高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B用 選擇性必修三）第10講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（教師卷）

第10講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).【知識(shí)導(dǎo)航】1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增f′(x)＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.2.對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.【知識(shí)預(yù)習(xí)】考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意，在中，當(dāng)時(shí)，解得（舍）或當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減∴單調(diào)遞減區(qū)間為故選：B.2．已知函數(shù)，則（

）A．在上是增函數(shù)B．在和上是增函數(shù)C．在和上是減函數(shù)D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)【答案】B【詳解】依題意，由得的定義域?yàn)?，又，即在和上都單調(diào)遞增，所以在和上是增函數(shù).故選：B3．函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）A．和 B．C． D．【答案】D【詳解】由，得令，即，解得所以函數(shù)的遞增區(qū)間是故選：D4．已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．，C． D．【答案】C【詳解】定義域?yàn)?，，解得，?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C5．已知函數(shù)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，則等價(jià)于，解得，即原不等式的解集為.故選：B.考點(diǎn)二：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖像之間的關(guān)系6．定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖像可知：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減的單調(diào)遞減區(qū)間是故選：C7．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，圖像如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間結(jié)合圖像可得單調(diào)遞增區(qū)間為則的解集為故選：C．8．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

） B． C． D．【答案】A【詳解】解：由的圖象可知，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，故排除C、D；當(dāng)時(shí)先遞減、再遞增最后遞減，所以所對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該先小于，再大于，最后小于，故排除B；故選：A9．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，的圖象如圖所示，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由圖象可知，在單增，在單減，即在上大于0，在上小于0，又或，則解集為.故選：A.10．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題：①是函數(shù)的極值點(diǎn)；②是函數(shù)的最小值點(diǎn)；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④在處切線的斜率小于零．以上正確命題的序號是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故③正確；則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故①正確；在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的最小值點(diǎn)，故②不正確；函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)大于，切線的斜率大于零，故④不正確．故選：C．考點(diǎn)三：含參討論函數(shù)的單調(diào)性11．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B12．已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題得的解集為，所以不等式的解集為，所以故選：B13．（多選）若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍可以是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】定義域?yàn)?，；由得函?shù)的增區(qū)間為；由得函數(shù)的減區(qū)間為；因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以或解得或；結(jié)合選項(xiàng)可得A,C正確.故選：AC.14．（多選）已知，若不等式在上恒成立，則a的值可以為（

）A． B． C．1 D．【答案】AD【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，∴，∴．又在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，即恒成立．令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，∴，解得或，所以a的值可以為，，故選：AD.15．（多選）若函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則a的可能取值為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】AB【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樵?，上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在，上恒成立，當(dāng)時(shí)，有在，上恒成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，不可能滿足在，上恒成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若，則在，上恒成立；若，則，△，滿足在，上恒成立．綜上所述，可以取到1和2．故選：．【對點(diǎn)訓(xùn)練】一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．以上都不對【答案】D【詳解】由題知，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，函數(shù)無單調(diào)減區(qū)間，故選：D.2．已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，故在上恒成立，所以即，故選：A.3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可判斷，原函數(shù)的單調(diào)性為先增后減再增，故排除AD,又C選項(xiàng)，遞減區(qū)間斜率不變，故排除，故選：B.4．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以有在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，所以由，因?yàn)?，所以，于是有，故選：D5．已知函數(shù)的部分圖像，其中，，為圖上三個(gè)不同的點(diǎn).如下圖.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由圖象可知，點(diǎn)A在單調(diào)遞增區(qū)間上，點(diǎn)B為極值點(diǎn)，點(diǎn)C在單調(diào)遞減區(qū)間上，所以可知，所以.故選：B6．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示．記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意，知的解集即的單調(diào)遞減區(qū)間，故的解集為．故選：A．7．已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，則，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以等價(jià)于，則，即，解得．所以不等式的解集是．故選：C8．設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題知，函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，即，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以不等式的解集為，故選：B二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D．是奇函數(shù)【答案】AC【詳解】對A：，定義域?yàn)?，則，由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故A正確；對B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對C：，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，C正確；對D：定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的定義域是B．當(dāng)時(shí)，的圖象位于x軸下方C．存在單調(diào)遞增區(qū)間D．有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間【答案】BC【詳解】由，得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋訟不正確.當(dāng)時(shí)，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，的圖象位于x軸下方，所以B正確.，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，故存在，使得，則函數(shù)只有一個(gè)根，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以C正確，D不正確.故選：BC.三、填空題11．已知函數(shù)，若在內(nèi)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【詳解】解：，∵在內(nèi)為減函數(shù)，∴在內(nèi)恒成立，∴，即，解得．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．12．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為__________.【答案】【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所以，即在R上為增函數(shù)..因?yàn)樵赗上為增函數(shù)，所以，解得.故答案為：四、解答題13．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1).(2).【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為(2)減區(qū)間為：和，增區(qū)間為【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）的定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間和，遞減；在區(qū)間，遞增.所以的減區(qū)間為：和，增區(qū)間為.14．設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間．【答案】答案見解析【詳解】的定義域?yàn)椋?，則，所以在上單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．15．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，知恒成立，．由恒成立可知恒成立，則，設(shè)，則，由，知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴，∴．【提升作業(yè)】一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，∴函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：A2．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于AB，，當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減；，，故AB錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；，故D正確；對于C，令，滿足在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，故C錯(cuò)誤.故選：D.3．已知函數(shù)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，而，則有，所以的大小關(guān)系是，A正確.故選：A4．若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A．或或 B．或C． D．不存在這樣的實(shí)數(shù)【答案】B【詳解】解：，令，解得，或，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則或，所以或，解得或故選：B．5．若函數(shù)在定義域上恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以其導(dǎo)函數(shù)在定義域上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由可得，即，所以只需，方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選：A.二、填空題6．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以，即，所以，所以，由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.7．已知函數(shù)，若函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【詳解】,在上是嚴(yán)格減函數(shù),故在恒成立，且不恒為0，即，記，則，所以在單調(diào)遞增，故，因此，故答案為：三、解答題8．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為【詳解】（1），，，又，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.的遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為.9．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】見解析【詳解】因?yàn)椋?由，解得x＝0或x＝2a.當(dāng)a＝0時(shí)，，所以f（x）在R上嚴(yán)格增，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為（0，2a）；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間