應用電工學03-交流電路

多媒體教學燕京理工學院《應用電工學》1基本要求1、了解正弦量的三要素表示法；2、理解正弦交流電的相量表示法及其運算；3、掌握串聯交流電路中阻抗、電壓、電流的相量關系、有效值關系和相位關系；4、理解三種功率的定義和性質；理解功率因素的意義和提高功率因素的方法；5、了解串聯諧振和并聯諧振的條件和特征。第3章交流電路23.1正弦交流電的基本概念

ti0i=Imsin(t+i)瞬時值初相位角頻率最大值正弦量的三要素頻率初相位幅值正弦交流電路是指含有正弦電源(激勵)，而且電路各部分所產生的電壓和電流(響應)均按正弦規(guī)律變化的電路。＊3一、交流電的周期、頻率和角頻率T周期T：交流電變化一周所需要的時間，單位：S(秒)。角頻率

=T2

i0tTT/2

t2

=2

f例：我國和大多數國家的電力標準頻率是50Hz，

試求其周期和角頻率。解：

T=1f=0.02S

=2

f=314rad/s頻率

f=T1(Hz)(rad/s)（弧度/秒）——表示交流電快慢的物理量。＊4二、交流電的瞬時值、最大值和有效值瞬時值:交流電任一時刻的值。用小寫字母表示。如：i,u,e分別表示電流、電壓、電動勢的瞬時值。最大值:交流電的幅值。用大寫字母加小寫下標表示。如：Im、Um、Em。i0Im

t2

i=Imsin(t+i)——表示交流電大小的物理量＊5有效值:若交流電流通過一個電阻時在一個周期內消耗的電能，與某直流電流在同一電阻、相同時間內消耗的電能相等，i0Im

t2

∫0Ti2dt1TI=Ri2dt=RI2T∫0TI=

2ImU=

2UmE=

2Em——方均根值與最大值的關系：

與瞬時值的關系：

則，這一直流電流的數值定義為交流電的有效值，用大寫字母表示。如：I、U、E。＊6三、交流電的相位、初相位和相位差

——表示交流電變化進程的物理量正弦量所取計時起點不同，其初始值(t=0時的值)及到達某一特定時刻的值就不同。

ti0

i=Imsin(t+

)i=Imsinti

t0i0=0i0=Imsin

t和(t+

)稱為正弦量的相位角或相位。t=0時的相位角稱為初相位角或初相位。＊7說明：

1、計時起點可以任意選擇，一經選定，初相角便確定了；

2、當分析若干同頻正弦量的關系時，只能選定一個共同的計時起點。

ti0

i=Imsin(t+

)i=Imsinti

t0i0=0i0=Imsin

＊80

ti相位差u=Umsin(t+

1)ui=Imsin(t+

2)兩個同頻率正弦量的相位角之差或是初相角之差，用

表示。

=(t+

1)–(t+

2)=

1–

2u和i的相位差iu

2

1

圖中

1>

2u超前于i一個

角；或稱i滯后于

u一個

角。＊9

ti0i1i2i3i1與i3反相i1與i2同相※當兩個同頻率的正弦量計時起點改變時，它們的初相位角改變，但初相角之差不變。＊0103.2正弦交流電的相量表示法正弦量可用旋轉有向線段表示，而有向線段可用復數表示，所以正弦量可以用復數來表示，稱之為相量。用大寫字母上打“?”表示。各有四種形式：有效值初相位

=Ia+jIb=I(cos

+jsin

)=Iej

=I

I?分為有效值相量和最大值相量代數式三角式指數式極坐標式有效值相量：＊11Im?最大值

=Ia

m+j

Ibm=Im(cos

+jsin

)=Imej

=Im

最大值相量：最大值相量有效值相量0Im

?+1+jI?

IaIb相量圖復數在進行加減運算時，應采用代數式，實部與實部相加減，虛部與虛部相加減。復數在進行乘除運算時，應采用指數式或極坐標式，模與模相乘除，幅角與幅角相加減。應當指出：在某些情況下采用相量圖，能使問題的分析變得較為簡單。＊同頻率正弦波12例：若已知

i1=I1msin(t+

i1)、i2=I2msin(t+

i2)，求i1

+

i2解：（1）用相量圖法求解1j0

i1

i2Im?I1m?

