高中數(shù)學(xué)人教A版必修 第九章 平面解析幾何（備課資源）

第1節(jié)直線的方程對應(yīng)學(xué)生用書P2171.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式、斜截式、截距式及一般式).一、直線的傾斜角與斜率1.直線的傾斜角(1)定義:當(dāng)直線l與x軸相交時,我們?nèi)軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫作直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0°.

(2)范圍:直線l傾斜角的取值范圍是[0,π).

2.斜率公式(1)若直線l的傾斜角α≠90°,則斜率k=tanα.

(2)若點P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1≠x2,則直線l的斜率k=

y2-二、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)

不含直線x=x0斜截式y(tǒng)=kx+b

不含垂直于x軸的直線兩點式

y-y1不含直線x=x1(x1≠x2)和直線y=y1(y1≠y2)截距式

xa+yb=1(a,b≠0不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)

平面內(nèi)所有直線都適用1.直線的斜率k和傾斜角α之間的函數(shù)關(guān)系如圖,當(dāng)α∈0,π2時,斜率k∈[0,+∞);當(dāng)α=π2時,斜率k不存在;當(dāng)α∈π2,π時,斜率k∈(-∞,0).2.求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在;每條直線都有傾斜角,但不一定每條直線都存在斜率.3.截距為一個實數(shù),既可以為正數(shù),也可以為負(fù)數(shù),還可以為0,這是解題時容易忽略的一點.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對的打“√”,錯的打“×”)(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.()(2)直線的傾斜角越大,其斜率就越大.()(3)若直線的斜率為tanα,則其傾斜角為α.()(4)斜率相等的兩條直線的傾斜角不一定相等.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(教材改編)若過點M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率為1,則m的值為().A.1 B.4 C.1或3 D.1或4答案A解析由題意得4-mm+2=1,3.(2023·山東三模)已知條件p:直線x+2y-1=0與直線a2x+(a+1)y-1=0平行,條件q:a=1,則p是q的().A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案D解析當(dāng)直線x+2y-1=0與直線a2x+(a+1)y-1=0平行時,a21=a+12≠1,解得a=-12.當(dāng)a=1時,直線x+2y-1=0與直線a2x+(a+1)y-1=0重合,所以4.(2021年上海卷)直線x=-2與直線3x-y+1=0的夾角為.

答案π6解析由于直線x=-2的傾斜角為π2,直線3x-y+1=0即直線y=3x+1,其傾斜角為π3,故夾角為考點一直線的傾斜角與斜率【例1】(1)直線2xcosα-y-3=0α∈π6,π3的傾斜角的取值范圍是(A.π6,πC.π4,π答案B解析直線2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα,因為α∈π6,π3,所以12≤cosα≤32,因此k=2cosα∈[1,3].設(shè)直線的傾斜角為θ,則有tanθ∈[1,3].又θ∈[0,π),所以θ(2)已知點A(1,3),B(-2,-1),若過點P(2,1)的直線l與線段AB相交,則直線l的斜率k的取值范圍是().A.k≥12 B.k≤-C.k≥3 D.-2≤k≤1答案D解析由已知直線l恒過定點P(2,1),如圖所示.由圖可得,若直線l與線段AB相交,則kPA≤k≤kPB.∵kPA=-2,kPB=12,∴-2≤k≤12.故選(1)傾斜角α與斜率k的關(guān)系①當(dāng)α∈0,π2時,斜率k∈[0,+∞);②當(dāng)α=π2時,斜率k不存在③當(dāng)α∈π2,π時,斜率k∈(-∞,0).(2)斜率的兩種求法①定義法:k=tanα.②公式法:k=y2-y1x2-x(3)求傾斜角α的取值范圍或直線斜率的取值范圍時,要充分利用y=tanα的單調(diào)性.1.已知點A(2,3),B(-3,-2),若直線l過點P(1,1)與線段AB始終沒有交點,則直線l的斜率k的取值范圍是().A.34<k<2 B.k>2或k<C.k>34 D.k<答案A解析因為kAP=2,kBP=34,如圖所示因為直線l與線段AB始終沒有交點,所以kBP<k<kAP,故斜率k的取值范圍是34,2.2.(改編)直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是().A.0B.3C.0,πD.π4,答案B解析由直線方程可得該直線的斜率為-1a2+1,又-1≤-1a2+1考點二直線方程的求解【例2】求適合下列條件的直線方程.(1)過點A(-1,-3),斜率是直線y=3x的斜率的-14(2)過點A(1,-1)且與已知直線l1:2x+y-6=0相交于點B,|AB|=5.解析(1)設(shè)所求直線的斜率為k,依題意得k=-14×3=-3又直線經(jīng)過點A(-1,-3),因此所求直線的方程為y+3=-34(x+1),即3x+4y+15=0(2)過點A(1,-1)與y軸平行的直線為x=1.聯(lián)立方程x=1,2x+y-6=0,求得點B的坐標(biāo)為(1,4),設(shè)過點A(1,-1)且與y軸不平行的直線為y+1=k(x-1),聯(lián)立方程2解得x=k+7k+2,y=4k-2k+2(k≠由已知k+7k+2-12+4k-2k+2+12=52,解得k=-34,所以y+1=-34(x-1),即3x+綜上可知,所求直線的方程為x=1或3x+4y+1=0.求直線方程一般有以下兩種方法(1)直接法:首先由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式,然后直接寫出其方程.(2)待定系數(shù)法:先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程,方程中含有待定的系數(shù),再由題設(shè)條件求出待定系數(shù),即得所求直線方程.已知△ABC的三個頂點分別為A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:(1)BC邊所在直線的方程;(2)BC邊上的中線AD所在直線的方程;(3)BC邊的垂直平分線DE的方程.解析(1)因為直線BC經(jīng)過B(2,1),C(-2,3)兩點,所以由兩點式得直線BC的方程為y-13-1=x-2-2(2)設(shè)BC邊的中點為D(x,y),則x=2-22=0,y=1+32=2,即D(0因為BC邊上的中線AD過A(-3,0),D(0,2)兩點,所以其所在直線的方程為x-3+y2=1,即2x-3y+6(3)由(1)知,直線BC的斜率k1=-12則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2=2.由(2)知,點D的坐標(biāo)為(0,2),故所求直線的方程為y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.考點三直線方程的綜合應(yīng)用命題角度1與直線有關(guān)的最值問題【例3】(改編)過點P(4,1)作直線l,分別交x軸、y軸的正半軸于點A,B.(1)當(dāng)△AOB的面積最小時,求直線l的方程;(2)當(dāng)|OA|+|OB|取最小值時,求直線l的方程.解析設(shè)直線l:xa+yb=1(a>0,b>0),因為直線l經(jīng)過點P(4,1),所以4a+1(1)因為4a+1b=1≥24a·1b=4ab,所以ab≥16,所以S△AOB=12ab≥8,當(dāng)且僅當(dāng)4a=1b,即a=8,b=2時等號成立,所以當(dāng)a=8,b=2時,△AOB的面積最小,此時直線l的方程為x8+y(2)因為4a+1b=1,a>0,b>0,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·4a+1b=5+ab+4ba≥5+2ab·4ba=9,當(dāng)且僅當(dāng)ab=4ba,即a=6,b=3時等號成立.所以當(dāng)|OA|+|OB|取最小值時,1.求解與直線方程有關(guān)的最值問題,先根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù),再利用基本不等式(或函數(shù)的性質(zhì))求解最值.2.求解直線方程與函數(shù)相結(jié)合的問題,一般利用直線方程中x,y的關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù),再借助函數(shù)的性質(zhì)解決問題.過點P(2,1)作直線l,與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,求:(1)△AOB面積的最小值及此時直線l的方程;(2)直線l在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值及此時直線l的方程;(3)|PA|·|PB|的最小值及此時直線l的方程.解析(1)設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2),則可得A2k-1k,0,B(0,1-2k∵直線l與x軸,y軸的正半軸分別交于A,B兩點,∴2k-1k∴S△AOB=12·|OA|·|OB|=12·2k-1k·(1-2k)=12·4-1k-4k≥124+當(dāng)且僅當(dāng)-1k=-4k且k<0,即k=-12時,△AOB的面積取得最小值,最小值為此時直線l的方程為y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0(2)∵A2k-1k,0,B(0,1-2k)(k<∴截距之和為2k-1k+1-2k=3-2k-1k≥3+2(-2當(dāng)且僅當(dāng)-2k=-1k,即k=-22時,等號成立.故截距之和的最小值為3+2此時直線l的方程為y-1=-22(x-2),即x+2y-2-2=0(3)∵A2k-1k,0,B(0,1-2k)(k<∴|PA|·|PB|=1k2+1·4+4k2=4當(dāng)且僅當(dāng)4k2=4k2,即k=-1時,故|PA|·|PB|的最小值為4,此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.命題角度2與直線有關(guān)的求參問題【例4】已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)證明:直線l過定點.(2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍.(3)若直線l交x軸的負(fù)半軸于點A,交y軸的正半軸于點B,△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點),求S的最小值及此時直線l的方程.解析(1)(法一)直線l的方程可化為k(x+2)+(1-y)=0,令x+2=0,∴無論k取何值,直線l總經(jīng)過定點(-2,1).(法二)方程kx-y+1+2k=0可化為y-1=k(x+2),顯然直線l恒過定點(-2,1).(2)由方程知,當(dāng)k≠0時,直線l在x軸上的截距為-1+2kk,在y軸上的截距為1+2k,要使直線l不經(jīng)過第四象限,則必須有-1+2k當(dāng)k=0時,直線l的方程為y=1,符合題意.故k的取值范圍是[0,+∞).(3)由題意可知k≠0,再由直線l的方程,得A-1+2kk,0,B(0,1+2k).依題意得-1+2kk<0∵S=12·|OA|·|OB|=12·1+2kk·|1+2k|=12·(1+2k)2k=124k+1k+4≥12×當(dāng)且僅當(dāng)4k=1k,即k=12時,∴Smin=4,此時直線l的方程為x-2y+4=0.1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程,這時要能夠整理成過定點的直線系,能夠看出“動中有定”.若直線的方程為y=k(x-a)+b,則直線過定點(a,b).2.求解與直線方程有關(guān)的面積問題,應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長度,進(jìn)而求得多邊形的面積.(改編)已知直線l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,當(dāng)0<a<2時,直線l1,l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形,當(dāng)四邊形的面積最小時,實數(shù)a的值為.

