九年級 下冊 數(shù)學(xué) 練習(xí)題 第三章 圓

第三章圓

3.1圓

基礎(chǔ)題

知識點(diǎn)1圓的有關(guān)概念

1.下列說法正確的是(D)

A.半圓是弧，弧也是半圓B.過圓上任意一點(diǎn)只能作一條弦，且這條弦是直徑

C.弦是直徑D.直徑是圓中最長的弦

2.下列條件中，能畫唯一圓的是(B)

A.以已知點(diǎn)0為圓心B,以點(diǎn)0為圓心，2cm為半徑

C.以1cm為半徑D.經(jīng)過已知點(diǎn)A,且半徑為2cm

3.已知。。的直徑AB=6cm,則圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離等于(C)

A.2cmB.2.5cm

C.3cmD.無法確定

4.如圖，圓中有L條直徑，2條弦，圓中以A為一個端點(diǎn)的優(yōu)弧有4條，劣弧有生條.

5.如圖，。。的半徑是5,ZA0B=60°,則AB=&.

6.孫老師上數(shù)學(xué)課時忘記了帶圓規(guī)，但他手里有一根小細(xì)繩，你能幫他在黑板上畫一個圓嗎？并說明理由.

解：能.將小細(xì)繩繞著它的一個端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)走過的路線即為一個圓，理由：圓可以看成是到定點(diǎn)

的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形.

知識點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

7.(湘西中考)。。的半徑為5cm,點(diǎn)A到圓心0的距離0A=3cm,則點(diǎn)A與。0的位置關(guān)系為(B)

A.點(diǎn)A在圓上B.點(diǎn)A在圓內(nèi)

C.點(diǎn)A在圓外D.無法確定

8.已知。0的半徑為5,圓心0的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2),則點(diǎn)P與。0的位置關(guān)系是(A)

A.點(diǎn)P在。0內(nèi)B.點(diǎn)P的。0上

C.點(diǎn)P在。0外D.點(diǎn)P在。0上或。0外

9.已知。。的半徑為3cm,。。所在的平面內(nèi)一點(diǎn)P,當(dāng)PO=3cm時,點(diǎn)P在。0上；當(dāng)P0知cm時,點(diǎn)P在

內(nèi)；當(dāng)P0〉3gm時,點(diǎn)P在。0外.

10.在AABC中，NC=90°,AC=4,AB=5,以點(diǎn)C為圓心，r=3為半徑作圓，判斷A,B兩點(diǎn)和。C的位置關(guān)系.

解：VZC=90°,AC=4,AB=5,ABC=3.

；AC=4>r,.?.點(diǎn)A在。C外.

VBC=3=r,...點(diǎn)B在。C上.

中檔題

1L下列命題，其中正確的有(A)

①兩個端點(diǎn)能夠重合的弧是等??；②面積相等的兩個圓是等圓；③弦是圓上任意兩點(diǎn)之間的部分；④同圓或等圓中,

劣弧比優(yōu)弧短.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

12.(宜昌中考)在公園的0處附近有E,F,G,H四棵樹，位置如圖所示(圖中小正方形的邊長均相等)，現(xiàn)計(jì)劃修建

一座以0為圓心，0A為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則E,F,G,H四棵樹中需要被移除的為(A)

A.E,F,GB.F,G,II

C.G,H,ED.H,E,F

13.如圖，在aABC中，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC,AB于D,E兩點(diǎn)，并連接BD,DE.若NA=30°,

AB-AC,則NBDE的度數(shù)為(C)

A.45°B.52.5°C.67.5°D.75°

14.矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以點(diǎn)A為圓心畫圓,使B,C,D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在。A內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在。A

外，則。A的半徑r的取值范圍為(D)

A.r>3B.r<4

C.r<5D.3<r<5

15.(永州中考)如圖，在。。中，A,B是圓上的兩點(diǎn),已知/A0B=40°,直徑CD〃AB,連接AC,則NBAC=35°.

16.在RtaABC中，/C=90°,ZA=30°,以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑畫圓，則斜邊AB的中點(diǎn)D與。C的位置關(guān)系

是點(diǎn)D在。C上.