正弦電量（時間函數）正弦量運算所求正弦量變換相量（復數）相量結果反變換相量運算（復數運算)（2）用復數式求解I2m?I2m?Im?=I1m?+i=I

msin(t+

)＊13例3.2.1

已知求：解：(1)采用相量運算:i=I

msin(t+

)＊14(2)采用相量圖運算:+1+j0求：＊15交流電的瞬時值表達式：i=Imsin(t+)有效值：最大值：Im、Um、EmI、U、E=I

I?最大值相量形式：有效值相量形式：=Im

Im?小結：注意：

1、相量只是正弦量進行運算時的一種表示方法和主要工具（可采用平行四邊形法則）；

2、只有正弦交流電才能用相量表示，只有同頻率的正弦交流電才能進行相量運算。＊163.3單一參數交流電路由單一理想電路元件組成的交流電路。電阻元件：消耗電能電感元件：通過電流時產生磁場而儲存磁場能量電容元件：加上電壓時產生電場而儲存電場能量耗能元件儲能元件本節(jié)討論不同參數的電路在通過正弦交流電時，電壓與電流的關系，及能量的轉換問題。一、純電阻電路iR+–ui=uRu=iR或1、電壓和電流的關系設i=Imsint

則u=Ri

=RImsint=Umsint

＊17

電壓與電流同頻率、同相位1.電壓電流關系R

電壓與電流大小關系U=RI或Um=RImiuU?I?

電壓與電流相量表達式U=R?I?ui+–

t0相量圖+1+j0波形圖＊18

瞬時功率

i=Imsintu=Umsint

平均功率P=IU=RI2

2.功率：單位時間內消耗的能量Rui+–u

t0ip0

tP=UIp=ui=2UIsin2t轉換成的熱能W=PtP在一個周期內的平均值

——又稱有功功率＊有效值190fXcXc=1

/2

fCi=C

Umcost——容抗

Um=

Im

C1=

Im

XC設u=Umsint1.電壓電流關系有iuC+–dudti=C由XC=

C

1電容對高頻電流所呈現的容抗很小，而對直流可視作開路。二、純電容電路表示電容對電流阻礙作用的物理量XC與頻率成反比＊√=Imsin(t+90)20i=Imsin(t+90)u=UmsintiuC+–dudti=C

u波形圖

t0iU

?+1+j0

電流超前電壓90

相量圖I?

電壓與電流大小關系

U=IXC

電壓與電流相量式=XC

I

?U

?j參考相量＊21波形圖2.功率p=ui=UIsin2t瞬時功率

u=

Umsinti=Imsin(t+90)i

t0p

t0++––當u、i同號時（

u

增長）p>0,電容吸收功率；

當u、i異號時（

u

減?。﹑<0,

電容釋放功率。

iuC+–u＊22i

t0p

t0++––平均功率

P=0無功功率XCU2電容與電源之間能量交換的規(guī)模稱為無功功率。其值為瞬時功率的最大值，單位為(var)

乏。Q=UI=XCI2

=

電容不消耗功率，它是儲能元件。

uWc=12Cu2儲存的電場能波形圖p=ui=Cudt

du＊23例：下圖中電容C=23.5F，接在電源電壓U=220V、頻率為50Hz、初相為零的交流電源上，求電路中的電流i

、P及Q。該電容的額定電壓最少應為多少伏？i=Imsin(t+90)=2.3sin(314t+90)A解：容抗

I=XCU=1.62A

XC=

C1=2

f

C1=135.5

有功功率

P=0無功功率

Q=UI=356.4VariuC+–電容的額定電壓＊=311V24

設

i=

Imsint0fXLXL=2

fLu=L

Imcost=Umsin(t+90)

Um=

Im

LXL=

L

——感抗=Im

XLdidtu=L1.電壓電流關系由有iu+–L電感線圈對高頻電流的阻礙作用很大，而對直流可視為短路。三、純電感電路表示電感對電流阻礙作用的物理量感抗與頻率成正比＊√25

iu波形圖

t0U

?+1+j0

電壓超前電流90

i=

Imsintu=Umsin(t+90)didtu=Liu+–L相量圖I?

