江蘇決勝新高考2023屆高三年級(jí)12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

江蘇

決勝新高考——2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分。考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。將條

形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信

息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)

域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改

液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知z=J等，其中i為虛數(shù)單位，則|z|=

A.1B.2C.y[2D.孚

2.已知向量a,b滿足同=網(wǎng)=卜+用,則a與6的夾角為

A2B—C—D—

6363

3.給定空間中的直線/和平面a,“直線/與平面a垂直”是“直線/與平面。內(nèi)無(wú)數(shù)條直線

都垂直”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.立德中學(xué)舉行“學(xué)習(xí)黨代會(huì)，奮進(jìn)新征程”交流會(huì)，共有6位老師、4位學(xué)生進(jìn)行發(fā)言.現(xiàn)

用抽簽的方式?jīng)Q定發(fā)言順序，事件4（IWAWIO"￡N）表示“第左位發(fā)言的是學(xué)生”，則

A.P（4）=1B.p（44）=/c.尸（4。⑷D.尸（4+4）=,

決勝新高考一2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考（數(shù)學(xué)）第1頁(yè)共6頁(yè)

5.已知sin（a-6+cosa=/,則sin（2a+向）=

A.1B.4C.iD.-4

3424

6.疫情防控期間，某單位把120個(gè)口罩全部分給5個(gè)人，使每人所得口罩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，

且較大的三份之和是較小的兩份之和的3倍，則最小一份的口罩個(gè)數(shù)為

A.6B.10C.12D.14

7.設(shè)Q=log32,b=log64,c=log3e（2e）,則

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

8.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)”（再，必），8（%，%）在橢圓。：與+/=1上，且直

線。4,08的斜率之積為則占2f2+%2_%2=

A.1B.3C.2D.1

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知〃x）=2x3-9x2+ar+6在x=l處取得極大值，若/（x）有三個(gè)零點(diǎn)，貝U

A.a=2B.-5<h<-4

C.〃x）的極小值為4+6D.

10.已知函數(shù)/（幻=25出（郎+§-1（詆1<）在區(qū)間［0,可上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，貝IJ

A.co-2B./（x）的圖象關(guān)于（-［,0）對(duì)稱

O

C./（X）的圖象關(guān)于直線工=裝對(duì)稱D./.（X）在區(qū)間［先獸］上單調(diào)遞減

H.正多面體統(tǒng)稱為柏拉圖體.若連接某正方體/8C0-44GR的相鄰面的中心，可以得

到一個(gè)新的體積為年的柏拉圖體C.則

A.C是正六面體

B.正方體/BCO-44GA的邊長(zhǎng)為2

C.。與正方體ABCD-A^C^的表面積之比是￡

0

決勝新高考一2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考（數(shù)學(xué)）第2頁(yè)共6頁(yè)

D.平面Nee/與。相交所得截面的面積是應(yīng)

12.已知曲線C：，-/-xy=],則

A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱B.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱

C.一里或X》乎D.x2-2xy+y2^j

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

13.口+1)(丫-￡|°展開式中/的系數(shù)是.

X

14.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②的函數(shù)/(x)=.

①f(xy)=f(x)+/(y)；②/(x)在定義域上單調(diào)遞增?

15.已知拋物線G:/=4x的焦點(diǎn)廠與雙曲線:m-耳=1(4>0,6>0)的右焦點(diǎn)重合，

ab

G與G的公共點(diǎn)為M，N,且MN=4,則。2的離心率是.

16.已知半徑為2直的球。的表面上有4,B,C,。四點(diǎn)，且滿足平面/8C,

&B=BC,AB1BC,則四面體。-N8C的體積最大值為；若M為

的中點(diǎn)，當(dāng)。到平面MSC的距離最大時(shí)，ZXA"。的面積為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必

要的文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)

在△Z3C中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c.已知8為銳角，且2bsin/=6。.

(1)求8；

(2)求sinZ+sinC的最大值.

