拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1

2.4拋物線2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)復(fù)習(xí)拋物線的定義1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2拋物線的圖象,焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線方程3橢圓及雙曲線的性質(zhì)4圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程

類(lèi)比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，你認(rèn)為可以討論拋物線的哪些幾何性質(zhì)？

我們根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)研究它的一些簡(jiǎn)單幾何性質(zhì):拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.范圍

因?yàn)閜＞0，由方程y2=2px可知，對(duì)于拋物線上的點(diǎn)M(x，y)，x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)，開(kāi)口方向與x軸正向相同;

當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．2.對(duì)稱(chēng)性

以-y代y，方程y2=2px不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).我們把拋物線的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線的軸．3.頂點(diǎn)

拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).在方程y2=2px中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)．4.離心率

拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．1．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是F(0，5)；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線是x=4；(3)焦點(diǎn)是F(0，-8)，準(zhǔn)線是y=8；(4)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6；y2＝24x或y2＝-24xx2＝20yy2＝-16xx2＝-32y2．已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．y2＝4x3．頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

的拋物線有幾條？求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：若焦點(diǎn)在x軸，可設(shè)拋物線的方程為：y2＝tx

將點(diǎn)

代入方程，解得：t=4

∴方程為：y2＝4x．

若焦點(diǎn)在y軸，可設(shè)拋物線的方程為：x2＝ty

將點(diǎn)

代入方程，解得：

∴方程為：

．4．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)M(2，-4)；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)P(-6，-3)；解：(1)設(shè)拋物線的方程為：y2＝tx，將點(diǎn)Ｍ(2，-4)代入方程，解得：t=8，∴方程為：y2＝8x． (2)設(shè)拋物線的方程為：x2＝ty，將點(diǎn)P(-6，-3)代入方程，解得：t=-12，∴方程為：x2＝-12y．xyOFABy2=2px2p

過(guò)焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦AB，稱(chēng)為拋物線的通徑.

利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p2p越大，拋物線張口越大.5.通徑5．下列拋物線中，開(kāi)口最大的是() A．x2＝y(tǒng) B．x2＝2y C．x2＝3y D．x2＝4yD(1)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線；(2)拋物線只有一條對(duì)稱(chēng)軸,沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心;(3)拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；(4)拋物線的離心率e是確定的，為１;(5)拋物線的通徑為2p,2p越大，拋物線的張口越大.

連接拋物線上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑.焦半徑公式：xyOFP6.焦半徑試推導(dǎo)出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的焦半徑公式。通過(guò)焦點(diǎn)的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦點(diǎn)弦。xOyFA焦點(diǎn)弦公式：試推導(dǎo)出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的焦點(diǎn)弦公式。B7.焦點(diǎn)弦方程圖形范圍對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)焦半徑焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）1．拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為9，這點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為13，則：這點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

；拋物線方程

；這點(diǎn)的坐標(biāo)是

；此拋物線過(guò)焦點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)為

．2．過(guò)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1+x2=6，則|AB|=

．3．過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|=

．138y2=16x(9，±12)16784．斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．解：由題意知，F(xiàn)(1，0)，又∵l的斜率為1，∴l(xiāng)的方程為y=x-1，由

，得x2-6x+1=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=6，∴|AB|=x1+x2+2=8．5．過(guò)點(diǎn)M(2，0)作斜率為1的直線l，交拋物線y2=4x于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．解：由題意知，l的方程為y=x-2，由

，得x2-8x+4=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=8，x1x2=4，∴

．6．直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相切證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過(guò)A，E，B分別向準(zhǔn)線l引垂線AD，EH，BC，垂足分別為D，H，C，則|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|=2|EH|∴EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，∴圓E和準(zhǔn)線l相切．7．垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B兩點(diǎn)，且|AB|= ，則直線AB的方程為

．8．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)A位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)B、C在拋物線y2=2px(p>0)上，求這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)．x=3解：由對(duì)稱(chēng)性可知，BC⊥x軸，設(shè)三角形的邊長(zhǎng)為2a，則B點(diǎn)坐標(biāo)為

，代入拋物線方程解得：

，∴三角形的邊長(zhǎng)為

．9．如圖，P是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以Fx為始邊，F(xiàn)P為終邊的角∠x(chóng)FP=60o，求|FP|．解：∵F(1，0)，∠x(chóng)FM=60o，∴