電壓與電流大小關系

U=IXLjU

?I

?電壓與電流相量式=XL＊26波形圖2.功率iu+–Lp=ui=UIsin2t瞬時功率

i=

Imsintu=Umsin(t+90)iu

t0p

t0++––當u、i同號時（

i

增長）p>0,電感吸收功率；

當u、i異號時（

i

減?。﹑<0,

電感提供功率。

＊27iu

t0p

t0++––平均功率

P=0無功功率XLU2電感與電源之間能量交換的規(guī)模稱為無功功率。其值為瞬時功率的最大值，單位為(var)

乏。Q=UI=XLI2

=

電感不消耗功率，它是儲能元件。

波形圖WL=12Li2儲存的磁場能p=ui=Lidt

di＊28一、純電阻電路u=iR

電壓與電流同頻率、同相位電壓與電流大小關系U=RI或Um=RIm

電壓與電流相量表達式U=R?I?平均功率(有功功率)P=IU=RI2

電流超前電壓90

電壓與電流大小關系

U=IXC，XC=1/

Cdudti=C二、純電容電路平均功率

P=0無功功率Q=UI=XCI2

電壓超前電流90

didtu=L

電壓與電流大小關系

U=IXL，XL=

L電壓與電流相量式三、純電感電路平均功率

P=0無功功率Q=UI=XLI2

電壓與電流相量式=XC

U

?jI

?小結＊29

設

i=I

msint根據KVL3.4串聯交流電路電壓電流關系u=uR+uL+uCuL=ULm

sin(t+90)

uR

=uR

msintuC=UCm

sin(t–

90)則CRLuRuLuciu+–+–+–+–u=uR+uL+uC=Umsin(t+

)

一、R、C、L串聯電路＊30

用相量表示電壓電流關系，則為I?jLRZ=

R2+X2U

?UR?UL?UC?=++X=

XL-XC

=arctan

XR+–+–+–+–CRLuRuLuciu+–+–+–+–U

?UR?UC?UL?=[R+j(XL–XC

)]=ZI

?I

?jLR=+C1–jI

?I

?I

?=[R+j(XL-XC

)]Z=U

?I

?=Z

ej

阻抗其中

C1–j亦為復數！稱為電抗＊31相量圖I

?U?UR?UL?

Uc?UL?Uc?U=

UR2+

(UL–UC)2=I

R2+

(XL–XC)2=

R2+

(XL–XC)2Z

阻抗模阻抗三角形XL--XcR

Z阻抗角XL-XC

=arctanRCRLuRuLuciu+–+–+–+–以i為參考相量用相量圖表示＊32U?UR?RXZ

阻抗三角形電壓三角形電壓、阻抗三角形X=

XL-XC

UX?UL?UC?

=+若

>0，則電壓超前電流，電路呈電感性。若

<0，則電流超前電壓，電路呈電容性。阻抗角XL-XC

=arctanRUX?＊33Z1U?I

?U=Z?I

?U=(Z1+Z2)?I

?Z2U2?U1?

等效變換條件Z=Z1+Z2——等效阻抗若Z1=R1+jX1

Z2=R2+jX2則Z=R1+jX1+

R2+jX2

=(R1+R2)+j(X1+

X2)Z=Z1Z2+一般二、阻抗串聯電路U?=U2?U1?+U=U1U2++–ZU?I

?+–當多個阻抗串聯時，其等效阻抗為＊+––+34解：1.

感抗XL=L=314×127×10-3=40

容抗

XC=

C1=314×40×10-61=80Z=

R2+(XL–Xc)2=50

Z=302+(40–80)2復阻抗模例1：

R、L、C串聯交流電路如圖所示。已知R=30

、L=127mH、C=40F，電源電壓u=220sin(314t+45

）V求：1.感抗、容抗及復阻抗的模;2.電流的有效值和瞬時值表達式；

3.各元件兩端電壓的瞬時值表達式。CRLuRuLuciu+–+–+–+–XL-XC

=arctanR=-53o＊35解：1.