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18.（12分）

甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一規(guī)格（直徑20.0mm）的機(jī)器零件，為了比較這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)

的機(jī)器零件精度的差異，隨機(jī)選取了一個(gè)時(shí)間段，對(duì)該時(shí)間段內(nèi)兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的所有機(jī)器零

件直徑的大小進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：

甲：19.7,19.8,19.8,19.9,19.9,19.9,20.0,20.0,20.0,20.0,20.1,20.1,20.1,20.1,

20.2,20.2,20.2,20.3

乙：19.5,19.6,19.7,19.8,19.9,20,0,20.0,20.1,20.1,20.2,20.3,20.4

規(guī)定誤差不超過0.2mm的零件為一級(jí)品，誤差大于0.2mm的零件為二級(jí)品.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床

生產(chǎn)的機(jī)器零件的精度存在差異；

一級(jí)品二級(jí)品總計(jì)

甲機(jī)床

乙機(jī)床

總計(jì)

（2）以該時(shí)間段內(nèi)兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品的一級(jí)品和二級(jí)品的頻率代替概率，從甲機(jī)床生產(chǎn)

的零件中任取2個(gè)，從乙機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取3個(gè).比較甲、乙機(jī)床取到一級(jí)品個(gè)數(shù)的期

望的大小.

附K=(a+6)(c+d)(“+)c)S+d),其中〃=

P(K2k。)0.1000.0500.0100.0050.001

42.7063.8416.6357.87910.828

決勝新高考一2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考（數(shù)學(xué)）第4頁(yè)共6頁(yè)

19.（12分）

如圖所示，在四棱錐尸中，底面”8。是菱形，。是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在PC

上，且/尸〃平面8?！闬

（1）求密的值；

（2）若0尸_1_平面ABCD,OEA.PC,AB=2,NBAD=60°,求直線OE與平面PBC所

成角的正弦值.

20.（12分）

已知7；為正項(xiàng)數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)的乘積，且《=3,1,2=4尸

（1）求｛/｝的通項(xiàng)公式;

⑵若心m磊占產(chǎn)求證一心+…+優(yōu)嗚嚴(yán)

決勝新高考一2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考（數(shù)學(xué)）第5頁(yè)共6頁(yè)

21.（12分）

已知函數(shù)/(x)=lnx+f(awR).

(1)若f(x)的最小值為1,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若關(guān)于x的方程〃X)=OA?有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍.

22.(12分)

在直角坐標(biāo)系xQv中，已知拋物線匚/=28(夕>0)的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線交拋物

線C于4，8兩點(diǎn)，且工i?麗=-12.

(1)求拋物線C的方程；

(2)直線ZO,80分別交直線/:x=/(f<0)于H,8'兩點(diǎn)，圓a是以線段為直徑

的圓.從下面①②中選取一個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①直線/是拋物線C的準(zhǔn)線；②直線48與圓?相切.

決勝新高考一2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考(數(shù)學(xué))第6頁(yè)共6頁(yè)

決勝新高考——2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分細(xì)則

本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。將條

形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信

息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)

域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改

液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知2=耳』，其中i為虛數(shù)單位，則同=

A.1B.2C.V2D.噂

答案：B

|G+i|

【解析】|Z|=L^=2.

I'l

2.己知向量a,分滿足同=同=卜+4，則a與力的夾角為

A2LR￡C且D—

6363

答案：D

【解析】因?yàn)閨a+4=/+2岫+〃=/,所以岫=所以”與b的夾角為爭(zhēng).

3.給定空間中的直線/和平面a,“直線/與平面a垂直”是“直線/與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線

都垂直”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案：A

【解析】由“直線/與平面a垂直”可知“直線/與平面。內(nèi)任意直線都垂直”.

由“直線/與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”得不到“直線/與平面a垂直”.

4.立德中學(xué)舉行“學(xué)習(xí)黨代會(huì)，奮進(jìn)新征程”交流會(huì)，共有6位老師、4位學(xué)生進(jìn)行發(fā)言.現(xiàn)

用抽簽的方式?jīng)Q定發(fā)言順序，事件表示“第〃位發(fā)言的是學(xué)生”，則

A.尸(4)=,B.P(44)=口c.P(4)M2)=1D.尸(4+4)=1

答案：C

【解析】因?yàn)槭?&)=&￡1,所以A錯(cuò)誤.因?yàn)閜(44)=&f=W，所以B錯(cuò)誤.

4o34oI,

因?yàn)槭?4。14)=?'啖)=《，所以c正確.

尸(4)3

因?yàn)榭?+4)=1-尸(彳％)=1-9立=,，所以D錯(cuò)誤.

5.已知sin(a-g+cosa=—,則sin(2a+

A.|B.3C-D._3

424

答案：C

【解析】解法一：因?yàn)閟in(a-5)+cosa=；,

所以sin(a-m)+cosa=sinacos與—cosasin*+cosa=sin(a+2=工.

