B，M的位置可知，a＜0＜b，且BM＜AM，∴b﹣（a+b）＜（a+b）﹣a，即﹣a＜b，∴|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴原點一定在AM上，且靠近點A．故選：A．【變式3-3】（2022秋?海陵區(qū)校級期中）如圖，數軸上的點M，N表示的數分別是m，n，點M在表示0，1的兩點（不包括這兩點）之間移動，點N在表示﹣1，﹣2的兩點（不包括這兩點）之間移動，則下列判斷正確的是（）A．m2﹣2n的值一定小于0 B．|3m+n|的值一定小于2 C．1m?n的值可能比2000大D．1m【分析】根據m、n的取值范圍，這個選項進行判斷即可．【解答】解：由題意得，0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，∴m2＞0，﹣2n＞0，∴m2﹣2n＞0，因此選項A不符合題意；∵0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，∴﹣2＜m+n＜0，0＜2m＜2，∴﹣2＜3m+n＜2，因此選項B符合題意；m﹣n＝m+（﹣n）＞1，∴1m?n＜1，因此選項1m的值無窮大，而﹣1＜1n＜?1故選：B．【題型4數軸上兩點距離的和差倍分問題】【例4】（2022秋?盱眙縣期中）已知數軸上兩點A、B，其中A表示的數為﹣2，B表示的數為2，若在數軸上存在一點C，使得AC+BC＝n，則稱點C叫做點A、B的“n節(jié)點”，例如圖1所示，若點C表示的數為0，有AC+BC＝2+2＝4，則稱點C為點A、B的“4節(jié)點”．請根據上述規(guī)定回答下列問題：（1）若點C為點A、B的“n節(jié)點”，且點C在數軸上表示的數為﹣3，則n＝6．（2）若點D是數軸上點A、B的“5節(jié)點”，請你直接寫出點D表示的數為﹣2.5或2.5；（3）若點E在數軸上（不與A、B重合），滿足B、E之間的距離是A、E之間距離的一半，且此時點E為點A、B的“n節(jié)點”，求出n的值．【分析】（1）根據“n節(jié)點”的概念解答；（2）設點D表示的數為x，根據“5節(jié)點”的定義列出方程分情況，并解答；（3）需要分類討論：①當點E在BA延長線上時，②當點E在線段AB上時，③當點E在AB延長線上時，根據BE=12AE，先求點E表示的數，再根據AC+BC＝【解答】解：（1）∵A表示的數為﹣2，B表示的數為2，點C在數軸上表示的數為﹣3，∴AC＝1，BC＝5，∴n＝AC+BC＝1+5＝6．故答案為：6．（2）如圖所示：∵點D是數軸上點A、B的“5節(jié)點”，∴AD+BD＝5，∵AB＝4，∴D在點A的左側或在點A的右側，設點D表示的數為x，則AD+BD＝5，∴﹣2﹣x+2﹣x＝5或x﹣2+x﹣（﹣2）＝5，x＝﹣2.5或2.5，∴點D表示的數為2.5或﹣2.5；故答案為：﹣2.5或2.5；（3）分三種情況：①當點E在BA延長線上時，∵不能滿足BE=12∴該情況不符合題意，舍去；②當點E在線段AB上時，可以滿足BE=12n＝AE+BE＝AB＝4；③當點E在AB延長線上時，∵BE=12∴BE＝AB＝4，∴點E表示的數為6，∴n＝AE+BE＝8+4＝12，綜上所述：n＝4或n＝12．【變式4-1】（2022秋?江夏區(qū)校級月考）在數軸上，點A代表的數是﹣12，點B代表的數是2，AB代表點A與點B之間的距離．（1）①AB＝14；②若點P為數軸上點A與B之間的一個點，且AP＝6，則BP＝8；③若點P為數軸上一點，且BP＝2，則AP＝12或16．（2）若C點為數軸上一點，且點C到點A點的距離與點C到點B的距離的和是35，求C點表示的數．（3）若P從點A出發(fā)，Q從原點出發(fā)，M從點B出發(fā)，且P、Q、M同時向數軸負方向運動，P點的運動速度是每秒6個單位長度，Q點的運動速度是每秒8個單位長度，M點的運動速度是每秒2個單位長度，當P、Q、M同時向數軸負方向運動過程中，當其中一個點與另外兩個點的距離相等時，求這時三個點表示的數各是多少？【分析】此題可借助數軸用數形結合的方法求解．（1）①根據距離定義可直接求得答案14．②根據題目要求，P在數軸上點A與B之間，所以根據BP＝AB﹣AP進行求解．③需要考慮兩種情況，即P在數軸上點A與B之間時和當P不在數軸上點A與B之間時．