清華大學版理論力學課后習題集標準答案全集第6章剛體平面運動分析

6章剛體的平面運動分析

6-1圖示半徑為r的齒輪由曲柄0A帶動，沿半徑為R的固定齒輪滾動。曲柄0A以等角加速度(Z繞

軸O轉(zhuǎn)動，當運動開始時，角速度。0=0,轉(zhuǎn)角90=0。試求動齒輪以圓心A為基點的平面運動方程。

解：4=(火+r)cos(p(1)

yA=(/?+??)sin(2)

a為常數(shù),當1=0時，。0=%=0

(p=-at2(3)

起始位置，尸與尸0重合，即起始位置A尸水

平，記NQ4P=。，則AP從起始水平位置至圖示

AP位置轉(zhuǎn)過

(PA=0+8

因動齒輪純滾，故有原二分，即

R(p=r。

RR+r/A\

0n=-(p,(p=-------(p(4)

rAr

將(3)代入(1)、(2)、(4)得動齒輪以A為基點的平面運動方程為:

Ct7

XA=(/?+r)COSyZ

〃=(R+r)si吟/

1R+r2

外=5丁”

6-2桿AB斜靠于高為。的臺階角C處，一端A以勻速vo沿水平向右運動，如圖所示。試以桿與鉛

垂線的夾角，表示桿的角速度。

解：桿A3作平面運動，點C的

速度也沿桿AB如圖所示。作速度

,c和％的垂線交于點P,點P即為

桿AB的速度瞬心。則角速度桿AB

為

2

%_%COS0_VQCOS0

①AB~AP~AC~-h~

習題6—2圖習題6—2解圖

6-3圖示拖車的車輪A與墊滾B的半徑均為小試問當拖車以速度v前進時，輪A與墊滾B的角速

度0A與有什么關系？設輪A和墊滾B與地面之間以及墊滾B與拖車之間無滑動。

解:co叢=上

ARR

①BVfi_=_L

2R—2R

6-4直徑為606mm的滾子在水平面上作純滾動，桿BC一端與滾子較接，另一端與滑塊C錢接。

設桿BC在水平位置時，滾子的角速度0=12rad/s,(9=30°,夕=60。，BC=270mm。試求該瞬時桿BC的

角速度和點C的速度。

解：桿BC的瞬

心在點P,滾子0的

瞬心在點D

vB=a)BD

v(0'BD

(Df>=—B=-----

cBPBP

12x606cos30。

一270sin30°

=8rad/s

習題6-4圖習題6-4解圖

%=①BLPC

=8x0.27cos30°=1.87m/s

6—5在下列機構(gòu)中，那些構(gòu)件做平面運動，畫出它們圖示位置的速度瞬心。

解：圖（a）中平面運動的瞬心在點O,桿8C的瞬心在點C。

圖（b）中平面運動的桿3C的瞬心在點P,桿AO做瞬時平移。

6—6圖示的四連桿機械QABOi中，OA=O]B=—ABr曲柄OA的角速度。=3rad/s。試求當示。0=90°

2

而曲柄。山重合于的延長線上時，桿A8和曲柄OiB的角速度。

解：桿A8的瞬心在O

con=——=69=3rad/s

ABOA

CO()、B—=5/3tw=5.2rad/s

習題6-6圖

6-7繞電話線的卷軸在水平地面上作純滾動，線上的點A有向右的速度％=0.8in/s,試求卷軸中心0

的速度與卷軸的角速度，并問此時卷軸是向左，還是向右方滾動？

解:如圖

0.6m

=—=1.333rad/s

°。=0.9-0.30.6

Q

VQ—0.9/0=0.9x—=1.2m/s

6

卷軸向右滾動。習題6-7圖

6-8圖示兩齒條以速度〃和叱作同方向運動，在兩齒條間夾一齒輪，其半徑為r,求齒輪的角速度

及其中心。的速度。

解：如圖，以。為基點:

匕=%+

女=%一

解得：

6-9曲柄一滑塊機構(gòu)中，如曲柄角速度0=20rad/s,試求當曲柄OA在兩鉛垂位置和兩水平位置時

配汽機構(gòu)中氣閥推桿OE的速度。己知Q4=400mm,AC=CB=200y/y?mm。

習題6-9圖

解：。4定軸轉(zhuǎn)動；AB、C。平面運動，DE平移。

1.當0=90°,270°時，0A處于鉛垂位置，圖

(a)表示0=90°情形，此時AB瞬時平移，vc水平，

而切只能沿鉛垂，。為CD之瞬心

VDE=0

同理，*=270°時，VOE=0

2.e=180°,0°時，桿AB的瞬心在B

。=0°時，圖(b),Vc=gv.(t)

此時CO桿瞬時平移

=口￡>==義〃=4m/s(t)

同理180°時，VDE-4m/s(I)習題6—9解圖

6—10桿AB長為一端錢接在半徑為「二0.5m的輪緣上，另一端放在水平面上，如圖所示。

輪沿地面作純滾動，已知輪心O速度的大小為田=20m/s。試求圖示瞬時(OA水平)8點的速度以及輪和

桿的角速度。

解：輪0的速度瞬心

為點C，桿A8的速度瞬

心為點P

=%=22=4()rad/s

r0.5

vA=①。叵r=2(x/2m/s

v.20^2sin45°

=---------

AP1.5cos。

=10五=14.1rad/s

vBcos0=vAcos(45°+0)

00

vB=20V2(cos45-sin45tan0)=12.9m/s

6-11圖示滑輪組中，繩索以速度依=0.12m/s下降，各輪半徑已知，如圖示。假設繩在輪上不打滑,

試求輪B的角速度與重物。的速度。

解：輪3瞬心在月點

VE=vc

-=^=1rad/s

60x2x10-30.12

VD=VB=2=2Vc=006向$

習題6一11圖

6-12鏈桿式擺動傳動機構(gòu)如圖所示，OCEA為一搖桿，且CA_LDE。曲柄0A=200mm,CO=CE=

250mm,曲柄轉(zhuǎn)速〃=70i7min,CO=200A/3mm?試求當夕=90°時(這時04與C4成60°角)/、G

兩點的速度的大小和方向。

習題6—12圖

習題6—12解圖

解：動點：。4上A；動系：DCEA；絕對運動：圓周；相對運動：直線；牽連運動:

定軸轉(zhuǎn)動。

?“冗〃1由/10.7,

v=OAa)=0.2x——=----m/sv_=—v=——nm/s

八4303c243

v0.7兀7n..

g=—e=-----=—rad/sv=v=0.254tu=—m/s

cCA3x0.412EF°ne48

%=VE8s30°="?平=0.397m/s(f)

Vp=vc-0.397m/s(一)

6-13平面機構(gòu)如圖所示。已知：OA=A8=20cm,半徑r=5cm的圓輪可沿鉛垂面作純滾

動。在圖示位置時，0A水平，其角速度。=2rad/s、角加速度為零，桿AB處于鉛垂。試求該瞬時：

(1)圓輪的角速度和角加速度；

(2)桿48的角加速度。

解：

(1)圓輪的角速度和角加速度

VA=OAO=AGcnVs

桿AB瞬時平移，(DAB=0

%=以=40cnVs

co=—=Srad/s

Br

aB~aBA=。

習題6—13解圖

a=—=0

Br

(2)桿A8的角加速度。

以一力A=0，〃%=%=3?〃=80cnVs2

a=向±=4rad/s2

?AB

6-14圖示機構(gòu)由直角形曲桿A5C,等腰直角三角形板CEF,直桿。上等三個剛體和二個鏈桿較

接而成，DE桿繞力軸勻速轉(zhuǎn)動，角速度為切0,求圖示瞬時(AB水平，OE鉛垂)點A的速度和三角板

點O習題6—14解圖

v

A=-OA=2aco(}

(2)求三角板CEF的角加速度

a尸+a?=+ctpE+口￡

將上式沿水平方向投影

aF=aFE=0(因為摩=0)

