高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B用 選擇性必修三）第06講 數(shù)列基礎(chǔ)（教師卷）

第06講數(shù)列基礎(chǔ)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)特殊函數(shù).【知識(shí)導(dǎo)航】1.數(shù)列的定義按照一定次序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型滿(mǎn)足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的通項(xiàng)如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用an＝f(n)來(lái)表示，其中f(n)是關(guān)于n的不含其他未知數(shù)的表達(dá)式，則稱(chēng)上述關(guān)系式為這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.4.數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上的關(guān)系都可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則稱(chēng)這個(gè)公式為數(shù)列的遞推關(guān)系(也稱(chēng)為遞推公式或遞歸公式).5.數(shù)列的前n項(xiàng)和一般地，給定數(shù)列{an}，稱(chēng)Sn＝a1＋a2＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2.在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))【知識(shí)預(yù)習(xí)】考點(diǎn)一：數(shù)列的概念1．已知數(shù)列、、、、，那么在此數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得，因此，在此數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是.故選：C.2．?dāng)?shù)列，，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)椋?，，，，……，所以?shù)列，，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為.故選：D3．觀察圖，點(diǎn)數(shù)所成數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，依次點(diǎn)數(shù)為1、4、9、16，為完全平方數(shù)，故.故選：B.4．?dāng)?shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)?，，，所以此?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是.故選：D.5．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為（

）A．1，0，1，0 B．0，1，0，1 C．0，2，0，2 D．2，0，2，0【答案】A【詳解】依題意，.故選：A考點(diǎn)二：數(shù)列中的遞推6．?dāng)?shù)列中，，，則（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【詳解】因?yàn)?，，故，，，故選：B.7．若數(shù)列滿(mǎn)足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意，，在數(shù)列中，，∴.故選：A.8．已知數(shù)列滿(mǎn)足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，，，，故選：B9．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，又，所以，易得，則，同理，，，故故選：B10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱(chēng)為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層的球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由相鄰層球的個(gè)數(shù)差，歸納可知，，對(duì)累加得.所以，，，，所以ABC錯(cuò)誤，故選：D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】一、單選題1．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，，，.故選：C.2．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：由題意，在數(shù)列中，分母是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∵數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，∴比例系數(shù)為∴數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為：故選：C.3．?dāng)?shù)列1,,,，的第n項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】底數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第n項(xiàng)為；指數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第n項(xiàng)為.所以數(shù)列1,,,，的第n項(xiàng)為.故選：D4．兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題．他們?cè)谏碁┥袭?huà)出點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，如下圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為5，9，14，20，…，這樣的一組數(shù)被稱(chēng)為梯形數(shù)，記此數(shù)列為，則（

）．A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：觀察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，得：…由此可得故選：D．5．有窮等比數(shù)列，28，211，……，的項(xiàng)數(shù)是（

）A． B． C． D．n【答案】C【詳解】的間隔是，若，則，所以數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為項(xiàng).故選：C6．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，其前n項(xiàng)和為，則(

)A． B． C．3 D．【答案】B【詳解】數(shù)列滿(mǎn)足，，，，，，…數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，，∴．故選：B．7．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，則（