當P在數軸上點A與B之間時，AP＝AB﹣BP．當P不在數軸上點A與B之間時，此時有兩種情況，一種是超越A點，在A點左側，此時BP＞14，不符合題目要求．另一種情況是P在B點右側，此時根據AP＝AB+BP作答．（2）根據前面分析，C不可能在AB之間，所以，C要么在A左側，要么在B右側．根據這兩種情況分別進行討論計算．（3）因為M點的速度為每秒2個單位長度，遠小于P、Q的速度，因此M點永遠在P、Q的右側．“當其中一個點與另外兩個點的距離相等時”這句話可以理解成一點在另外兩點正中間．因此有幾種情況進行討論，第一是Q在P和M的正中間，另一種是P在Q和M的正中間．第三種是PQ重合時，MP＝MQ，三種情況分別列式進行計算求解．【解答】解：（1）①AB之間的距離為2﹣（﹣12）＝14．②AB總距離是14，P在數軸上點A與B之間，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8．③P在數軸上點A與B之間時，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12；當P不在數軸上點A與B之間時，因為AB＝14，所以P只能在B右側，此時BP＝2，AP＝AB+BP＝14+2＝16．（2）假設C為x，當C在A左側時，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC+BC＝35，解得x=?45當C在B右側時，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC+BC＝35，解得x=25（3）設經過時間T秒，則P點坐標為﹣12﹣6T，Q點坐標為﹣8T，M點坐標為2﹣2T．當Q在P和M的正中間，即Q為PM的中點時，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）+（2﹣2T），解得T=54當P在Q和M的正中間，即P為QM的中點時，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）+（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合題意，舍掉．當PQ重合時，即M到P、Q距離相等時，此時MP＝MQ，∴﹣12﹣6T＝﹣8T，∴T＝6s．因此，當T=54秒時，此時，M=?12，Q＝﹣當T＝6秒時，此時，M＝﹣10，Q＝﹣48，P＝﹣48．【變式4-2】（2022?長汀縣期中）點A、B、C為數軸上三點，如果點C在A、B之間且到A的距離是點C到B的距離3倍，那么我們就稱點C是{A，B}的奇點．例如，如圖1，點A表示的數為﹣3，點B表示的數為1．表示0的點C到點A的距離是3，到點B的距離是1，那么點C是{A，B}的奇點；又如，表示﹣2的點D到點A的距離是1，到點B的距離是3，那么點D就不是{A，B}的奇點，但點D是{B，A}的奇點．如圖2，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為﹣3，點N所表示的數為5．（1）數3所表示的點是{M，N}的奇點；數﹣1所表示的點是{N，M}的奇點；（2）如圖3，A、B為數軸上兩點，點A所表示的數為﹣50，點B所表示的數為30．現有一動點P從點B出發(fā)向左運動，到達點A停止．P點運動到數軸上的什么位置時，P、A和B中恰有一個點為其余兩點的奇點？【分析】（1）根據定義發(fā)現：奇點表示的數到{M，N}中，前面的點M是到后面的數N的距離的3倍，從而得出結論；根據定義發(fā)現：奇點表示的數到{N，M}中，前面的點N是到后面的數M的距離的3倍，從而得出結論；（2）點A到點B的距離為80，由奇點的定義可知：分4種情況列式：①PB＝3PA；②PA＝3PB；③AB＝3PA；④PA＝3AB；可以得出結論．【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，8÷（3+1）＝2，5﹣2＝3；﹣3+2＝﹣1．故數3所表示的點是{M，N}的奇點；數﹣1所表示的點是{N，M}的奇點．故答案為：3；﹣1；（2）30﹣（﹣50）＝80，80÷（3+1）＝20，30﹣20＝10，﹣50+20＝﹣30，﹣50﹣80÷3＝﹣7623﹣50﹣80×3＝﹣290（舍去）．