高考第一輪復(fù)習(xí)講義 第28講 正弦定理和余弦定理（原卷版+解析版 ）

第28講正弦定理和余弦定理學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在中，，，則外接圓的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．32．（2021·全國(guó)·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是（

）A． B．C． D．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的分別為a，b，c，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若a＝2，b＝2021，c＝2022，則為鈍角三角形B．若sin2A＝sin2B，則是等腰三角形C．若a：b：c＝2：3：4，則中最小的內(nèi)角為A，且D．若a＝2，，，則5．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）小強(qiáng)計(jì)劃制作一個(gè)三角形，使得它的三條邊中線的長(zhǎng)度分別為1，，，則（

）A．能制作一個(gè)銳角三角形 B．能制作一個(gè)直角三角形C．能制作一個(gè)鈍角三角形 D．不能制作這樣的三角形6．（2022·山東臨沂·二模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積．根據(jù)此公式，若，且，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，三邊長(zhǎng)滿足，則的值為（

）A． B．C． D．9．（多選）（2022·廣東·汕頭市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且（

）A．若，，則B．若，，則的面積為C．若，則的最大值為D．若，則周長(zhǎng)的取值范圍為10．（多選）（2022·山東·高三開(kāi)學(xué)考試）在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a、b、c，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則C．D．若，且，則△為等邊三角形11．（2021·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．12．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，若，，.則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_____.13．（2022·北京·二模）已知的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則能使成立的一組A，B的值是________．14．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，P是邊上靠近B點(diǎn)得四等分點(diǎn)，，則_______，則__________．15．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．16．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．17．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【素養(yǎng)提升】1．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）在中，，的內(nèi)切圓的面積為，則邊長(zhǎng)度的最小值為（

）A．16 B．24 C．25 D．362．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·高郵市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2022·重慶·三模）在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則的面積可以是（

）A．2 B． C．3 D．45．（2022·北京·測(cè)試學(xué)校四高三）在中，，其外接圓半徑，且，則___________.6．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.第28講正弦定理和余弦定理學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在中，，，則外接圓的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】設(shè)R為外接圓的半徑，故，解得．故選：A．2．（2021·全國(guó)·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，，又，由正弦定理得：，，三角形三邊確定，此時(shí)三角形只有一解，不合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，由余弦定理得：，三角形三邊唯一確定，此時(shí)三角形有一解，不合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，，三邊均為定值，三角形唯一確定，故選項(xiàng)C不合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，，，，由正弦定理得：，，，，有兩解，符合題意，故選：D.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的分別為a，b，c，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若a＝2，b＝2021，c＝2022，則為鈍角三角形B．若sin2A＝sin2B，則是等腰三角形C．若a：b：c＝2：3：4，則中最小的內(nèi)角為A，且D．若a＝2，，，則【答案】B【解析】在中，最大的內(nèi)角為C，，故為鈍角三角形，A正確．因?yàn)閟in2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或，故是等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤．設(shè)a＝2x，b＝3x，c＝4x（x>0），中最小的內(nèi)角為A，由余弦定理知．因?yàn)?，所以，故中最小的?nèi)角為A，且，C正確．．因?yàn)?<A<π，所以或．又因?yàn)閏>a，所以C>A．則不符合題意，舍去，故，D正確．故選：B.5．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）小強(qiáng)計(jì)劃制作一個(gè)三角形，使得它的三條邊中線的長(zhǎng)度分別為1，，，則（

）A．能制作一個(gè)銳角三角形 B．能制作一個(gè)直角三角形C．能制作一個(gè)鈍角三角形 D．不能制作這樣的三角形【答案】C【解析】設(shè)三角形的三條邊為a，b，c，設(shè)中點(diǎn)為D，，則，∴同理，∴，∴，，∴可以構(gòu)成三角形，∴，∴為鈍角三角形，故選：C6．（2022·山東臨沂·二模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積．根據(jù)此公式，若，且，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理邊角互化可知化簡(jiǎn)為，即，,，解得：，根據(jù)面積公式可知.故選：A7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，，，．由題，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，，又銳角，且，，，解得，，，，，，，，，的取值范圍為．故選：A．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，三邊長(zhǎng)滿足，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】方法一：，由正弦定理得：，，，；，，，又，，，，，，即，整理可得：，，，，，；方法二：令，，，則滿足；則可知：，；由得：，解得：或，，，，.故選：C.9．（多選）（2022·廣東·汕頭市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且（

）A．若，，則B．若，，則的面積為C．若，則的最大值為D．若，則周長(zhǎng)的取值范圍為【答案】ACD【解析】因?yàn)椋?對(duì)于A，B，若，則，，解得，的面積，A正確，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，若，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，C正確.對(duì)于D，若，則根據(jù)三邊關(guān)系可得即解得，則，的周長(zhǎng)為，故周長(zhǎng)的取值范圍為，D正確.故選：ACD10．（多選）（2022·山東·高三開(kāi)學(xué)考試）在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a、b、c，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則C．D．若，且，則△為等邊三角形【答案】ACD【解析】A：由，根據(jù)等比的性質(zhì)有，正確；B：當(dāng)時(shí)，有，錯(cuò)誤；C：，而，即，由正弦定理易得，正確；D：如下圖，是單位向量，則，即、，則且平分，的夾角為，易知△為等邊三角形，正確.故選：ACD11．（2021·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【解析】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.12．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，若，，.則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】解：設(shè)，在與中，由余弦定理得，，又由于，即，解得，即得.故，∴.故答案為：.13．（2022·北京·二模）已知的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則能使成立的一組A，B的值是________．【答案】（答案不唯一）【解析】由正弦定理得：，，，，，（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.14．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，P是邊上靠近B點(diǎn)得四等分點(diǎn)，，則_______，則__________．【答案】

2

【解析】由余弦定理，得，又，得，所以，聯(lián)立，得，所以，所以.故答案為：2；.15．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【解】(1)由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．(2)因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．16．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【解】(1)證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以?2)解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.17．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解】(1)因?yàn)椋?，而，所以?2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．【素養(yǎng)提升】1．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）在中，，的內(nèi)切圓的面積為，則邊長(zhǎng)度的最小值為（

）A．16 B．24 C．25 D．36【答案】A【解析】因?yàn)榈膬?nèi)切圓的面積為，所以的內(nèi)切圓半徑為4．設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋裕O(shè)內(nèi)切圓與邊切于點(diǎn)，由可求得，則．又因?yàn)?，所以．所以．又因?yàn)椋?，即，整理得．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：A．2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合題意舍去），∴，∴，設(shè)，∵是銳角三角形，∴，∴，∴，∴，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，∴.故選：C．3．（2022·江蘇·高郵市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡(jiǎn)得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，即的取值范圍是．故選：C.4．（2022·重慶·三模）在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則的面積可以是（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】BC【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)?，，，所以，，，由余弦定理得得，可得，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即，解得，或，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，，而，，，，故選：BC.5．（2022·北京·測(cè)試學(xué)校四高三）在中，，其外接圓半徑，且，則___________.【答案】1【解析】因?yàn)?，所以因?yàn)?，所?進(jìn)而有，于是因?yàn)椋?故答案為：16．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)椋裕?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知