答案1解析由題意知直線l1,l2均恒過點P(2,2),直線l1在y軸上的截距為2-a,直線l2在x軸上的截距為a2+2,又0<a<2,所以四邊形的面積S=12×2×(2-a)+12×2×(a2+2)=a2-a+4=a-122+154,對應(yīng)《高效訓(xùn)練》P88基礎(chǔ)過關(guān)1.若過A(4,y),B(2,-3)兩點的直線的斜率為1,則y=().A.-32 B.32 C.-1 D答案C解析∵過A(4,y),B(2,-3)兩點的直線的斜率為1,∴直線的斜率k=1=y+34-2,解得y=-12.過點P(3,-23)且傾斜角為135°的直線方程為().A.3x-y-43=0 B.x-y-3=0C.x+y-3=0 D.x+y+3=0答案D解析∵直線的傾斜角為135°,∴斜率k=tan135°=-1,又直線過點P(3,-23),∴直線的點斜式方程為y+23=-1×(x-3),即x+y+3=0.故選D.3.(2023·汕頭期末)已知直線x+ky-2-3k=0恒過定點Q,點Q在直線l上,則l的方程可以是().A.x+y-4=0 B.2x-y-1=0C.3x+y-8=0 D.x+2y-7=0答案B解析x+ky-2-3k=0可化為k(y-3)=-(x-2),則直線恒過定點Q(2,3),驗證選項得直線l的方程可以為2x-y-1=0.故選B.4.(2023·如皋期末)已知直線ax+by+c=0滿足a<b<0<c,那么這條直線一定不經(jīng)過().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析由ax+by+c=0,得y=-abx-cb.∵a<b<0∴-ab<0,-cb>0,∴直線y=-abx-cb經(jīng)過第一、二、四象限,即不經(jīng)過第三象限5.(2023·廣東韶關(guān)月考)過點M(-1,-2),且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為().A.x+y+3=0B.2x-y=0或x+y+3=0C.y=x-1D.x+y+3=0或y=x-1答案B解析當(dāng)所求直線不過原點時,設(shè)所求直線的方程為x+y=a,因為直線過點M(-1,-2),所以a=-3,即x+y+3=0;當(dāng)所求直線過原點時,設(shè)直線方程為y=kx,因為直線過點M(-1,-2),所以k=2,即2x-y=0.綜上可得,所求直線的方程為2x-y=0或x+y+3=0.故選B.6.下列四個命題為真命題的是().A.直線3x+y+2=0在y軸上的截距為2B.直線y=0的傾斜角和斜率均存在C.若兩直線的斜率k1,k2滿足k1=k2,則兩直線互相平行D.若兩直線的傾斜角相等,則它們的斜率也一定相等答案B解析對于直線3x+y+2=0,令x=0得y=-2,所以直線3x+y+2=0在y軸上的截距為-2,故A錯誤;直線y=0的傾斜角為0,斜率存在且為0,故B正確;若兩直線的斜率k1,k2滿足k1=k2,則兩直線互相平行或重合,所以C錯誤;若兩直線的傾斜角為90°,則它們的斜率不存在,所以D錯誤.故選B.7.(2023·山東日照月考)如圖,在矩形ABCD中,|BC|=3|AB|,直線AC的斜率為33,則直線BC的斜率為()A.3 B.3C.233 D.答案A解析∵在Rt△ABC中,∠ABC=π2,|BC|=3|AB|∴tan∠ACB=|AB||BC|=33設(shè)直線AC的傾斜角為θ,則tanθ=33,即θ=π∴直線BC的傾斜角為θ+π6=π3.故kBC=tanπ3=3.8.下列說法正確的是().A.“a=1”是“直線a2x+y-1=0與直線x-ay-2=0互相垂直”的充要條件B.直線xsinα+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是0,π4∪3π4,πC.過(x1,y1),(x2,y2)兩點的所有直線的方程為y-yD.經(jīng)過點(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0答案B解析對于A,當(dāng)a=0時,兩直線方程分別為y=1和x=2,此時也滿足兩直線垂直,故A錯誤;對于B,直線的斜率k=-sinα,則-1≤k≤1,即-1≤tanθ≤1,則θ∈0,π4∪3π4,π,故B正確;對于C,當(dāng)x1=x2或y1=y2時,直線方程為x=x1或y=y1,此時直線方程不成立,故C錯誤;對于D,若直線過原點,則直線方程為y=x,此時也滿足條件,故D錯誤.9.已知直線l過點P(2,4),且在y軸上的截距是在x軸上的截距的兩倍,則直線l的方程為().A.2x-y=0B.2x+y-8=0C.2x-y=0或x+2y-10=0D.2x-y=0或2x+y-8=0答案D解析若直線l經(jīng)過原點,滿足條件,可得直線l的方程為y=2x,即2x-y=0;若直線l不經(jīng)過原點,可設(shè)直線l的方程為xa+y2a=1(a≠0),把點P(2,4)代入可得2a+42a=1,解得a=4,∴直線l的方程為x4+y8=1,即2x+y-8=0.綜上可得直線l的方程為2x-y=0或210.(2023·柳州三模)已知點A(1,0),B(3,0),若直線kx-y+1=0上存在點P,滿足PA·PB=0,則k的取值范圍是().A.-43,0 B.0,43C.-43,43 D.(-∞,0]答案A解析因為點P在直線kx-y+1=0上,所以設(shè)P(x,kx+1),則PA=(1-x,-kx-1),PB=(3-x,-kx-1),所以PA·PB=(1-x)(3-x)+(kx+1)2=(k2+1)x2+(2k-4)x+4=0,因為方程有解,所以Δ=(2k-4)2-4×(k2+1)×4≥0,解得-43≤k≤0能力提升11.已知直線l過第一象限的點(m,n)和(1,5),若直線l的傾斜角為135°,則1m+4n的最小值為(A.4 B.9 C.23 D.答案D解析由題意得n-5m-1=tan135°=-1,所以m+n=6(m>所以1m+4n=161m+4n(m+n)=165+nm+4mn≥165+2nm·4mn=32,當(dāng)且僅當(dāng)m=2,n=4時取等號,12.在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形OABC,O(0,0),A(2,0),C(0,1),將矩形折疊,使點O落在線段BC上,設(shè)折痕所在直線的斜率為k,則k的取值范圍是.