17.如圖，數(shù)軸上半徑為1的。0從原點(diǎn)0開始以每秒1個單位的速度向右運(yùn)動，同時，距原點(diǎn)右邊7個單位有一點(diǎn)

O

P以每秒2個單位的速度向左運(yùn)動，經(jīng)過期秒后，點(diǎn)P在。0上.

18.如圖，小虎牽著小狗上街，小虎的手臂與繩共2.5m(手臂與拉直的繩子在一條直線上)，手臂肩部距地面1.5m.

當(dāng)小虎站立不動時，小狗在平整的地面上活動的最大區(qū)域是多少？并畫出平面圖.

解：小狗在地面上環(huán)繞的圓的半徑為

、2.52-1.52=2.0(111),

故小狗在平整的地面上活動的最大區(qū)域是以2.0m為半徑的圓.

如圖:

綜合題

19.(杭州中考)如圖1,。。的半徑為r(r>0),若點(diǎn)P'在射線0P上，滿足0P'?OP=d,則稱點(diǎn)P'是點(diǎn)P關(guān)于

。。的“反演點(diǎn)”.

如圖2,。。的半徑為4,點(diǎn)B在。0上，ZB0A=60°,0A=8,若點(diǎn)A',B'分別是點(diǎn)A,B關(guān)于。0的反演點(diǎn)，

求A，B，的長.

l6P']:tOA'JMA

圖1圖2

解：設(shè)OA交。。于M,連接BM.

VOAZ-0A=r2,r=4,0A=8,.\0A,=2.

?.?OB'?0B=r2,r=4,0B=4,

...OB'=4,即點(diǎn)B和B'重合.

VZB0A=600,OB=OM,△OBM為等邊三角形.

???點(diǎn)A'為0M的中點(diǎn)，...B'N1±0M.

A，B，

在RtAOA'B'中，sin/A'OB'=%=，

:.A'B'=4sin60°=2怎.

3.2圓的對稱性

基礎(chǔ)題

知識點(diǎn)1圓的對稱性

1.下列語句中，不正確的是(C)

A.圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸

B.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

C.當(dāng)圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)89°57'時，不會與原來的圓重合

D.圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個

2.(泰安中考)下列四個圖形：

①二生③

其中是軸對稱圖形，且對稱軸的條數(shù)為2的圖形的個數(shù)是(C)

A.1B.2C.3D.4

3.如圖是兩個同心圓，其中兩條直徑互相垂直，大圓的半徑是2,則其陰影部分的面積之和為紅(結(jié)果保留口).

知識點(diǎn)2圓心角、弧及弦之間的關(guān)系

4.在同圓或等圓中，如果AB=CD,那么AB和CI)的關(guān)系是(B)

A.AB>CDB.AB=CD

C.AB<CDD.AB=2CD

5.(蘭州中考)如圖，在。0中，若點(diǎn)C是觸的中點(diǎn)，/A=50°,則/BOC=(A)

6.如圖，已知A,B,C,D是。。上的點(diǎn)，Z1=Z2,則下列結(jié)論中正確的有(D)

①靠=而；②而=藍(lán)；③AC=BD；④/BOD=NAOC.

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.如圖所示，在。0中，AC,BC是弦，根據(jù)條件填空:

⑴若AC=BC,則靛=藍(lán)，/AOC=NBOC；

⑵若e=R,則AC=BC,/AOC=/BOC；

⑶若NAOC=ZBOC,則酢=靛，AC=BC.

8.如圖，在。0中，AC=BD,若NA0B=40°,則NC0D=40°.

9.如圖，已知：在。0中，M,N分別是半徑OA,0B的中點(diǎn)，且CMLOA,DNLOB.求證：AC=BD.

證明：連接OC,0D,則OC=OD.

VM,N分別是半徑OA,0B的中點(diǎn),

AOM=ON.

VCM±OA,DN10B,

.,.Z0MC=Z0ND=90°.

在RtAOMC和RtAOND中，

OM=ON,

.OC=OD,

RtAOMC^RtAOND(HL).

AZM0C=ZNOD.AAC=BD.

