分?jǐn)?shù)的四種定義

分?jǐn)?shù)的四種定義分?jǐn)?shù)知識是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分.在歐美各國的數(shù)學(xué)課程中，分?jǐn)?shù)大多被放在中學(xué)(6～7年級)，我國的分?jǐn)?shù)課程則要早一些。20世紀(jì)60年代，分?jǐn)?shù)內(nèi)容安排在五年級，現(xiàn)在則在四年級上學(xué)期，甚至三年級就開始學(xué)習(xí)了。這可能是由于中文數(shù)學(xué)名詞“三分之一”“幾分之幾”，精確又達(dá)意，容易理解。而“三分之一”的英文表達(dá)是“one—third(一和第三)”，這就比較費(fèi)解了。東亞的許多使用漢字的國家和地區(qū)，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的成績普遍比歐美各國好，據(jù)說與此有關(guān)。分?jǐn)?shù)該怎樣定義?一般地，有以下四種：

定義1(份數(shù)定義)：分?jǐn)?shù)是把單位”1”平均分成若干份,表示其中的一份或幾份。

定義2(商定義)：分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)相除(除數(shù)不為0)的商。

定義3(比定義)：分?jǐn)?shù)是整數(shù)m與整數(shù)n(n≠0)之比。

定義4(公理化定義)：有序的整數(shù)對(p，q)，其中p≠0。

小學(xué)中,一般這樣定義:將單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。表示把單位“1”平均分成多少份的數(shù)a(a≠0)叫做分母，表示取了多少份的數(shù)b叫做分子。分?jǐn)?shù)寫成b/a，讀作a分之b。這一定義的好處是直觀、明白易懂，強(qiáng)調(diào)了“平均分”，特別對“幾分之幾”做了貼切的說明，對理解以后的分?jǐn)?shù)運(yùn)算也有很重要的價(jià)值。不僅可以分一個(gè)物體，還可以分一群物體。在教學(xué)上，選擇適當(dāng)?shù)膯挝皇抢斫夥謹(jǐn)?shù)的份數(shù)定義的關(guān)鍵。此外，把1/b作為分?jǐn)?shù)單位加以強(qiáng)調(diào)，能幫助學(xué)生了解分?jǐn)?shù)的含義。在教學(xué)中，我們強(qiáng)調(diào)“平均分”是必要的。同時(shí)，也要注意平均分只是各個(gè)部分的地位相同，外觀不一定相同。例如，12輛汽車中，8輛是卡車，4輛是轎車，問轎車是全部汽車的幾分之幾?12粒糖中，巧克力有4粒，問巧克力占多少?這里平均分的是汽車、糖，而不在乎具體內(nèi)容。

但是，用份數(shù)來定義分?jǐn)?shù)，也有不少缺點(diǎn)。首先，一份或幾份的說法，仍然和自然數(shù)靠得很近，沒有顯示出這是一種新的數(shù)。其次，平均分一個(gè)大餅之后其中的一份或幾份的說法，常常會誤解為分?jǐn)?shù)總是小于1(比一個(gè)大餅小)。再次，由于分大餅或其他直觀圖的思維定勢，不能適當(dāng)選擇單位，形成思維上的僵化。以下的調(diào)查可供我們思考.調(diào)查結(jié)果顯示：看到1/4的學(xué)生有94.83％，但是，看到3/4的學(xué)生只有33.62％。特別是看到1/3的學(xué)生只有9.48％，這說明學(xué)生選擇單位的能力很差。

因此，分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義可以作為起點(diǎn)，但是，不宜過分強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該迅速向更抽象的分?jǐn)?shù)定義轉(zhuǎn)移。

“分?jǐn)?shù)是整數(shù)b除以整數(shù)a(a≠0)所得的商?！备鶕?jù)這一定義，如果a能夠整除b，那么，其商依然是整數(shù)。但是，如果a不能整除b，那么，b/a是什么數(shù)呢?這就需要將整數(shù)擴(kuò)展，引入新的數(shù)——分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的真正來源，在于自然數(shù)除法的推廣。1個(gè)大餅，由4個(gè)人平均分，得到有確定大小的一塊大餅。對于這個(gè)客觀存在的量，依除法的意義，應(yīng)該是1÷4所得的商?？墒?，這種除數(shù)大、被除數(shù)小的除法，以前是不能除的，因而，也沒有“商”的。于是，“創(chuàng)新”的機(jī)會來了。我們把已經(jīng)認(rèn)識的自然數(shù)當(dāng)做“老朋友”，把1÷4的商看做“新朋友”，它的名字叫做四分之一。認(rèn)識了這樣的“新朋友”，任何兩個(gè)自然數(shù)之間的除法就可以進(jìn)行了。于是有這樣的定義：分?jǐn)?shù)是兩個(gè)自然數(shù)a、b(a≠0)相除的商。b÷a的商是新數(shù)b/a，讀作a分之b。當(dāng)a能整除b，特別是b=l時(shí)，分?jǐn)?shù)就是自然數(shù)。