答案[-2,0]解析如圖,要想使折疊后點O落在線段BC上,可取BC上任意一點D,作線段OD的垂直平分線l,以l為折痕可使點O與點D重合.因為kOD≥kOB=12,所以k=-1kOD≥-2,且k<0.又當(dāng)折疊后點O與點C重合時,k=0,所以-2≤k≤0,所以k的取值范圍是[-2,13.已知0<k<4,直線l1:kx-2y-2k+8=0和直線l2:2x+k2y-4k2-4=0與坐標(biāo)軸圍成一個四邊形,則使這個四邊形面積最小的k的值為.

答案1解析由直線方程易知直線l1,l2均恒過點(2,4),則兩直線均經(jīng)過第一象限,因為0<k<4,所以直線l1的斜率k2∈(0,2),直線l2的斜率-2k2∈-∞,-18.又直線l1在y軸上的截距為4-k,直線l2在x軸上的截距為2k2+2,所以四邊形的面積S=12×2×(4-k)+12×4×(2k2+2)=4k2-k+8=4k-182+12716.故當(dāng)k=114.直線mx-3y+n=0必過x軸上的一個定點,寫出實數(shù)m,n可能滿足的一個關(guān)系:.

答案n=2m(答案不唯一)解析由題意可知,當(dāng)直線經(jīng)過x軸上的定點時,有mx+n=0,即n=-mx.設(shè)過定點(-2,0),代入得n=2m(答案不唯一).思維拓展15.已知點A(4,5),點B在x軸上,點C在直線2x-y+2=0上,則△ABC的周長的最小值為,此時點C的坐標(biāo)為.

答案410(1,4)解析按題意畫圖,如圖,設(shè)點A關(guān)于直線2x-y+2=0的對稱點D的坐標(biāo)為(a,b),則AD的中點為E4+a2,5+b則滿足b即a+2b-14=0,2a-b+7=0又點A關(guān)于x軸對稱的點為P(4,-5),則當(dāng)D,B,C,P四點共線時,△ABC的周長最小,最小為|DP|=42+(-5直線DP的方程為7+50-4=y-7x,即聯(lián)立3x+y-7=0,2x16.設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求l的方程;(2)若l不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)a的取值范圍.解析(1)若2-a=0,解得a=2,則直線l的方程化為3x+y=0.若a+1=0,解得a=-1,則直線l的方程化為y+3=0,舍去.若a≠-1且a≠2,則直線l的方程化為xa-2a+1+ya-2=1,令a-2a+1=a-2,可得a+1=1,綜上所述,直線l的方程為x+y+2=0或3x+y=0.(2)y=-(a+1)x+a-2,∵l不經(jīng)過第二象限,∴-(a+1)≥0,∴實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1].第2節(jié)直線的位置關(guān)系對應(yīng)學(xué)生用書P2211.能根據(jù)斜率的關(guān)系判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(biāo).3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.一、兩條直線平行或垂直的判定1.兩條直線平行(1)對于兩條不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2;

(2)當(dāng)直線l1,l2不重合且斜率都不存在時,l1∥l2.2.兩條直線垂直(1)如果兩條直線l1,l2的斜率存在,設(shè)為k1,k2,則有l(wèi)1⊥l2?k1k2=-1;

(2)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,l1⊥l2.

在判定兩條直線平行或垂直的情況時不要忽略了一條直線或兩條直線斜率不存在的情形.

由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法

直線方程l1與l2l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B1l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B2垂直的充要條件A1A2+B1B2=0平行的充要條件A1A2=B1B2≠C1C2(相交的充要條件A1A2≠B1B2(A重合的充要條件A1A2=B1B2=C1C2(二、兩條直線相交1.交點:直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共點的坐標(biāo)與方程組A1x2.相交?方程組有唯一解,交點坐標(biāo)就是方程組的解.

3.平行?方程組無解.

4.重合?方程組有無數(shù)個解.

三、三種距離公式1.兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式為|P1P2|=(x2.點到直線的距離公式點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=|A利用點到直線的距離公式時,需要先將直線方程化為一般式.3.兩條平行直線間的距離公式兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離d=|C1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對的打“√”,錯的打“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時,一定有k1=k2?l1∥l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直,那么它們的斜率之積一定等于-1.()(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解,則兩直線相交.()(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(教材改編)兩條平行直線l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0之間的距離為.

