3.1 函數(shù)的概念及表示（精講）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第一冊(cè)）（教師版含解析）

3.1函數(shù)的概念思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一區(qū)間的表示【例1】(2019·全國高一)一般區(qū)間的表示設(shè)，且，規(guī)定如下:定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示閉區(qū)間______開區(qū)間______半開半閉區(qū)間______半開半閉區(qū)間______【答案】【解析】(1).若,寫成區(qū)間形式為(2).若,寫成區(qū)間形式為(3).若,寫成區(qū)間形式為(4).若,寫成區(qū)間形式為故答案為:(1).(2).(3).(4).不等式改寫成區(qū)間表達(dá)形式,注意邊界情況不等式改寫成區(qū)間表達(dá)形式,注意邊界情況【舉一反三】1．(2019·全國高一課時(shí)練習(xí))已知區(qū)間，則的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意，區(qū)間，則滿足，解得，即的取值范圍為．故答案為．2．(2019·全國高一課時(shí)練習(xí))用區(qū)間表示下列集合：(1)______；(2)______；(3)______．【答案】【解析】(1)根據(jù)集合與區(qū)間的改寫，可得．(2)由或．(3)由或．3．(2019·全國高一課時(shí)練習(xí))用區(qū)間表示下列集合：______；______；______；______.【答案】【解析】集合表示大于的所有實(shí)數(shù)，可用開區(qū)間表示為；集合表示大于2且小于或等于5的所有實(shí)數(shù)，可用左開右閉區(qū)間表示為；集合表示小于或等于的所有實(shí)數(shù)，可用左開右閉區(qū)間表示為；集合表示大于或等于2且小于或等于4的所有實(shí)數(shù)，可用閉區(qū)間表示為.考點(diǎn)二函數(shù)的判斷【例2-1】(2020·浙江高一開學(xué)考試)下列各曲線中，不能表示y是x的函數(shù)的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義：設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量．如圖，C選項(xiàng)中，在x允許的取值范圍內(nèi)取x＝x0，此時(shí)函數(shù)y與之對(duì)應(yīng)的有2個(gè)值，y＝y(tǒng)1，y＝y(tǒng)2，不符合函數(shù)的定義.其它三個(gè)選項(xiàng)都符合函數(shù)的定義.故選：C．【例2-2】(2019·浙江湖州.高一期中)下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是從集合到集合的函數(shù)的是()A．，，：B．，，：C．，，：D．，，：【答案】D【解析】A.，，：不是函數(shù)關(guān)系，∵當(dāng)x＝0時(shí)，|0|＝0，|x|＞0不成立，∴不是函數(shù)關(guān)系；B.，，：的定義域是，不是，當(dāng)時(shí)，無意義，∴不是函數(shù)關(guān)系；C.，，：的定義域是，不是，當(dāng)是負(fù)整數(shù)時(shí)，無意義，∴不是函數(shù)關(guān)系；D.，，：是函數(shù)關(guān)系.故選：D【舉一反三】1．(2020·上海高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，表示函數(shù)圖像的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的定義知，一個(gè)有唯一的對(duì)應(yīng)，由圖象可看出，只有選項(xiàng)B的圖象滿足這一點(diǎn)．故選：B．2．(2020·上海高一課時(shí)練習(xí))下列各圖中能作為函數(shù)圖像的是()．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】A【解析】對(duì)①②，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有唯一的值與對(duì)應(yīng)，則①②正確；對(duì)③，在內(nèi)，此時(shí)一個(gè)有兩個(gè)值與對(duì)應(yīng)，則③錯(cuò)誤；對(duì)④，在內(nèi)，此時(shí)一個(gè)有兩個(gè)值與對(duì)應(yīng)，則④錯(cuò)誤；故選：A3．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))判斷下列對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)：(1)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；(2)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；(3)x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.【答案】(1)不是；(2)是；(3)是【解析】(1)根據(jù)函數(shù)概念知，當(dāng)時(shí)，在沒有值與對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)；(2)根據(jù)函數(shù)概念，當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)于每一個(gè)值，都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，所以是函數(shù)；(3)根據(jù)函數(shù)概念，對(duì)于每一個(gè)值，都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，所以是函數(shù)；考點(diǎn)三定義域【例3-1】(2020·上海高一開學(xué)考試)函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B．C． D．【答案】C【解析】由，解得x≥且x≠2．∴函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：C．【例3-2】(2020·全國高一)已知的定義域?yàn)椋?1)求的定義域；(2)求的定義域【答案】(1)(3，5)；(2).【解析】(1)的定義域?yàn)?，，則，即的定義域?yàn)椋?2)的定義域?yàn)?；由得，即的定義域?yàn)椋橄蠛瘮?shù)的定義域的求解，解抽象函數(shù)的定義域要抓住以下兩點(diǎn)：抽象函數(shù)的定義域的求解，解抽象函數(shù)的定義域要抓住以下兩點(diǎn)：（1）函數(shù)的定義域指的是自變量的取值范圍；（2）對(duì)于函數(shù)和的定義域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范圍作為函數(shù)的定義域.（3）對(duì)于抽象函數(shù)定義域的求解，（1）若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式.（4）若復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)樵谏系闹涤?【舉一反三】1．(2019·浙江高一期中)函數(shù)的定義域是()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：，且，得到，且，故選：D2．(2019·內(nèi)蒙古集寧一中高三月考)函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選A.3．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)開_______．【答案】【解析】由－1<2x＋1<0，得－1<x<－，所以函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?．(2020·呼和浩特開來中學(xué)高二期末(文))設(shè)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是___________.【答案】【解析】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，∴函?shù)滿足，解不等式，得，即函數(shù)的定義域是，故選A5．(2020·全國高一)已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求的定義域.