66662

令/=二+毋，則a=sinf=!，

662

所以sin(2a+期)=sin(2(—)+普)=sin(2z+會(huì))=cosIt=\-2sin2/=y.

解法二：因?yàn)閟in(a—§+cosa=；,不妨取a=0則sin(2a+%=sin^=；

6.疫情防控期間，某單位把120個(gè)口罩全部分給5個(gè)人，使每人所得口罩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,

且較大的三份之和是較小的兩份之和的3倍，則最小一份的口罩個(gè)數(shù)為

A.6B.10C.12D.14

【答案】C

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4,公差為1>0,由條件可知,

5x4

=5%+—^―d=120,/+%+牝=3(%+?)，即3(6+3d)=3(2Q]+d),

2d=24

即<o,八?解得6=12,d=6,

[q-2〃=0

所以最小一份的口罩個(gè)數(shù)為12個(gè)，故選C.

7.設(shè)a=log32,b=log64,c=log3e(2e),則

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

答案：B

【解析】〃=蛇，/?=lg4=lg2+lg2lg(2e)lg2+l

1g31g61g3+lg2lg(3e)-lg3+l

解法一：0，M>0），所以a<b<c.

mm+k

解法二設(shè)〃加翳言=崎萼+|,則”/（。），?（Ig2）,八/⑴'

又因?yàn)椤▁）在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以a<6<c.

8.在平面直角坐標(biāo)系附中，已知點(diǎn)心，乂），的2,%）在橢圓C：苧+/=1上,

且直線04,。8的斜率之積為《，則X：-短+1-%2=

A.1B.3C.2D.1

答案：A

【解析】設(shè)，必),B(X2?^2),則++y：=l,"+%2=1,

2222

所以X：+x2-y2=xt-(l-^-)+x,=4-+4--2.

2222

因?yàn)樾娜??X??=-劣，所以演》2=-2yty2,所以X,X2=4y,y2,

所以22222222

X,X2=4y,y2=4(1-^-)(1-^-)=4-2x,-2x2+xtx2,

22

所以X；+々2=2,所以X；_y：+x2-y2=1.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知/（乃=2/-9，+0%+6在x=l處取得極大值,若/（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則

A.a=2B.-5<Z?<-4

C./(x)的極小值為4+6D.f(b2)>f(-b)

答案：BCD

【解析】因?yàn)?'(x)=6x2-18x+a,所以/'(1)=6-18+。=0,所以。=12.

因?yàn)?(X)=6x2-18x+12=6(x-l)(x_2),

所以/(x)在x=2處取得極小值，在x=1處取得極大值，

極小值為/(2)=4+b,極大值為/(l)=5+b,所以4+Z><0,4+b<0,所以-5<6<-4.

因?yàn)?5<6<-4,所以4<一6<5,16</<25,

又因?yàn)?(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，所以/32)>/(-b).

10.已知函數(shù)/(x)=2sin(0x+§-l(<yeN*)在區(qū)間［0,可上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則

A.a)=2B./'(x)的圖象關(guān)于(-90)對(duì)稱

O

C./(X)的圖象關(guān)于直線x=A?對(duì)稱D./(x)在區(qū)間萼］上單調(diào)遞減

答案：ACD

【解析】令/(%)=0.則sin(ox+與)=(，所以勿x+與=2kn+多或ox+曰=2kn+}(keZ),

323636

2kn--2%兀+與

即x=°6或x=J8eZ).因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間［0,可上有且僅有2個(gè)零

點(diǎn)，所以3=2,所以A正確.因?yàn)椤▁)=2sin(2x+^)-l,所以/(x)的圖象關(guān)于

對(duì)稱，關(guān)于直線、=要對(duì)稱，在區(qū)間住，獸］上單調(diào)遞減，所以B錯(cuò)誤，C

正確，D正確.

11.正多面體統(tǒng)稱為柏拉圖體.若連接某正方體48CQ-44GA的相鄰面的中心，可以得

到一個(gè)新的體積為1的柏拉圖體。,則

A.。是正六面體

B.正方體/8C0-44GR的邊長(zhǎng)為2

c.。與正方體力8。￡)-44GA的表面積之比是*

D.平面/CC/與。相交所得截面的面積是亞

答案：BCD

【解析】C是正八面體，所以A錯(cuò)誤.

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為“，則。的體積為:*xaxax棄2=1=*,

所以a=2,所以B正確.

正方體Z8C。-481G2的表面積是6x2x2=24,

。的表面積是8x9&x&x坐=46，所以C正確.