XL=40XC=80=50

Z2.=22045

VU

?由電壓相量I

?=U?Z=22045

30+j(40-80)=22045

50–53

=4.498

A

I=4.4Ai=4.4sin(314t+98

)A電流有效值瞬時值2I?jLR+–+–+–+–U

?UR?UC?UL?uR=1322sin(314t+98

)V3.=RI

?=13298

VUR?=I

?jXL=176–172

VUL?uL=176sin(314t

–172

)V2Uc?=--j

XcI?=3528

VuC=352sin(314t

+8

)V2

C1–j？＊36解：1.則

|XL-XC

|=4

→I最大，I=U/R=4A例2：電路如圖所示,已知R=3

、電源電壓u=17sin314

tV

jXL

=j

4

。求：1.容抗為何值（容抗不等于零），開關S閉合前后，電流的有效值不變，其值等于多少？

2.容抗為何值，開關S閉合前電流I最大，這時的電流是多少？I?R–jXCjXLS=

R2+XL2+–U

?UR?UC?UL?+–+–+–2.=5

=

R2+(XL–XC)2ZZI=U/S閉合后S閉合前Z=2.4AU=Um/2=12V而當XC=XL=4時→Z=R，最?。鶻C=837Z1U?I?Z2I1

?I2?+–I?=I2?I1?+等效電路ZI

?=U?Z=Z1Z2+Z1Z2=Z

1Z1Z211+I

?U

?=Z1Z2+U

?ZU?I

?+–一般I=I1I2+=Z

1Z1Z211+=

Z

1Zi13.5并聯交流電路當多個阻抗并聯時，其等效阻抗為＊38例：圖示電路中，電壓表讀數為220V,電流表讀數為I1=10A，I2=14.14A,R1=12

，R2=XL,電源電壓u與電流i同相。求總電流I、R2、XL、

Xc。I

?I1?U2?UL?1014.1410U1?120100uii2i1CR2LR1A1A2Vu1u210A14.14AI1=10AU1=12×10=120VU2=220–120=100VXc=10010=10

=10014.14Z2=

R22+XL2=7.07

R2=

XL=5

解：I2?+–+–+–依題意有u、i、u1、u2均同相。45o＊45o例3.5.1自己看??？39二端網絡iu有功功率P總為正3.6交流電路的功率則

瞬時功率p=ui=UIcos

–UIcos

(2t+

)若i=I

msint

u

=Umsin(t+

)

∫

=UIcos

T10TuidtP=0<90°u、i相位不同時，電路中有電抗性元件＊40二端網絡iuQ為負

Q為正

Q=–UIsin

感性電路容性電路

Ip?I?Iq?U?Ip?I?Iq?U?

有功分量無功分量Q=UIsin

無功功率XL-XC

=arctanR

=

u-i電路中同時有電容和電感存在時，總無功功率

Q=QL+QC=為什么？＊41二端網絡iu若i=I

msint

u

=Umsin(t+

)

Q=UIsin

P=UIcos

引入視在功率

S=UI單位：伏·安（VA）或千伏·安（kVA）電壓電流有效值的乘積可視為有功功率和無功功率的綜合值。SQU?UR?UX?RXZ

PS=

P2+Q2X=

XL-XC

UX?UL?UC?

=+Q=

QL+QC功率、電壓、阻抗三角形＊42二端網絡iu若i=I

msint

u

=Umsin(t+

)

Q=UIsin

P=UIcos

S=UI

1、電路中總的有功功率等于各支路或各電阻元件有功功率的算術和

2、電路中總的無功功率Q=QL+QC，注意：QL為正，而QC為負。

3、電路中總的視在功率一般不等于各支路或各元件視在功率的算術和或代數和。S=

P2+Q2＊43功率因數低引起的問題有功功率

P=UNIN

cos

功率因數1.電源設備的容量將不能充分利用2.增加輸電線路和發(fā)電機繞組的功率損耗I=

Ucos

P在P、U一定的情況下，cos

越低，I越大，損耗越大。情況下，cos

越低，P越小，設備得不到充分利用。3.7功率因數的提高=cos

P=rI2電壓與電流的相位差角(功率因數角)在電源設備UN、IN一定的PS

=＊44提高功率因數的方法已知感性負載的功率P及功率因數cos

1

，若要求把電路功率因數提高到cos

，則應并聯電容C為+–uiiRLLRCiCI

?Ic?IRL?U?

