天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題含解析

天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值是A.4 B.1或3C.3 D.12．已知奇函數(shù)fx在R上是增函數(shù)，若a=-flog215，b=fA.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.c<a<b3．若過兩點的直線的斜率為1，則等于（）A. B.C. D.4．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為A. B.C. D.5．點M(1,4)關(guān)于直線l:x-y+1=0對稱的點的坐標(biāo)是（）A.(4,1) B.(3,2)C.(2,3) D.(-1,6)6．把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是（）A. B.C. D.7．設(shè)函數(shù)f(x)＝x－lnx，則函數(shù)y＝f(x)（）A.在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點B.在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點C.在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點D.區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點8．計算器是如何計算，，，，等函數(shù)值的？計算器使用的是數(shù)值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數(shù)，通過計算多項式的值求出原函數(shù)的值，如，，，其中.英國數(shù)學(xué)家泰勒(B.Taylor，1685-1731)發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得出的和的值也就越精確.運用上述思想，可得到的近似值為（）A.0.50 B.0.52C.0.54 D.0.569．已知函數(shù)，若則a的值為(

)A. B.C.或 D.或10．已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，（）A. B.C. D.11．在半徑為2的圓上，一扇形的弧所對的圓心角為，則該扇形的面積為（）A. B.C. D.12．納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對數(shù)尺，可以利用對數(shù)尺查詢出任意一對數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻2.5236分鐘后，物體的溫度是50℃，若根據(jù)對數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度是（）A.5℃ B.10℃C.15℃ D.20℃二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．在直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于_________.14．已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是________15．求值：2+=____________16．若命題，，則的否定為___________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．如圖，在直三棱柱中，底面為等邊三角形，.（Ⅰ）求三棱錐的體積；（Ⅱ）在線段上尋找一點，使得，請說明作法和理由.18．已知（1）若函數(shù)f(x)的圖象過點（1，1），求不等式f(x)＜1的解集；（2）若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍19．在①，，②，，兩個條件中任選一個，補充到下面問題的橫線中，并求解該問題.已知函數(shù)___________（填序號即可）.（1）求函數(shù)的解析式及定義域；（2）解不等式.20．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)根之和.21．已知函數(shù)（a為實常數(shù)）（1）若，設(shè)在區(qū)間的最小值為，求的表達(dá)式：（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍22．函數(shù)的一段圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)圖象向右平移個單位，得函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)增區(qū)間

