第18章 平行四邊形壓軸題考點訓練（教師版）-2023年初中數(shù)學8年級下冊同步壓軸題

第十八章平行四邊形壓軸題考點訓練1．如圖，在四邊形中，，是的中點，點是的中點，連結并延長交的延長線于點．若，則的大小為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，交于點F，取的中點E，連接，，可得是的中位線，是的中位線，利用中位線的性質可得，，，，利用平行線的性質得出，，由已知得出，進而得出，再根據(jù)三角形外角的性質得出，從而得到，進而得出結論．【詳解】解：如圖，連接，交于點F，取的中點E，連接，，點是的中點，點是的中點，是的中位線，是的中位線，，，，，，，，，，，，，，，故選D．【點睛】本題考查三角形中位線的性質，平行線的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理等，解題的關鍵是正確添加輔助線，構造三角形中位線．2．在平面直角坐標系中，點B，C的坐標分別為B(，)，C(，)．任意一點A都滿足．作的內角平分線，過點B作的垂線交于點F，已知當點A在平面內運動時，點F與坐標原點O的距離為()A． B． C． D．1【答案】B【分析】過C作，垂足為M，交于D，證明，得出，再連接并延長，交于N，證明四邊形是個平行四邊形，利用全等三角形得出，利用斜邊中線等于斜邊一半求出即可．【詳解】解：如圖：過C作，垂足為M，交于D，∵平分，且是邊上的高，∴，，∵，∴，∴，，∴，即長為定值，連接并延長，交于N，∵，，∴，∴，∵B(，)，C(，)，∴，在和中，，∴，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和斜邊中線的性質及平行四邊形的判定與性質，解題關鍵是恰當構建全等三角形和平行四邊形，得出．3．如圖是一張矩形紙片，點，分別在邊，上，，．把該紙片沿折疊，若點，的對應點分別為，，的延長線過點，則的值為(

)A． B． C． D．4【答案】D【分析】如圖，連接、，設，，推得，，，，，，然后在中利用勾股定理求出，接著在、中利用勾股定理建立等式，解之即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接、，由題意知，的延長線過點，四邊形是矩形，則四個角都是直角，設，，，，，，，，該矩形紙片沿折疊，，，，，，在中有，，，解得，在中有，，在中有，，

，又，，解之得，．故答案為D．【點睛】本題考查了矩形的性質及勾股定理的應用，正確的畫出輔助線是解題的關鍵．4．如圖，在正方形所在平面內求一點，使點與正方形的任意兩個頂點構成，，，均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點的個數(shù)為(

)．A．8個 B．9個 C．10個 D．11個【答案】B【分析】作的中垂線，則中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，分別以為圓心，正方形的邊長為半徑畫圓，每個圓與兩條中垂線各有2個交點，共8個交點，根據(jù)半徑都相等，8個交點的位置都滿足，，，均是等腰三角形，再加上兩條中垂線的交點，也滿足，，，均是等腰三角形，共有9個點．【詳解】解：如圖，作的中垂線，①分別以為圓心，正方形的邊長為半徑畫圓，每個圓與兩條中垂線各有2個交點，共8個交點，根據(jù)中垂線的性質以及圓內半徑相等，8個交點的位置都滿足，，，均是等腰三角形；②兩條中垂線的交點，也滿足，，，均是等腰三角形；∴滿足條件的所有點的個數(shù)為：；故選B．【點睛】本題考查正方形的性質，以及等腰三角形的判定，中垂線的性質．熟練掌握相關性質，利用數(shù)形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．5．如圖，在矩形中，，，點在邊上，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊作正方形，且點在矩形內，連接，則的最小值為(