中檔題

10.下列說法：①等弧對等弦；②等弦對等?。虎鄣认宜鶎Φ膱A心角相等；④相等的圓心角所對的弧相等；⑤等弧

所對的圓心角相等.其中正確的個數(shù)為(B)

A.1B.2

C.3D.4

11.形如半圓形的量角器直徑為4cm,放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中(量角器的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合，零刻度

線在x軸上)，連接60°和120°刻度線的兩個端點(diǎn)P、Q,線段PQ交y軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(B)

A.(―1,^3)B.(0,小)

C.(73,0)D.(1.73)

12.如圖，扇形OAB的圓心角為90°,點(diǎn)C,D是癥的三等分點(diǎn)，半徑0C,0D分別與弦AB交于點(diǎn)E,F,下列說法

錯誤的是(A)

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.ZDFB=75°

13.如圖，在。0中，AB=2CD,則下列結(jié)論正確的是(C)

A.AB>2CDB.AB=2CD

C.AB<2CDD.以上都不正確

14.如圖，已知AB是(DO的直徑，C,I),E,F,G是靠上的點(diǎn)，且有記=而=笳=命=用=強(qiáng)，則/0CG=30°.

15.（黃石中考）如圖，A,B是00上的兩點(diǎn)，ZA0B=120°,C是能的中點(diǎn).

⑴求證：AB平分N0AC：

⑵延長0A至P使得AP=0A,連接PC,若。0的半徑R=l,求PC的長.

解：(1)證明：連接0C.

VZA0B=120°,C是1的中點(diǎn),

，NA0C=/B0C=60°.

又?.?OAnOCnOB,

.,.△AOC.aBOC是等邊三角形.

.\OA=OB=BC=AC.

四邊形AOBC是菱形.

.?.AB平分NOAC.

(2)；0A=AP,OA=AC,，AP=AC.

XVZCA0=ZAC0=60",

，NAPC=30°,/0CP=90°.

，PC=/℃=/.

綜合題

16.我們學(xué)習(xí)了“弧、弦、圓心角的關(guān)系”，實(shí)際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”如下：

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們對應(yīng)的其余各組

量也相等［弦心距指從圓心到弦的距離（如圖1中的OC、0C'）,弦心距也可以說成圓心到弦的垂線段的長度］.請直

接運(yùn)用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解答下列問題：

如圖2,0是/EPF的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心的圓與角的兩邊分別交于點(diǎn)A,B,C,D.

（1）求證：AB=CD；

（2）若角的頂點(diǎn)P在圓上，上述結(jié)論還成立嗎？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明.

解：（1）證明：過0作OM_LAB于M,ON_LCD于N,則NOMB=N0ND=90°.

；P0平分/EPF,；.OM=ON.

VOM,ON分別是弦AB,CD的弦心距，

AAB=CD.

(2)上述結(jié)論成立.

證明：當(dāng)點(diǎn)P在。0上時，由⑴知OM=ON,

VOM,ON分別是弦AB,CD的弦心距，

；.PB=PD,即AB=CD.

*3.3垂徑定理

基礎(chǔ)題

知識點(diǎn)1垂徑定理

1.(黃石中考)如圖所示，。。的半徑為13,弦AB的長度是24,ON±AB,垂足為N,則0N=(A)

?

A.5B.7C.9D.11

2.如圖，已知。0的半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點(diǎn)C,若AB=16cm,0C=6cm,則。0的半徑為(B)

?

/)

25

A.-cmB.10cm

o

C.8cmD.—cm

3.(三明中考)如圖，AB是。0的弦，半徑OCJ_AB于點(diǎn)D,若。。的半徑為5,AB=8,則CD的長是(A)

A.2B.3C.4D.5

4.(黑龍江中考)如圖，。0的直徑CD=10cm,AB是。0的弦，且ABLCD,垂足為P,AB=8cm,則sin/OAP的值

是(C)

344

A-4B-5C-5D-3

5.(廣元中考)如圖，已知。0的直徑ABLCD于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定錯誤的是(B)

A.CE=DEB.AE=OE

C.BC=BDD.AOCE^AODE

知識點(diǎn)2垂徑定理的推論

6.下列說法錯誤的是(C)

A.垂直于弦的直徑平分弦

B.垂直于弦的直徑平分弦所對的弧

C.平分弦的直徑平分弦所對的弧

D.平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦

7.如圖，AB是。0的弦，0C為半徑，與AB交于點(diǎn)D,且AD=BD,已知AB=6cm,0D=4cm,則DC的長為(D)

A.5cmB.2.5cm

C.2cmD.1cm

知識點(diǎn)3垂徑定理的應(yīng)用

8.如圖是一個圓弧形門拱，拱高AB=1m,跨度CD=4m,那么這個門拱的半徑為(B)

A.2mB.2.5mC.3mD.5m

9.(東營中考)如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1m,其中水面的寬AB為0.8m,則排水管內(nèi)水的深

度為0.8m.

