張合情推理與演繹推理

1.當(dāng)我們看到烏云密布、燕子低飛、螞蟻搬家等現(xiàn)象時(shí)，會(huì)得到的判斷一、引例即將下雨2、有一小販在賣一籃草莓，我先嘗了一個(gè)，覺(jué)得甜，又嘗了一個(gè)，也是甜的，再嘗了一個(gè)，還是甜的，所以我覺(jué)得:這一籃草莓都是甜的從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程推理：推理合情推理演繹推理蛇、鱷魚(yú)、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的蛇、鱷魚(yú)、海龜、蜥蜴是爬行動(dòng)物。用肺呼吸所有的爬行動(dòng)物都是三角形內(nèi)角和為1800凸四邊形內(nèi)角和為3600凸五邊形內(nèi)角和為5400

凸n邊形內(nèi)角和為

簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。

根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),推出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).歸納推理：你能舉出生活，學(xué)習(xí)中的歸納推理的例子嗎？1.如：銅、鐵、鋁、金等金屬能導(dǎo)電，歸納出“一切金屬能導(dǎo)電”2.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從研究對(duì)象中抽取一部分進(jìn)行觀測(cè)或試驗(yàn)，從而對(duì)整體作出推斷。例1．用推理的形式表示等差數(shù)列1，3，5，…，(2n－1)，…的前n項(xiàng)和Sn的歸納過(guò)程。A={x1,x2,…xn…}S1=1=12；S2=1+3=4=22；S3=1+3+5=9=32；

S4=1+3+5+7=16=42；S5=1+3+5+7+9=25=52；S6=1+3+5+7+9+11=36=62；等差數(shù)列1，3，5，…,(2n－1),…的前n項(xiàng)和Sn=n2.X1具有性質(zhì)F;X2具有性質(zhì)F;…Xn具有性質(zhì)F;集合A中所有元素具有性質(zhì)F歸納推理的一般模式三、知識(shí)應(yīng)用歸納推理一般步驟：實(shí)驗(yàn)觀察猜想一般性結(jié)論概括推廣總結(jié)：1.根據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,試猜測(cè)第n個(gè)圖形中有

個(gè)點(diǎn).(1)(2)(3)(4)(5)四、鞏固練習(xí)通過(guò)更多特例的檢驗(yàn),從6開(kāi)始,沒(méi)有出現(xiàn)反例.

任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和.

觀察下列等式6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，16=5+11…1000=29+971，1002=139+863…五、數(shù)學(xué)拓展哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)

歸納推理是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑!注意：歸納推理有可能是錯(cuò)的！有個(gè)土財(cái)主，幾代人都不識(shí)字。有一天，土財(cái)主決心讓兒子念書(shū)，于是請(qǐng)了一位老先生教他兒子識(shí)字。這位老先生寫(xiě)下一畫(huà)，對(duì)這個(gè)小孩說(shuō)，這是一字；寫(xiě)下二畫(huà)，對(duì)這個(gè)小孩說(shuō)，這是二字；寫(xiě)下三畫(huà)，對(duì)這個(gè)小孩說(shuō)，這是三字。這個(gè)小孩學(xué)會(huì)這三個(gè)字以后，得意地對(duì)他父親說(shuō)：“我全會(huì)了，可以把先生辭掉了?！蓖霖?cái)主很高興，把先生辭退了。過(guò)了幾天，土財(cái)主要請(qǐng)客，請(qǐng)?zhí)怯『玫模恍杼顐€(gè)姓。這位客人姓萬(wàn)。小兒子從早寫(xiě)到中午還沒(méi)寫(xiě)完，土財(cái)主就去催兒子快寫(xiě)。他兒子抱怨說(shuō)：“天下的姓多得很為什么你這位朋友偏要姓萬(wàn)？害得我從早到現(xiàn)在才完成五百畫(huà)?！睔w納推理一般步驟：實(shí)驗(yàn)觀察猜想一般性結(jié)論概括推廣總結(jié)：主要收獲：歸納推理所得的結(jié)論雖然未必可靠，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)性能，提供科學(xué)的發(fā)現(xiàn)方法，確實(shí)是非常有用的！法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace,1749-1827）曾說(shuō)過(guò)：“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比！回顧2.歸納推理的一般步驟:(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理?部分整體特殊一般1、據(jù)說(shuō)春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹(shù)時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.魯班的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.2、人們仿照魚(yú)類的外形和它們?cè)谒械某粮≡?，發(fā)明了潛水艇.情景引入：火星地球相似點(diǎn):繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)、有大氣層、有季節(jié)變換、大部分時(shí)間的溫度適合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命火星上可能有生命猜想火星上是否有生命？相似點(diǎn):試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=b

a2=b2;等等。猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞b

a2＞b2;等等。問(wèn)：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？

兩類對(duì)象具有某些類似特征。由其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）．類比推理的定義:

簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．類比推理的特點(diǎn);1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測(cè)正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性.3.類比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.類比推理的一般步驟:觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性（或一致性）；⑵用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想；⑶檢驗(yàn)猜想。例1、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.圓弦直徑周長(zhǎng)面積球截面圓大圓表面積體積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長(zhǎng)以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與不過(guò)球心的截面(圓面)的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長(zhǎng)圓的面積例2類比實(shí)數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).類比角度實(shí)數(shù)的加法實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)果若a,b∈R,則a+b∈R運(yùn)算律(交換律和結(jié)合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆運(yùn)算加法的逆運(yùn)算是減法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a單位元a+0=a若a,b∈R,則ab∈Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆運(yùn)算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/aa·1=a通過(guò)例1，例2你能得到類比推理的一般模式嗎？類比推理的一般模式:所以B類事物可能具有性質(zhì)d’.A類事物具有性質(zhì)a,b,c,d,B類事物具有性質(zhì)a’,b’,c’,(a,b,c與a’,b’,c’相似或相同）①②③④⑤⑥若，則

①②③④若，則

⑤⑥⑦⑦空間向量的性質(zhì)例3.利用平面向量的性質(zhì)類比得空間向量平面向量總結(jié)1、運(yùn)用類比方法解決問(wèn)題，其基本過(guò)程可用框圖表示如下：原問(wèn)題類比問(wèn)題原問(wèn)題解法類比問(wèn)題的解法2、運(yùn)用類比法的關(guān)鍵是：尋找一個(gè)合適的類比對(duì)象。類比推理由特殊到特殊的推理;以舊的知識(shí)為基礎(chǔ),推測(cè)新的結(jié)果；結(jié)論不一定成立.歸納推理由部分到整體、特殊到一般的推理;以觀察分析為基礎(chǔ),推測(cè)新的結(jié)論;具有發(fā)現(xiàn)的功能;結(jié)論不一定成立.具有發(fā)現(xiàn)的功能;回顧歸納推理和類比推理的過(guò)程從具體問(wèn)題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想通俗地說(shuō)，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理歸納推理類比推理案例：（1）觀察1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,……由上述具體事實(shí)能得到怎樣的結(jié)論？（2）在平面內(nèi)，若a⊥c，b⊥c，則a//b.

類比地推廣到空間，你會(huì)得到什么結(jié)論？并判斷正誤.完成下列推理，1.所有的金屬都能導(dǎo)電,2.一切奇數(shù)都不能被2整除,所以銅能夠?qū)щ?因?yàn)殂~是金屬,所以2007不能被2整除.因?yàn)?007是奇數(shù),一般性的原理特殊情況結(jié)論一般性的原理特殊情況結(jié)論它們是合情推理嗎？它們有什么特點(diǎn)？從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．1.所有的金屬都能導(dǎo)電,2.一切奇數(shù)都不能被2整除,所以銅能夠?qū)щ?因?yàn)殂~是金屬,所以2007不能被2整除.因?yàn)?007是奇數(shù),大前提小前提結(jié)論一般性的原理特殊情況結(jié)論一般性的原理特殊情況結(jié)論三、建構(gòu)數(shù)學(xué)演繹推理的定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理。1．演繹推理是由一般到特殊的推理；2．“三段論”是演繹推理的一般模式；包括（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情況；（3）結(jié)論——據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷．三段論的基本格式M—P（M是P）（大前提）S—M（S是M）（小前提）S—P（S是P） （結(jié)論）3．三段論推理的依據(jù)，用集合的觀點(diǎn)來(lái)理解：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的一個(gè)子集，那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P。M∵二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,例1完成下面的推理過(guò)程“二次函數(shù)y=x2+x+1的圖象是

.”函數(shù)y=x2+x+1是二次函數(shù),∴函數(shù)y=x2+x+1的圖象是一條拋物線.大前提小前提結(jié)論解：一條拋物線PS試將其恢復(fù)成完整的三段論．例2在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足.求證AB的中點(diǎn)M到D,E的距離相等.大前提小前提結(jié)論證明:(1)∵有一個(gè)內(nèi)角是只直角的三角形是直角三角形,在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o∴△ABD是直角三角形.同理△ABE是直角三角形(2)∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,M是Rt△ABD斜邊AB的中點(diǎn),DM是斜邊上的中線.同理EM=AB.∴DM=EM.∴DM=AB.大前提小前提結(jié)論ADECMB練1分析下列推理是否正確，說(shuō)明為什么？(1)自然數(shù)是整數(shù)，3是自然數(shù)，3是整數(shù).大前提錯(cuò)誤推理形式錯(cuò)誤(2)整數(shù)是自然數(shù)，-3是整數(shù)，-3是自然數(shù).(4)自然數(shù)是整數(shù)，－3是整數(shù)，－3是自然數(shù).(3)自然數(shù)是整數(shù)，-3是自然數(shù)，