數(shù)學(xué)九年級上冊專題21.6 因式分解法解一元二次方程-重難點(diǎn)題型（人教版）（教師版）

專題21.6因式分解法解一元二次方程-重難點(diǎn)題型【人教版】【知識點(diǎn)1因式分解法概念】當(dāng)一個一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【題型1因式分解法概念的應(yīng)用】【例1】（2020秋?福州期中）如果二次三項(xiàng)式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，則方程x2+px+q＝0的兩個根為（）A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1【分析】根據(jù)已知分解因式和方程得出x+3＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．【解答】解：∵二次三項(xiàng)式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，∴x+3＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，即方程x2+px+q＝0的兩個根為x1＝﹣3，x2＝1，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程和分解因式，能根據(jù)題意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2020?晉江市一模）若x2﹣2px+3q＝0的兩根分別是﹣3與5，則多項(xiàng)式2x2﹣4px+6q可以分解為（）A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5） C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）【分析】先提取公因式2，再根據(jù)已知分解即可．【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的兩根分別是﹣3與5，∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）＝2（x+3）（x﹣5），故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程和分解因式，注意：能夠根據(jù)方程的解分解因式是解此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2020秋?晉江市期中）若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，則下列結(jié)論正確的是（）A．n＝0且n是該方程的根 B．n＝m且n是該方程的根 C．n＝m但n不是該方程的根 D．n＝0但n不是該方程的根【分析】解方程得到方程的根，然后根據(jù)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵x2﹣（m+n）x+mn＝0，∴（x﹣m）（x﹣n）＝0，∴x﹣m＝0，x﹣n＝0，∴x1＝m，x2＝n，∴方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝m，x2＝n，∵x1＝x2＝m，∴n＝m且n是該方程的根，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2020秋?浉河區(qū)校級月考）我們知道可以用公式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）來分解因式解一元二次方程．如：x2+6x+8＝0，方程分解為：＝0，x2﹣7x﹣30＝0，方程分解為：＝0愛鉆研的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：3x2﹣7x+2＝0解：方程分解為：（x﹣2）（3x﹣1）＝0從而可以快速求出方程的解．你利用此方法嘗試解下列方程4x2﹣8x﹣5＝0【分析】借助與題目中所給的方法可進(jìn)行因式分解可求得兩個填空的答案，同樣的方法可對4x2﹣8x﹣5＝0進(jìn)行因式分解，可求得答案．【解答】解：∵x2+6x+8＝（x+2）（x+4），x2﹣7x﹣30＝（x﹣10）（x+3），∴x2+6x+8＝0可分解為（x+2）（x+4）＝0，x2﹣7x﹣30＝0可分解為（x﹣10）（x+3）＝0，故答案為：（x+2）（x+4）；（x﹣10）（x+3）；∵4x2﹣8x﹣5＝（2x﹣5）（2x+1），∴4x2﹣8x﹣5＝0可分解為（2x﹣5）（2x+1）＝0，∴2x﹣5＝0或2x+1＝0，∴x=52或x【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握二次三項(xiàng)式的因式分解是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)2因式分解法解一元二次方程的步驟】①將方程右邊化為0；②將方程左邊分解為兩個一次式的積；③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.【題型2用提公因式法解一元二次方程】【例2】（2020秋?揭西縣月考）用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵x（5x+4）﹣（4+5x）＝0，∴（5x+4）（x﹣1）＝0，則5x+4＝0或x﹣1＝0，則x1【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020秋?洪洞縣期中）用分解因式解方程：（x+1）2＝2x+2（因式分解法）；【分析】利用因式分解法求解即可；【解答】解：∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣1）＝0，則x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1；【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2020秋?