1

C=

U2P(tan

1–tan

)可以由公式推導(P81~82)感性負載可并聯適當的電容。用相量圖定性解釋：

<1＊45例：某小水電站有一臺額定容量為10kVA的發(fā)電機，額定電壓為220V，額定頻率f=50Hz，今接一感性負載,其功率為8kW，功率因數cos

1=0.6，試問：解：UNcos

1I1=P=8000220×0.6=60.6A發(fā)電機額定電流INUNIN==10000220=45.45ASN發(fā)電機提供的電流超過了IN，＊不允許!

1.發(fā)電機的電流是否超過額定值？發(fā)電機提供的電流I146cos

1=0.6→

1=53.6o→

tan

1=1.33

cos

=0.95→

=18.2o→

tan

=0.329

C=

U2P(tan

1–tan

)8000=314×2202(1.33–0.329)=527μF3.并聯電容C后，發(fā)電機的電流IUNcos

I=P=8000220×0.95=38.3A

2.

若要把電路功率因數提高到0.95，需并多大的電容器？＊解：解：47解：設接入N盞燈的功率為PN，uii1icCiNRL+–iD則SN2=(P+PN)2+Q2SN2

Q2

P

=

PN

SN2

Q2=(P+PN)

Q=Ssin=10sin18.2=3.12VarPN=1.5KWN=PN/40=37盞

4.并聯電容后，發(fā)電機還可接多少只220V、40W的燈泡？而則有＊48在具有電感和電容的電路中，若調節(jié)電路的參數或電源的頻率，使電壓與電流同相，則稱電路發(fā)生諧振現象。3.8電路中的諧振Qf=|QC(或QL)|P通常用QC或QL與P的比值表明電路諧振的程度，稱為電路的品質因數Qf，即諧振的實質是電容中的電場能與電感中的磁場能相互轉換，其總和保持不變，電源只需供給電阻所消耗的電能。無量綱＊49串聯諧振條件Z=R+jX=R+j(XL-XC）即XL=XC串聯諧振頻率CRLuRuLuciu+–+–+–+–

或

2

fL

=

1

2

fCfn=2

LC

1一、串聯諧振=

n

1

LC或串聯諧振的品質因數Qf=|QC(或QL)|P=

nLR=RnC1R1

L/C=＊50串聯諧振電路的特征I00fI0fR1

C

LZ(1)阻抗模最小,為R。電路電流最大，為U/R。(2)電路呈電阻性,電源供給電路的能量全部被電阻消耗掉，QL與QC相互補償，Q=0,S=P

=1。fnfniuLuc

t0

t0波形圖＊51串聯諧振電路的特征故串聯諧振又稱電壓諧振。(3)

電感和電容兩端電壓大小相等、相位相反。當XL=XC>R時，電路中將出現分電壓大于總電壓的現象。相量圖U

?UR?UC?UL?I

?＊52例：圖示電路中，電感L2=250H，其導線電阻R=20。

1.如果天線上接收的信號有三個，其頻率：f1=820×103Hz、f2=620×103Hz、f3=1200×103Hz。要收到f1信號節(jié)目，電容器的電容C調變到多大？L3L2L1C

2.如果接收的三個信號幅值均為10V，在電容調變到對f1發(fā)生諧振時，在L2中產生的三個信號電流各是多少毫安？頻率為f1的信號在電感L2上產生的電壓是多少伏？＊53例：圖示電路中，電感L2=250H，其導線電阻R=20。解：1.C=150pFL3L2L1C

1C1

1L2=要收聽頻率為f1信號的節(jié)目應該使諧振電路對f1發(fā)生諧振，即令2.當C=150pF，

L2=250H時

L2C電路對三種信號的電抗值不同，如下表所示：求得：＊54f/Hz820×103620×1031200×103XLXCZI=U/Z

12901290200.5A100016606600.015189088510000.01UL=IXL

=645VL3L2L1C其它頻率在電感上的電壓為15和18.9V，放大不到20倍。C=150pF，L2=250H，U=10V對頻率為f1的信號——放大了64.5倍?？梢姶撝C振電路具有選頻作用?。?5二、并聯諧振電感線圈和電容器并聯諧振電路=

2LC

1+jRC–R+jLZ

~~1RCL

C–+j(