答案213解析因為l1∥l2,所以由兩條平行直線間的距離公式得d=|-8-(-103.(2023·四川綿陽模擬)設(shè)a為實數(shù),若直線x+ay+2a=0與直線ax+y+a+1=0平行,則a的值為().A.-1 B.1 C.±1 D.2答案A解析由題意1-a2=0,得a=±1,當(dāng)a=1時,兩直線重合,舍去;當(dāng)a=-1時,滿足兩直線平行.故a=-1.4.(2020年全國Ⅲ卷)點(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為().A.1 B.2 C.3 D.2答案B解析記點A(0,-1),直線y=k(x+1)恒過點B(-1,0),當(dāng)AB垂直于直線y=k(x+1)時,點A(0,-1)到直線y=k(x+1)的距離最大,且最大值為|AB|=2,故選B.考點一直線的平行與垂直【例1】(1)(2023·遼寧模擬)設(shè)m∈R,直線l1:(m+2)x+6y-2m-8=0,l2:x+2my+m+1=0,則“m=1”是“l(fā)1∥l2”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析若l1∥l2,則2m(m+2)=6,(m+1)(m+2)≠-(2m因此,“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件.(2)(2023·江西南昌二模)已知直線2x-y+1=0與直線x+my+2=0垂直,則m=().A.-2 B.-12 C.2 D.答案C解析當(dāng)m=0時,x+my+2=0?x=-2,由2x-y+1=0知y=2x+1,斜率為2,所以直線2x-y+1=0與x=-2不垂直,不符合題意;當(dāng)m≠0時,x+my+2=0?y=-1mx-2m,因為直線2x-y+1=0與直線x+my+2=0垂直,所以-1m×2=-1,解得1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時,若要表示出直線的斜率,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.1.(原創(chuàng)新題)已知直線l1:x-3y=0,l2:x+ay-2=0,若l1⊥l2,則a=().A.13 B.-13 C.3 D.答案A解析當(dāng)a=0時,l2:x=2,此時l1與l2不垂直,不符合題意;當(dāng)a≠0時,l2:y=-1ax+2a,l1:y=13x,∵l1⊥l2,∴13·-1a=-1,解得2.(2023·濟(jì)南二模)“a=3”是“直線ax+y-3=0與3x+(a-2)y+4=0平行”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析充分性:當(dāng)a=3時,直線ax+y-3=0與3x+(a-2)y+4=0即3x+y-3=0與3x+y+4=0,所以兩直線平行,故充分性滿足.必要性:直線ax+y-3=0與3x+(a-2)y+4=0平行,則有a(a-2)-3=0,解得a=3或a=-1.當(dāng)a=3時,直線ax+y-3=0與3x+(a-2)y+4=0即3x+y-3=0與3x+y+4=0,所以兩直線平行,不重合;當(dāng)a=-1時,直線ax+y-3=0與3x+(a-2)y+4=0即-x+y-3=0與3x-3y+4=0,所以兩直線平行,不重合.所以a=3或a=-1.故必要性不滿足.故“a=3”是“直線ax+y-3=0與3x+(a-2)y+4=0平行”的充分不必要條件.考點二直線的交點與距離問題【例2】(1)已知直線l過點P(-1,2),且到點A(2,3)和點B(-4,5)的距離相等,則直線l的方程為.

答案x+3y-5=0或x=-1解析當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由題意知,|2k-即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-13∴直線l的方程為y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,也符合題意.故直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.(2)已知兩條直線a1x+b1y-1=0和a2x+b2y-1=0的交點為P(2,3),則過Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)兩點的直線方程為.

答案2x+3y-1=0解析∵點P(2,3)在已知的兩條直線上,∴2a1+3b1=1,2a2+3b2=1,∴點Q1(a1,b1),Q2故過Q1,Q2兩點的直線方程為2x+3y-1=0.點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點到直線的距離時,應(yīng)先化直線方程為一般式.(2)求兩平行線之間的距離時,應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對應(yīng)相等.1.(2023·安慶模擬)若直線l1:x+3y+m=0(m>0)與直線l2:2x+6y-3=0的距離為10,則m=().A.7 B.172 C.14 D.答案B解析直線l1:x+3y+m=0(m>0),即2x+6y+2m=0,因為它與直線l2:2x+6y-3=0的距離為10,所以|2m+3|4+36=10,解得m=2.(改編)已知點M是直線x+3y=2上的一個動點,且P(3,-1),則|PM|的最小值為().A.12 B.1 C.2 D.答案B解析|PM|的最小值即為點P(3,-1)到直線x+3y=2的距離,又|3-3-2|1+3=1,故考點三對稱問題命題角度1點關(guān)于點對稱【例3】過點P(0,1)作直線l,使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點P平分,則直線l的方程為.

答案x+4y-4=0解析設(shè)直線l1與直線l的交點為A(a,8-2a),則由題意知,點A關(guān)于點P的對稱點B(-a,2a-6)在直線l2上,把點B的坐標(biāo)代入直線l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即點A(4,0)在直線l上,所以由兩點式得直線l的方程為x+4y-4=0.中心對稱:①點P(x,y)關(guān)于點Q(a,b)的對稱點P'(x',y')滿足x'=2a(2023·平頂山統(tǒng)考)已知點A(1,-2),B(m,2),若線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-2=0,則實數(shù)m的值為().A.-2 B.-7 C.3 D.1答案C解析因為A(1,-2)和B(m,2)的中點1+m2,0在直線x+2y-2=0上,所以1+m2+2×0-2=命題角度2點關(guān)于線對稱【例4】已知入射光線經(jīng)過點M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射,反射光線經(jīng)過點N(2,6),則反射光線所在直線的方程為.

答案6x-y-6=0解析設(shè)點M(-3,4)關(guān)于直線l:x-y+3=0的對稱點為M'(a,b),則反射光線所在直線過點M',所以b-4a-(-3)·1=-1又反射光線經(jīng)過點N(2,6),所以所求直線的方程為y-06-0=x-12◎同源改編◎已知入射光線過點M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射,反射光線所在直線的方程為6x-y-6=0,求入射光線所在直線方程.解析設(shè)直線6x-y-6=0與直線x-y+3=0的交點為A(a,b),則a-b+3=0,6a-b-6=0,解得A95,245,故入射光線所在的直線方程為y-4=245點E(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0(AB≠0)的對稱點為E'(m,n),則有n(改編)唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在區(qū)域為x2+y2≤1,若將軍從點A(2,0)處出發(fā),河岸線所在直線方程為x+y=3,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,則“將軍飲馬”的最短總路程為().A.10-1 B.22-1 C.22 D.10答案A解析設(shè)點A(2,0)關(guān)于直線x+y=3的對稱點為A'(a,b),則AA'的中點為2+a2,b2,kAA'=b故ba-從點A到河岸,再到軍營的最短總路程,即點A'到軍營最短的距離,故“將軍飲馬”的最短總路程為32+12-1=10-1命題角度3線關(guān)于點對稱【例5】若直線ax+y+3a-1=0恒過定點M,則直線2x+3y-6=0關(guān)于點M對稱的直線方程為().A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0答案D解析由ax+y+3a-1=0,可得a(x+3)+(y-1)=0,令x+3=0,y-1=0,可得x=-3,y=1,所以定點M(-3,1),且點M不在直線2x+3y-6=0上,設(shè)直線2x+3y-6=0關(guān)于點M對稱的直線方程為2x+3y+c=0(c≠-6),則|-6+3-6|4+9=|-6+3+c|4+9線關(guān)于點對稱的兩種求解方法(1)在已知直線上取兩點,利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo),再由兩點式求出直線方程.(2)求出一個對稱點,再利用兩對稱直線平行,由點斜式得到所求的直線方程.直線x-2y-3=0關(guān)于定點M(-2,1)對稱的直線方程是.