從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，這一定義體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，符合數(shù)系擴(kuò)張的數(shù)學(xué)思想。

目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教材大多回避這一定義，只是用“分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，分?jǐn)?shù)是分子除以分母”這樣不著邊際的話蒙混過去。事實(shí)上，兒童能夠懂得：1個(gè)大餅給2個(gè)人平均分，每人只能分得一半——即“二分之一”。這時(shí)，腦子里如果始終是半個(gè)大餅，那就還沒有學(xué)好分?jǐn)?shù)。我們應(yīng)該幫助學(xué)生想到“二分之一”即1/2，是一個(gè)新的數(shù)，它比1小。如果4個(gè)人平均分1個(gè)大餅，每個(gè)人得到1/4，它也是一個(gè)新的數(shù)。顯然1/4<1/2。

01在過渡到分?jǐn)?shù)的商定義時(shí)，在數(shù)直線上對分?jǐn)?shù)作幾何解釋是非常重要的。這是一個(gè)半抽象的模型。線段模型是圓模型和其他平面模型的“再抽象”，可以充當(dāng)分?jǐn)?shù)的“份數(shù)模型”向“除法的商”定義過渡的幾何載體。用線段的長度表示分?jǐn)?shù)的大小，無論大餅、蛋糕有多大，這里的單位都是1。切下來的1份或2份，腦子里不再局限地呈現(xiàn)1或2，而是一個(gè)新的數(shù)。這樣表示的好處很多。

首先，它的單位是抽象的“1”。雖與圓形、三角形相比，較抽象，但是仍然是幾何直觀，可以幫助學(xué)生感知分?jǐn)?shù)的含義。其次，這是數(shù)軸的雛形，早在學(xué)習(xí)自然數(shù)的時(shí)候，已經(jīng)用過這樣的表示方法。再次，通過操作可以看到分?jǐn)?shù)是填在自然數(shù)之間的“新”數(shù)，位置在兩個(gè)相鄰的自然數(shù)之間，并和分?jǐn)?shù)大小比較、擴(kuò)分、約分、通分以及運(yùn)算相呼應(yīng)。我國的分?jǐn)?shù)教學(xué)，擅長分?jǐn)?shù)的計(jì)算，不大注意在數(shù)軸上直觀地加以表示。其實(shí)，這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。應(yīng)該讓小學(xué)生知道，正的真分?jǐn)?shù)是密密麻麻地分布在[0，1]區(qū)間上的。至少，在[0，1]內(nèi)畫出所有的以10為分母的真分?jǐn)?shù)，加強(qiáng)分?jǐn)?shù)和數(shù)直線之間的聯(lián)系，乃是改進(jìn)分?jǐn)?shù)教學(xué)的一個(gè)方面。

“分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)的比(值)”，在中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中，我們常常這樣說。但是，小學(xué)數(shù)學(xué)課程的安排是先學(xué)分?jǐn)?shù)，再學(xué)比。因此，不可能一開始就采用比作為分?jǐn)?shù)的定義。令人意外的是，已經(jīng)學(xué)過比和比例的小學(xué)六年級學(xué)生，仍然缺乏用比和比例的眼光去審視分?jǐn)?shù)。前面曾提及的調(diào)查數(shù)據(jù)是：對于圖1，38名六年級學(xué)生中，有36名學(xué)生看到了1/4，卻只有3名的回答中有1/3。其實(shí)，1塊黑，三塊白，1：3，其比值正是1/3，非常直觀。為什么看不到?只因把整塊大餅看做單位“1”，已經(jīng)根深蒂固。甚至有一位小學(xué)老師說，這個(gè)圖表示的分?jǐn)?shù)只能是1/4，說1/3是錯(cuò)的。由此可見，思維定勢之嚴(yán)重。從數(shù)學(xué)上看，依份數(shù)定義看來，分?jǐn)?shù)表面上是“一份或幾份”，其實(shí)，表示的是部分和整體之比?！氨取钡亩x是將它擴(kuò)展，分?jǐn)?shù)乃是“一部分和另一部分之比”，另一部分可以是整體，也可以是部分，把一部分當(dāng)做新的整體。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在講比和比例的時(shí)候，應(yīng)該補(bǔ)充“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”。這對將來靈活地運(yùn)用分?jǐn)?shù)很有好處。比的定義和商的定義相近，值相同，表達(dá)的方式不同。在教學(xué)處理上，第一階段的分?jǐn)?shù)教學(xué)，先出份數(shù)的分?jǐn)?shù)定義，然后過渡到“商”定義。份數(shù)定義顯示過程，商定義表示結(jié)果。到了六年級，