10.如圖所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=lm,現(xiàn)計(jì)劃安裝玻璃，請幫工

程師求出慈所在。0的半徑r.

解：?.?弓形的跨度AB=3m,EF為弓形的高,

.\OE±AB.

13

.?.AF=T;AB=7；m.

?.?藍(lán)所在。。的半徑為r,弓形的高EF=1m,

.,.AO—r,OF=r—1.

在RtAAOF中，A0-=AF2+0F2,

3K

即d=(5尸+(r—I)2.解得r=互.

故r=￥m.

中檔題

11.如圖，。。的弦AB,AC的夾角為50°,M,N分別為融和前的中點(diǎn)，OM,ON分別交AB,AC于E,F,則/MON的

度數(shù)為(C)

A.110°B.120°C.130°D.100°

12.如圖，小明家涼臺呈圓弧形，涼臺的寬度AB為8m,涼臺的最外端C點(diǎn)離AB的距離CD為2m,則涼臺所在圓

的半徑為(B)

C

4nB

A.4mB.5mC.6mD.7m

13.如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心0,則折痕AB的長為(C)

A.2cmB.-\/3cmC.2ycmD.2-^5cm

14.CD是。0的一條弦，作直徑AB,使ABLCD,垂足為E,若AB=10,CD=8,則BE的長是(C)

A.8B.2C.2或8D.3或7

15.(黔西南中考)如圖，AB是。0的直徑，CD為弦，CDLAB于E,若CD=6,BE=1,則。0的直徑為小.

16.(紹興中考)如圖1,小敏利用課余時間制作了一個臉盆架，圖2是它的截面圖，垂直放置的臉盆與架子的交點(diǎn)為

A,B,AB=40cm,臉盆的最低點(diǎn)C到AB的距離為10cm,則該臉盆的半徑為至cm.

圖1圖2

17.(湖州中考)已知在以點(diǎn)0為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C,D(如圖).

(1)求證：AC=BD；

(2)若大圓的半徑R=10,小圓的半徑r=8,且圓心0到直線AB的距離為6,求AC的長.

解：(1)證明：作OELAB,垂足為E,

則AE=BE,CE=DE,

.\AE-CE=BE-DE,

即AC=BD.

⑵由⑴可知，OE±AB,0E1CD,

連接OC,OA.

V0E=6,

CE=-\/0C2-0E2=y182-62=2s,

AE=、0涓一OE，=、B—6?=8.

.,.AC=AE—CE=8-2巾.

綜合題

18.如圖，某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為7.2m,拱高CD為2.4m.

(1)求拱橋的半徑；

(2)現(xiàn)有一艘寬3m,船艙頂部為長方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，問此貨船能順利通過拱橋嗎？

解：⑴連接0B.

V0CXAB,

...D為AB的中點(diǎn).

；AB=7.2m,

；儂=加=3.6m.

設(shè)OB=OC=r,則0D=(r-2.4)m.

在Rt^BOD中，根據(jù)勾股定理，得

r2=(r-2,4)2+3,62,解得r=3.9.

；.拱橋的半徑為3.9m.

(2)令船艙頂部兩點(diǎn)分別分M,N(CN在M的右邊)，連接ON.

VCD-2.4m,船艙頂部為長方形并高出水面2m,???CE=2.4—2=0.4(m).

.\0E=r-CE=3.9-0.4=3.5(m).

在RtAOEN中，EN2=0N2-0E2=3.92-3.52=2.96(m2),

.?.EN=42.96(m),

MN=2EN=2X<2.96=*3.44m>3m.

???此貨船能順利通過這座拱橋.