建平縣期末）用分解因式解方程：2y2+4y＝y(tǒng)+2【分析】先變形為2y（y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；【解答】解：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，（y+2）（2y﹣1）＝0，y+2＝0或2y﹣1＝0，所以y1＝﹣2，y2=1【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．【變式2-3】（2020秋?牡丹江期中）解用分解因式解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．【分析】利用因式分解法求解即可；【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0．（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣9＝0∴x1＝3，x2＝9【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【題型3用乘法公式解一元二次方程】【例3】（2020秋?靈石縣期末）解用分解因式解方程：4x2﹣（x﹣1）2＝0．【分析】根據(jù)平方差公式可以解答此方程．【解答】解：4x2﹣（x﹣1）2＝0（2x﹣x+1）（2x+x﹣1）＝0（x+1）（3x﹣1）＝0∴x+1＝0，或3x﹣1＝0，解得，x1【點(diǎn)評】本題考查解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是明確解二元一次方程的方法．【變式3-1】（2020秋?長白縣期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，可得4﹣x＝0或3x+2＝0，解得：x1＝4，x2=?2【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2020秋?呼和浩特期末）解用分解因式解方程：（2x﹣1）2＝x2+6x+9．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵（2x﹣1）2＝x2+6x+9．∴（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0，因式分解得（3x+2）（x﹣4）＝0，∴3x+2＝0或x﹣4＝0，∴x1=?23，x【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2020秋?臺安縣期中）解用分解因式解方程：（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0，∴[（x+2）+2（x﹣3）][（x+2）﹣2（x﹣3）]＝0，即（3x﹣4）（﹣x+8）＝0，則3x﹣4＝0或﹣x+8＝0，解得x1=43，x【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【題型4用十字相乘法解一元二次方程】【例4】（2020秋?郫都區(qū)期中）解用分解因式解方程：x2﹣10x+16＝0；【分析】十字相乘法因式分解，再求解即可；【解答】解：x2﹣10x+16＝0，因式分解得，（x﹣2）（x﹣8）＝0，由此得，x﹣2＝0，x﹣8＝0，所以，x1＝2，x2＝8；【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)題目要求的方法求解．【變式4-1】（2020秋?路北區(qū)期中）用因式分解法解方程：2x2+1＝3x【分析】先移項(xiàng)，然后利用十字相乘法對等式的左邊進(jìn)行因式分解．【解答】解：2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（2x﹣1）（x﹣1）＝0，解得x1=12，x【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．【變式4-2】（2020春?河口區(qū)校級期中）用因式分解法解方程：（2y﹣1）2＝3（1﹣2y）+4．【分析】直接利用十字相乘法解方程得出答案．【解答】解：（2y﹣1）2＝3（1﹣2y）+4，（2y﹣1）2+3（2y﹣1）﹣4＝0，（2y﹣1+4）（2y﹣1﹣1）＝0，解得：y1=?32，y【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的解法，正確掌握相關(guān)解一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2020秋?簡陽市月考）用因式分解法解方程：x2?3【分析】利用因式分解法把方程化為x?3=0或x【解答】解：（x?3）（x+x?3=0或x所以x1=3，x2=?【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【題型5因式分解法解一元二次方程的應(yīng)用】【例5】（2020秋?定陶區(qū)期末）已知方程x2﹣7x+10＝0的兩個根是等腰三角形的兩邊長，則這個等腰三角形的周長為（）A．9 B．12 C．12或9 D．不能確定【分析】可先求得方程的兩根，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形三邊關(guān)系進(jìn)行判斷，再求得三角形的周長即可．【解答】解：解方程x2﹣7x+10＝0可得x＝2或x＝5，∴等腰三角形的兩邊長為2或5，當(dāng)?shù)诪?時，則等腰三角形的三邊長為2、5、5，滿足三角形三邊關(guān)系，此時等腰三角形的周長為12；當(dāng)?shù)诪?時，則等腰三角形的三邊長為5、2、2，2+2＜5，不滿足三角形三邊關(guān)系；∴等腰三角形的周長為12，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及一元二次方程的解法，確定出等腰三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2021?金鄉(xiāng)縣一模）已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的兩個實(shí)數(shù)根，則該直角三角形斜邊上的中線長是（）A．3 B．4 C．6 D．2.5【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形兩直角邊分別為3、4，再利用勾股定理計(jì)算出斜邊＝5，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求解．