高考第一輪復習講義 第03講 相等關(guān)系與不等關(guān)系（原卷版+解析版 ）

第3講相等關(guān)系與不等關(guān)系學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·重慶八中高三階段練習）若a，b都是非零實數(shù)，滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·北京海淀·二模）已知，且，則（

）A． B．C． D．3．（2022·山東日照·二模）若a，b，c為實數(shù)，且，，則下列不等關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．4．（2022·北京密云·高三期末）已知，且，，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．5．（2022·重慶·二模）若非零實數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．6．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2021·河北·石家莊二中高三階段練習）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·山東聊城·高三期中）設，則有（

）A．B．C．D．9．（多選）（2022·湖北·荊州中學模擬預測）已知實數(shù)，，滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的最小值為410．（多選）（2022·河北·石家莊二中模擬預測）已知，定義分別為，，則下列敘述正確的是（

）A． B．C．是四個數(shù)中最小者 D．是四個數(shù)中最大者11．（多選）（2022·廣東佛山·模擬預測）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則12．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若且，則C．若，則 D．若，則13．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且，記，，，則、、的大小關(guān)系為．（用“”連接）14．（2022·全國·高三專題練習）已知﹣1<2s+t<2，3<s﹣t<4，則5s+t的取值范圍__________.15．（2022·浙江·高三專題練習）已知，則_______．（用“>”或“<”填空）16．（2022·浙江·高三專題練習）杯中有濃度為的鹽水克，杯中有濃度為的鹽水克，其中杯中的鹽水更咸一些．若將、兩杯鹽水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示為_____．17．（2022·全國·高三專題練習）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤；（2）已知c>a>b>0，求證：18．（2022·全國·高三專題練習）已知，若，，求的取值范圍．【素養(yǎng)提升】1．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）若，，則下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．2．（2018·浙江·高三學業(yè)考試）已知，是正實數(shù)，則下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）長沙市為了支援邊遠山區(qū)的教育事業(yè).組織了一支由13名教師組成的隊伍下鄉(xiāng)支教，記者采訪隊長時詢問這個團隊的構(gòu)成情況，隊長回答：“有中學高級教師，中學教師不多于小學教師，小學高級教師少于中學中級教師，小學中級教師少于小學高級教師，支教隊伍的職稱只有小學中級、小學高級、中學中級、中學高級，無論是否把我計算在內(nèi)，以上條件都成立"由隊長的敘述可以推測出他的職稱是______.4．（2022·全國·高三專題練習）已知均為大于0的實數(shù),給出下列五個論斷:①,②,③,④,⑤.以其中的兩個論斷為條件,余下的論斷中選擇一個為結(jié)論,請你寫出一個正確的命題___________.5．（2022·江蘇南通·高三階段練習）設a＞0，b＞0，a≤2b≤2a＋b，則的取值范圍為_______．第3講相等關(guān)系與不等關(guān)系學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·重慶八中高三階段練習）若a，b都是非零實數(shù)，滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因為且，所以，，所以，故C正確，D錯誤；若，則，又，則，若，則，又，無法判斷與的大小關(guān)系，故A、B錯誤；故選：C2．（2022·北京海淀·二模）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，令，顯然，錯誤；對于B，，又不能同時成立，故，正確；對于C，取，則，錯誤；對于D，取，則，錯誤.故選：B.3．（2022·山東日照·二模）若a，b，c為實數(shù)，且，，則下列不等關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A選項，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號方向不變，則，A選項正確；對于B選項，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號方向改變，若，，則，B選項錯誤；對于C選項，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變，，，C選項錯誤；對于D選項，因為，，所以無法判斷與大小，D選項錯誤.4．（2022·北京密云·高三期末）已知，且，，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，，而，，而無意義，故ABC錯誤；因為，所以，D正確.故選：D5．（2022·重慶·二模）若非零實數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A中，由，因為，可得，當不確定，所以A錯誤；對于B中，只有當不相等時，才有成立，所以B錯誤；對于C中，例如，此時滿足，但，所以C錯誤；對于D中，由不等式的基本性質(zhì)，當時，可得成立，所以D正確.故選：D.6．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，由，得.故選：A.7．（2021·河北·石家莊二中高三階段練習）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，所以，解得：，，因為，，所以，故選：A.8．（2022·山東聊城·高三期中）設，則有（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，；由，，，故選：B.9．（多選）（2022·湖北·荊州中學模擬預測）已知實數(shù)，，滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的最小值為4【答案】ABC【解析】由題，所以有，故A正確；，故B正確；，故C正確；，當且僅當即時取等，又因為，所以，即無最小值，故D錯誤.故選：ABC.10．（多選）（2022·河北·石家莊二中模擬預測）已知，定義分別為，，則下列敘述正確的是（