平面4CCM與。相交所得截面是菱形，其面積為:x2x0=0,所以D正確.

12.已知曲線C:X2-J?-9=I,則

A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱B.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱

C.xW-攣或坐D.x2_29+/內(nèi)

答案：ACD

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)尸(x,y)在曲線C:/-/-中=]上，

所以點(diǎn)<(-x,-y)滿足(-xf-(-夕尸-(-x)(-y)=x1-y2-xy=l,所以A正確.

若P(2,l),因?yàn)辄c(diǎn)尸'(-2,1)不滿足C的方程，所以B錯(cuò)誤.

因?yàn)镴-jJ-孫=1,所以9+1-/=0,所以--4(1-X,)20,

所以xW-平或x22空，所以C正確.

^t=x-y,貝!Jx=y+f,所以(y+f)2_j，2_(y+r)y=],

所以少+l-/=o,所以『-4(1-『)20,所以

所以/-2孫+貫》苗，所以D正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(工+1)(》-人|。展開式中/的系數(shù)是.

X

答案：-120

【解析】(x-十尸展開式中Tr+l=.

因?yàn)閍-展開式中不含奇次項(xiàng)，7；=C,V-1)3X4=-120X4,所以/的系數(shù)是-120.

14.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②的函數(shù)/(x)=.

①/Qy)=/(x)+/(y)；②/(x)在定義域上單調(diào)遞增.

答案：/(X)=logax(a>1)

【解析】log“(MN)=log“M+log“N,且./■3)=108尸("1)單調(diào)遞增.

15.已知拋物線G:V=4x的焦點(diǎn)廠與雙曲線C,:m-4=1(。>0,6>0)的右焦點(diǎn)重合，C,

ah

與G的公共點(diǎn)為M，N,且MN=4,則G的離心率是.

答案：41+1

【解析】因?yàn)镃1與G交于點(diǎn)M,N,所以"，N關(guān)于x軸對(duì)稱，所以|%|=2,所以均=1.因

為尸(1,0),所以何軸.記橢圓C?的另一焦點(diǎn)為F,所以板'=」尸尸2+”尸=2五,

所以2。=2-72—2,所以e==—^3=-J2+1.

2a-272-2

16.己知半徑為2a的球。的表面上有4,B,C,。四點(diǎn)，且滿足4DJ.平面/8C,

也AB=BC,ABLBC,則四面體。-48C的體積最大值為；若M為

的中點(diǎn)，當(dāng)。到平面M8C的距離最大時(shí)，ZXMBO的面積為.

答案：4；5

【解析】在平面內(nèi)過點(diǎn)。向作垂線，垂足為“，則。到平面M8C的距離為?！?設(shè)

AD=h,拒AB=BC=島,球心。即為CD的中點(diǎn)，所以4/+/=32.

四面體O-/8C的體積M==害(326-川)，所以夕'=害02-3〃2),

令，=0,得八=用(負(fù)值舍去)，當(dāng)居］時(shí)，y單調(diào)遞增；當(dāng)〃ef居,收］時(shí),

令尸=°，得力=1茅(負(fù)值

“單調(diào)遞減，所以當(dāng)仁后時(shí)，嗑”卷6又網(wǎng)為叢ABMs叢HDM,所以

因?yàn)榕c+占=(條+工)嗎正=白(8+呼+牛)，白(8+8)，當(dāng)且僅當(dāng)4/=必時(shí)等號(hào)

haha"3Lha"

成立，所以"=4,a=2.此時(shí)M8=O8=2近，OM=2,所以△MB。的面積為4.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

在A48C中，角Z,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知8為銳角，且26sin/=氐.

（1）求8；

（2）求sin4+sinC的最大值.

解：（1）因?yàn)?6sin/=?,所以立=苕二.

a2smz

在A48C中，由正弦定理士=&,得螃=立，所以普

sin?!sin8sinJasinZ2sinZ

因?yàn)?<N<TT,所以sin/wO,所以sin8=當(dāng)....2分

又因?yàn)?為銳角，所以B=g.……4分

(2)因?yàn)?</<兀，8=]，所以sin4+sinC=sin/+sin(it-4-8)=sin/+sin(4+8)

=sinJ+sin(4+y)=sinZ+sinAcosy+cosZsin[=.sin/+乎cosA

6分

=JJsinQ+1)<,當(dāng)且僅當(dāng)/=。=當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，8分