故P點運動到數軸上的﹣30或10位置時，P、A和B中恰有一個點為其余兩點的奇點．【變式4-3】（2022?湖里區(qū)校級期中）已知數軸上兩點A．B對應的數分別為﹣2和7，點M為數軸上一動點．（1）請畫出數軸，并在數軸上標出點A、點B；（2）若點M到A的距離是點M到B的距離的兩倍，我們就稱點M是【A，B】的好點．①若點M運動到原點O時，此時點M不是【A，B】的好點（填是或者不是）②若點M以每秒1個單位的速度從原點O開始運動，當M是【B，A】的好點時，求點M的運動方向和運動時間（3）試探究線段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定發(fā)生變化？若變化，請說明理由：若不變，請求其值．【分析】（1）畫出數軸，并在數軸上標出點A、點B即可；（2）①先根據數軸上兩點的距離表示出BM和AM的長，再根據好點的定義即可求解；②分三種情況進行討論：當點M在點B的右側；當點M在點A與B之間時；當點M在點A的左側時；代入計算即可；（3）同理按（2）②分三種情況計算．【解答】解：（1）如圖所示：（2）①AM＝2，BM＝7，2×7＝14≠2，故點M不是【A，B】的好點；②當點M在點B的右側時，2（t+2）＝t﹣7，解得t＝﹣11（舍去）；當點M在點A與B之間時，2（t+2）＝7﹣t，解得t＝1；當點M在點A的左側時，2（﹣2+t）＝7+t，解得t＝11．故點M的運動方向是向右，運動時間是1或點M的運動方向是向左，運動時間是11秒；（3）線段BM與AM的差即BM﹣AM的值發(fā)生變化，理由是：設點M對應的數為c，由BM＝|c﹣7|，AM＝|c+2|，則分三種情況：當點M在點B的右側時，BM﹣AM＝c﹣7﹣c﹣2＝﹣9；當點M在點A與B之間時，BM﹣AM＝7﹣c﹣c﹣2＝5﹣2c，當點M在點A的左側時，BM﹣AM＝7﹣c+c+2＝9．故答案為：不是．【題型5數軸上的行程問題】【例5】（2022秋?東阿縣期末）如圖，三點A、B、P在數軸上，點A、B在數軸上表示的數分別是﹣4，12（AB兩點間的距離用AB表示）（1）C在AB之間且AC＝BC，C對應的數為4；（2）C在數軸上，且AC+BC＝20，求C對應的數；（3）P從A點出發(fā)以1個單位/秒的速度在數軸向右運動，Q從B點同時出發(fā)，以2個單位/秒在數軸上向左運動．求：①P、Q相遇時求P對應的數②P、Q運動的同時M以3個單位長度/秒的速度從O點向左運動．當遇到P時，點M立即以同樣的速度（3個單位/秒）向右運動，并不停地往返于點P與點Q之間，求當點P與點Q相遇時，點M所經過的總路程是多少？【分析】（1）根據中點的定義可得；（2）設點C表示的數為x，分點C在A、B之間，點C在點A左側和點C在點B右側三種情況，根據兩點間的距離公式分別列方程求解可得；（3）①設t秒后，點P表示的數為﹣4+t，點Q表示的數為12﹣2t，根據相遇時點P、Q所表示的數相同，列方程求解可得；②由①知點P、Q從出發(fā)到相遇用時163秒，據此知點M的運動時間為163秒，再根據路程＝速度【解答】解：（1）根據題意知點C表示的數為?4+122故答案為：4；（2）設點C表示的數為x，當點C在A、B之間時，由題意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合題意，舍去；當點C在點A左側時，由題意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6，當點C在點B右側時，由題意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14，即點C表示的數為﹣6或14；（3）①設t秒后，點P表示的數為﹣4+t，點Q表示的數為12﹣2t，由題意知﹣4+t＝12﹣2t，解得：t=16則相遇時點P對應的數為﹣4+16②∵由①知點P、Q從出發(fā)到相遇用時163∴點M的運動時間為163則點M所經過的總路程是3×16【變式5-1】（2022秋?市中區(qū)校級期中）如圖，A、B分別為數軸上的兩點，A點對應的數為﹣20，B點對應的數為100．