巧妙構(gòu)造新函數(shù)解決數(shù)學問題

巧妙構(gòu)造新函數(shù)解決數(shù)學問題安徽師范大學大學數(shù)學與計算機學院安徽省南陵中學汪珊珊從近幾年的高考命題分析，高考對導數(shù)的考查常以函數(shù)為依托的小綜合題，考查函數(shù)、導數(shù)的根底知識和根本方法.近年的高考命題中的解答題將導數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性、方程根的分布、解析幾何中的切線問題等有機的結(jié)合在一起，設計綜合試題。在內(nèi)容上日趨綜合化，在解題方法上日趨多樣化.解決這類有關(guān)的問題，有時需要借助構(gòu)造函數(shù),以導數(shù)為工具構(gòu)造函數(shù)是解導數(shù)問題的根本方法，但是有時簡單的構(gòu)造函數(shù)對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，這里我們來一起探討一下這方面問題。一、別離變量，構(gòu)造新函數(shù)例1、假設，那么角的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)解析：由題意可知：，所以，構(gòu)造函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，，故只要：，應選C。例2、〔2023遼寧理〕函數(shù)，．〔Ⅰ〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔Ⅱ〕證明：假設，那么對任意，，有解析：〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕分析：不妨設，即證，即故構(gòu)造新函數(shù)，即只需證：在單調(diào)遞增。又．由于故，即在單調(diào)增加。故原題得證。二、直接利用求函數(shù)的導數(shù)公式，構(gòu)造新函數(shù)例3、設是上的可導函數(shù)，分別為的導函數(shù)，且滿足，那么當時，有〔C〕解析：構(gòu)造函數(shù)例4、〔2023遼寧理〕函數(shù)的定義域為，，對任意，，那么的解集為〔B〕A．〔，1〕 B．〔，+〕 C．〔，〕 D．〔，+〕解析：構(gòu)造函數(shù)三、間接運用模型，構(gòu)造新函數(shù)1、模型一：關(guān)系式為“加〞型〔1〕構(gòu)造〔2〕構(gòu)造〔3〕構(gòu)造〔注意對的符號進行討論〕2、模型二：關(guān)系式為“減〞型〔1〕構(gòu)造〔2〕構(gòu)造〔3〕構(gòu)造〔注意對的符號進行討論〕例5、定義域為的奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，假設，那么以下關(guān)于的大小關(guān)系正確的選項是〔D〕解析：由題意知：，構(gòu)造函數(shù)，為偶函數(shù)。例6、函數(shù)為定義在上的可導函數(shù)，且對于任意恒成立，為自然對數(shù)的底數(shù)，那么〔C〕解析：構(gòu)造函數(shù)例7、〔09天津文〕設函數(shù)在R上的導函數(shù)為，且，下面的不等式在R上恒成立的是〔〕A．B．C．D．解析：由，首先令得，排除B，D．令，那么，①當時，有，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，，從而．②當時，有，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，，從而．綜上．應選A．例8、〔2023皖南八校第一次聯(lián)考理〕定義在R上的奇函數(shù)的導函數(shù)為,當時,滿足,那么在R上的零點個數(shù)為〔〕A.1B.3C.5D.1或3解析：設那么，因為時,滿足，所以時,，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，又是定義在R上的奇函數(shù)，所以是R上增函數(shù)，所以在R上的零點個數(shù)為1，應選A.例9、(2023合肥三模理)定義在上的函數(shù)滿足:且,其中是的導函數(shù),那么不等式的解集為〔A〕A.B.C.D.解析：由題意得：，，又構(gòu)造函數(shù)例10、(2023遼寧理)設函數(shù)滿足，f(2)＝，那么x＞0時，()A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值D．既無極大值也無極小值解析：令，那么，..令，那么.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為.∴.又，∴.∴在單調(diào)遞增．∴既無極大值也無極小值．應選D.四、消去參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)例11、〔2023全國Ⅱ理〕設函數(shù)有兩個極值點，且．〔I〕求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；〔II〕證明：．解析：〔I〕由題設知，函數(shù)的定義域是且有兩個不同的根，故的判別式，即且①又故．因此的取值范圍是．當變化時，與的變化情況如下表：因此在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)．〔II〕由題設和①知于是．設函數(shù)那么當時，；當時，故在區(qū)間是增函數(shù)．于是，當時，因此．五、消元構(gòu)造新函數(shù)例12、函數(shù)，．〔Ⅰ〕假設函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕設直線為函數(shù)的圖象上一點處的切線．證明：在區(qū)間上存在唯一的，使得直線l與曲線相切．解析：〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕∵，∴，∴切線的方程為,即,①設直線與曲線相切于點，∵，∴，∴．∴直線也為，即，②由①②得，∴．下證：在區(qū)間〔1，+〕上存在且唯一.由〔Ⅰ〕可知，在區(qū)間上遞增．又，，結(jié)合零點存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一.故結(jié)論成立．六、二元合一，構(gòu)造新函數(shù)例13、函數(shù)〔〕．〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕記函數(shù)的圖象為曲線．設點,是曲線上的不同兩點．如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，那么稱函數(shù)存在“中值相依切線〞．試問：函數(shù)是否存在“中值相依切線〞，請說明理由．解：〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕假設函數(shù)存在“中值相依切線〞．設,是曲線上的不同兩點，且，那么曲線在點處