）A．16 B．12 C．9 D．4【答案】C【詳解】，則，．故選：C8．已知數(shù)列滿(mǎn)足，.若數(shù)列是常數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵數(shù)列滿(mǎn)足，，∴.∵數(shù)列是常數(shù)列，∴，解得.故選：A.二、多選題9．下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列與數(shù)列是同一個(gè)數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)C．在數(shù)列中,第8個(gè)數(shù)是D．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的通項(xiàng)公式為【答案】BCD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,數(shù)列與中數(shù)字的排列順序不同,不是同一個(gè)數(shù)列,所以選項(xiàng)A不正確;對(duì)于選項(xiàng)B,令,解得或（舍去）,所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,根號(hào)里面的數(shù)是公差為1的等差數(shù)列,第8個(gè)數(shù)為,即,所以選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,由數(shù)列3,5,9,17,33,…的前5項(xiàng)可知通項(xiàng)公式為,所以選項(xiàng)D正確.故選:BCD10．下列四個(gè)數(shù)列中的遞增數(shù)列是（）A．1，，，，…B．，，，…C．，，，，…D．1，，，…，【答案】CD【詳解】解：對(duì)于A，數(shù)列1，，，，…為遞減數(shù)列，故不符合題意；對(duì)于B，數(shù)列，，，…為周期數(shù)列，且，故不符合題意；對(duì)于C，數(shù)列，，，，…為遞增數(shù)列，故符合題意；對(duì)于D，數(shù)列1，，，…，為遞增數(shù)列，故符合題意.故選：CD.三、填空題11．?dāng)?shù)列1，3，7，15，…的一個(gè)可能的通項(xiàng)公式為=_____【答案】，【詳解】各項(xiàng)都加1后為2，4，8，16，…，因此一個(gè)可能的通項(xiàng)公式為=.故答案為:12．1766年，德國(guó)有一位名叫提丟斯的中學(xué)數(shù)學(xué)老師，把數(shù)列0，3，6，12，24，48，96，……經(jīng)過(guò)一定的規(guī)律變化，得到新數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，新數(shù)列的各項(xiàng)恰好為太陽(yáng)系行星與太陽(yáng)的平均距離，并據(jù)此發(fā)現(xiàn)了“天王星”、“谷神星”等行星，這個(gè)新數(shù)列就是著名的“提丟斯-波得定則”．根據(jù)規(guī)律，新數(shù)列的第8項(xiàng)為_(kāi)_____．【答案】##【詳解】原數(shù)列，從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的兩倍，所以其第項(xiàng)為，新數(shù)列，是將原數(shù)列的對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：先加，然后除以所得，所以，新數(shù)列的第項(xiàng)為.故答案為：四、解答題13．寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．【答案】（1）4個(gè)項(xiàng)都是分?jǐn)?shù)，它們的分子依次為，分母是正奇數(shù)，依次為，所以給定4項(xiàng)都滿(mǎn)足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（2）4個(gè)項(xiàng)按先負(fù)數(shù)，后正數(shù)，正負(fù)相間排列，其絕對(duì)值的分子依次為，分母比對(duì)應(yīng)分子多1，所以給定4項(xiàng)都滿(mǎn)足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（3）4個(gè)項(xiàng)是第1，3項(xiàng)均為3，第2，4項(xiàng)均為4，所以給定4項(xiàng)都滿(mǎn)足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（4）4個(gè)項(xiàng)，所有項(xiàng)都是由數(shù)字6組成的正整數(shù)，其中6的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)一致，依次可寫(xiě)為，所以給定4項(xiàng)都滿(mǎn)足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.14．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是.(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？【詳解】（1）解：數(shù)列的通項(xiàng)公式是．這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是：．（2）解：令，即，解得或（舍，是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第16項(xiàng)．15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求，，；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)，，.(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，所以.【提升作業(yè)】一、單選題1．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A2．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知，，，，，上述等式全加可得，.故選：D.3．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào).設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù).已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．4956 B．4959 C．4962 D．4965【答案】B【詳解】由，且，根據(jù)累加法可得：，所以.所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),.因此.故選：B.4．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，上述各式相乘得，因?yàn)?，所以，?jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足，所以.故選：D.5．已知數(shù)列滿(mǎn)足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，即．如圖所示，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知，當(dāng)時(shí)，，且．故當(dāng)時(shí)，，且，依此類(lèi)推可得，滿(mǎn)足是遞增數(shù)列，即的取值范圍是．故選:A.二、填空題6．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則等于___________.【答案】20【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，故答案為?0.7．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的和除以與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做“和差等比數(shù)列”．已知是“和差等比數(shù)列”，，，則使得不等式的的最小值是______．【答案】【詳解