（1）請寫出與A、B兩點距離相等的點M所對應的數；（2）現有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的C點相遇，你知道C點對應的數是多少嗎？（3）若當電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，請問：當它們運動多少時間時，兩只螞蟻間的距離為20個單位長度？【分析】（1）根據中點坐標公式即可求解；（2）此題是相遇問題，先求出相遇所需的時間，再求出點Q走的路程，根據左減右加的原則，可求出﹣20向右運動到相遇地點所對應的數；（3）此題是追及問題，分相遇前兩只螞蟻間的距離為20個單位長度，相遇后兩只螞蟻間的距離為20個單位長度，列出算式求解即可．【解答】解：（1）A，B之間的距離為120，M點對應的數是（﹣20+100）÷2＝40；（2）它們的相遇時間是120÷（6+4）＝12（秒），即相同時間Q點運動路程為：12×4＝48（個單位），即從數﹣20向右運動48個單位到數28；（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．故當它們運動50秒或70秒時間時，兩只螞蟻間的距離為20個單位長度．【變式5-2】（2022?越秀區(qū)二模）甲、乙兩個昆蟲分別在數軸原點和+8的A處，分別以1單位長度/s，1.5單位長度/s速度同時相向而行．（1）第一次相遇在數軸上何處；（2）若同時沿數軸的負方向而行，乙昆蟲在數軸上何處追上甲昆蟲？（3）在（1）的條件下，兩個昆蟲分別到達點A和O處后迅速返回第二次相遇于數軸何處？【分析】（1）設相遇時間為t，然后列出方程求出t值，再求解即可；（2）設追上的時間為t，利用追擊問題列出方程求解，再求解即可；（3）設第二次相遇的時間為t，然后求出相遇點到原點的距離即可．【解答】解：（1）設相遇時間為t，根據題意得，t+1.5t＝8，解得t＝3.2，所以相遇點在數軸上3.2處；（2）設追上的時間為t，根據題意得，1.5t﹣t＝8，解得t＝16，所以乙昆蟲在數軸上﹣16處追上甲昆蟲；（3）設第二次相遇的時間為t，根據題意得，t+1.5t＝3×8，解得t＝9.6，∴9.6×1.5﹣8＝6.4，所以第二次相遇于數軸6.4處．【變式5-3】（2022春?南關區(qū)校級月考）一次數學課上，小明同學給小剛同學出了一道數形結合的綜合題，他是這樣出的：如圖，數軸上兩個動點M，N開始時所表示的數分別為﹣10，5，M，N兩點各自以一定的速度在數軸上運動，且M點的運動速度為2個單位長度/s．（1）M，N兩點同時出發(fā)相向而行，在原點處相遇，求N點的運動速度．（2）M，N兩點按上面的各自速度同時出發(fā)，向數軸正方向運動，幾秒時兩點相距6個單位長度？（3）M，N兩點按上面的各自速度同時出發(fā)，向數軸負方向運動，與此同時，C點從原點出發(fā)沿同方向運動，且在運動過程中，始終有CN：CM＝1：2．若干秒后，C點在﹣12處，求此時N點在數軸上的位置．【分析】（1）根據速度＝路程÷時間，即可解決問題；（2）由OA+OB大于6個單位長度，分兩種情況，一種B在右側，一種A點在右側，再根據時間＝路程÷時間，即可解決問題；（3）要想始終保持CA＝2CB，則C點的速度應介于A、B兩者之間，設出C點速度為x個單位/秒，聯(lián)立方程，解方程即可得出C點的運動速度，再由速度求時間，由時間求得N點的運動路程從而解得N點在數軸上的位置．【解答】解：（1）依題意，得10÷2＝55÷5＝1所以N點的運動速度是1個單位長度/s；（2）∵OM+ON＝10+5＝15＞6，且M點運動速度大于N點的速度，∴分兩種情況，①當點M在點N的左側時，運動時間為＝（OM+OM﹣6）÷（2﹣1）＝（10+5﹣6）÷1＝9s．②當點M在點N的右側時，運動時間為＝（OM+ON+6）÷（2﹣1）＝（10+5+6）÷1＝21s綜合①②得，9秒和21秒時，兩點相距都是6個單位長度；（3）設點C的運動速度為x個單位/秒，運動時間為t，根據題意得知10+（2﹣x）×t＝[5+（x﹣1）×t]×2，整理，得2﹣x＝2x﹣2，解得x=43，即C點的運動速度為∴當C點在﹣12處運動時間為12÷43=∴N點運動路程是1×9＝9，∴N點在數軸上的位置是﹣4．【題型6數軸與方程思想的運算】【例6】（2022秋?