)．A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】過點作于點，過點作，分別與、交于點、點，證明，得，，設根據(jù)勾股定理用表示，進而求得的最小值．【詳解】解：過點作于點，連接，四邊形是正方形，，，，，四邊形是矩形，，，，，設則，當時，有最小值為．故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，矩形的性質，全等三角形的性質與判定，解題的關鍵是證明三角形全等，確定點運動的軌跡．6．如圖，A，B，C，D四個點順次在直線l上，．以為底向下作等腰直角三角形，以為底向上作等腰三角形，且．連接，當?shù)拈L度變化時，與的面積之差保持不變，則a與b需滿足(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】過點作于點，過點作于點，先根據(jù)等腰三角形的性質可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面積公式可得與的面積之差，然后根據(jù)“當?shù)拈L度變化時，與的面積之差保持不變”建立等式，化簡即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，是等腰直角三角形，且，，是等腰三角形，且，，，，與的面積之差為，當?shù)拈L度變化時，與的面積之差保持不變，，，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質是解題關鍵．7．如圖，正方形中，，點E，F(xiàn)分別為上一點，且，連接交對角線于點G，點P，Q分別為的中點，則的長為(

)A．6 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，利用三角形中位線定理可以求得和的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得的長．【詳解】取中點，連接，取中點，連接，作交于點，如圖所示，正方形的邊長為12，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵中點，點為的中點，∴，，，∴，∵中點，點為的中點，，，，∵，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，，故選：D．【點睛】本題考查三角形中位線定理、正方形的性質、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答．8．如圖，在四邊形紙片中，，，，．將紙片先沿對折，再將對折后的紙片沿過頂點A的直線裁剪，剪開后的紙片打開鋪平，其中有一個圖形是周長為的平行四邊形，則________．【答案】【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，可知，所得的平行四邊形是菱形，由菱形的性質和平行四邊形的周長，求得相關邊長，進而可求得的長．【詳解】如圖，當沿從A出發(fā)的直線裁剪，四邊形是平行四邊形，根據(jù)裁剪可知：，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∵四邊形周長為，∴，∵，，∴，∵在平行四邊形中，，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查，平行四邊形的性質和菱形的判定方法與性質以及平行四邊形的面積公式，根據(jù)題意，畫出圖形，是解題的關鍵，主要要分類討論.9．如圖，正方形中，，E是邊的中點，F(xiàn)是正方形內一動點，且，連接，，，并將繞點D逆時針旋轉得到(點M，N分別為點E，F(xiàn)的對應點)．連接，則線段長度的最小值為_____________．【答案】【分析】過點M作，垂足為P，連接，由旋轉的性質得到，，，根據(jù)正方形的性質求出，證明，得到，，利用勾股定理求出，根據(jù)即可求出的最小值．【詳解】解：過點M作，垂足為P，連接，由旋轉可得：，，，在正方形中，，E為中點，∴，∵，∴，又，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵C，M位置固定，∴，即，∴，即的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，旋轉的性質，勾股定理，兩點之間線段最短，知識點較多，解題的關鍵是構造全等三角形，求出的長，得到．10．在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，，，，線段HG的長為_______．【答案】【分析】設的長度為，的長度為，則的長度為，利用勾股定理和全等三角形的性質，分別表示出長方形的四條邊的長度，利用對邊相等列出方程組，求解得到的值，即可求解．【詳解】解：在與中，，∴≌，，設的長度為，的長度為，則的長度為，，，，，，，，，①；，②將①②聯(lián)立，可得，，即線段HG的長為，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、勾股定理的應用、解方程組，注意在解方程組時要靈活求解，求出即可．11．如圖，在以點為直角頂點的中，，，點是邊的中點，以為底邊向上作等腰，使得，交于點，則__________．【答案】7【分析】過點H作于M，根據(jù)直角三角形的性質和等腰三角形的性質得出，再根據(jù)得出，從而得到，，再根據(jù)三角形的內角和定理得出，繼而得出，然后利用即可【詳解】解：過點H作于M，則∵，，，∴，在，點是邊的中點，，∴∴，∵以為底邊向上作等腰，∴∴∵，∴∴，，∴，∵，∴，∴∵∴∴∴【點睛】本題考查了直角三角形的性質和等腰三角形的性質、勾股定理，全等三角形的判定和性質，作出輔助線得出是解題的關鍵12．在正方形中，是邊上一點(點不與點、重合)，連結．感知：如圖①，過點作交于點．求證．探究：如圖②，取的中點，過點作交于點，交于點．(1)求證：．(2)連結，若，求的長．應用如圖③，取的中點，連結．過點作交于點，連結、．若，求四邊形的面積．【答案】感知：見解析；(1)見解析(2)2