63

所以sinZ+sinC的最大值是百.10分

18.（12分）

甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一規(guī)格（直徑20.0mm）的機(jī)器零件，為了比較這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)

的機(jī)器零件精度的差異，隨機(jī)選取了一個(gè)時(shí)間段，對(duì)該時(shí)間段內(nèi)兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的所有機(jī)器零

件直徑的大小進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：

甲：19.7,19.8,19.8,19.9,19.9,19.9,20.0,20.0,20.0,20.0,20.1,20.1,20.1,20.1,

20.2,20.2,20.2,20.3

乙：19.5,19.6,19.7,19.8,19.9,20.0,20.0,20.1,20.1,20.2,20.3,20.4

規(guī)定誤差不超過0.2mm的零件為一級(jí)品，誤差大于0.2mm的零件為二級(jí)品.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床

生產(chǎn)的機(jī)器零件的精度存在差異；

一級(jí)品二級(jí)品總計(jì)

甲機(jī)床

乙機(jī)床

總計(jì)

（2）以該時(shí)間段內(nèi)兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品的一級(jí)品和二級(jí)品的頻率代替概率，從甲機(jī)床生產(chǎn)

的零件中任取2個(gè)，從乙機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取3個(gè).比較甲、乙機(jī)床取到一級(jí)品個(gè)數(shù)的期

望的大小.

n{ad-be)2

附K?，其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.1000.0500.0100.0050.001

PKk0)

2.7063.8416.6357.87910.828

k。

解：（1）2x2列聯(lián)表如下:

一級(jí)品二級(jí)品總計(jì)

甲機(jī)床16218

乙機(jī)床7512

總計(jì)23730

2分

根據(jù)列聯(lián)表得KJ嘴x3.758,

因?yàn)?.758<3.841,5分

所以沒有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的機(jī)器零件的精度存在差異.

答：沒有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的機(jī)器零件的精度存在差異.6分

（2）從甲機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取2個(gè)，設(shè)這2個(gè)零件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)為X,

從乙機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取3個(gè)，設(shè)這3個(gè)零件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)為Y,

則隨機(jī)變量X,丫服從二項(xiàng)分布，即矛~8竭），8（3,卷）,8分

所以E（X）=2j=畀瑞，照嗤,10分

所以甲的期望的大.

答：甲的期望的大.12分

19.(12分)

如圖所示，在四棱錐尸中，底面力88是菱形，。是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在PC

上，且4尸〃平面80E.

P

（1）求援的值;

'C

(2)若OPJ_平面/5C。，OELPC,AB=2,。迎

A

ABAD=60d,求直線OE與平面尸8c所成角的正弦值.

解：(1)連接/C與80交于點(diǎn)尸，

因?yàn)榈酌媸橇庑?，。是“。的中點(diǎn)，

所以40〃8C,且ZO=48C,

2

所以尸C........2分

因?yàn)镹P〃平面80E,/Pu平面/PC,

平面APC0平面BOE=EF,

所以ZP//EF,

所以AE.=工互=1所以E互=1

FC~EC2切以PC13.

(2)解法一：因?yàn)榈酌鍺8C。是菱形，。是工。的中點(diǎn),

ABAD=60°,所以80LW.

因?yàn)镺PL平面/BCD,ADu平面ABCD,

8Ou平面ABCD,所以O(shè)P_LAD,OP1.BO,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0fz...........6分

則0(0,0,0),A(1,0,0),5(0,0，0),C(-2,6，0).

設(shè)尸(0,0,〃)，則卮=(-2，6，-h),

所以方=麗+麗=麗+；斤=(462的

因?yàn)镺E_LPC,所以瓦?定=3+1-苧=0,解得人=羋.……8分

所以礪=(-],平，羋)，團(tuán)=(-2,0,0),而=(0,6，-羋).

設(shè)〃=(x,y,z)為平面P8c的法向量,

則"灰=0,n-PB=0,得x=0,島-羋z=0,

取4=26,所以"=(0,J1Z,2后)為平面P8C的一個(gè)法向量.........10分

因?yàn)閏°s(”,碼=一亭”華2百3如

加4+124(亨+(舟+(空)213

所以直線OE與平面P/8所成角的正弦值是嚕.

12分

解法二：因?yàn)榈酌?8CZ）是菱形，。是4。的中點(diǎn)，AB-2.

ZBAD=60',所以NCOO=120',CD=2,OD=1.