越秀區(qū)校級期中）在數軸上有若干個點，每相鄰兩個點之間的距離是1個單位長度，有理數a，b，c，d表示的點是這些點中的4個，且在數軸上的位置如圖所示．已知3a＝4b﹣3，則代數式c﹣5d的值是（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根據3a＝4b﹣3求出b的值，進而求出a，c，d的值，即可確定出所求式子的值．【解答】解：∵a＝b﹣2，3a＝4b﹣3，∴b＝﹣3，∴c＝﹣2，a＝﹣5，d＝2，則c﹣5d＝﹣2﹣5×2＝﹣12．故選：C．【變式6-1】（2022秋?余姚市期末）數軸上有6個點．每相鄰兩個點之間的距離是1個單位長，有理數a，b，c，d所對應的點是這些點中的4個，位置如圖所示：（1）完成填空：c﹣a＝3，d﹣c＝2，d﹣a＝5；（2）比較a+d和b+c的大小；（3）如果4c＝a+2b，求a+b﹣c+d的值．【分析】（1）根據題意求出所求式子的值即可；（2）利用作差法比較大小即可；（3）根據4c＝a+2b求出c的值，進而求出a，b，d的值，即可確定出所求式子的值．【解答】解：（1）根據題意得：c﹣a＝3，c﹣b＝1，d﹣a＝5；故答案為：3；2；5；（2）∵（a+d）﹣（b+c）＝a+d﹣b﹣c＝（a﹣b）+（d﹣c）＝﹣2+2＝0，∴a+d＝b+c；（3）∵a＝c﹣3，b＝c﹣1，∴4c＝c﹣3+2（c﹣1），解得：c＝﹣5，a＝﹣8，b＝﹣6，d＝﹣3，則原式＝﹣8﹣6+5﹣3＝﹣12．【變式6-2】（2022秋?武昌區(qū)校級月考）如圖，數軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D對應的數分別是a、b、c、d，且b﹣2a＝9，請在圖中標出原點O，并求出3c+d﹣2a的值．【分析】此題用排除法進行分析：分別設原點是點A或B或C或D．【解答】解：若原點是A，則a＝0，b＝4，此時b﹣2a＝﹣8，和已知不符，排除；若原點是點B，則a＝﹣4，b＝0，此時b﹣2a＝8，和已知相不符，排除；若原點是點D，則a＝﹣8，b＝﹣4，此時b﹣2a＝12，和已知不相符，排除；若原點是點C，則a＝﹣5，b＝﹣1，此時b﹣2a＝9，和已知相符，正確；當點C是原點時，3c+d﹣2a＝3×0+3﹣2×（﹣5）＝13．【變式6-3】（2022?洛川縣校級期末）如圖所示，數軸（不完整）上標有若干個點，每相鄰兩點相距一個單位長度，點A，B，C，D對應的數分別是a，b，c，d，且有一個點表示的是原點．若d+2a+5＝0，則表示原點的應是點C．【分析】此題用排除法進行分析：分別設原點是點A或B或C或D．【解答】解：若原點為A，則a＝0，d＝7，此時d+2a+5＝12，與題意不符合，舍去；若原點為B，則a＝﹣3，d＝4，此時d+2a+5＝﹣3，與題意不符合，舍去；若原點為C，則a＝﹣4，d＝3，此時d+2a+5＝0，與題意符合；若原點為D，則a＝﹣7，d＝0，此時d+2a+5＝﹣9，與題意不符合，舍去．故答案為：C．【題型7數軸上的動點定值問題】【例7】（2022秋?普寧市期末）已知如圖，在數軸上有A，B兩點，所表示的數分別為﹣10，﹣4，點A以每秒5個單位長度的速度向右運動，同時點B以每秒3個單位長度的速度也向右運動，如果設運動時間為t秒，解答下列問題：（1）運動前線段AB的長為6；運動1秒后線段AB的長為4；（2）運動t秒后，點A，點B運動的距離分別為5t和3t；（3）求t為何值時，點A與點B恰好重合；（4）在上述運動的過程中，是否存在某一時刻t，使得線段AB的長為5，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據兩點間距離公式計算即可；（2）根據路程＝速度×時間，計算即可；（3）構建方程即可解決問題；（4）分兩種情形構建方程解決問題；【解答】解：（1）AB＝﹣4﹣（﹣10）＝6，運動1秒后，A表示﹣5，B表示﹣1，∴AB＝﹣1+5＝4．故答案為6，4．（2）運動t秒后，點A，點B運動的距離分別為5t，3t，故答案為5t，3t．（3）由題意：（5﹣3）t＝6，∴t＝3．（4）由題意：6+3t﹣5t＝5或5t﹣（6+3t）＝5，解得t=12或∴t的值為12或112秒時，線段【變式7-1】（2022秋?綏寧縣期中）閱讀下面的材料：如圖1，在數軸上A點所示的數為a，B點表示的數為b，則點A到點B的距離記為AB．