6-15曲柄連桿機構(gòu)在其連桿中點C以錢鏈與CO相連接，DE桿可以繞E點轉(zhuǎn)動。如曲柄的加速度

co=8rad/s,且。4=25cm,DE=100cm,若當8、E兩點在同一鉛垂線上時，。、A>B三點在同

?水平線上，ZCDE=90°,求桿OE的角速度和桿A3的角加速度。

解：

（1）求桿￡>E的角速度

VA=OA-co=200cnVs

桿AB的速度瞬心在點8

v=—=100cm/s

cr2

對桿CO應用速度投影定理

vD=vcsin30°=50cnVs

3p-=0.5rad/s

rl-DE

（2）求桿AB的角加速度

aB=aA+a'BA+a^A

將上式沿鉛垂方向投影

也=0

aAB

AB

6-16試求在圖示機構(gòu)中，當曲柄OA和搖桿。山在鉛垂位置時，B點的速度和加速度（切向和法向）。

曲柄0A以等角加速度a（）=5rad/s?轉(zhuǎn)動，并在此瞬時其角速度為例）=IOrad/s?OA=r=200mm,O\B=

1000mm,AB=/=1200mm。

解：1.v*v—r(Oq

VB//V/\COAB=0

Vg=rco^=0.2x10=2m/s(1)

2.a：a￡+a，=a；+a；+叱

上式沿AB方向投影得：

a'^sind+a'Hcos6=《sin6+a；cos0

a'B=a；tan。+a；-a,tan0

即2v；

-0.169+ra0--區(qū)0.169

O[B

=(0.2xIO2-^-)x0.169+0.2x5=3.70m/s2

/八0.20.2八…、

(lan。=一~~==-7=0.169)

71.22-0.227^4

端=^-=4m/s2

習題6—16解圖

%=4m/s2

QB：CIB\.(方向如圖)

{2

[aB=3.7m/s

6-17圖示四連桿機構(gòu)中，長為r的曲柄OA以等

角速度砒）轉(zhuǎn)動，連桿A6長/二4r0設某瞬時NOiOA=

ZOiBA=30°o試求在此瞬時曲柄。出的角速度和角加

速度，并求連桿中點P的加速度。

解：1.v：以=s）

由速度投影定理知：vz?=O

①Q(mào)B二°

“_s_g

①AB

(a)

2.a-.aB=a'B=aA+a'^A+a'BA

上式向四投影

a'Bcos60°=aA+a嬴

*-2（%+。益）=2（m＞；+1%）

r

_4424cos30。52戊.舊2

%止~oji~~5r--5r-一-5r-一

2cos30°

l

aBA-*cos30°=■—?g

6-18滑塊以勻速度ws=2m/s沿鉛垂滑槽向下滑動，通過連桿AB帶動輪子A沿水平面作純滾動。設連

桿長/=800mm,輪子半徑r=200mm。當AB與鉛垂線成角0=30。時，求此時點A的加速度及連桿、輪子的

角加速度。

解：1.v：點O為桿AB的速度瞬心J4jA

①AB5rad/s

OB/sin。

2.a：aA=a\B+a\B

心=臉/=20而

2

a\H=a\Bcot0-20V3nVs

aAB

2

=^AB_的Ms

sin。

=^-=—=200m/s2

r0.2

習題6-18解圖

6-19圖示曲柄搖塊機構(gòu)中，曲柄04以角速度@繞。軸轉(zhuǎn)動，帶動連桿AC在搖塊B內(nèi)滑動；搖塊

及與其剛性連結(jié)的BO桿則繞B皎轉(zhuǎn)動，桿BD長/。求在圖示位置時，搖塊的角速度及。點的速度。

解:

%=以sin30。=停

刃搖塊一0c=一

ZJLC

CDc

VD~DB?0搖塊=—習題6-19解圖

6-20平面機構(gòu)的曲柄OA長為2a,以角速度他繞軸。轉(zhuǎn)動。在圖示位置時，AB=BO且ZOAD=90°?

求此時套筒D相對于桿BC的速度。

解：1.分析滑塊B

UA=2ag,丫佻=4。0

v二V一二2ag

Ba~cos300-V3

2.桿A￡＞作平面運動

Qno4atyo

vA=vDacos30°,vDa=—^

3.分析滑塊。

2a0）（.2ag