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第第頁(yè)2022高三數(shù)學(xué)下期中試題(理科)

****高三數(shù)學(xué)下冊(cè)期中試題(理科)

(考試時(shí)間120分鐘總分值150分)

本試卷分為選擇題(共40分)和非選擇題(共110分)兩部分

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題:本大題共8小題,每題5分,共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).

(1)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

(2)已知集合,集合,那么

(A)(B)(C)(D)

(3)已知平面對(duì)量,滿(mǎn)意,,那么與的夾角為

(A)(B)(C)(D)

(4)如圖,設(shè)區(qū)域,向區(qū)域內(nèi)

隨機(jī)投一點(diǎn),且投入到區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的,那么點(diǎn)落

入到陰影區(qū)域的概率為

(A)(B)

(C)(D)

(5)在中,,,那么"'

是"'的

(A)充分不須要條件(B)須要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不須要條件

(6)執(zhí)行如下圖的程序框圖,輸出的S值為

(A)(B)

(C)(D)

(7)已知函數(shù).以下命題:

①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);②函數(shù)是周期函數(shù);

③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn),其中正確命題的序號(hào)是

(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④

(8)直線與圓交于不同的兩點(diǎn),,且,其中是坐標(biāo)原點(diǎn),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是

(A)(B)

(C)(D)

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題:本大題共6小題,每題5分,共30分.把答案填在答題卡上.

(9)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,,那么該數(shù)列的前4項(xiàng)和

為.

(10)在極坐標(biāo)系中,為曲線上的點(diǎn),為曲線上的點(diǎn),那么線段

長(zhǎng)度的最小值是.

(11)某三棱錐的三視圖如下圖,那么這個(gè)三棱錐的體積

為;表面積為.

(12)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離是,那么;

此雙曲線的離心率為.

(13)有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的紅色卡片3張,標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的

藍(lán)色卡片3張,現(xiàn)將全部的6張卡片放在2行3列的格內(nèi)

(如圖).假設(shè)顏色相同的卡片在同一行,那么不同的放法種數(shù)

為.(用數(shù)字作答)

(14)如圖,在四棱錐中,底面.底面為梯形,,∥,,.假設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),那么滿(mǎn)意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.

(15)(本小題總分值13分)

已知函數(shù),.

(Ⅰ)求的值及函數(shù)的最小正周期;

(Ⅱ)求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間.

(16)(本小題總分值13分)

某單位從一所學(xué)校招收某類(lèi)非常人才.對(duì)位已經(jīng)選拔入圍的同學(xué)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能和規(guī)律思維技能的測(cè)試,其測(cè)試結(jié)果如下表:

一般良好優(yōu)秀

一般

良好

優(yōu)秀

例如,表中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能良好且規(guī)律思維技能一般的同學(xué)有人.由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這位參與測(cè)試的同學(xué)中隨機(jī)抽取一位,抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué)的概率為.

(I)求,的值;

(II)從參與測(cè)試的位同學(xué)中任意抽取位,求其中至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思

維技能優(yōu)秀的同學(xué)的概率;

(III)從參與測(cè)試的位同學(xué)中任意抽取位,設(shè)運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的學(xué)

生人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

(17)(本小題總分值14分)

如圖,四棱錐的底面為正方形,側(cè)面底面.為等腰直角三角形,且.,分別為底邊和側(cè)棱的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:∥平面;

(Ⅱ)求證:平面;

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

(18)(本小題總分值13分)

已知函數(shù),.

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為,求的值.

(19)(本小題總分值14分)

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).直線與直線分別與軸交于點(diǎn),試問(wèn)以線段為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)?假設(shè)是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);假設(shè)不是,說(shuō)明理由.

(20)(本小題總分值13分)

從中這個(gè)數(shù)中取(,)個(gè)數(shù)組成遞增等差數(shù)列,全部可能的遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)記為.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),寫(xiě)出全部可能的遞增等差數(shù)列及的值;

(Ⅱ)求;

(Ⅲ)求證:.

北京市朝陽(yáng)區(qū)高三班級(jí)第一次綜合練習(xí)

數(shù)學(xué)答案(理工類(lèi))****.3

一、選擇題

題號(hào)12345678

答案BABABDCD

二、填空題

題號(hào)91011121314

答案

2

2

三、解答題

15.(本小題總分值13分)

解:

.

(Ⅰ).

顯著,函數(shù)的最小正周期為.8分

(Ⅱ)令得

,.

又由于,所以.

函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為.13分

16.(本小題總分值13分)

解:(I)設(shè)事項(xiàng):從位同學(xué)中隨機(jī)抽取一位,抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué).

由題意可知,運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué)共有人.

那么.

解得.

所以.4分

(II)設(shè)事項(xiàng):從人中任意抽取人,至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué).

由題意可知,至少有一項(xiàng)技能測(cè)試優(yōu)秀的同學(xué)共有人.

那么.7分

(III)的可能取值為,,.

位同學(xué)中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)為人.

所以,

.

所以的分布列為

012

所以,.13分

17.(本小題總分值14分)

(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連接,.

由于,分別是,的中點(diǎn),

所以是△的中位線.

所以∥,且.

又由于是的中點(diǎn),且底面為正方形,

所以,且∥.

所以∥,且.

所以四邊形是平行四邊形.

所以∥.

又平面,平面,

所以平面.4分

(Ⅱ)證明:由于平面平面,

,且平面平面,

所以平面.

所以,.

又由于為正方形,所以,

所以?xún)蓛纱怪?

以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以為軸,

建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

由題意易知,

設(shè),那么

,,,,,,.

由于,,,

且,

所以,.

又由于,相交于,所以平面.9分

(Ⅲ)易得,.

設(shè)平面的法向量為,那么

所以即

令,那么.

由(Ⅱ)可知平面的法向量是,

所以.

由圖可知,二面角的大小為銳角,

所以二面角的余弦值為.14分

18.(本小題總分值13分)

解:函數(shù)的定義域是,.

(Ⅰ)(1)當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)時(shí),恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

(3)當(dāng)時(shí),令,又由于,解得.

①當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,

當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間為.7分

(Ⅱ)(1)當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)可知,在上單調(diào)遞減,

所以的最小值為,解得,舍去.

(2)當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)可知,

①當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)的最小值為,解得.

②當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,

在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的最小值為,

解得,舍去.

③當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)的最小值為,得,舍去.

綜上所述,.13分

19.(本小題總分值14分)

解:(Ⅰ)由題意得,解得,.

所以橢圓的方程是.4分

(Ⅱ)以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn).

由得.

設(shè),那么有,.

又由于點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn),所以點(diǎn).

由題意可知直線的方程為,故點(diǎn).

直線的方程為,故點(diǎn).

假設(shè)以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn),那么等價(jià)于恒成立.

又由于,,

所以恒成立.

又由于

,

所以.

解得.

故以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn).14分

20.(本小題總分值13分)

解:(Ⅰ)符合要求的遞增等差數(shù)列為1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4個(gè).

所以.3分

(Ⅱ)設(shè)滿(mǎn)意條件的一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為,公差為,.

,,的可能取值為.

對(duì)于給定的,,當(dāng)分別取時(shí),可得遞增等差數(shù)列個(gè)(如:時(shí),,當(dāng)分別取時(shí),可得遞增等差數(shù)列91個(gè):;;;,其它同理).

所以當(dāng)取時(shí),可得符合要求的等

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