線段AB的長可以用右邊的數減去左邊的數表示，即AB＝b﹣a．請用上面的知識解答下面的問題：如圖2，一個點從數軸上的原點開始，先向左移動1cm到達A點，再向左移動2cm到達B點，然后向右移動7cm到達C點，用1個單位長度表示1cm．（1）請你在數軸上表示出A．B．C三點的位置：（2）點C到點A的距離CA＝5cm；若數軸上有一點D，且AD＝4，則點D表示的數為﹣5或3；（3）若將點A向右移動xcm，則移動后的點表示的數為﹣1+x；（用代數式表示）（4）若點B以每秒2cm的速度向左移動，同時A．C點分別以每秒1cm、4cm的速度向右移動．設移動時間為t秒，試探索：CA﹣AB的值是否會隨著t的變化而改變？請說明理由．【分析】（1）根據題意容易畫出圖形；（2）由題意容易得出CA的長度；設D表示的數為a，由絕對值的意義容易得出結果；（3）將點A向右移動xcm，則移動后的點表示的數為﹣1+x；（4）表示出CA和AB，再相減即可得出結論．【解答】解：（1）如圖所示：（2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；設D表示的數為a，∵AD＝4cm，∴|﹣1﹣a|＝4，解得：a＝﹣5或3，∴點D表示的數為﹣5或3；故答案為：5，﹣5或3；（3）將點A向右移動xcm，則移動后的點表示的數為﹣1+x；故答案為：﹣1+x；（4）CA﹣AB的值不會隨著t的變化而變化，理由如下：根據題意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝（5+3t）cm，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝（2+3t）cm，∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3（cm），∴CA﹣AB的值不會隨著t的變化而變化．【變式7-2】（2022秋?黃陂區(qū)期末）數軸上A，B，C三點對應的數a，b，c滿足（a+40）2+|b+10|＝0，B為線段AC的中點．（1）直接寫出A，B，C對應的數a，b，c的值．（2）如圖1，點D表示的數為10，點P，Q分別從A，D同時出發(fā)勻速相向運動，點P的速度為6個單位/秒，點Q的速度為1個單位/秒．當點P運動到C后迅速以原速返回到A又折返向C點運動；點Q運動至B點后停止運動，同時P點也停止運動．求在此運動過程中P，Q兩點相遇點在數軸上對應的數．（3）如圖2，M，N為A，C之間兩點（點M在N左邊，且它們不與A，C重合），E，F分別為AN，CM的中點，求AC?MNEF【分析】（1）根據（a+40）2+|b+10|＝0，可求出a、b的值，B為線段AC的中點．進而可求出c的值；（2）分兩種情況進行解答，一種是在A、D之間首次相遇，二是點P到C后返回追及Q相遇，設運動時間，根據相遇、追及問題數量關系列方程求出時間，進而求出相應時所對應的數；（3）根據線段的中點的意義，用中點線段EF表示AC后即可得出答案．【解答】解：（1）∵（a+40）2+|b+10|＝0，∴a＝﹣40，b＝﹣10，∵B為線段AC的中點，∴?40+c2∴c＝20，即：a＝﹣40，b＝﹣10，c＝20；（2）如圖1，設運動的時間為t秒，①當P與Q第一次相遇時，有6t+t＝10﹣（﹣40），解得，t=50此時相遇點對應的數為10?50②當點P到C返回追上點Q時，有6t﹣60＝t+10，解得，t＝14，此時相遇點對應的數為10﹣14＝﹣4，答：在此運動過程中P，Q兩點相遇點在數軸上對應的數為﹣4或207（3）如圖2，∵E，F分別為AN，CM的中點，∴AN＝2EN，CM＝2MF，∴AC＝2EN+2MF﹣MN∴AC?MNEF【變式7-3】（2022?荔灣區(qū)期末）數軸上有兩點A，B，點C，D分別從原點O與點B出發(fā)，沿BA方向同時向左運動．