第八章 平面解析幾何 頂層設(shè)計(jì) 前瞻 解析幾何熱點(diǎn)問題

解析幾何熱點(diǎn)問題核心熱點(diǎn)真題印證核心素養(yǎng)直線方程、定值問題2019·Ⅰ，19；2018·Ⅰ，19；2018·北京，19數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理橢圓方程、定點(diǎn)問題2019·北京，19；2017·Ⅰ，20；2017·Ⅱ，20數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理直線與橢圓2019·Ⅱ，19；2018·Ⅲ，20數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理直線與拋物線2019·Ⅲ，21；2019·北京，18；2018·Ⅱ，19；2017·Ⅲ，20數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理教材鏈接高考——求曲線方程及直線與圓錐曲線[試題評析]

1.問題涉及解析幾何中最重要的一類題目：求曲線的方程，解決的方法都是利用橢圓的幾何性質(zhì).2.對于(1)給出的兩點(diǎn)并不是普通的兩點(diǎn)，而是長軸和短軸的端點(diǎn)，這就告訴我們要仔細(xì)觀察、借助圖形求解問題，(2)中條件給出a，b的值，但要討論焦點(diǎn)的位置才能寫出橢圓方程.(2)由題意，設(shè)P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)，直線PB的斜率為k(k≠0)，教你如何審題——圓錐曲線中的證明問題【例題】

(2019·北京卷)已知拋物線C：x2＝－2py(p>0)經(jīng)過點(diǎn)(2，－1). (1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程； (2)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y＝－1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(diǎn).[審題路線]設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＝－4.[自主解答](1)解由拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(diǎn)(2，－1)得p＝2.所以拋物線C的方程為x2＝－4y，其準(zhǔn)線方程為y＝1.(2)證明拋物線C的焦點(diǎn)為F(0，－1).設(shè)直線l的方程為y＝kx－1(k≠0).綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0，1)和(0，－3).(1)解由已知得F(1，0)，l的方程為x＝1.(2)證明當(dāng)l與x軸重合時，∠OMA＝∠OMB＝0°.當(dāng)l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA＝∠OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.從而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ).所以∠OMA＝∠OMB.綜上，∠OMA＝∠OMB.滿分答題示范——圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題依題意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<1，又因?yàn)閗≠0，故k<0或0<k<1.又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)(1，－2).[規(guī)范解答](1)解因?yàn)閽佄锞€y2＝2px過點(diǎn)(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故拋物線C的方程為y2＝4x.··················2′

由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0).令x＝0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為從而k≠－3.所以直線l斜率的取值范圍是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).··················6′

(2)證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).λ＝1－yM，μ＝1－yN.··················10′

(1)解由題意，得b2＝1，c＝1，