同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)課件第一章

同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)課件第一章目錄CONTENTS線性代數(shù)簡介矩陣的基本概念向量的基本概念線性方程組的基本概念01線性代數(shù)簡介CHAPTER線性代數(shù)的定義線性代數(shù)是一門研究線性方程組、向量空間、線性變換等數(shù)學(xué)對(duì)象的學(xué)科。它通過矩陣、行列式、向量等工具，研究線性關(guān)系和線性變換的性質(zhì)和規(guī)律。線性代數(shù)的重要性線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，廣泛應(yīng)用于科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域。它為解決實(shí)際問題提供了重要的數(shù)學(xué)工具，如線性方程組求解、矩陣運(yùn)算、特征值計(jì)算等。0320世紀(jì)以來，線性代數(shù)的研究不斷深入，出現(xiàn)了許多重要的理論和應(yīng)用成果。01線性代數(shù)的發(fā)展始于17世紀(jì)，隨著代數(shù)學(xué)的發(fā)展而逐步形成。0219世紀(jì)中葉，行列式和矩陣的引入為線性代數(shù)的研究提供了重要的工具。線性代數(shù)的發(fā)展歷程02矩陣的基本概念CHAPTER矩陣是一個(gè)由數(shù)字組成的矩形陣列，行數(shù)和列數(shù)可以不同。矩陣的元素通常用方括號(hào)括起來，行之間用逗號(hào)分隔，列之間用分號(hào)分隔。矩陣的維度表示其行數(shù)和列數(shù)，例如一個(gè)$3times2$矩陣有3行和2列。矩陣的定義加法兩個(gè)同維度的矩陣可以相加，對(duì)應(yīng)元素相加得到結(jié)果矩陣的對(duì)應(yīng)元素。數(shù)乘一個(gè)標(biāo)量與一個(gè)矩陣相乘，將矩陣的每個(gè)元素都乘以該標(biāo)量。乘法一個(gè)矩陣與另一個(gè)矩陣相乘，結(jié)果矩陣的行數(shù)等于第一個(gè)矩陣的列數(shù)，列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)。矩陣的運(yùn)算除了主對(duì)角線上的元素外，其他元素都為零的矩陣。對(duì)角矩陣主對(duì)角線以下的元素都為零的矩陣。上三角矩陣主對(duì)角線以上的元素都為零的矩陣。下三角矩陣特殊類型的矩陣03向量的基本概念CHAPTER總結(jié)詞向量的定義詳細(xì)描述向量是具有大小和方向的量，通常用有向線段表示。在二維空間中，向量可以用有序?qū)Ρ硎?，而在三維空間中，向量可以用有序三元組表示。向量的定義向量的運(yùn)算總結(jié)詞向量有加法、數(shù)乘、減法、數(shù)乘運(yùn)算等基本運(yùn)算。向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，數(shù)乘滿足分配律。此外，還有向量的模運(yùn)算、向量的數(shù)量積、向量的向量積、向量的混合積等運(yùn)算。詳細(xì)描述向量的運(yùn)算總結(jié)詞向量的模與向量的空間詳細(xì)描述向量的模表示向量的大小，計(jì)算公式為$sqrt{x^2+y^2}$（在二維空間）或$sqrt{x^2+y^2+z^2}$（在三維空間）。向量空間是由向量構(gòu)成的集合，滿足加法和數(shù)乘的封閉性、加法和數(shù)乘的結(jié)合律、加法和數(shù)乘的交換律等性質(zhì)。向量的模與向量的空間04線性方程組的基本概念CHAPTER線性方程組的一般形式Ax=b，其中A是一個(gè)矩陣，x是一個(gè)向量，b是一個(gè)向量，且A、x、b中的元素都是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。線性方程組的解滿足所有方程的未知數(shù)的值。線性方程組由有限個(gè)線性方程組成的方程組，其中每個(gè)方程包含一個(gè)或多個(gè)未知數(shù)。線性方程組的定義通過行變換將增廣矩陣化為階梯形矩陣，從而求解線性方程組。高斯消元法迭代法共軛梯度法通過迭代的方式逐步逼近方程的解，常用的迭代方法有雅可比迭代法和SOR方法?；谧钏傧陆捣ê凸曹椃较虻乃枷耄ㄟ^迭代尋找線性方程組的解。線性方程組的解法物理問題線性方程組在物理領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，如彈性力學(xué)、流體力學(xué)等。工程問題在工程領(lǐng)域中，線性方程組被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析、控