3.4圓周角和圓心角的關(guān)系

第1課時圓周角定理及其推論1

基礎(chǔ)題

知識點(diǎn)1圓周角的概念

L(柳州中考)下列四個圖中，/X是圓周角的是(C)

*o

A

2.如圖，圖中的圓周角有(C)

A.10個B.11個

C.12個D.13個

知識點(diǎn)2圓周角定理

3.(溫州中考)如圖，已知A,B,C在。0上,確為優(yōu)弧，下列選項(xiàng)中與/AOB相等的是(A)

A.2ZC

C.4ZAD.ZB+ZC

4.(濟(jì)寧中考)如圖，在。0中，AB=AC,ZA0B=40°,則NADC的度數(shù)是(C)

C.20°D.15°

5.如圖，己知CD是。。的直徑，過點(diǎn)D的弦DE平行于半徑0A,若ND的度數(shù)是50°,則/C的度數(shù)是(A)

A.25°B.30°

C.40°D.50°

6.(婁底中考)如圖，將直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在圓心0上，斜邊和一直角邊分別與。。相交于A,B兩點(diǎn)，P

是優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)(與A,B不重合)，則NAPB=阻度.

知識點(diǎn)3圓周角定理的推論1

7.(自貢中考)如圖，。0中，弦AB與CD交于點(diǎn)M,ZA=45°,ZAMD=75°,則/B的度數(shù)是(C)

A.15°B.25°C,30°D.75°

8.(百色中考)如圖，。。的直徑AB過弦CD的中點(diǎn)E,若NC=25°,則/D=65°.

9.如圖，已知A,B,C,D是。0上的四個點(diǎn)，AB=BC,BD交AC于點(diǎn)E,連接CD,AD.求證：DB平分NADC.

證明：:ABuBC,

/.AB=BC.

ZADB=ZBDC.

ADB平分NADC.

中檔題

10.(巴彥淖爾中考)如圖，線段AB是。。的直徑，弦CD_LAB,NCAB=40°,則/ABD與NAOD分別等于(B)

A.40°,80°B.50°,100°

C.50°,80°D,40°,100°

11.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上.點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為86°、30°,則NACB

的大小為(B)

A.15°B.28°

C.29°D.34°

12.（泰安中考）如圖，點(diǎn)A,B,C是。0上的三點(diǎn)，且四邊形ABC0是平行四邊形，0FL0C交圓0于點(diǎn)F,則NBAF

等于（B）

A.12.5°

C.20°D.22.5°

13.如圖，AABC內(nèi)接于。0,若N0AB=28°,則NC的大小為62°.

14.（臨夏中考）如圖，在。0中，弦AC=24則。0的半徑R=乖.

15.如圖,AB是。0的一條弦，0D1AB,點(diǎn)E在。0上.

⑴若NA0D=52°,求NDEB的度數(shù)；

⑵若0C=3,0A=6,求tanNDEB的值.

解：（1）連接0B,

V0D±AB,/.AD=BD.

AZB0D=ZA0D=52°.

AZDEB=|zB0D=26°.

(2)V0D1AB,0C=3,0A=6,

AOC=|oA,即N0AC=30°.

AZA0C=60°.

AZDEB=|zA0C=30°.

.'.tanZDEB=^.

16.如圖，在。0中，AB=AC,ZCBD=30°，ZBCD=20°，試求NBAC的度數(shù).

解:連接OB,OC,0D.

VZB0D=2ZBCD,ZC0D=2ZCBD,ZCBD=30°,

ZBCD=20°,

AZC0D=60°,ZB0D=40°.

AZB0C=100°，

ZBAC=|zB0C=50°.

綜合題

17.(臺州中考)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,點(diǎn)E在對角線AC上，EC=BC=DC.

⑴若NCBD=39°,求NBAD的度數(shù);

(2)求證：Z1=Z2.

解：(1)VBC=DC,

ABC=DC.

AZBAC=ZCAD=ZCBD.

VZCBD=39°,

AZBAC=ZCAD=39°.

ZBAD=ZBAC+ZDAC=78°.

⑵證明：VEC=BC,

???ZCBE=ZCEB.

VZCBE=Z1+ZCBD,ZCEB=Z2+ZBAC,

???N1+ZCBD=Z2+ZBAC.

又?.?NBAC=NCBD,AZ1=Z2.