應用：9【分析】感知：利用同角的余角相等判斷出，即可得出結論；探究：(1)判斷出，同感知的方法判新出，即可得出結論；(2)利用直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半，可得結論．【詳解】(1)感知：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴．；探究：(1)如圖②，過點作于，∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形G是矩形，∴，∴，由，，∴，在和中，，∴，∴，(2)由(1)知，，連接，∵，點是的中點，∴，∴，故答案為：2．應用：同探究(2)得，，∴，同探究(1)得，，∵，∴．故答案為：9【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，同角的余角相等，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，熟練掌握三角形全等的性質和判定是關鍵．13．已知：四邊形是正方形，點E在邊上，點F在邊上，且．(1)如圖1，與有怎樣的關系，寫出你的結果，并加以證明；(2)如圖2，對角線與交于點O，，分別與，交于點G，點H．①求證：；②連接，若，，求的長．【答案】(1)；；理由見解析(2)①見解析；②【分析】(1)根據(jù)正方形的性質可得，，由證明，得出，然后求出，再求出，然后根據(jù)垂直的定義解答即可；(2)①根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得，，對角線平分一組對角可得，然后求出，由證明，即可得出；②過點O作于M，作于N，根據(jù)全等三角形的性質可得：，再由證明，可得，然后證出四邊形是正方形，求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根據(jù)正方形的性質求出即可．【詳解】(1)解：，；理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，∵在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．(2)①證明：∵四邊形是正方形，∴，，，∴，由(1)知，∴，即，在和中，∴，∴．②解：過點O作于M，作于N，如圖所示，則，又∵，∴，∴四邊行是矩形．∵，∴，∵在和中，∴，∴，∴四邊形是正方形．∵，∴，∵，∴．在中，，∴正方形的邊長為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，通過作輔助線構造出全等三角形和以為對角線的正方形是解題的關鍵，也是本題的難點．14．和均為等腰三角形．(1)如圖1，當旋轉至點A，D，E在同一直線上，連接BE．若，求證：；(2)如圖2，當旋轉至點A，D，E在同一直線上，連接BE．若，為中DE邊上的高，試猜想，，之間的關系，并證明你的結論．(3)如圖1中的和，若在旋轉過程中，當點A，D，E不在同一直線上時，設直線與相交于點O，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見詳解；(2)，證明見詳解；(3)的度數(shù)為：或；【分析】(1)根據(jù)和均為等腰三角形，，可得和均為等邊三角形，可得，，，即可得到，即可得到，即可得到證明；(2)根據(jù)和均為等腰三角形，可得，，，根據(jù)為中DE邊上的高，即可得到，根據(jù)三角形全等邊角邊判定可得，即可得到答案；(3)由(1)可得和均為等邊三角形，，可得，分D在內部與外部兩類討論，結合三角形內角和定理即可得到答案；【詳解】(1)證明：∵和均為等腰三角形，，∴和均為等邊三角形，∴，，，∴，在與中，，∴，∴；(2)解：，理由如下，證明：∵和均為等腰三角形，，∴，，，∵為中DE邊上的高，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴；(3)解：由(1)可得，和均為等邊三角形，，∴，，①

如圖所示當點D在內部時，∴，∴；②

如圖所示當點D在外部時，∴，∴，∴；綜上所述的度數(shù)為：或．【點睛】本題考查等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形全等的判定與性質等知識，解題的關鍵是根據(jù)旋轉性質得到，及分類討論第(3)問．15．如圖1，在長方形中，，含角的直角三角板放置在長方形內，，，頂點E、F、G分別在、、上．(1)求證：；(2)若P是斜邊的中點．①如圖2，連接，請寫出線段與、之間的數(shù)量關系，并說明理由；②如圖3，連接，若，則的長等于______．【答案】(1)見解析(2)①，理由見解析；②3【分析】(1)利用余角的性質得到，利用即可證明；(2)①根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到，根據(jù)(1)中全等得到，利用勾股定理得到，等量代換即可得到結