旋轉（易錯28題5個考點）（解析版）-2023-2024學年九年級數(shù)學上冊《重難點題型-高分突破》（人教版）

第3單元旋轉（易錯28題5個考點）一．利用軸對稱設計圖案（共1小題）1．如圖1所示的圖形是一個軸對稱圖形，且每個角都是直角，長度如圖所示，小明按圖2所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個這樣的圖形（圖1）拼出來的圖形的總長度是a+8b（結果用含a，b代數(shù)式表示）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：方法1、如圖，由圖可得，拼出來的圖形的總長度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b故答案為：a+8b．方法2、∵小明用9個這樣的圖形（圖1）拼出來的圖形∴口朝上的有5個，口朝下的有四個，而口朝上的有5個，長度之和是5a，口朝下的有四個，長度為4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，即：總長度為5a+8b﹣4a＝a+8b，故答案為a+8b．二．旋轉的性質(zhì)（共20小題）2．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉40°至△ADE，點B、C的對應點分別為點D、E，下列結論中不一定正確的是（）A．∠BAD＝40° B．∠B＝70° C．∠DAC＝40° D．∠ADE＝70°【答案】C【解答】解：由旋轉得：∠BAD＝∠EAC＝40°，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，∴∠ADE＝∠B＝70°，故A、B、D都不符合題意；∵∠DAC不一定等于40°，∴選項C符合題意；故選：C．3．邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG如圖所示，若將正方形OEFG繞點O按順時針方向旋轉120°，在旋轉的過程中，兩個正方形重疊部分四邊形OMAN的面積（）A．先增大再減小 B．先減小再增大 C．不斷增大 D．不變【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∠DAO＝∠ABO＝45°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，旋轉得：四邊形OE′F′G′是正方形，∴∠E′OG′＝90°，∴∠E′OG′＝∠AOB＝90°，∴∠E′OG′﹣∠AON＝∠AOB﹣∠AON，∴∠BON＝∠AOM，∴△AOM≌△BON（ASA），∴四邊形OMAN的面積＝△AON的面積+△AOM的面積＝△AON的面積+△BON的面積＝△AOB的面積＝正方形ABCD的面積，∴在旋轉的過程中，兩個正方形重疊部分OMAN的面積不變，故選：D．4．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉一定角度得到△ADE．若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，∠BAC的度數(shù)為（）?A．65° B．70° C．75° D．85°【答案】D【解答】解：設AD與BC相交于點F，由旋轉得：∠BAD＝∠CAE＝65°，∠E＝∠C＝70°，∵AD⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF＝90°﹣∠C＝20°，∴∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝85°，故選：D．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝70°，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉角度α（0°＜α＜180°）得到Rt△A1B1C，使得A1、B1、A三點共線，則α的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝70°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝20°，由旋轉得：∠BAC＝∠B1A1C＝20°，AC＝A1C，∴∠CAA1＝∠B1A1C＝20°，∴∠ACA1＝180°﹣∠CAA1﹣∠B1A1C＝140°，∴則α的度數(shù)為140°，故選：D．6．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于點F，則∠BAC的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．80°【答案】D【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠AFC＝90°，由旋轉得：∠BAD＝60°，∠C＝∠E＝70°，∴∠CAF＝90°﹣∠C＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAF＝80°，故選：D．7．如圖，在△ABC中，AB＝2，將△ABC以點A為旋轉中心按逆時針方向旋轉60°，得到△AB'C'，連接BB'，則BB'等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：由旋轉得：AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等邊三角形，∴BB′＝AB＝AB′＝2，故選：B．8．如圖，直線c與直線a相交于點A，與直線b相交于點B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直線a∥b，則將直線a繞點A按如圖所示的方向至少旋轉（）A．10° B．20° C．60° D．130°【答案】A【解答】解：∵∠2＝60°，∴若要使直線a∥b，則∠3應該為60°，又∵∠1＝130°，∴∠3＝50°，∴直線a繞點A按順時針方向至少旋轉：60°﹣50°＝10°，故選：A．9．如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一點，且BC＝3BD，△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，則CE的長度為（）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】D【解答】解：∵在等邊三角形ABC中，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∵BC＝3BD，∴BD＝BC＝2，∵△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2．