結(jié)構(gòu)力學(xué)-超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算（建筑力學(xué)課件）

力法CONTENTS目錄概述力法概述超靜定結(jié)構(gòu)的概念超靜定結(jié)構(gòu)是工程中廣泛采用的一類結(jié)構(gòu)，為了全面認(rèn)識(shí)超靜定結(jié)構(gòu)，我們把它與靜定結(jié)構(gòu)作一比較。超靜定結(jié)構(gòu)（b）

超靜定結(jié)構(gòu)的概念

（a）FAxFAyFFByFFAxFAyMA

圖（a）所示的剛架是一個(gè)靜定結(jié)構(gòu)，它的支座反力和各截面的內(nèi)力都可以由靜力平衡條件唯一確定。圖（b）所示的剛架是一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu)，有四個(gè)反力，卻只能列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一確定。超靜定結(jié)構(gòu)的概念

（a）FBy（b）

FFAxFAyMAFAxFAyF再從幾何組成方面來分析，圖（a）所示剛架和圖（b）所示剛架都是幾何不變的。若從圖（a）所示的剛架中去掉支桿B，其就變成了幾何可變體系。而從圖（b）所示剛架中去掉支桿B，則其仍是幾何不變的，從幾何組成上看支桿B是多余約束，所以，該體系有一個(gè)多余約束，是一次超靜定結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)的概念綜上所述，存在多余約束，單靠靜力平衡方程不能確定所有支座反力和內(nèi)力，這就是超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)的根本區(qū)別。超靜定次數(shù)的確定超靜定次數(shù)就是結(jié)構(gòu)的多余約束的個(gè)數(shù)，也就是多余未知力的個(gè)數(shù)。所以，確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)的方法，就是把原結(jié)構(gòu)中的多余約束去掉，使之變成靜定結(jié)構(gòu)，所去掉的多余約束的個(gè)數(shù)即為結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。超靜定次數(shù)(b)(a)超靜定次數(shù)的確定通常情況下，從超靜定結(jié)構(gòu)中去掉多余約束的方式有如下幾種：切斷體系內(nèi)部的一根鏈桿或去掉支座處的一根支桿，相當(dāng)于去掉一個(gè)約束，如圖所示。01X1X1X2超靜定次數(shù)的確定去掉一個(gè)鉸支座或一個(gè)單鉸，相當(dāng)于去掉兩個(gè)約束，如圖所示。02(b)(a)X1X2X1X2X1X2超靜定次數(shù)的確定去掉一個(gè)固定支座或切斷一根梁式桿，相當(dāng)于去掉三個(gè)約束，如圖所示。03(a)(b)X2MAX1(c)X1X2X1X2X3X3超靜定次數(shù)的確定將一剛結(jié)點(diǎn)改為單鉸聯(lián)結(jié)或?qū)⒁粋€(gè)固定支座改為鉸支座，相當(dāng)于去掉一個(gè)約束，如圖所示。04(a)(b)X1X1(c)力法力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，是以靜定結(jié)構(gòu)為計(jì)算對(duì)象，把多余未知力作為基本未知量，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立力法方程，從而把計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)多余未知力的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的問題。力法的基本原理力法下面通過對(duì)一次超靜定結(jié)構(gòu)的分析，闡述力法的基本原理。如圖所示一端固定、另一端鉸支的梁，該梁有一個(gè)多余約束，是一次超靜定結(jié)構(gòu)。EI=常數(shù)力法

如果把支桿B作為多余約束去掉，并代之以多余未知力X1，則原結(jié)構(gòu)就轉(zhuǎn)化為圖（b）所示的靜定梁。它承受著與圖（a）所示原結(jié)構(gòu)相同的荷載和多余未知力。我們把這種去掉多余約束用多余未知力來代替后的靜定結(jié)構(gòu)稱為按力法計(jì)算的基本結(jié)構(gòu)。（a）（b）X1力法只要能夠求出多余未知力X1，原結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題就轉(zhuǎn)變?yōu)殪o定的基本結(jié)構(gòu)在荷載q及多余未知力X1共同作用下的靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算問題了。我們把多余未知力稱為力法計(jì)算的基本未知量。（a）（b）X1力法在圖(b)所示的基本結(jié)構(gòu)上，多余未知力X1是代替原結(jié)構(gòu)支座B的作用。因此，基本結(jié)構(gòu)的受力和變形應(yīng)與原結(jié)構(gòu)完全相同。設(shè)基本結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)沿X1方向上的位移為Δ1。由于在原結(jié)構(gòu)圖(a)中，支座B處的豎向位移等于零。所以，在基本結(jié)構(gòu)圖(b)中，B點(diǎn)由荷載q與多余未知力X1共同作用下在X1方向上的位移Δ1也應(yīng)該為零，即