答案x-2y+11=0解析設(shè)所求直線上任意一點為(x,y),則關(guān)于M(-2,1)的對稱點(-4-x,2-y)在已知直線上,∴所求直線方程為(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.命題角度4線關(guān)于線對稱【例6】已知△ABC的一個頂點A(4,-1),它的兩個角的角平分線所在直線的方程分別為l1:x-y-1=0和l2:x-1=0,則BC邊所在直線的方程為.

答案2x-y+3=0解析由題意得點A不在這兩個角的角平分線上,因此l1,l2是另兩個角的角平分線所在的直線.點A關(guān)于直線l1的對稱點A1,點A關(guān)于直線l2的對稱點A2均在邊BC所在直線l上.設(shè)A1(x1,y1),則有y解得x1=0,y1=3,所以A同理設(shè)A2(x2,y2),易求得A2(-2,-1).所以BC邊所在直線的方程為2x-y+3=0.求直線l1關(guān)于直線l對稱的直線l2,有兩種處理方法(1)在直線l1上取兩點(一般取特殊點),利用求點關(guān)于直線的對稱點的方法求出這兩點關(guān)于直線l的對稱點,再利用兩點式寫出直線l2的方程.(2)設(shè)點P(x,y)是直線l2上任意一點,其關(guān)于直線l的對稱點為P1(x1,y1)(P1在直線l1上),根據(jù)點關(guān)于直線對稱建立方程組,用x,y表示出x1,y1,再代入直線l1的方程,即得直線l2的方程.光線沿直線l1:x-2y+5=0射入,遇直線l:3x-2y+7=0后反射,則反射光線所在的直線方程為.

答案29x-2y+33=0解析(法一)如圖,由x-2∴反射點M的坐標(biāo)為(-1,2).取直線x-2y+5=0上一點P(-5,0),設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P'(x0,y0),由PP'⊥l可知,kPP'=-23=y而PP'的中點Q的坐標(biāo)為x0-52,又點Q在直線l上,∴3·x0-52-2·y0由y0x根據(jù)直線的兩點式方程,可得所求反射光線所在直線的方程為29x-2y+33=0.(法二)設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點P(x0,y0)關(guān)于直線l的對稱點為P'(x,y),則y0-y又PP'的中點Qx+x02∴3·x+x02-2·y+由y0-代入方程x-2y+5=0中,化簡得29x-2y+33=0,∴所求反射光線所在的直線方程為29x-2y+33=0.對應(yīng)《高效訓(xùn)練》P90基礎(chǔ)過關(guān)1.(2023·湖北武漢模擬)已知直線l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,其中a∈R,則“a=-3”是“l(fā)1⊥l2”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析直線l1⊥l2的充要條件是a+(a+2)a=0,所以a=0或a=-3.故選A.2.(2023·福建龍巖高三期末)若點P(x,y)在直線2x-y+5=0上,O為坐標(biāo)原點,則|OP|的最小值為().A.5 B.10 C.25 D.210答案A解析|OP|的最小值為原點O到直線的距離d=|0-0+5|22+(-1)23.已知直線l:ax+by+c=0與直線l'關(guān)于直線x+y=0對稱,則l'的方程為().A.bx+ay-c=0 B.ay-bx-c=0C.ay+bx+c=0 D.ay-bx+c=0答案A解析在l的方程中以-x代替y,以-y代替x,即得l'的方程.直線ax+by+c=0關(guān)于直線x+y=0對稱的直線l'的方程是a(-y)+b(-x)+c=0,即bx+ay-c=0.故選A.4.(2023·揭陽模擬)已知傾斜角為θ的直線l與直線3x-4y-1=0垂直,則cosθ的值為().A.-35 B.-45 C.35答案A解析由垂直知兩直線的斜率之積為-1,而直線3x-4y-1=0的斜率為34,所以直線l的斜率為-43,即tanθ=-43=sinθcosθ,得θ為鈍角,再根據(jù)sin2θ+cos2θ=1,求得cos5.若直線x-4y-7=0與雙曲線C:ax2-y2=1(a>0)的一條漸近線平行,則a的值為().A.116 B.14 C.4 D答案A解析雙曲線C:ax2-y2=1(a>0)的漸近線方程為y=±ax,直線x-4y-7=0的斜率為14,由題意得a=14,所以a=116.6.已知直線l:3x-y+1=0,則下列結(jié)論正確的是().A.直線l的傾斜角是πB.過點(3,1)與直線l平行的直線方程是3x-y+2=0C.點(3,0)到直線l的距離是2D.若直線m:x-3y+1=0,則l⊥m答案C解析直線l:3x-y+1=0的斜率為3,所以傾斜角是π3,故A錯誤;直線3x-y+2=0的斜率是3,與直線l平行,且過點(3,5),故B錯誤;點(3,0)到直線l的距離d=|3+1|3+1=2,故C正確;直線m:x-3y+1=0的斜率為33,而33×3=1≠-1,故l與m7.已知直線l1:x-y-1=0,動直線l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),則().A.不存在k,使得l2的傾斜角為90°B.對任意的k,l1與l2都有公共點C.對任意的k,l1與l2都不重合D.對任意的k,l1與l2都垂直答案B解析當(dāng)k=0時,直線l2的方程為x=0,此時l2的傾斜角為90°,故A錯誤.直線l1:x-y-1=0過定點(0,-1),直線l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R)可化為k(x+y+1)+x=0,所以l2過定點(0,-1),故B正確.當(dāng)k=-12時,直線l2的方程為12x-12y-12=0,即x-y-1=0,此時l1與l2重合,若兩直線垂直,則1×(k+1)+(-1)×k=0,此方程無解,故對任意的k,l1與l2都不垂直,故D錯誤.8.已知直線l1:ax+6y-6=0,直線l2:2x+3y+5=0,若l1∥l2,則a=;若l1⊥l2,則a=.

答案4-9解析已知直線l1:ax+6y-6=0,直線l2:2x+3y+5=0,若l1∥l2,則a2=63≠-65,解得a=4;若l1⊥l2,則2a+3×6=0,9.若一條直線與直線x-2y+3=0平行,且兩直線間的距離大于5,則該直線的方程可以為.(寫出一個即可)

答案x-2y+9=0(答案不唯一)解析由題意,設(shè)該直線的方程為x-2y+b=0(b≠3),由兩條平行直線間的距離公式可知|3-b|5>5,解得b<-2或b>8,若取b=9,則該直線的方程為x-2y+9=10.經(jīng)過兩條直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點,并且垂直于直線3x+4y-7=0的直線方程為.