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】由題意，解得．故選C考點：指數(shù)函數(shù)的概念2、C【解析】由題意：a=f-且：log2據(jù)此：log2結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：flog即a>b>c,c<b<a.本題選擇C選項.【考點】指數(shù)、對數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性【名師點睛】比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式.3、C【解析】根據(jù)斜率的計算公式列出關(guān)于的方程，由此求解出.【詳解】因為，所以，故選：C.4、A【解析】由題意得，圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以對稱圓方程為考點：點關(guān)于直線的對稱點；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程5、B【解析】設(shè)出關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)，利用中點和斜率的關(guān)系列方程組，解方程組求得對稱點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為，線段的中點坐標(biāo)為，且在直線上，即①.由于直線的斜率為，所以線段的斜率為②.解由①②組成的方程組得，即關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為.故選：B【點睛】本小題主要考查點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)的求法，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】由題意,的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),即解析式為,向左平移一個單位為,向下平移一個單位為,利用特殊點變?yōu)?選A.點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).7、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再由零點存在定理得零點所在區(qū)間【詳解】當(dāng)x∈時，函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且f′(x)＝－＝<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減又＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函數(shù)f(x)有唯一的零點在區(qū)間(1，e)內(nèi)故選：D8、C【解析】根據(jù)新定義，直接計算取近似值即可.【詳解】由題意，故選：C9、D【解析】按照分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，在各個區(qū)間上，構(gòu)造求解，并根據(jù)區(qū)間對所求的解，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)娜∩峒纯?令，則或，解之得.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.10、B【解析】設(shè)，則，求出的解析式，根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)，即可求得時，函數(shù)的解析式，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，則，因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，得，即當(dāng)時，.故選：B.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性，合理計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】利用扇形的面積公式即可求面積.【詳解】由題設(shè)，，則扇形的面積為.故選：D12、B【解析】依題意可得，即，即可得到方程，解得即可；【詳解】：依題意，即，又，所以，即，解得；故選：B二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】如圖以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解即可.【詳解】解：因為三棱柱為直三棱柱，且，所以以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，則，所以，所以，因為異面直線所成的角在，所以異面直線與所成的角等于，故答案為：【點睛】此題考查異面直線所成角，利用了空間向量進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】將題意等價于的值域包含，討論和結(jié)合化簡即可.【詳解】解：要使函數(shù)的值域為則的值域包含①當(dāng)即時，值域為包含，故符合條件②當(dāng)時綜上，實數(shù)的取值范圍是故答案為：【點睛】一元二次不等式?？碱}型：（1）一元二次不等式在上恒成立問題：解決此類問題常利用一元二次不等式在上恒成立的條件，注意如果不等式恒成立，不要忽略時的情況.（2）在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍).15、-3【解析】利用對數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)和運算法則求解【詳解】解：（）lg（1）lg1[（）3]2+（）02+1＝﹣3故答案為﹣3【點睛】本題考查對數(shù)式、指數(shù)式的化簡求值，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)、運算法則的合理運用16、，【解析】利用特稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為特稱命題，該命題的否定為“，”.故答案為：，.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、(1)(2)見解析【解析】（1）取BC中點E連結(jié)AE，三棱錐C1﹣CB1A的體積，由此能求出結(jié)果．（2）在矩形BB1C1C中，連結(jié)EC1，推導(dǎo)出Rt△C1CE∽Rt△CBF，從而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，連結(jié)CF，CF即為所求直線解析：（1）取中點連結(jié).在等邊三角形中，，又∵在直三棱柱中，側(cè)面面，面面，∴面，∴為三棱錐的高，又∵，∴，又∵底面為直角三角形，∴，∴三棱錐的體積（2）作法：在上取，使得，連結(jié)，即為所求直線.證明：如圖，在矩形中，連結(jié)，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵面，而面，∴，又∵，∴面，又∵面，∴.點睛：這個題目考查的是立體幾何中椎體體積的求法，異面直線垂直的證法；對于異面直線的問題，一般是平移到同一平面，再求線線角問題；或者通過證明線面垂直得到線線垂直；對于棱錐體積，可以等體積轉(zhuǎn)化到底面積和高好求的椎體中18、（1）（－1，1）（2）a≥0或【解析】（1）將點（1，1）代入函數(shù)解析式中可求出的值，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可，（2）將問題轉(zhuǎn)化為只有一解，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程ax2＋x＝1只有一個正根，然后分和分析求解【小問1詳解】∵函數(shù)的圖象過點（1，1），，解得此時由f(x)＜1，得，解得故f(x)＜1的解集為（－1，1）【小問2詳解】∵函數(shù)只有一個零點，只有一解，將代入ax＋1＞0，得x＞0，∴關(guān)于x的方程ax2＋x＝1只有一個正根當(dāng)a＝0時，x＝1，滿足題意；當(dāng)a≠0時，若ax2＋x－1＝0有兩個相等的實數(shù)根，由，解得，此時x＝2，滿足題意；若方程ax2＋x－1＝0有兩個相異實數(shù)根，則兩根之和與積均為，所以方程兩根只能異號，所以，a＞0，此時方程有一個正根，滿足題意綜上，a≥0或19、（1）條件選擇見解析，答案見解析；（2）條件選擇見解析，答案見解析.【解析】（1）根據(jù)所選方案，直接求出的解析式，根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零可求得函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)所選方案，結(jié)合二次不等式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出原不等式的解集.【小問1詳解】解：若選①，，由，解得，故函數(shù)定義域為；若選②，，易知函數(shù)定義域為.【小問2詳解】解：若選①，由（1）知，，因為在上單調(diào)遞增，且，所以，解得或.所以不等式的解集為；若選②，由（1）知，，令，即，解得，即，因為在上單調(diào)遞增，且，，所以.所以不等式的解集為.20、（1）（2）【解析】（1）由圖像得，并求解出周期為，從而得，再代入最大值，利用整體法，從而求解得，可得解析式為；（2）作出函數(shù)與的圖像，可得兩個函數(shù)在有四個交點，從而得有四個實數(shù)根，再利用三角函數(shù)的對稱性計算得實數(shù)根之和.【小問1詳解】由圖可知，，∴∴，又點在的圖象上∴，∴，，，∵，∴，∴.【小問2詳解】由圖得在上的圖象與直線有4個交點，則方程在上有4個實數(shù)根，設(shè)這4個實數(shù)根分別為，，，，且，由，得所以可知，關(guān)于直線對稱，∴，關(guān)于直線對稱，∴，∴【點睛】求三角函數(shù)的解析式時，由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標(biāo)，則令或，即可求出，否則需要代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點的坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解出和，若對，的符號或?qū)Φ姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.21、（1）；（2）【解析】（1）用二次函數(shù)法求函數(shù)的最小值，要注意定義域，同時由于不確定，要根據(jù)對稱軸分類討論（2）首先用單調(diào)性定義證明單調(diào)性，可將“函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)”轉(zhuǎn)化為恒成立問題求即可【詳解】（1）由于，當(dāng)時，①若，即，則在為增函數(shù)，；②若，即時，；③若，即時，在上是減函數(shù)，；綜上可得；（2）在區(qū)間上任取，（*）在上是增函數(shù)∴（*）可轉(zhuǎn)化為對任意且都成立，即①當(dāng)時，上式顯然成立②，由得，解得；③，由得，，得，所以實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，注意要對對稱軸和區(qū)間的位置進(jìn)行討論，考查單調(diào)性的應(yīng)用，這類問題要轉(zhuǎn)化為恒成立問題，實質(zhì)還是研究最值，這里就會涉及到構(gòu)造新函數(shù)的問題，本題是一道難度較大的題