第2課時圓周角定理的推論2、3

基礎(chǔ)題

知識點(diǎn)1圓周角定理的推論2

1.(湖州中考)如圖,已知AB是aABC外接圓的直徑,NA=35°,則NB的度數(shù)是(C)

A.35°B.45°

C.55°D.65°

2.（臺州中考）從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是（B）

3（玉林中考）如圖,

A.30°B.45°

C.60°D.70°

4.（常州中考）如圖，把直角三角板的直角頂點(diǎn)0放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)M,N,量得

0M=8cm,ON=6cm,則該圓玻璃鏡的半徑是（B）

A.y[10cm

C.6cm

5.（眉山中考）如圖，A,D是。0上的兩個點(diǎn)，BC是直徑.若ND=32°,則NOAC=（B）

A.64°B.58°D.55°

6.如圖，在半徑為5cm的。0中，AB為直徑，ZACD=30°,求弦BD的長.

A

D

解：:AB為直徑,

AZADB=90°.

XVZABD=ZACD=30°,

乎=5/(cm).

???BD=AB?cosZABD=10X

知識點(diǎn)2圓周角定理的推論3

7.(杭州中考)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知NA=70°,則NC=(D)

A.20°B.30°

C.70°D,110°

8.如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點(diǎn)，若/BAD=105。，則NDCE的大小是(B)

C.100°D.95°

9.(常德中考)如圖，四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，已知NB0D=100。，則NBCD的度數(shù)為(D)

A.50°B.80°

C.100°D.130°

10.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若NA：NB：NC=1：2：5,則NB的度數(shù)是(C)

A.30°B.45°

C.60°D.120°

11.(來賓中考)如圖，在。。中，點(diǎn)A,B,C在。0上，且NACB=110。，則Na=140°.

中檔題

12.(達(dá)州中考)如圖，半徑為3的。A經(jīng)過原點(diǎn)0和點(diǎn)C(0,2),B是y軸左側(cè)。A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則tan/OBC為(C)

12啦

A,3B.2位D.

3

13.(煙臺中考)如圖，Rt^ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點(diǎn)與0刻度線的一端重合，NABC=40°,射

線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動，與量角器外沿交于點(diǎn)D,若射線CD將AABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn)D在量角器上

對應(yīng)的度數(shù)是(D)

A.40°B.70°

C.70°或80°D.80°或140°

14.(無錫中考)如圖，AB是半圓0的直徑，C,D是半圓0上的兩點(diǎn)，且0D〃BC,0D與AC交于點(diǎn)E.

(1)若NB=70°,求/CAD的度數(shù)；

⑵若AB=4,AC=3,求DE的長.

解:⑴；OD〃BC,

.\ZD0A=ZB=70°

又：0A=0D,

.,?ZDA0=ZD=55°.

：AB是直徑，.-.ZC=90°..?./CAB=20°.

；.NCAD=35°.

(2)VZC=90°,AB=4,AC=3,；.BC=/.

口…BC巾

是AB中點(diǎn)，0D〃BC,：.QE=-=^-.

；.DE=2一洋

15.(溫州中考)如圖，在aABC中，ZC=90°,D是BC邊上一點(diǎn)，以DB為直徑的。0經(jīng)過AB的中點(diǎn)E,交AD的延

長線于點(diǎn)F,連接EF.

(1)求證：Z1=ZF；

⑵若sinB=萼，EF=2m，求CD的長.

解：(1)證明：連接DE,

OBD是＜30的直徑,

.,.ZDEB=90°.

“是AB的中點(diǎn),

.\DA=DB.

VZB=ZF,.\Z1=ZF.

(2)VZ1-ZF,

.?,AE=EF=2V5.

.?.AB=2AE=4/.

在RtaABC中，AC=AB?sinB=4,

.,.BC=^/AB2-AC2=8.

設(shè)CD=x,則AD=BD=8—x.

VAC2+CD2=AD2,即4?+X2=(8—X):

，x=3,即CD=3.

綜合題

16.(1)如圖1,PA,PB是。0的兩條弦，AB為直徑，C為鼐的中點(diǎn)，弦CD_LPA于點(diǎn)E,寫出AB與AC的數(shù)量關(guān)系,

并證明；

⑵如圖2,PA,PB是。0的兩條弦，AB為弦，C為劣弧藍(lán)的中點(diǎn)，弦CDLPA于E,寫出AE,PE與PB的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

A

解:(1)AB=/AC.

證明：；AB為直徑，C為余的中點(diǎn)，

AZACB=90°,AC=BC.

.?.AB=^AC.

⑵AE=PB+PE.

證明：在AE上截取AF=BP,連接AC,BC,FC,PC.