答案4x-3y+9=0解析由方程組2x+3y+1=0,x-3y+4=0,解得x=-53,y=79,即兩直線的交點坐標(biāo)為-53,79.∵所求直線與直線3x+4y-7=0垂直,∴所求直線的斜率k=43能力提升11.(2023·江蘇如皋調(diào)研)已知A,B兩點分別在兩條互相垂直的直線2x-y=0和x+ay=0上,且線段AB的中點為P0,10a,則線段AB的長為().A.11 B.10 C.9 D.8答案B解析因為直線2x-y=0和x+ay=0互相垂直,所以2×-1a=-1,解得a=2,所以線段AB的中點為P(0,5).設(shè)A(m,2m),Bn,-12n,則m+n2=0,2m-12n2=5,解得m=4,n=-4,所以A(12.設(shè)a>0,b>0,若關(guān)于x,y的方程組ax+y=1,x+by答案(2,+∞)解析∵關(guān)于x,y的方程組ax+y=1,x+by=1無解,∴∵a>0,b>0,∴a1=1b≠11,即a≠1,b≠1,且ab=1,則由基本不等式得a+b=a+1a≥2a·1a=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取等號,而a的取值范圍為a>0且a≠1,不滿足取等條件13.(2022·贛州期末)已知在平面直角坐標(biāo)系中,長度為3的線段AB的兩個端點分別在x軸和y軸上運(yùn)動,M是直線x+y-4=0上的動點,則|MA|+|MB|的最小值為.

答案4解析設(shè)點A(a,0),B(0,b),則a2+b2=9,設(shè)點B關(guān)于直線x+y-4=0的對稱點為B'(x1,y1),則y解得x所以要使|MA|+|MB|最短,則需|AB'|最短,而|AB'|=(a-4+b)又a2+b2=9,設(shè)a=3cosθ,b=3sinθ,所以a+b=3sinθ+3cosθ=32sinθ+π4,所以-32≤a+b≤32,所以當(dāng)a+b=4(滿足-32≤a+b≤32)時,|AB'|取得最小值,最小值為42-8所以|MA|+|MB|的最小值為4.14.已知y=2x是△ABC的一條內(nèi)角平分線所在的直線,若A,B兩點的坐標(biāo)分別為(-4,2),(3,1),則點C的坐標(biāo)為.

答案(2,4)解析易知點A,B不在直線y=2x上,因此直線y=2x為∠C的平分線所在的直線.設(shè)點A(-4,2)關(guān)于直線y=2x的對稱點為A'(a,b),則kAA'=b-2a+4,線段AA'的中點的坐標(biāo)為a-42,b+22,則b-2a+4∵y=2x是∠C的平分線所在的直線,∴點A'在直線BC上,故直線BC的方程為y+21+2=x-43-4,聯(lián)立y=2x,3x+y-10=0,得思維拓展15.已知m,n滿足m+n=1,則點(1,1)到直線mx-y+2n=0的距離的最大值為().A.0 B.1 C.2 D.22答案C解析將n=1-m代入直線方程,可得(x-2)m-y+2=0,∴直線mx-y+2n=0必過定點(2,2),故點(1,1)到直線mx-y+2n=0的距離的最大值為(2-116.已知直線2x-3y+1=0和直線x+y-2=0的交點為P.(1)求過點P且與直線3x-y-1=0平行的直線方程;(2)若直線l1與直線3x-y-1=0垂直,且點P到l1的距離為2105,求直線l1解析聯(lián)立2x-3y+1=0,x+y-(1)設(shè)與直線3x-y-1=0平行的直線方程為3x-y+c1=0(c1≠-1),把交點P(1,1)代入可得3-1+c1=0,∴c1=-2,故所求的直線方程為3x-y-2=0.(2)設(shè)與直線3x-y-1=0垂直的直線方程為l1:x+3y+c2=0,∵點P(1,1)到l1的距離為|1+3+c2|10=2105,解得c2=0或c2=-8,∴直線l1的方程為x+3y=0或培優(yōu)微專題十二直線系方程的應(yīng)用對應(yīng)學(xué)生用書P224培優(yōu)點1平行直線系【例1】與直線3x+4y+1=0平行且過點(1,2)的直線l的方程為.

答案3x+4y-11=0解析由題意,設(shè)所求直線的方程為3x+4y+c=0(c≠1),又因為直線l過點(1,2),所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11,因此,所求直線方程為3x+4y-11=0.平行直線系方程(1)斜率為k的直線系方程為y=kx+b(k為常數(shù),b為參數(shù)).(2)與定直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直線系方程為Ax+By+λ=0(λ為參數(shù),λ≠C).(3)過點P(x0,y0),且平行于直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直線方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0(Ax0+By0+C≠0).(改編)與直線2x-y=0平行且過點(-2,1)的直線l的方程為.

答案2x-y+5=0解析由題意,可設(shè)所求直線l的方程為2x-y+c=0(c≠0),又因為直線l過點(-2,1),所以-4-1+c=0,解得c=5.因此所求直線l的方程為2x-y+5=0.培優(yōu)點2垂直直線系【例2】經(jīng)過點A(2,1),且與直線2x+y-10=0垂直的直線l的方程為.

答案x-2y=0解析因為所求直線與直線2x+y-10=0垂直,所以設(shè)該直線方程為x-2y+c=0.又直線過點A(2,1),所以有2-2×1+c=0,解得c=0,即所求直線l的方程為x-2y=0.垂直直線系方程(1)與直線y=kx+b(k≠0)垂直的直線系方程為y=-1kx+m(m為參數(shù))(2)與定直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直線系方程為Bx-Ay+λ=0(λ為參數(shù)).(3)過點P(x0,y0),且垂直于直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直線方程為B(x-x0)-A(y-y0)=0.(改編)過點A(2,3)且垂直于直線2x+y-5=0的直線方程為().A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0答案A解析由題意可設(shè)所求直線方程為x-2y+m=0,將A(2,3)代入上式得2-2×3+m=0,即m=4,所以所求直線方程為x-2y+4=0.故選A.培優(yōu)點3過兩直線交點的直線系【例3】已知兩條直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點為P,求過點P且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程.解析設(shè)所求直線l的方程為x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0,因為直線l與l3垂直,所以3(1+λ)-4(λ-2)=0,所以λ=11,所以直線l的方程為4x+3y-6=0.過兩條直線交點(定點)的直線系方程設(shè)兩條不平行的直線的方程分別為l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為0),我們將m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m,n為參數(shù),且m2+n2≠0)稱為經(jīng)過直線l1與l2交點(定點)的直線系方程.當(dāng)m=1,n=0時,此方程即直線l1的方程;當(dāng)m=0,n=1時,此方程即直線l2的方程.過兩條直線交點(定點)的直線系方程又可以表示為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),此時該直線系不含直線l2.求過直線2x+7y-4=0與7x-21y-1=0的交點,且和A(-3,1),B(5,7)等距離的直線方程.解析設(shè)所求直線方程為2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0.由點A(-3,1),B(5,7)到所求直線距離相等,可得|(=|(2+7整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=1所以所求的直線方程為21x-28y-13=0或x=1.第3節(jié)圓的方程對應(yīng)學(xué)生用書P2261.理解確定圓的幾何要素,在平面直角坐標(biāo)系中,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.一、圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心:(a,b),半徑:r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,即x+D22+y+E22=D2+圓心:-D半徑:11.幾種特殊位置的圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在原點x2+y2=r2x2+y2-r2=0過原點(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0(續(xù)表)標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在x軸上(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0(D2>4F)圓心在y軸上x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0(E2>4F)與x軸相切(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+14D2=與y軸相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+y2+Dx+Ey+14E2=2.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.二、點與圓的位置關(guān)系點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:1.若點M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2;

2.若點M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2;

3.若點M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2<r2.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對的打“√”,錯的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圓心為(a,b),半徑為t的一個圓.()(3)方程x2+y2+4mx-2y=0不一定表示圓.()(4)若點M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(教材改編)若方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的取值范圍是.