力法（b）X1Δ1=0力法（b）（c）（d）上式稱為基本結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的原結(jié)構(gòu)的位移條件，設(shè)Δ1F[圖(c)]和Δ11[圖(d)]分別表示荷載q與多余末知力X1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)上時(shí)，引起的B點(diǎn)沿X1方向上的位移。由疊加原理，有

Δ1=Δ11+Δ1F=0力法由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)引起的B點(diǎn)沿X1方向上的位移，即Δ11=δ11·X1

，則因?yàn)棣?1和Δ1F均為已知力作于靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，引起的B點(diǎn)沿X1方向上的位移，所以由靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知力X1。δ11·X1+Δ1F=0上式稱為力法方程，而δ11稱為方程的系數(shù)，Δ1F稱為方程的自由項(xiàng)。力法

為了具體計(jì)算位移δ11和Δ1F，可分別繪出基本結(jié)構(gòu)在荷載q和X1＝1單獨(dú)作用下的MF圖和M1圖[圖(a，b)]，然后用圖乘法計(jì)算。

(a)MF

圖(b)M1

圖力法(a)MF

圖(b)M1

圖

由于MF圖和M1圖分別是基本結(jié)構(gòu)在X1＝1和荷載q作用下的彎矩圖，同時(shí)M1圖又可理解成為求B點(diǎn)的豎向位移而繪制的單位荷載作用下的彎矩圖。所以，可用圖M1乘M1圖，即M1圖自乘，則有力法(a)MF

圖(b)M1

圖同理可用M1圖乘MF圖計(jì)算Δ1F

將δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力X1。所得末知力X1為正號(hào)，表示反力X1的方向與所設(shè)的方向相同。ABM圖（c）力法多余未知力X1求出后，將已求得的多余力X1與荷載q共同作用在基本結(jié)構(gòu)上,就可以按求解靜定結(jié)構(gòu)的方法，求出原結(jié)構(gòu)的其余反力和內(nèi)力，最后繪出原結(jié)構(gòu)的彎矩圖，如圖（c）所示。超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖M，也可利用已經(jīng)繪出的M1圖M1和MF圖按疊加原理繪出，即力法綜上所述，力法是以多余未知力作為基本未知量，以去掉多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余約束處與原結(jié)構(gòu)完全相同的位移條件建立力法方程，求解多余未知力，從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題。力法的計(jì)算步驟和舉例根據(jù)以上所述，用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟可歸納如下：2建立力法典型方程。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在去掉多余約束處的位移與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)位置的位移相同的條件，建立力法方程。3計(jì)算力法方程的系數(shù)和自由項(xiàng)。利用靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式，或分別繪出基本結(jié)構(gòu)在單位多余力Xi和荷載作用下的彎矩圖，然后用圖乘法計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。1選取基本結(jié)構(gòu)。去掉原結(jié)構(gòu)的多余約束，以相應(yīng)的未知力代替多余約束的作用。4解方程求多余未知力。將所得各系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程，解出多余未知力Xi。力法的計(jì)算步驟和舉例5繪制原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。用疊加法繪制原結(jié)構(gòu)的彎矩圖，進(jìn)而根據(jù)平衡條件確定剪力圖和軸力圖。位移法力矩分配法本節(jié)內(nèi)容位移法力矩分配法位移法力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)是以多余未知力為基本未知量，當(dāng)結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)較高時(shí)，用力法計(jì)算比較麻煩。而位移法則是以獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，未知量個(gè)數(shù)與超靜定次數(shù)無關(guān)，故一些高次超靜定結(jié)構(gòu)用位移法計(jì)算比較簡(jiǎn)便。本節(jié)主要內(nèi)容是位移法和力矩分配法的基本概念、解題思路和計(jì)算方法；最后分析總結(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的特性。位移法的基本概念位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，由平衡條件建立位移法方程求解結(jié)點(diǎn)位移，利用桿端位移和桿端內(nèi)力之間的關(guān)系計(jì)算桿件和結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為單跨超靜定梁的計(jì)算問題。位移法位移法的基本概念為了說明位移法的基本概念，我們來研究圖（a）所示的等截面連續(xù)梁。

位移法的基本概念

位移法的基本概念因此，如把結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角作為支座移動(dòng)看待，則上述連續(xù)梁可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)單跨超靜定梁。只要能夠計(jì)算出轉(zhuǎn)角的大小，就可以用力法計(jì)算出這兩個(gè)單跨超靜定梁的全部反力和內(nèi)力。位移法的基本概念