為劣弧鼐的中點(diǎn)，即筋=R,

.\AC=BC.

在ACAF和4CBP中，

'AC=BC,

?NCAF=/CBP,

、AF=BP,

.,.△CAF^ACBP.

；.CF=CP.

又；CD_LPA,

；.EF=EP.

，AE=AF+EF=PB+PE.

小專題(八)與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明

1.如圖，在。0中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P,ZCAB=40°,ZAPD=65°.

(1)求NB的大??；

⑵已知圓心0到BD的距離為3,求AD的長.

B

解：(1)VZCAB=ZCDB,NCAB=40°,AZCDB=40°.

又；NAPD=65°,

.?.NB=NAPD—/CDB=25°.

⑵過點(diǎn)0作OELBD于點(diǎn)E,則0E=3,BE=DE.

又是AB的中點(diǎn)，...0E是4ABD的中位線.

.*.AD=2OE=6.

2.(南京中考)A,B是。。上的兩個定點(diǎn)，P是。。上的動點(diǎn)(P不與A,B重合)，我們稱/APB是。0上關(guān)于點(diǎn)A,B

的滑動角.已知NAPB是。0上關(guān)于點(diǎn)A,B的滑動角.

(D若AB是。。的直徑，則/APB=90°；

(2)如圖，若。。的半徑是1,AB=，L求NAPB的度數(shù).

解：連接OA,OB,AB.

：OA=OB=1,AB=木,

.,.OA2+OB2=AB2.

，/A0B=90°.

.".ZAPB=|ZAOB=45°.

3.如圖，AB是。。的直徑，C,D兩點(diǎn)在。0上，若/C=45°.

⑴求NABD的度數(shù)；

(2)若NCDB=30°,BC=3,求。。的半徑.

解：(1)VZC=45°,

.\ZA=ZC=45°.

；AB是。0的直徑,

AZADB=90°.

，NABD=45°.

⑵連接AC.

；AB是。。的直徑，

AZACB=90°.

；/CAB=/CDB=30°,BC=3,

AAB=6.

的半徑為3.

4.（寧夏中考）如圖，已知△ABC,以AB為直徑的。0分別交AC于D,BC于E,連接ED,若ED=EC.

⑴求證:AB=AC；

(2)若AB=4,BC=2小,求CD的長.

解：（1）證明：

.".ZEDC=ZC.

VZEDC=ZB,r.ZB=ZC..,.AB=AC.

(2)連接AE.

；AB為直徑，AAEIBC.

由(1)知AB=AC,.,.BE=CE=1BC=^3.

VZC=ZC,/EDC=NB,AACDE^ACBA.

7^=77--,-CE-CB=CD-AC.

CDAC

VAC=AB=4,???鎘X2/=4CD.

3

CD=-.

5.（深圳中考）如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧形小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展

了測算小橋所在圓的半徑的活動.小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，IIF的長為1

米，測得拱高（弧CH的中點(diǎn)到弦GH的距離，即MN的長）為2米，求小橋所在圓的半徑.

sDE1.6

解：??加=—，DE=8,

ErZ.4

解得EF=12.

VEG=3,HF=1,

.,.GH=EF-EG-HF=8.

由垂徑定理，得GM=/H=4.

又MN=2,設(shè)半徑OG=R,則0M=R-2.

在Rt^OMG中，由勾股定理，得

0M2+MG2=0G2.

/.(R-2)2+42=R2.解得R=5.

答：小橋所在圓的半徑為5米.

6.（安徽中考）在。0中，直徑AB=6,BC是弦，ZABC=30°,點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在。。上，且0PLPQ.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)PQ〃AB時，求PQ的長度；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動時，求PQ長的最大值.

解：(1)連接0Q.

VPQ/7AB,PQ±OP,

AOPIAB.

VAB=6,A0B=3.

VZABC=30°,

tanZABC^,釁邛

.?.0p=V5.

由勾股定理，得

PQ=^0Q2-0P2=-\/32-(73)2=V6.

(2)連接OQ.____________

由勾股定理，得PQ=^Q-0P'=49—OP?.

要使PQ取最大值，需OP取最小值，此時OP_LBC.

VZABC=30°，

13”工

.\0P=^0B=-,此時PQ*”<=

7.(煙臺中考)如圖，以AABC的一邊AB為直徑的半圓與其他兩邊AC,BC的交點(diǎn)分別為D,E,且施=施.