答案(-∞,1)解析方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0可化為(x+a)2+(y+a)2=1-a,它表示圓,需滿足1-a>0,故a<1.3.(2023·陜西模擬)圓C:(x+3)2+(y-4)2=1關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為().A.(x-4)2+(y+3)2=1B.(x-4)2+(y-3)2=49C.(x+4)2+(y-3)2=1D.(x+4)2+(y+3)2=49答案A解析(x+3)2+(y-4)2=1表示以(-3,4)為圓心,1為半徑的圓.設(shè)(-3,4)關(guān)于直線y=x對稱的點為(a,b),則有a-32-b+42=0,b-4a+3=-1,解得a=4,b=-3,所以C:(x+3)24.(2022年全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為.

答案(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-432+y-732=659或x-852+(y-1)2=16925(答案不唯一,寫出一個即可)解析依題意設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,若過點(0,0),(4,0),(-1,1),則F=0,所以圓的方程為x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13;若過點(0,0),(4,0),(4,2),則F=0,所以圓的方程為x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;若過點(0,0),(4,2),(-1,1),則F=0,所以圓的方程為x2+y2-83x-143y=0,即x-432+y-732=659若過點(-1,1),(4,0),(4,2),則1+1-D所以圓的方程為x2+y2-165x-2y-165=0,即x-852+(y-1)2=169考點一求圓的方程【例1】(2022年全國甲卷)設(shè)點M在直線2x+y-1=0上,點(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為.

答案(x-1)2+(y+1)2=5解析∵點M在直線2x+y-1=0上,∴設(shè)點M(a,1-2a),又∵點(3,0)和(0,1)均在☉M上,∴點M到兩點的距離相等且為半徑R,∴(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2=R,即a2-∴M(1,-1),R=5,故☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.求圓的方程的兩種方法(1)幾何法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心的坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程.(2)待定系數(shù)法:①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出a,b,r的值;②選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值.(改編)過點A(0,-1),且與直線x-y-3=0相切于點B(2,-1)的圓的方程為.

答案(x-1)2+y2=2解析設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由圓與直線x-y-3=0相切于點B(2,-1),可得過點B(2,-1)且與直線x-y-3=0垂直的直線方程為y=-x+1,又由A(0,-1),B(2,-1),可得線段AB的垂直平分線的方程為x=1,聯(lián)立方程組y=-x+1,x=1,解得x=1,y=0,即圓心坐標(biāo)為C(1,0),又由|AC|=2,得圓的半徑r=考點二與圓有關(guān)的軌跡問題【例2】已知直角△ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角頂點C的軌跡方程;(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.解析(1)設(shè)C(x,y),因為A,B,C三點不共線,所以y≠0.因為AC⊥BC,且易知kAC,kBC均存在,所以kAC·kBC=-1,又kAC=yx+1,kBC=yx-3,所以yx+1·yx-3=-1,化簡得x因此直角頂點C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)設(shè)M(x,y),C(x0,y0),因為B(3,0),M是線段BC的中點,由中點坐標(biāo)公式得x=x0+32,y=y0+02,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,點C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0),將x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此動點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1求與圓有關(guān)的軌跡問題時,根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法:①直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.②定義法:根據(jù)圓與直線的定義列出方程.③幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)列出方程.④相關(guān)點代入法:找到要求點與已知點的關(guān)系,代入已知點滿足的關(guān)系式.(2023·浙江紹興模擬)已知圓O的方程為x2+y2=4,定點A(1,0),若B,C為圓O上的兩個動點,則線段AB的中點P的軌跡方程為;若弦BC經(jīng)過點A,則BC的中點Q的軌跡方程為.

答案x-122+y2=1x解析設(shè)B(x0,y0),P(x,y),因為P為線段AB的中點,所以2x=x0+1,2y=y0,又因為B為圓O上一點,所以x02+y02=4,即(2x-1)2+(2y)所以P點的軌跡方程為x-122+y因為Q為BC的中點,所以O(shè)Q⊥BC,又因為BC經(jīng)過點A,所以O(shè)Q⊥AQ,所以點Q的軌跡是以線段OA為直徑的圓,其軌跡方程為x-122+y考點三與圓有關(guān)的最值問題命題角度1根據(jù)幾何意義求最值【例3】已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則(1)yx的最大值為(2)y-x的最大值和最小值分別為;

(3)x2+y2的最大值和最小值分別為.

答案(1)3(2)-2+6和-2-6(3)7+43和7-43解析原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,3為半徑的圓.(1)yx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率,所以設(shè)yx=k,即y=kx.如圖所示,當(dāng)直線y=kx與圓相切時,斜率k取得最大值或最小值,此時|2k-0|所以yx的最大值為3(2)y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距.如圖所示,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值,此時|2-0+b|2=3,解得b=-2±6,所以y-x的最大值為-2+6,(3)x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方,由平面幾何知識知,在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值.又圓心到原點的距離為2,所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-3)2=7-43.把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,其中以下幾類轉(zhuǎn)化較為常見:(1)形如m=y-bx-(2)形如m=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題.已知M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點,且點Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)求y-3解析(1)由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=22.又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42,∴|MQ|max=42+22=62,|MQ|min(2)由題意可知,y-3x+2表示直線MQ的斜率k,設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+∵直線MQ與圓C有交點,∴|2k-7+2k+3|1+k2≤22,解得2-3≤k≤2+3,∴y命題角度2根據(jù)圓的性質(zhì)求最值【例4】(2023·保定質(zhì)檢)已知A(0,2),點P在直線x+y+2=0上,點Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0上,則|PA|+|PQ|的最小值是.

答案25解析因為圓C:x2+y2-4x-2y=0,所以圓C的圓心為C(2,1),半徑r=5.設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點為A'(m,n),則m+02+n+22+2=0,n-2m連接A'C交圓C于點Q(圖略),由對稱性可知|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|≥|A'Q|=|A'C|-r=35-5=25.◎同源改編◎?qū)ⅰ耙阎cA(0,2)”改為“已知點A在圓C1:x2+y2-4y-1=0上”,其余條件不變,求|PA|+|PQ|的最大值和最小值.解析圓C1:x2+y2-4y-1=0的圓心為C1(0,2),半徑r1=5,圓C的圓心為C(2,1),半徑r=5.由上面的例題知,點C1關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點為C2(-4,-2),由對稱性知點A關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點A1必在以C2(-4,-2)為圓心,5為半徑的圓上,所以|PA|+|PQ|的最大值和最小值就等于|PA1|+|PQ|的最大值和最小值.由圓的相關(guān)性質(zhì)知,(|PA1|+|PQ|)min=|CC2|-r1-r=5,(|PA1|+|PQ|)max=|CC2|+r1+r=55.求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路:(1)“動化定”,把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離;(2)“曲化直”,即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過對稱性解決.(2023·山西模擬)已知圓O:(x-2)2+y2=1,點A(4,3)及直線l:y=x,點M,N分別在直線l上和圓O上運(yùn)動,則MA+MN的最小值為.