）A． B．C．是四個數(shù)中最小者 D．是四個數(shù)中最大者【答案】AC【解析】因為，所以，則，即，又，，，又，則；又，，即，

，當時，，當時，，故選：AC11．（多選）（2022·廣東佛山·模擬預測）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則【答案】AD【解析】A．由不等式的性質(zhì)可知同向不等式相加，不等式方向不變，故正確；B.當時，，故錯誤；C.當時，故錯誤；D.，因為，，，所以，故正確；故選：AD12．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若且，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】對選項A：可取，，，則滿足，但此時，所以選項A錯誤；對選項B：因為，所以若，則；若，則；所以選項B正確；對選項C：若，則，所以選項C錯誤；對選項D：若，所以；又因為，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以選項D正確，故選：BD．13．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且，記，，，則、、的大小關(guān)系為．（用“”連接）【答案】【解析】因為，，且，可得，所以，又由，所以．綜上可得：．故答案為：．14．（2022·全國·高三專題練習）已知﹣1<2s+t<2，3<s﹣t<4，則5s+t的取值范圍__________.【答案】（1，8）【解析】設5s+t=m（2s+t）+n（s﹣t），則5s+t=（2m+n）s+（m﹣n）t，則，解得，則5s+t=2（2s+t）+（s﹣t），∵﹣1<2s+t<2，∴﹣2<2（2s+t）<4，又∵3<s﹣t<4，∴1<2（2s+t）+（s﹣t）<8，即1<5s+t<8，∴5s+t的取值范圍是（1，8）.故答案為：（1，8）.15．（2022·浙江·高三專題練習）已知，則_______．（用“>”或“<”填空）【答案】>【解析】因為,又，，所以，所以，故答案為：>.16．（2022·浙江·高三專題練習）杯中有濃度為的鹽水克，杯中有濃度為的鹽水克，其中杯中的鹽水更咸一些．若將、兩杯鹽水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示為_____．【答案】【解析】由題意，將、兩杯鹽水混合再一起后濃度為，，，杯中的鹽水更咸一些，，，故答案為：.17．（2022·全國·高三專題練習）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤；（2）已知c>a>b>0，求證：【解】證明：（1）∵bc≥ad，bd>0，∴，∴＋1≥＋1，∴≤.（2）∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.∵a>b>0，∴又∵c>0，∴，∴，又c－a>0，c－b>0，∴.18．（2022·全國·高三專題練習）已知，若，，求的取值范圍．【解】由題意，得，解得，，因此，，把和的取值范圍代入，得．∴的取值范圍是．【素養(yǎng)提升】1．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）若，，則下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：對于A選項，由于，，故由對數(shù)的定義得，，所以，所以，故錯誤；對于B選項，令，則，此時，故錯誤；對于C選項，因為，在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積，所以，故正確；對于D選項，由于，故錯誤．故選：C2．（2018·浙江·高三學業(yè)考試）已知，是正實數(shù)，則下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，取，該不等式成立，但不滿足；對于C，該不等式等價于，取，，該不等式成立，但不滿足；對于D，該不等式等價于，取，，該不等式成立，但不滿足；下面證明B法一不等式等價于，而.函數(shù)在上單增，故.法二若，則，故，矛盾.故選：B3．（2022·全國·高三專題練習）長沙市為了支援邊遠山區(qū)的教育事業(yè).組織了一支由13名教師組成的隊伍下鄉(xiāng)支教，記者采訪隊長時詢問這個團隊的構(gòu)成情況，隊長回答：“有中學高級教師，中學教師不多于小學教師，小學高級教師少于中學中級教師，小學中級教師少于小學高級教師，支教隊伍的職稱只有小學中級、小學高級、中學中級、中學高級，無論是否把我計算在內(nèi)，以上條件都成立"由隊長的敘述可以推測出他的職稱是______.【答案】小學中級【解析】設小學中級、小學高級、中學中級、中學高級教師的人數(shù)分別為，，，，則，，，，，∴，∴，.若，則，∵，∴，，，.若，則，∵，∴.∵，∴，，與矛盾.隊長為小學中級教師時，去掉隊長，則，，，，滿足，，，；隊長為小學高級教師時，去掉隊長，則，，，，不滿足；隊長為中學中級教師時，去掉隊長，則，，，，不滿足；隊長為中學高級教師時，去掉隊長，則，，，，不滿足.綜上，隊長為小學中級教師.故答案為：小學中級.4．（