【答案】【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)滿足，解得，即，即函數(shù)的定義域?yàn)?6(2020·全國高一)已知函數(shù)的定義域?yàn)閇1，4]，求的定義域.【答案】∪.【解析】由，得，即或，解得x≤，或.∴函數(shù)的定義域?yàn)?-∞，]∪[，+∞).考點(diǎn)四解析式【例4】(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))根據(jù)下列條件，求f(x)的解析式.(1)f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；(3).【答案】(1)f(x)＝x＋3；(2)f(x)＝x2＋2x－2；(3)【解析】(1)解由題意，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性質(zhì)，得∴a＝1，b＝3∴所求函數(shù)解析式為f(x)＝x＋3.(2)設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函數(shù)解析式為f(x)＝x2＋2x－2.(3)解，將原式中的x與互換，得.于是得關(guān)于f(x)的方程組解得.【舉一反三】1．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))根據(jù)下列條件，求f(x)的解析式.(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)為一次函數(shù)；(2)f(2x＋1)＝6x＋5；(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.【答案】(1)或；(2)f(x)＝3x＋2；(3).【解析】(1)由題意，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1由恒等式性質(zhì)，得或∴所求函數(shù)解析式為或(2)設(shè)2x＋1＝t，則∴f(x)＝3x＋2.(3)將x換成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，∴聯(lián)立以上兩式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，2．(2020·全國高一)(1)已知函數(shù)是一次函數(shù)，若，求的解析式；(2)已知是二次函數(shù)，且滿足，，求的解析式．【答案】(1)或；(2)．【解析】(1)設(shè)，則，又，所以，，解得或，因此，或；(2)，則，，即，即，所以，解得.因此，.3．(2019·山西高一月考)(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式．【答案】(1)；(2)【解析】(1)由題意得：定義域?yàn)樵O(shè)，則(2)由…①得：…②①②聯(lián)立消去得：考點(diǎn)五函數(shù)值【例5】(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)，那么()A．1 B．3 C．15 D．30【答案】C【解析】由于，當(dāng)時(shí)，，故選C.【舉一反三】1．(2020·浙江杭州高二期末)已知，則()A．15 B．21 C．3 D．0【答案】D【解析】根據(jù)的解析式，有.故選：D2．(2020·上海高一課時(shí)練習(xí))已知，則_________．【答案】【解析】，，所以故答案為：3．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，則的值為____________.【答案】【解析】.故答案為：4．(2018·浙江下城.杭州高級(jí)中學(xué)高一期中)若函數(shù)，則______________．【答案】-1【解析】當(dāng)時(shí),故.故答案為：考點(diǎn)六相等函數(shù)【例6】(2019·內(nèi)蒙古集寧一中高三月考)下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是()A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A:，，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同,表示同一函數(shù)；對(duì)于B:的定義域?yàn)镽,的定義域?yàn)?兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,不是同一函數(shù);對(duì)于C.的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,不是同一函數(shù);對(duì)于D.的定義域?yàn)?的定義域?yàn)榛?兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,不是同一函數(shù).故選A.根據(jù)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否同時(shí)相等來判斷是否為同一函數(shù)根據(jù)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否同時(shí)相等來判斷是否為同一函數(shù)【舉一反三】1．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是__________(填序號(hào)).(1)y＝x－1和y＝；(2)y＝x0和y＝1；(3)f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝和g(x)＝.【答案】(4)【解析】(1)的定義域?yàn)?；的定義域?yàn)?，定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；(2)的定義域?yàn)?；的定義域?yàn)椋x域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；(3)兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；(4)因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的定義域均為，且，故兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).故答案為：(4)2．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)；；；與函數(shù)是同一函數(shù)的是________.【答案】【解析】定義域是，所以與函數(shù)不是同一函數(shù)；定義域是，所以與函數(shù)不是同一函數(shù)；，所以與函數(shù)是同一函數(shù)；，所以與函數(shù)不是同一函數(shù).故答案為：3．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))下列對(duì)應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的序號(hào)為________.①，；②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖：③，；④，.【答案】②【解析】①，，存在對(duì)應(yīng)兩個(gè)的情況，所以不是A到B的函數(shù)；②符合函數(shù)的定義，是A到B的函數(shù)；③，，對(duì)于集合A中的沒有對(duì)應(yīng)，所以不是A到B的函數(shù)；④，，對(duì)于集合A中的沒有對(duì)應(yīng)，所以不是A到B的函數(shù).故答案為：②考點(diǎn)七分段函數(shù)【例7-1】(2020·上海高一開學(xué)考試)已知函數(shù)，則的值為()A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】由題意得,,,,所以,故選：A.【例7-2】(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)若f(a)＝4，則實(shí)數(shù)a＝()A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)?，所以，綜上，或，故答案選【舉一反三】1．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))設(shè)，則等于()A．1 B．0 C．2 D．-1【答案】C【解析】,.故選:C.2．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))已知