（1）如圖，若點N為線段OB上一點，AB＝16，ON＝2，當點C，D分別運動到AO，BN的中點時，求CD的長；（2）若點C在線段OA上運動，點D在線段OB上運動，速度分別為每秒1cm，4cm，在點C，D運動的過程中，滿足OD＝4AC，若點M為直線AB上一點，且AM﹣BM＝OM，求ABOM【分析】（1）設點A在數軸上表示的數為a，點B在數軸上表示的數為b，表示出CD的長，進而用b﹣a＝16代入即可求出答案；（2）設運動的時間為t秒，由OD＝4AC得a與b的關系，再根據點M在直線AB的不同的位置分4種情況進行解答，①若點M在點B的右側時，②若點M在線段BO上時，③若點M在線段OA上時，④若點M在點A的左側時，分別表示出AM、BM、OM，由AM﹣BM＝OM得到m、a、b之間的關系，再計算ABOM【解答】解：（1）設點A在數軸上表示的數為a，點B在數軸上表示的數為b，則，b﹣a＝16，∵點C是OA的中點，點D是BN的中點，∴點C在數軸上表示的數為a2，點D在數軸上表示的數為b+2∴CD=b+2答：CD的長為9；（2）設運動的時間為t秒，點M表示的數為m，則OC＝t，BD＝4t，即點C在數軸上表示的數為﹣t，點D在數軸上表示的數為b﹣4t，∴AC＝﹣t﹣a，OD＝b﹣4t，由OD＝4AC得，b﹣4t＝4（﹣t﹣a），即：b＝﹣4a，①若點M在點B的右側時，如圖1所示：由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（m﹣b）＝m，即：m＝b﹣a；∴ABOM②若點M在線段BO上時，如圖2所示：由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（b﹣m）＝m，即：m＝a+b；∴ABOM③若點M在線段OA上時，如圖3所示：由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（b﹣m）＝﹣m，即：m=a+b3∵此時m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；④若點M在點A的左側時，如圖4所示：由AM﹣BM＝OM得，a﹣m﹣（b﹣m）＝﹣m，即：m＝b﹣a；而m＜0，b﹣a＞0，因此，不符合題意舍去，綜上所述，ABOM的值為1或5【題型8數軸上的折疊問題】【例8】（2022秋?豐臺區(qū)校級期中）平移和翻折是初中數學兩種重要的圖形變化（1）平移運動①把筆尖放在數軸的原點處，先向負方向移動3個單位長度，再向正方向移動2個單位長度，這時筆尖的位置表示什么數？用算式表示以上過程及結果是DA．（+3）+（+2）＝+5B．（+3）+（﹣2）＝+1C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5D．（﹣3）+（+2）＝﹣1②一機器人從原點O開始，第1次向左跳1個單位，緊接著第2次向右跳2個單位，第3次向左跳3個單位，第4次向右跳4個單位，…，依次規(guī)律跳，當它跳2017次時，落在數軸上的點表示的數是﹣1009．（2）翻折變換①若折疊紙條，表示﹣1的點與表示3的點重合，則表示2017的點與表示﹣2015的點重合；②若數軸上A、B兩點之間的距離為2018（A在B的左側，且折痕與①折痕相同），且A、B兩點經折疊后重合，則A點表示﹣1008B點表示1010．③若數軸上折疊重合的兩點的數分別為a，b，折疊中間點表示的數為a+b2．（用含有a，b【分析】（1）①根據有理數的加法法則即可判斷；②探究規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問題；（2）①根據對稱中心是1，即可解決問題；②由對稱中心是1，AB＝2018，則A點表示﹣1008，B點表示1010；③利用中點坐標公式即可解決問題．【解答】解：（1）①把筆尖放在數軸的原點處，先向負方向移動3個單位長度，再向正方向移動2個單位長度，這時筆尖的位置表示的數為（﹣3）+（+2），故選D．②一機器人從數軸原點處O開始，第1次向負方向跳一個單位，緊接著第2次向正方向跳2個單位，第3次向負方向跳3個單位，第4次向正方向跳4個單位，…，依次規(guī)律跳，當它跳2017次時，落在數軸上的點表示的數是﹣1009．（2）①∵對稱中心是1，∴表示2017的點與表示﹣2015的點重合，②∵對稱中心是1，AB＝2018，∴則A點表示﹣1008，B點表示1010，③若數軸上折疊重合的兩點的數分別為a，b，折疊中間點表示的數為a+b2故答案是；（1）①D；②﹣1009；（2）①﹣2015；②﹣1008，1010；（3）a+b2【變式8-1】（2022秋?