在△CDO中，由余弦定理OC?=CD2+OD2-2xCDxODxcos120°,

得OC=S.6分

因?yàn)镺P_L平面/8CZ）,OCu平面力BCD,所以O(shè)P_LOC.

設(shè)PE=a,CE=2a,在直角△C￡>0中，由射影定理。夕=PExCE,

得OE=&a.

在直角△CEO中，由勾股定理。。2=。爐+直2,得/=/,

6

所以。6=2/=（,所以。E=率，OP=dcp2-od=警?

在直角AOBP中，作斜邊8P上的高O”,

因?yàn)椋篨OHXBP=TXOBXOP,所以O(shè)H=用....8分

因?yàn)椤J_平面8Cu平面所以0P_L8C.

又因?yàn)镺BJ.BC,OBc￥ffiOBP,OP^nOBP,05no尸=尸，

所以8C_L平面O8P,因?yàn)镺〃u平面O8P,所以8C_LO〃.

又因?yàn)镺，_L8P,8Cu平面尸8C,8Pu平面「8C,BCCBP=B,

所以O(shè)4_L平面P8C....10分

3

所以直線OE與平面尸力8所成角的正弦值是智.……12分

20.（12分）

2+1

已知t為正項(xiàng)數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)的乘積,且4=3,T?=an".

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵若藍(lán)+產(chǎn)求證：4+%+…+4<令，

【解】⑴當(dāng)時(shí),I；."?！?I"。,二

T2〃"2

所以曾=4+"%，所以二2分

1nan

+,

所以lg(a?+l")=lg(a?")，即"1g%=("+1)>a?,

所以皆=地

n+\n

當(dāng)〃=2時(shí)，以=,解得出=9，

所以卑=單=所以數(shù)列｛典｝是常數(shù)列，……4分

21n

所以等=牛=炮3,所以lg%=〃|g3=lg3",

所以。"=3"....6分

(2)因?yàn)閍=(%：3)“=(3"+3)J4加

4〃....8分

5向+1)(4+1)(3"|+1)(3"+1)'3"+|+13"+1

32

所以4+&+??.+a=-y----4,444""4"…10分

12"32+13+133+132+1+13"+1

4〃+i4〃+i

4.4'川］：(，嗚嚴(yán)…12分

-3,,+|+13+1-+13向+1

21.(12分)

已知函數(shù)/(x)=lnx+—(aeR).

(1)若〃x)的最小值為1,求實(shí)數(shù)a的值：

(2)若關(guān)于x的方程〃x)=ax有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

解：(1)因?yàn)?'(外=!一丹=子，

XXX

所以若aWO,f'(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，無(wú)最小值，不成立.……2分

若a>0,當(dāng)xe(0,a)時(shí)，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(a,+8)時(shí)，八x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以=/(a)=lna+l=1，a=\.……4分

(2)設(shè)g(x)=lnx-ax+旦，貝ijg.x)=工_〃一號(hào)二一。」七^一..

XXX2X2

當(dāng)QWO時(shí)，g，(x)2O,g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)至多一個(gè)零點(diǎn)....5分

當(dāng)。2；時(shí)，因?yàn)?—4々2W0,所以—辦2+%—〃w0,

所以/(x)WO,g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)至多一個(gè)零點(diǎn).……6分

當(dāng)。得時(shí)，令g，3=。，得寸烏="守

當(dāng)再VX<%2時(shí)，g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增，因?yàn)樵?lt;1<工2,

且g⑴=0,又因?yàn)間(x)是不間斷的函數(shù)，

所以g(xJ<0，8(X2)〉0且8。)在(如W)上只有一個(gè)零點(diǎn)....8分

當(dāng)工>X2時(shí)，g'(x)<°，g(x)單調(diào)遞減.

因?yàn)?(」)=1。3_上+々3=-2\na--+a3,

a2a2aa

設(shè)h(a)=-2Ina--+tz3(0<tz<4-)，

a2

則"(a)=-2+4+3/=3/--+1>o,

aa2a2

所以〃(a)單調(diào)遞增，所以Z?(a)</!(4)=ln4-2+!<0,得g(4)<0.

26a~

因?yàn)楣?=土4mz<《</，又因?yàn)間(x)是不間斷的函數(shù)，

所以g(x)在(2/)上只有一個(gè)零點(diǎn)，

可得g(x)在(孫+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)須)....10分

因?yàn)間(x())+g(-^")=In—CIXQ+—+In——+ax0=0,所以g(—)=0,