故選：D．10．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，且這兩個正方形的邊長都為2．若正方形A1B1C1O繞點O轉動，則兩個正方形重疊部分的面積為（）A．16 B．4 C．1 D．2【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠OAB＝∠OBF＝45°，OA＝OBBO⊥AC，即∠AOE+∠EOB＝90°，又∵四邊形A1B1C1O為正方形，∴∠A1OC1＝90°，即∠BOF+∠EOB＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△BOF中，∴△AOE≌△BOF（ASA），∵S兩個正方形重疊部分＝S△BOE+S△BOF，又S△AOE＝S△BOF，∴S兩個正方形重疊部分＝S△ABO＝＝1．故選：C．11．如圖，點A、B、C、D、O都在方格紙的格點上，若△COD可以由△AOB旋轉得到，則合理的旋轉方式為（）A．繞點O順時針旋轉90° B．繞點D逆時針旋轉60° C．繞點O逆時針旋轉90° D．繞點B逆時針旋轉135°【答案】C【解答】解：A、根據(jù)圖形可知：∠DOB＝∠COA＝90°，以O為旋轉中心，逆時針旋轉90°后D和B重合，C和A重合，O和O重合，即△COD可以由△AOB旋轉得到，合理的旋轉方式是繞點O逆時針旋轉90°，故本選項錯誤；B、繞點D逆時針旋轉45度時，D才和B重合，故本想象錯誤；C、繞點O逆時針旋轉90°，C和A重合、B和D重合，故本選項正確；D、繞點B逆時針旋轉135°，A不和C重合，故本選項錯誤；故選：C．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，將△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F，則△ACF與△BDF的周長之和為42cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵將△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，∴BD＝BC＝12cm，∴△BCD為等邊三角形，∴CD＝BC＝CD＝12cm，在Rt△ACB中，AB＝＝13，△ACF與△BDF的周長之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），故答案為：42．13．如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉40°后得到的圖形，若點D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，則∠C的度數(shù)是45°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠AOC的度數(shù)為105°，由旋轉可得∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，由旋轉可得，∠C＝∠B＝45°，故答案為：45°．14．如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO繞點A順時針旋轉到△AB1C1的位置，點B、O分別落在點B1、C1處，點B1在x軸上，再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉到△A1B1C2的位置，點C2在x軸上，將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去…．若點A（，0），B（0，2），則點B2018的坐標為（6054，2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵A（，0），B（0，2），∴Rt△AOB中，AB＝，∴OA+AB1+B1C2＝+2+＝6，∴B2的橫坐標為：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），∴B4的橫坐標為：2×6＝12，∴點B2018的橫坐標為：2018÷2×6＝6054，點B2018的縱坐標為：2，即B2018的坐標是（6054，2）．故答案為：（6054，2）．15．如圖，在△ABC中，AB＝6，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉30°后得到△A1BC1，則陰影部分的面積為9．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝6，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，如圖，過A1作A1D⊥AB于D，則A1D＝A1B＝3，∴S△A1BA＝×6×3＝9，又∵S陰影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S陰影＝S△A1BA＝9．故答案為：9．16．如圖，直線PQ∥MN，點A在PQ上，直角△BEF的直角邊BE在MN上，且∠EBF＝90°，∠BEF＝30°．現(xiàn)將△BEF繞點B以每秒1°的速度按逆時針方向旋轉（E，F(xiàn)的對應點分別是E′，F(xiàn)′），同時，射線AQ繞點A以每秒4°的速度按順時針方向旋轉（Q的對應點是Q′）．設旋轉時間為t秒（0≤t≤45）．（1）∠MBF′＝（90﹣t）°．（用含t的代數(shù)式表示）（2）在旋轉的過程中，若射線AQ′與邊E′F′平行時，則t的值為6秒或42秒．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，由題意得：∠FBF'＝t°，∠FBM＝90°，∴∠MBF'＝90°﹣t°＝（90﹣t）°，故答案為：（90﹣t）°；（2）①如圖2，AQ'∥E'F'，延長BE'交AQ'于C，則∠F'E'B＝∠ACB＝30°，由題意得：∠EBE'＝t°，∠QAQ'＝4t°，∴t+4t＝30，t＝6；②如圖3，AQ'∥E'F'，延長BE'，交PQ于D，交直線AQ'于C，則∠F'E'B＝∠ACD＝30°，由題意得：∠NBE'＝t°，∠QAQ'＝4t°，∴∠ADB＝∠NBE'＝t°，∵∠ADB＝∠ACD+∠DAC，∴30+180﹣4t＝t，t＝42，綜上，在旋轉的過程中，若射線AQ′與邊E′F′平行時，則t的值為6秒或42秒；故答案為：6秒或42秒．