蘇州期末）一條數軸上有點A、B、C，其中點A、B表示的數分別是﹣16、9，現以點C為折點，將數軸向右對折，若點A對應的點A′落在點B的右邊，并且A′B＝3，則C點表示的數是﹣2．【分析】設出點C所表示的數，根據點A、B所表示的數，可以表示出AC的距離，在根據A′B＝3，表示出A′C，由折疊得，AC＝A′C，列方程求解即可．【解答】解：設點C所表示的數為x，則AC＝x+16，BC＝9﹣x，∵A′B＝3，B點表示的數為9，∴點A′表示的數為9+3＝12，根據折疊得，AC＝A′C∴x+16＝12﹣x，解得，x＝﹣2，故答案為：﹣2．【變式8-2】（2022秋?豐城市期中）操作探究：小聰在一張長條形的紙面上畫了一條數軸（如圖所示），操作一：（1）折疊紙面，使1表示的點與﹣1表示的點重合，則﹣3表示的點與3表示的點重合；操作二：（2）折疊紙面，使﹣2表示的點與6表示的點重合，請你回答以下問題：①﹣5表示的點與數9表示的點重合；②若數軸上A、B兩點之間距離為20，其中A在B的左側，且A、B兩點經折疊后重合，求A、B兩點表示的數各是多少③已知在數軸上點M表示的數是m，點M到第②題中的A、B兩點的距離之和為30，求m的值．【分析】（1）直接利用已知得出中點進而得出答案；（2）①利用﹣2表示的點與6表示的點重合得出中點，進而得出答案；②利用數軸再結合A、B兩點之間距離為20，即可得出兩點表示出的數據；③利用②中A，B的位置，利用分類討論進而得出m的值．【解答】解：（1）折疊紙面，使1表示的點與﹣1表示的點重合，則對稱中心是0，∴﹣3表示的點與3表示的點重合，故答案為：3；（2）∵﹣2表示的點與6表示的點重合，∴對稱中心是數2表示的點，①﹣5表示的點與數9表示的點重合；②若數軸上A、B兩點之間的距離為20（A在B的左側），則點A表示的數是2﹣10＝﹣8，點B表示的數是2+10＝12．③當點M在點A左側時，則12﹣m+（﹣8﹣m）＝30，解得：m＝﹣13；當點M在點B右側時，則m﹣（﹣8）+m﹣12＝30，解得：m＝17；綜上，m＝﹣13或17【變式8-3】（2022秋?邗江區(qū)校級月考）已知在紙面上有一數軸，折疊紙面．（1）若1表示的點與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與數2表示的點重合（2）若﹣2表示的點與4表示的點重合，回答以下問題：①數7對應的點與數﹣5對應的點重合；②若數軸上A、B兩點之間的距離為2019（點A在B的左側），且A、B兩點經折疊后重合，求A、B兩點表示的數是多少？（3）點C在數軸上，將它向右移動4個單位，再向左2個單位后，若新位置與原位置到原點的距離相等，則C原來表示的數是多少？請列式計算，說明理由．【分析】（1）由折疊后1表示的點與﹣1表示的點重合，可知折疊中心為0，進而得出答案為2，（2）由（1）的方法可知折疊中心表示的數為1，①根據數軸上兩點之間的距離的計算方法，列方程求解即可，②設兩個未知數，列方程組求解，（3）由題意得點C的新位置在原位置的右邊，又關于原點對稱，且新位置與原位置的距離為2，列方程可求．【解答】解：（1）∵折疊后1表示的點與﹣1表示的點重合，∴對折的中心所表示的數為0，∵﹣2到原點0的距離為2，∴只有2到原點0的距離為2，故答案為：2．（2）∵折疊后﹣2表示的點與4表示的點重合∴折疊中心表示的數為（﹣2+4）÷2＝1，①設這個數為m，則有：7﹣1＝1﹣m，解得：m＝﹣5，故答案為：﹣5．②設A表示的數為a，B表示的數為b，由題意得，b﹣1＝1﹣a且b﹣a＝2019，解得，a＝﹣1008.5，b＝1010.5，答：A點表示的數是﹣1008.5，B點表示的數是1010.5．（3）設點C原位置表示的數為c，則點C的新位置表示的數為c+2，根據題意得，c+2＝﹣c，解得，c＝﹣1，答：C原來表示的數是﹣1．【題型9數軸上點的規(guī)律問題】【例9】（2022秋?茅箭區(qū)校級月考）已知數軸上有A，B，C三點，它們分別表示數a，b，c，且|a+6|+（b+3）2＝0，又b，c互為相反數．（1）求a，b，c的值．（2）若有兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點同時出發(fā)相向而行，甲的速度為4個單位/秒，乙的速度為6個單位/秒，當兩只螞蟻在數軸上點m處