第一步，增加約束，將結(jié)點(diǎn)B鎖住。假設(shè)在結(jié)點(diǎn)B處加入一附加剛臂[圖(a)]，附加剛臂的作用是約束B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，而不能約束移動(dòng)，即相當(dāng)于固定端。位移法的基本概念

位移法的基本概念第二步，在基本結(jié)構(gòu)中，只有荷載q的作用，無轉(zhuǎn)角Z1影響，如圖(b)所示。其彎矩圖可由力法計(jì)算如圖(b)所示，在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為R1F。位移法的基本概念第三步，施加力偶，使基本結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)B產(chǎn)生角位移Z1如圖(c)所示。在B端發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1的支座移動(dòng)，其彎矩圖可由力法計(jì)算得到，如圖(c)所示，在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為R11

。位移法的基本概念第四步，把基本結(jié)構(gòu)的兩種情況疊加，計(jì)算轉(zhuǎn)角Z1。由疊加原理可得基本結(jié)構(gòu)在兩種情況下引起的約束力矩為R11+R1F。由于基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)相同，在原結(jié)構(gòu)上沒有附加剛臂，故基本結(jié)構(gòu)中附加剛臂上的約束力矩應(yīng)為零。即R11+R1F=0。位移法的基本概念力法中的基本結(jié)構(gòu)是從原結(jié)構(gòu)中拆除多余約束而代之以多余未知力的靜定結(jié)構(gòu)。而位移法的基本結(jié)構(gòu)是在原結(jié)構(gòu)上增加約束構(gòu)成若干個(gè)單跨超靜定梁的組合體。雖然它們的形式不同，但都是原結(jié)構(gòu)的代表，其受力和變形與原結(jié)構(gòu)是一致的。強(qiáng)調(diào)說明位移法典型方程及計(jì)算舉例

位移法計(jì)算舉例上面討論了用位移法典型方程解算超靜定結(jié)構(gòu)的解題思路和方法，根據(jù)前面所述，用位移法解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟可歸納如下：1首先確定基本未知量，增加阻止剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和結(jié)點(diǎn)移動(dòng)的附加約束，從而形成基本結(jié)構(gòu)；2

使基本結(jié)構(gòu)承受原荷載，并令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移，根據(jù)附加約束上的反力矩或反力等于零的條件，建立位移法的典型方程；位移法典型方程及計(jì)算舉例3繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖MF圖與荷載彎矩圖MF圖，利用平衡條件求系數(shù)和自由項(xiàng)；

—4解算典型方程，求出各基本未知量；5

—6校核。在位移法計(jì)算中，由于位移條件自然滿足，所以只需校核平衡條件。力矩分配法的基本概念一、力矩分配法的基本參數(shù)使AB桿的A端（也稱近端）產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)所需施加的力矩。01轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SAB當(dāng)θ≠1時(shí):

MAB=SABθABABABAB=θ=1θ=1θ=1θ=1SAB=4iSAB=iSAB=3i轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的大小不僅與該梁的線剛度i有關(guān)（i=EI/L），而且與遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度反映了桿端抵抗轉(zhuǎn)動(dòng)的能力。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度越大，表示桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需施加的力矩越大。力矩分配法的基本概念02分配系數(shù)表示當(dāng)桿件近端有轉(zhuǎn)角時(shí)，桿件遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值。它的大小與遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)。03傳遞系數(shù)C

A

匯交于同一結(jié)點(diǎn)各桿的分配系數(shù)之和等于1，即：=μAB

＋μAC＋μAD=1∑μAμAk稱為分配系數(shù)C=0.5C=0C=－1遠(yuǎn)端固定：遠(yuǎn)端定向支座：遠(yuǎn)端鉸支：力矩分配法的基本概念當(dāng)結(jié)點(diǎn)A作用有力偶荷載m時(shí)，結(jié)點(diǎn)A上各桿近端得到按各桿的分配系數(shù)乘以m的近端彎矩，也稱分配彎矩。把上述問題歸納如下：ABCDmθAθAθA

以上是用力矩的分配和傳遞的概念解決結(jié)點(diǎn)力偶荷載作用下的計(jì)算問題，故稱為力矩分配法。

各桿的遠(yuǎn)端則有傳遞系數(shù)乘以近端彎矩（或分配彎矩）的遠(yuǎn)端彎矩，也稱傳遞彎矩。力矩分配法的基本概念遠(yuǎn)端支承情況轉(zhuǎn)動(dòng)剛度傳遞系數(shù)固定4i0.5鉸支3i0滑動(dòng)i－1力矩分配法要點(diǎn)力矩分配法的適用條件：01力矩分配法的基本參數(shù)02無側(cè)移剛架和連續(xù)梁。1）轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SAB2）、分配系數(shù)μAB

3）傳遞系數(shù)CAB