答案17-1解析如圖,設(shè)A(4,3)關(guān)于l:y=x對稱的點為A'(x0,y0),則y0-3x0-4=-1,3+y02=x0+42,解得x0=3,y0=4當(dāng)點A',M,O共線時,此時的直線方程為y=4x-8,兩直線方程聯(lián)立得y=4x-8,y命題角度3根據(jù)基本不等式求最值【例5】(1)(改編)已知直線ax+by-1=0(ab>0)過圓(x-1)2+(y-2)2=2023的圓心,則1a+1b的最小值為(A.3+22B.3-22C.6 D.9答案A解析由圓的方程知,圓心為(1,2),∵直線ax+by-1=0(ab>0)過圓的圓心,∴a+2b=1(ab>0),∴1a+1b=(a+2b)·1a+1b=3+ab+2ba≥3+2ab·2ba=3+22當(dāng)且僅當(dāng)ab=2ba,即(2)直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點,當(dāng)△AOB的面積達(dá)到最大時,k=.

答案±1解析由圓O:x2+y2=1,得到圓心坐標(biāo)為O(0,0),半徑r=1,把直線l的方程y=kx+1(易得k=0時,l與圓O相切,不合題意,故k≠0)整理為一般式方程,得kx-y+1=0(k≠0),圓心O(0,0)到直線l的距離d=1k2+1,弦AB的長度為2r2-d2=2k2k2+1,S△AOB=12×2k2k2+1·1k2+1=|k|k2+1=1|k|+1|k|,利用已知或隱含的不等關(guān)系,先構(gòu)建以待求量為元的不等式,再借助基本不等式求最值.(改編)已知直線ax+by+c-1=0(b>0,c>0)經(jīng)過圓x2+(y-1)2=6的圓心,則4b+1c的最小值是(A.2 B.8 C.4 D.9答案D解析圓x2+(y-1)2=6的圓心為(0,1),∵直線ax+by+c-1=0(b>0,c>0)經(jīng)過圓x2+(y-1)2=6的圓心,∴b+c=1,∴4b+1c=(b+c)4b+1c=5+bc+4c當(dāng)且僅當(dāng)bc=4cb,即b=23,∴4b+1c的最小值是對應(yīng)《高效訓(xùn)練》P92基礎(chǔ)過關(guān)1.若圓心在x軸上,且過點(-1,-3)的圓與y軸相切,則該圓的方程是().A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0答案C解析可設(shè)圓的方程為(x-a)2+y2=a2,再把點(-1,-3)代入,解得a=-5.故該圓的方程是(x+5)2+y2=25,即x2+y2+10x=0.故選C.2.若點P(1,1)在圓C:x2+y2+x-y+k=0的外部,則實數(shù)k的取值范圍是().A.(-2,+∞) B.-2,-12C.-2,12 D.(-2,2)答案C解析由題意得1+1+1-1+k>0,12-k3.(2023·江西九江三模)已知A,B是圓C:(x-2)2+y2=4上的兩點,且|AB|=23,則AB·AC=().A.6 B.43 C.23 D.3答案A解析如圖,過圓心C作CD⊥AB,垂足為D,由圓的垂徑定理可知,|AD|=12|AB|=12×23=3,因此AB·AC=|AB|·|AC|·cosA=|AB|·|AD|=23×3=6.故選4.已知☉O的圓心是坐標(biāo)原點O,且☉O被直線2x-y+5=0截得的弦長為4,則☉O的方程為().A.x2+y2=4 B.x2+y2=6C.x2+y2=8 D.x2+y2=9答案D解析由題意,設(shè)☉O的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2,則圓心O(0,0)到直線2x-y+5=0的距離d=522+由☉O被直線2x-y+5=0截得的弦長為4,可得2r2-d2=4,化簡得r2-(5)2=4,解得r2=9,即☉O的方程為x2+y2=95.已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則().A.圓M的圓心坐標(biāo)為(4,3)B.圓M被x軸截得的弦長為8C.圓M的半徑為25D.圓M被y軸截得的弦長為8答案B解析由圓M的一般方程易得圓M的圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5,則A,C錯誤.令y=0,得x=0或x=8,則被x軸截得的弦長為8,故B正確.令x=0,得y=0或y=-6,則被y軸截得的弦長為6,故D錯誤.6.已知半徑為2的圓經(jīng)過點(5,12),則其圓心到原點的距離的最小值為().A.10 B.11 C.12 D.13答案B解析因為半徑為2的圓經(jīng)過點(5,12),所以圓心的軌跡是以點(5,12)為圓心,半徑為2的圓,所以圓心到原點的距離的最小值為52+122-2=117.(2023·黑龍江哈爾濱模擬)自圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點P(x,y)引該圓的一條切線,切點為Q,PQ的長度等于點P到原點O的距離,則點P的軌跡方程為().A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0答案D解析由題意得,圓心C的坐標(biāo)為(3,-4),半徑r=2,如圖.由題意可知|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,整理得6x-8y-21=0,所以點P的軌跡方程為6x-8y-21=0.故選D.8.已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=1,M是圓上的動點,AM與圓相切,且|AM|=2,則點A的軌跡方程是().A.y2=4xB.x2+y2-2x-2y-3=0C.x2+y2-2y-3=0D.y2=-4x答案B解析因為圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=1,所以圓心為C(1,1),半徑r=1.因為點M是圓上的動點,所以|MC|=1.又AM與圓相切,且|AM|=2,所以|AC|=|MC|2+|AM|2=5.設(shè)A(x,y),則(x-1)2+(y-1)2=5,即x2+y2-2x-2y-3=0,所以點A的軌跡方程為x2+y2-2x-29.寫出一個關(guān)于直線x+y-1=0對稱的圓的方程:.

答案(x-1)2+y2=1(只要圓心在直線上均可)解析設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a,b),因為圓C關(guān)于直線x+y-1=0對稱,所以點C(a,b)在直線x+y-1=0上,則a+b-1=0,取a=1,則b=0.設(shè)圓的半徑為1,則圓的方程為(x-1)2+y2=1.10.已知實數(shù)x,y滿足x2+(y-1)2=1,則3x+y的取值范圍是.

答案[-1,3]解析(法一)令3x+y=b,則3x+y-b=0.由圓心C(0,1)到直線3x+y-b=0的距離d=|1-b得|b-1|=2,解得b=-1或b=3,所以-1≤b≤3,故3x+y的取值范圍是[-1,3].(法二)由題意知,實數(shù)x,y滿足x2+(y-1)2=1,設(shè)x=cosθ,y=sinθ+1則3x+y=3cosθ+sinθ+1=2sinθ+π3+1,因為θ∈[0,2π),所以θ+π3∈π3,7π3,所以sinθ+π3∈[-1,1].故3x+y的取值范圍是[-1,3]能力提升11.已知圓C1:(x+1)2+(y-1)2=4,圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對稱,則().A.圓心C1到直線x-y-1=0的距離為22B.圓心C1到直線x-y-1=0的距離為2C.圓C2的方程為(x+2)2+(y-2)2=4D.圓C2的方程為(x-2)2+(y+2)2=4答案D解析根