【解答】解：x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4，則直角三角形兩直角邊分別為3、4，所以斜邊=3所以該直角三角形斜邊上的中線長=5故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．【變式5-2】（2020秋?棗莊期中）如圖，已知A，B，C是數(shù)軸上異于原點(diǎn)O的三個點(diǎn)，且點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)．若點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是x，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是x2﹣3x，則x＝．【分析】由題意可以知道O是原點(diǎn)，且O是AB的中點(diǎn)，就有A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，就可以表示出A點(diǎn)的數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸兩點(diǎn)間的距離列出方程求出其值即可．【解答】解：∵O是原點(diǎn)，且是AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB，∵B點(diǎn)表示的數(shù)是x，∴A點(diǎn)表示的數(shù)是﹣x．∵B是AC的中點(diǎn)，∴AB＝BC，∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），解得：x1＝0，x2＝6．∵B異于原點(diǎn)，∴x≠0，∴x＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸與一元二次方程運(yùn)用及一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時用代數(shù)式表示出各個點(diǎn)表示的數(shù)是關(guān)鍵．【變式5-3】（2021?陽信縣模擬）菱形的一條對角線長為8，其邊長是方程x2﹣9x+20＝0的一個根，則該菱形的面積為．【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝5，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到菱形的邊長為5，利用勾股定理計(jì)算出菱形的另一條對角線長，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算．【解答】解：x2﹣9x+20＝0，（x﹣4）（x﹣5）＝0，x﹣4＝0或x﹣5＝0，∴x1＝4，x2＝5，∵菱形一條對角線長為8，∴菱形的邊長為5，∵菱形的另一條對角線長＝2×5∴菱形的面積=1故答案為：24．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性質(zhì)．【題型6新定義問題】【例6】（2020秋?汾陽市期末）定義：如果一個一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根的比值與另一個一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根的比值相等，我們稱這兩個方程為“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的實(shí)數(shù)根是3或6，x2﹣3x+2＝0的實(shí)數(shù)根是1或2，3：6＝1：2，則一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0與x2﹣3x+2＝0為相似方程．下列各組方程不是相似方程的是（）A．x2﹣16＝0與x2＝25 B．（x﹣6）2＝0與x2+4x+4＝0 C．x2﹣7x＝0與x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0與x2﹣5x+4＝0【分析】分別求出選項(xiàng)中兩個方程的解，再結(jié)合“相似方程”的定義即可確定結(jié)論．【解答】解：A、方程x2﹣16＝0的實(shí)數(shù)根是±4，x2＝25的實(shí)數(shù)根是±5，∵4：（﹣4）＝5：（﹣5），∴一元二次方程x2﹣16＝0與x2＝25為相似方程；B、方程（x﹣6）2＝0的實(shí)數(shù)根是6，x2+4x+4＝0的實(shí)數(shù)根是﹣2，∵6：6＝﹣2：﹣2，∴一元二次方程（x﹣6）2＝0與x2+4x+4＝0為相似方程；C、方程x2﹣7x＝0的實(shí)數(shù)根是0或7，x2+x﹣6＝0的實(shí)數(shù)根是﹣3或2，∵0：7≠﹣3：2，∴一元二次方程x2﹣7x＝0與x2+x﹣6＝0不是相似方程；D、方程（x+2）（x+8）＝0的實(shí)數(shù)根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的實(shí)數(shù)根是1或4，∵﹣2：﹣8＝1：4，∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0與x2﹣5x+4＝0為相似方程；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，讀懂題意，正確理解“相似方程”的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2021?南沙區(qū)一模）對于實(shí)數(shù)m，n，先定義一種新運(yùn)算“?”如下：m?n=m2+m+n，當(dāng)m≥n時，n2+m+n，當(dāng)m＜n時A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8【分析】根據(jù)定義，分x≥﹣2和x＜﹣2兩種情況進(jìn)行解方程，得出x的值．【解答】解：當(dāng)x≥﹣2時，x2+x﹣2＝10，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合題意，舍去）；當(dāng)x＜﹣2時，（﹣2）2+x﹣2＝10，解得：x＝8（不合題意，舍去）；∴x＝3．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思