2022高三數(shù)學(xué)下期中試題(理科)

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****高三數(shù)學(xué)下冊期中試題(理科)

(考試時(shí)間120分鐘總分值150分)

本試卷分為選擇題(共40分)和非選擇題(共110分)兩部分

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

(1)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

(2)已知集合，集合，那么

(A)(B)(C)(D)

(3)已知平面對量，滿意，，那么與的夾角為

(A)(B)(C)(D)

(4)如圖，設(shè)區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)

隨機(jī)投一點(diǎn)，且投入到區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么點(diǎn)落

入到陰影區(qū)域的概率為

(A)(B)

(C)(D)

(5)在中，，，那么"'

是"'的

(A)充分不須要條件(B)須要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不須要條件

(6)執(zhí)行如下圖的程序框圖,輸出的S值為

(A)(B)

(C)(D)

(7)已知函數(shù).以下命題：

①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;②函數(shù)是周期函數(shù);

③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，其中正確命題的序號是

(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④

(8)直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是

(A)(B)

(C)(D)

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分.把答案填在答題卡上.

(9)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，那么該數(shù)列的前4項(xiàng)和

為.

(10)在極坐標(biāo)系中，為曲線上的點(diǎn)，為曲線上的點(diǎn)，那么線段

長度的最小值是.

(11)某三棱錐的三視圖如下圖，那么這個(gè)三棱錐的體積

為;表面積為.

(12)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離是，那么;

此雙曲線的離心率為.

(13)有標(biāo)號分別為1,2,3的紅色卡片3張，標(biāo)號分別為1,2,3的

藍(lán)色卡片3張，現(xiàn)將全部的6張卡片放在2行3列的格內(nèi)

(如圖).假設(shè)顏色相同的卡片在同一行，那么不同的放法種數(shù)

為.(用數(shù)字作答)

(14)如圖，在四棱錐中，底面.底面為梯形，，∥,，.假設(shè)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，那么滿意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

(15)(本小題總分值13分)

已知函數(shù)，.

(Ⅰ)求的值及函數(shù)的最小正周期;

(Ⅱ)求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間.

(16)(本小題總分值13分)

某單位從一所學(xué)校招收某類非常人才.對位已經(jīng)選拔入圍的同學(xué)進(jìn)行運(yùn)動協(xié)調(diào)技能和規(guī)律思維技能的測試，其測試結(jié)果如下表：

一般良好優(yōu)秀

一般

良好

優(yōu)秀

例如，表中運(yùn)動協(xié)調(diào)技能良好且規(guī)律思維技能一般的同學(xué)有人.由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這位參與測試的同學(xué)中隨機(jī)抽取一位，抽到運(yùn)動協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué)的概率為.

(I)求，的值;

(II)從參與測試的位同學(xué)中任意抽取位，求其中至少有一位運(yùn)動協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思

維技能優(yōu)秀的同學(xué)的概率;

(III)從參與測試的位同學(xué)中任意抽取位，設(shè)運(yùn)動協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的學(xué)

生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

(17)(本小題總分值14分)

如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)面底面.為等腰直角三角形，且.，分別為底邊和側(cè)棱的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：∥平面;

(Ⅱ)求證：平面;

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

(18)(本小題總分值13分)

已知函數(shù)，.

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為，求的值.

(19)(本小題總分值14分)

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).直線與直線分別與軸交于點(diǎn)，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)?假設(shè)是，求出定點(diǎn)坐標(biāo);假設(shè)不是，說明理由.

(20)(本小題總分值13分)

從中這個(gè)數(shù)中取(，)個(gè)數(shù)組成遞增等差數(shù)列，全部可能的遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)記為.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，寫出全部可能的遞增等差數(shù)列及的值;

(Ⅱ)求;

(Ⅲ)求證：.

北京市朝陽區(qū)高三班級第一次綜合練習(xí)

數(shù)學(xué)答案(理工類)****.3

一、選擇題

題號12345678

答案BABABDCD

二、填空題

題號91011121314

答案

2

2

三、解答題

15.(本小題總分值13分)

解：

.

(Ⅰ).

顯著，函數(shù)的最小正周期為.8分

(Ⅱ)令得

，.

又由于，所以.

函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為.13分

16.(本小題總分值13分)

解：(I)設(shè)事項(xiàng)：從位同學(xué)中隨機(jī)抽取一位，抽到運(yùn)動協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué).

由題意可知，運(yùn)動協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué)共有人.

那么.

解得.

所以.4分

(II)設(shè)事項(xiàng)：從人中任意抽取人，至少有一位運(yùn)動協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué).

由題意可知，至少有一項(xiàng)技能測試優(yōu)秀的同學(xué)共有人.

那么.7分

(III)的可能取值為，，.

位同學(xué)中運(yùn)動協(xié)調(diào)技能或規(guī)律思維技能優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)為人.

所以，

，

.

所以的分布列為

012

所以，.13分

17.(本小題總分值14分)

(Ⅰ)證明：取的中點(diǎn)，連接，.

由于，分別是，的中點(diǎn)，

所以是△的中位線.

所以∥，且.

又由于是的中點(diǎn)，且底面為正方形，

所以，且∥.

所以∥，且.

所以四邊形是平行四邊形.

所以∥.

又平面，平面，

所以平面.4分

(Ⅱ)證明：由于平面平面，

，且平面平面，

所以平面.

所以，.

又由于為正方形，所以，

所以兩兩垂直.

以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

由題意易知，

設(shè)，那么

，，，，,,.

由于，，，

且，

所以，.

又由于，相交于，所以平面.9分

(Ⅲ)易得，.

設(shè)平面的法向量為，那么

所以即

令，那么.

由(Ⅱ)可知平面的法向量是，

所以.

由圖可知，二面角的大小為銳角，

所以二面角的余弦值為.14分

18.(本小題總分值13分)

解：函數(shù)的定義域是，.

(Ⅰ)(1)當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

(3)當(dāng)時(shí)，令，又由于，解得.

①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間為.7分

(Ⅱ)(1)當(dāng)時(shí)，由(Ⅰ)可知，在上單調(diào)遞減，

所以的最小值為，解得，舍去.

(2)當(dāng)時(shí)，由(Ⅰ)可知，

①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的最小值為，解得.

②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，

解得，舍去.

③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的最小值為，得，舍去.

綜上所述，.13分

19.(本小題總分值14分)

解：(Ⅰ)由題意得，解得，.

所以橢圓的方程是.4分

(Ⅱ)以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn).

由得.

設(shè)，那么有，.

又由于點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，所以點(diǎn).

由題意可知直線的方程為，故點(diǎn).

直線的方程為，故點(diǎn).

假設(shè)以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)，那么等價(jià)于恒成立.

又由于，，

所以恒成立.

又由于

，

所以.

解得.

故以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn).14分

20.(本小題總分值13分)

解：(Ⅰ)符合要求的遞增等差數(shù)列為1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4個(gè).

所以.3分

(Ⅱ)設(shè)滿意條件的一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，.

，，的可能取值為.

對于給定的，，當(dāng)分別取時(shí)，可得遞增等差數(shù)列個(gè)(如：時(shí)，，當(dāng)分別取時(shí)，可得遞增等差數(shù)列91個(gè)：;;;，其它同理).

所以當(dāng)取時(shí)，可得符合要求的等