(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(2)已知半圓的半徑為5,BC=12,求sinNABD的值.

解：(DaABC為等腰三角形.理由如下:

連接AE,VDE=BE,

.\ZDAE=ZBAE,

即AE平分NBAC.

：AB為直徑，

.?./AEB=NAEC=90°,ERAEXBC.

XVAE=AE,

.,.△CAE^ABAE.AAC=AB.

...△ABC為等腰三角形.

⑵:△ABC為等腰三角形,AEXBC,

11

/.BE=CE=-BC=-X12=6.

在RtZkABE中,VAB=10,BE=6,

.,.AE=^10--62=8.

：AB為直徑，.*.NADB=90°.

在RtZXABD中,-8=1。'BD=y,

.,.AD=^/AB2-BD2=y.

8.如圖，在aABC中，AB=BC=2,以AB為直徑的。0分別交BC,AC于點(diǎn)D,E,且點(diǎn)D為BC的中點(diǎn).

(1)求證：AABC為等邊三角形；

⑵求DE的長；

⑶在線段AB的延長線上是否存在一點(diǎn)P,使△PBD^^AED,若存在，請求出PB的長；若不存在，請說明理由.

解：(1)證明：連接AD.

???AB是。0的直徑，

...NADB=90°.

?.?點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

AAD是線段BC的垂直平分線.

.?,AB=AC.

：AB=BC,.?.AB=BC=AC.

.??△ABC為等邊三角形.

(2)連接BE.

：AB是直徑，，NAEB=90°.

.\BE±AC.

VAABC是等邊三角形，

.?.AE=EC,即E為AC的中點(diǎn).

：D是BC的中點(diǎn)，故DE為4ABC的中位線,

111

/.BD=~BC=1,DE=-AB=-X2=1.

(3)假設(shè)存在點(diǎn)P,使△PBD絲4AED.

VAABC是等邊三角形，

.../BAC=NABC=60°.

.\ZPBD=120°.

VDE/7AB,.-.ZAED=120°.

又?.,△PBDg/\AED,BD=ED,

???PB=AE=L

周周練(3.1?3.4)

(時間：45分鐘滿分：100分)

一、選擇題(每小題4分，共32分)

L下列說法中，錯誤的是(B)

A.直徑相等的兩個圓是等圓

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

C.圓中最長的弦是直徑

D.一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧

2.(婁底中考)如圖，已知AB是。。的直徑，ZD=40°,則NCAB的度數(shù)為(C)

A.20°B.40°C.50°D.700

3.(泰安中考)如圖,△ABC內(nèi)接于。0,若NA=a,則NOBC等于(D)

A.180°-2aB.2a

C.900+aD.90°-a

4.如圖，。。的直徑為10,弦AB的長為6,M是弦AB上的一動點(diǎn)，則線段的0M的長的取值范圍是(B)

A.3W0MW5B.4W0MW5

C.3<0M<5D.4<0M<5

5.AB是。0的弦，0Q±AB,垂足為Q,再以0Q為半徑作同心圓，稱作小。0,點(diǎn)P是AB上異于A,B,Q的任意一點(diǎn),

則點(diǎn)P位置是(D)

A.在大。。上B.在大00外部

C.在小。0內(nèi)部D.在小。0外，大。。內(nèi)

6.如圖，^ABC內(nèi)接于。0,ZC=30°,AB=2,則。0的半徑為(B)

A.^3B.2

C.2小D.4

7.已知。0的直徑CD=10cm,AB是。0的弦，AB=8cm,且ABLCD,垂足為M,則AC的長為(C)

A.2yJ5cmB.4yf5cm

C.2y[5cm或4y[5cmD.2y[scm或4小cm

8.（泰安中考）如圖，AABC內(nèi)接于。0,AB是。。的直徑，NB=30°,CE平分NACB交。。于E,交AB于點(diǎn)D,連

接AE,則SAADE:SAFM的值等于(D)

A.1：72B.1：小D.2：3

二、填空題（每小題5分，共20分）

9.已知00的直徑為6,點(diǎn)M到圓心0的距離為4,則點(diǎn)M與。0的位置關(guān)系是點(diǎn)M在60外.

10.如圖，已知點(diǎn)A（0,1