專題3.3 解三角形（分層練）（解析版）2024年高考數(shù)學二輪復習高頻考點追蹤與預測（新高考專用）

第第頁專題驗收評價專題3.3解三角形內容概覽A·?？碱}不丟分題型一正弦余弦定理基本應用題型二解三角形三線問題題型三解三角形中周長面積問題題型四解三角形中范圍問題C·挑戰(zhàn)真題爭滿分題型一題型一正弦余弦定理基本應用一、單選題1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列等差中項的應用可得、，利用余弦定理化簡計算即可求解.【詳解】由，得，由成等差數(shù)列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.故選：C.2．（2023下·安徽滁州·高三?？奸_學考試）在三角形中，記為的面積，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)三角形的面積公式結合求出角，再根據(jù)二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)的關系即可得解.【詳解】，，因為，即，又，則，所以.故選：A．3．（2023·陜西·西安市西光中學校聯(lián)考一模）在中，角的對邊分別為，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理與正弦定理角化邊求解即可.【詳解】解：因為，所以，由正弦定理與余弦定理得，化簡得.故選：A4．（2021下·廣東東莞·高一東莞高級中學?？茧A段練習）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若的面積為，且，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理、三角形的面積公式求得，進而求得.【詳解】依題意，，由余弦定理得，①，由三角形的面積公式得，代入①得，，，由于，所以.故選：C題型二題型二解三角形中三線問題一、單選題1．（2023上·江蘇蘇州·高三常熟中學聯(lián)考）的內角的對邊分別是，且，邊上的角平分線的長度為，且，則（

）A． B． C．3 D．或3【答案】A【分析】根據(jù)題意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，結合面積公式，求得，即可求解.【詳解】由，因為，可得，又由邊上的角平分線，所以，在中，可得，在中，可得,因為，且，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，又由，即，因為，可得，即，可得，所以.故選：A.

2．（2023·全國·河南省實驗中學校考模擬預測）已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先根據(jù)正弦定理可得，再建立平面直角坐標系求解的軌跡方程，進而可得面積的最大值.【詳解】在中，在中，故，，因為，故，又角的平分線交于點，則，故.故.以為坐標原點建立如圖平面直角坐標系，則因為，，故，，設，則，即，故，化簡可得，即，故點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.故當縱坐標最大，即時面積取最大值為.

故選：C二、填空題3．（2023下·河南周口·高三期末）在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，G為的重心，，則的取值范圍為．【答案】【分析】記BC的中點為D，利用重心的性質先得到，再由向量的知識可得，，再利用銳角可得，最后利用函數(shù)的單調性可得的取值范圍．【詳解】記BC的中點為D，由，G為的重心，可得．又由，有，即，化簡可得．又由為銳角三角形，故，即，化簡可得．又由．令，由函數(shù)單調遞增，可得，可得．故答案為：.三、解答題4．（2023上·湖北武漢·高三華中師大一附中校考期中）記的內角的對邊分別為，已知.(1)求A的值；(2)若的平分線與交于點，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，則，，即，可得，因為，則，則，整理得，又因為，則，可得，所以.（2）因為平分且，所以，由，可得，整理得，則，當且僅當時，等號成立，故面積的最小值為．5．（2023上·湖北·高三鄂南高中聯(lián)考期中）在中，角A，B，C的對邊分別為，且.(1)求角A的大??；(2)若是線段的中點，且，求的面積.【答案】(1)(2)4【詳解】（1），由正弦定理可得，整理，即，又，則，，又.（2）法一：如圖，取中點，連接，是線段的中點，,在中，,由余弦定理可得,.法二：因為是線段的中點，，，即，，.題型三題型三解三角形中周長面積問題1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）的內角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求；(2)若，的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得．又，所以．因為，所以．又，所以，．（2）的面積，則．由余弦定理：，得，所以，故的周長為．2．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？家荒＃┯浀膬冉茿，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)已知，，邊BC上有一點D滿足，求AD．【答案】(1)(2)（2）根據(jù)三角形面積公式，結合余弦定理進行求解即可.【詳解】（1）∵，即由正弦定理，有又，即有，，，，所以，，故．（2）設，，由（1）知，在△ABC中，由余弦定理，可知，∴又，可知，在△ABD中，，即，在△ACD中，，即，聯(lián)立解得.3．（2023上·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考）如圖，在四邊形中，與互補，．

(1)求；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，在中，利用余弦定理分別求出,,,利用兩值相反，建立等式，解出即可；（2）分別求出的面積，相加即可.【詳解】（1）連接，如圖，

與互補，與互補，在中，，即，得，在中，，即，得，又與互補，，故；（2）由（1）得，，由（1）得，，．題型四題型四解三角形中范圍問題1．（2023·廣西南寧·南寧二中?？寄M預測）已知中，角對應的邊分別為，是上的三等分點（靠近點）且，，則的最大值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】先利用正弦定理的邊角變換與余弦定理可求得，再設，利用正弦定理與正弦函數(shù)的和差角公式得到，從而得解.【詳解】因為，由正弦定理得，則，即，所以，，則，

設，則，且，又，即，又由正弦定理知（為的外接圓半徑），所以，則，即，又，故當，時，.故選：A2．（2023上·福建·高三校聯(lián)考期中）已知中，內角所對的邊分別為，且滿足.(1)若，求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：因為，由正弦定理得，可得，即，又因為，由余弦定理得，即，聯(lián)立方程組，可得，即，所以，由余弦定理定理得，因為，所以.解法二：因為，由正弦定理得，整理得，又因為，可得，所以，即，可得，即，因為，所以，所以，所以.（2）由（1）知，可得，且，所以，由三角形三邊關系，可得，可得，令，可得，其中，所以函數(shù)，所以，所以的取值范圍是.3．（2023上·湖北·高三湖北省天門中學校聯(lián)考期中）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)求的最大值.【答案】(1)(2).【詳解】（1）方法1：由及正弦定理可得：，所以，故，因為，即，故，所以，又，所以.方法2：由及余弦定理可得：，所以，所以，又，所以.（2）由正弦定理可知，即，其中，,故當時，的最大值為.一、單選題1．（2021·全國甲卷）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.二、填空題2．（2021·全國·乙卷）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.三、解答題3．（2023·全國新高考Ⅱ卷）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳解】（1）方法1：在中，因為為中點，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.4．（2023·全國甲卷）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因為，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．5．（2022·全國新高考Ⅱ卷）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結合余弦定理及平方關系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.6．（2021·全國·統(tǒng)考Ⅰ卷）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關系有，結合已知即可證結論.（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊與的關系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．7．（2021·全國高考Ⅱ）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否