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第第頁(yè)2022高三數(shù)學(xué)下期中試題(理科)
****高三數(shù)學(xué)下冊(cè)期中試題(理科)
(考試時(shí)間120分鐘總分值150分)
本試卷分為選擇題(共40分)和非選擇題(共110分)兩部分
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題:本大題共8小題,每題5分,共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).
(1)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
(2)已知集合,集合,那么
(A)(B)(C)(D)
(3)已知平面對(duì)量,滿(mǎn)意,,那么與的夾角為
(A)(B)(C)(D)
(4)如圖,設(shè)區(qū)域,向區(qū)域內(nèi)
隨機(jī)投一點(diǎn),且投入到區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的,那么點(diǎn)落
入到陰影區(qū)域的概率為
(A)(B)
(C)(D)
(5)在中,,,那么"'
是"'的
(A)充分不須要條件(B)須要不充分條件
(C)充要條件(D)既不充分也不須要條件
(6)執(zhí)行如下圖的程序框圖,輸出的S值為
(A)(B)
(C)(D)
(7)已知函數(shù).以下命題:
①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);②函數(shù)是周期函數(shù);
③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn),其中正確命題的序號(hào)是
(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④
(8)直線與圓交于不同的兩點(diǎn),,且,其中是坐標(biāo)原點(diǎn),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是
(A)(B)
(C)(D)
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題:本大題共6小題,每題5分,共30分.把答案填在答題卡上.
(9)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,,那么該數(shù)列的前4項(xiàng)和
為.
(10)在極坐標(biāo)系中,為曲線上的點(diǎn),為曲線上的點(diǎn),那么線段
長(zhǎng)度的最小值是.
(11)某三棱錐的三視圖如下圖,那么這個(gè)三棱錐的體積
為;表面積為.
(12)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離是,那么;
此雙曲線的離心率為.
(13)有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的紅色卡片3張,標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的
藍(lán)色卡片3張,現(xiàn)將全部的6張卡片放在2行3列的格內(nèi)
(如圖).假設(shè)顏色相同的卡片在同一行,那么不同的放法種數(shù)
為.(用數(shù)字作答)
(14)如圖,在四棱錐中,底面.底面為梯形,,∥,,.假設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),那么滿(mǎn)意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.
(15)(本小題總分值13分)
已知函數(shù),.
(Ⅰ)求的值及函數(shù)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間.
(16)(本小題總分值13分)
某單位從一所學(xué)校招收某類(lèi)非常人才.對(duì)位已經(jīng)選拔入圍的同學(xué)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能和規(guī)律思維技能的測(cè)試,其測(cè)試結(jié)果如下表:
一般良好優(yōu)秀
一般
良好
優(yōu)秀
例如,表中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能良好且規(guī)律思維技能一般的同學(xué)有人.由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這位參與測(cè)試的同學(xué)中隨機(jī)抽取一位,抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué)的概率為.
(I)求,的值;
(II)從參與測(cè)試的位同學(xué)中任意抽取位,求其中至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思
維技能優(yōu)秀的同學(xué)的概率;
(III)從參與測(cè)試的位同學(xué)中任意抽取位,設(shè)運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的學(xué)
生人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
(17)(本小題總分值14分)
如圖,四棱錐的底面為正方形,側(cè)面底面.為等腰直角三角形,且.,分別為底邊和側(cè)棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
(18)(本小題總分值13分)
已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為,求的值.
(19)(本小題總分值14分)
已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).直線與直線分別與軸交于點(diǎn),試問(wèn)以線段為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)?假設(shè)是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);假設(shè)不是,說(shuō)明理由.
(20)(本小題總分值13分)
從中這個(gè)數(shù)中取(,)個(gè)數(shù)組成遞增等差數(shù)列,全部可能的遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)記為.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),寫(xiě)出全部可能的遞增等差數(shù)列及的值;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)求證:.
北京市朝陽(yáng)區(qū)高三班級(jí)第一次綜合練習(xí)
數(shù)學(xué)答案(理工類(lèi))****.3
一、選擇題
題號(hào)12345678
答案BABABDCD
二、填空題
題號(hào)91011121314
答案
2
2
三、解答題
15.(本小題總分值13分)
解:
.
(Ⅰ).
顯著,函數(shù)的最小正周期為.8分
(Ⅱ)令得
,.
又由于,所以.
函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為.13分
16.(本小題總分值13分)
解:(I)設(shè)事項(xiàng):從位同學(xué)中隨機(jī)抽取一位,抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué).
由題意可知,運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué)共有人.
那么.
解得.
所以.4分
(II)設(shè)事項(xiàng):從人中任意抽取人,至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué).
由題意可知,至少有一項(xiàng)技能測(cè)試優(yōu)秀的同學(xué)共有人.
那么.7分
(III)的可能取值為,,.
位同學(xué)中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)為人.
所以,
,
.
所以的分布列為
012
所以,.13分
17.(本小題總分值14分)
(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連接,.
由于,分別是,的中點(diǎn),
所以是△的中位線.
所以∥,且.
又由于是的中點(diǎn),且底面為正方形,
所以,且∥.
所以∥,且.
所以四邊形是平行四邊形.
所以∥.
又平面,平面,
所以平面.4分
(Ⅱ)證明:由于平面平面,
,且平面平面,
所以平面.
所以,.
又由于為正方形,所以,
所以?xún)蓛纱怪?
以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以為軸,
建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).
由題意易知,
設(shè),那么
,,,,,,.
由于,,,
且,
所以,.
又由于,相交于,所以平面.9分
(Ⅲ)易得,.
設(shè)平面的法向量為,那么
所以即
令,那么.
由(Ⅱ)可知平面的法向量是,
所以.
由圖可知,二面角的大小為銳角,
所以二面角的余弦值為.14分
18.(本小題總分值13分)
解:函數(shù)的定義域是,.
(Ⅰ)(1)當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(2)當(dāng)時(shí),恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(3)當(dāng)時(shí),令,又由于,解得.
①當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在單調(diào)遞減.
②當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間為.7分
(Ⅱ)(1)當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)可知,在上單調(diào)遞減,
所以的最小值為,解得,舍去.
(2)當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)可知,
①當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)的最小值為,解得.
②當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的最小值為,
解得,舍去.
③當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)的最小值為,得,舍去.
綜上所述,.13分
19.(本小題總分值14分)
解:(Ⅰ)由題意得,解得,.
所以橢圓的方程是.4分
(Ⅱ)以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn).
由得.
設(shè),那么有,.
又由于點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn),所以點(diǎn).
由題意可知直線的方程為,故點(diǎn).
直線的方程為,故點(diǎn).
假設(shè)以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn),那么等價(jià)于恒成立.
又由于,,
所以恒成立.
又由于
,
所以.
解得.
故以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn).14分
20.(本小題總分值13分)
解:(Ⅰ)符合要求的遞增等差數(shù)列為1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4個(gè).
所以.3分
(Ⅱ)設(shè)滿(mǎn)意條件的一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為,公差為,.
,,的可能取值為.
對(duì)于給定的,,當(dāng)分別取時(shí),可得遞增等差數(shù)列個(gè)(如:時(shí),,當(dāng)分別取時(shí),可得遞增等差數(shù)列91個(gè):;;;,其它同理).
所以當(dāng)取時(shí),可得符合要求的等
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