17．如圖，長方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的邊長為1．正方形AEFG繞點A旋轉的過程中，線段CF的長的最小值為2﹣．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，連接AF，CF，AC，∵長方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的邊長為1，∴AC＝2，AF＝，∵AF+CF≥AC，∴CF≥AC﹣AF，∴當點A，F(xiàn)，C在同一直線上時，CF的長最小，最小值為2﹣，故答案為：2﹣．18．閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出∠APB＝150°；（2）基本運用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如圖③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點O為Rt△ABC內(nèi)一點，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易證△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案為：150°；（2）如圖2，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE′，由旋轉的性質(zhì)得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉60°至△A′O′B處，連接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，∴△A′O′B如圖所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四點共線，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．19．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△AEF，點E落在BC邊上，EF與AC交于點G．（1）求證：△ABE是等邊三角形；（2）若∠ACB＝28°，求∠FGC的度數(shù)．【答案】（1）見詳解過程．（2）88°．【解答】（1）證明：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△AEF，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△ABE是等邊三角形．（2）解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△AEF，∴∠BAE＝∠CAF＝60°，∠ACB＝∠AFE＝28°，∵∠FGC是△AGF的外角，∴∠FGC＝∠CAF+∠AFE＝88°．20．如圖，在等邊△ABC中，點D為△ABC內(nèi)的一點，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，將△ABD繞點A逆時針旋轉60°得△ACE，連接DE．（1）求證：AD＝DE；（2）求∠DCE的度數(shù)；（3）若BD＝1，求AD，CD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵將△ABD繞點A逆時針旋轉60°得△ACE，∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE為等邊三角形，∴AD＝DE；（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°；（3）∵△ADE為等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°，又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2，在Rt△DCE中，DC＝＝．21．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，將△APB繞點B逆時針旋轉，得到△CQB．（1）旋轉角為60度；（2）求點P與點Q之間的距離；（3）求∠BPC的度數(shù)．【答案】（1）60；（2）4；（3）150°．【解答】解：（1）∵將△APB繞點B逆時針旋轉，∴∠PBQ＝∠ABC，∵△ABC為等邊三角形，∴∠PBQ＝∠ABC＝60°，∴旋轉角度為60°，故答案為：60；（2）連接PQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵△QCB是△PAB繞點B逆時針旋轉得到的，∴△QCB≌△PAB，∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等邊三角形，∴PQ＝PB＝4；即點P與點Q之間的距離是4；（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，而32+42＝52，∴PC2+PQ2＝CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，∵△PBQ是等邊三角形，∴∠BPQ＝60°，∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°．三．中心對稱圖形（共3小題）22．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．23．下列圖形中，繞著某個點旋轉180°后可與本身重合的是（）A．平行四邊形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．正五邊形【答案】A【解答】解：平行四邊形能繞某個點（平行四邊形的對角線的交點）旋轉180°后與自身重合，等邊三角形、等腰直角三角形、正五邊形不能繞某個點旋轉180°后與自身重合．故選：A．24．在①平行四邊形、②正方形、③等邊三角形、④等腰梯形、⑤菱形、⑥圓、⑦正八邊形這些圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是②⑤⑥⑦（填序號）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是：②正方形、⑤菱形、⑥圓、⑦正八邊形，故答案為：②⑤⑥⑦．四．關于原點對稱的點的坐標（共2小題）25．在平面直角坐標系中，點P（﹣