決戰(zhàn)2021屆高考數學全真模擬黃金卷11（理）（新課標Ⅰ卷解析版）

黃金卷11(新課標I卷)

理科數學

本卷滿分150分，考試時間120分鐘。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.設集合A={y|)，=l-2>,B={x|x<-1},則4口(品3)=()。

A、(-co,-1]

B、(—8,1)

C、(-1,1)

D、(—1,+8)

【答案】B

【解析】由題意可知，集合A=(-8,l),CR8=(-1,+OO),40(。~8)=(-1,1),故選C。

2.若復數z=則zS=()o

2-i

A、1

B、2

C、V5

D、5

【答案】A

2+i(2+i)2手，心二號.等“故選A.

【解析】z=----

2-i

03

3.已知=蚯，b=log3,c=(tany),則()。

A、a>b>c

a>c>b

C、h>a>c

D、c>a>b

【答案】D

030

【解析】a=V2=2、>2。=1,b=log3g<log31=0,0<c=(tan-^)<(tan-^)=1,

a>c>b，故選Bo

4.函數/（幻=/—的圖像大致是（）o

【解析】構造函數必=/和丫2=%?，，則y=%，

則x=0或/="?,畫g（x）=x4和h（x）=ex的圖像,

則%4和e”在（-3,3）上有兩個解，

其中一個在（-1,0）之間，一個在（1,2）之間,故選B。

5.小明在學校里學習了二十四節(jié)氣歌后，打算在網上搜集一些與二十四節(jié)氣有關的古詩，他準備在冬季的

6個節(jié)氣：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒與春季的6個節(jié)氣：立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷

雨中一共選出4個節(jié)氣，搜集與之相關的古詩，如果冬季節(jié)氣和春季節(jié)氣各至少被選出1個，那么小明選取

節(jié)氣的不同情況的種數是（）。

A、345

B、465

C、1620

D、1860

【答案】B

【解析】根據題意可知，小明可以選取1冬3春、2冬2春、3冬1春,

故小明選取節(jié)氣的不同情況有:C>C；+《.德+盤?以=465（種）,故選B。

6.運行如右圖所示的程序框圖，則輸出的％的值為（）o

A、11

B、12

C、13

D、14

【答案】C

【解析】山算法框圖可知，S是首項為1,公比為2的等比數列的前〃項和,

即S=2°+2:…+2"i=2"—1,

121312

Vlog2(2-l)<12,log2(2-l)>log2(2)=12,Z=13,故選C。

7.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）o

A、4兀

B、6兀

C、8兀

D>12兀

【答案】A

【解析】由三視圖可知，該幾何體是由兩個半圓錐組合而成的,

兩個半圓錐的底面半徑均為2,高分別為4和2,

該幾彳可體體積V=-X-XKX22X4+—X-XTCX22X2=4TI,故選A。

2323

8.已知函數/(x)=%3+sinx,若aw[O,兀],pe[-—,—],且『(二一a)=/(2。),則cose+0)=()。

4422

AV32

、

V3

B

、

72

2一

c

、

V23

D

、

【答案】B

【解析巾單調遞增，fa)/等］,阻-等］,則小)在產中上遞增,

6

則g-a=2P，cos(￡+p)=cos；=-^-,故選B。

x-y<0

9.已知實數x、y滿足約束條件加-yWO,其中mv-l,若目標函數y二二^的最大值為2,則機=()。

x-tn

A、-2

B、—2或上

2

C、—2或一

2

D、

2

【答案】A

【解析】表示區(qū)域為如圖陰影部分，A(—^,上一)、,

勿2+1機+122

目標函數2=y的幾何意義是可行域內的點（居y）與P（m,O）所連直線的斜率最大,

x-m

m

故有即A=-F±1—=2,即2機2+3機-2=0,解得機=—2或1（舍），故選A。

----------m2

m+1

10.已知邊長為26的菱形ABC。中，44=60°,現沿對角線6D折起，使得二面角A—3D—C為120°,

此時點A、B、C、。在同一個球面上，則該球的表面積為（）。

A、20K

B、24TU

C、28兀

D、32K

【答案】C

【解析】如圖分別取8D,AC的中點何、N,連MN,

7

則容易算得4W=CM=3,MN=-,MD=6

2

由圖形的對稱性可知球心必在MN的延長線上，

設球心為O,半徑為R,HN=x，

227

/?-=X+一

則由題設可得（4,

/?2=（|+X）2+3

1177

解之得》=一，則/?2=一+一=7,，球的表面積5=4成2=28兀，故選C。

244

11.在雙曲線C：5-2=1（?！?,8〉0）的右支上存在點A,使得點A與雙曲線的左、右焦點耳、居形

ab

成的三角形的內切圓P的半徑為。，若A”；鳥的重心G滿足PG〃6g，則雙曲線C的離心率為（）。

A、V2

B,V3

C、2

D、M

【答案】C

【解析】如圖，由PG平行于x軸可得%=力=。，則以=3幾=3。，

???53的=；2?3。=：（|46|+|Ag|+2c）a

又|用|一|伍|=2a,則|A^|=2c+a,\AF2\=2c-a,

由焦半徑公式IAT1|=。+2工4得4=2a,

4a29Mf-

因此42a,3a)代入雙曲線方程得空;-咚=1可得分=島,

ab

/.c=y]a2+b~=2a,即6=￡=2,故選C。

12.已知函數/(x)=2吧+a-2ax,若存在唯一的整數與，使，(面)>(),則實數。的取值范圍是()。

X

Aln3In2.

A、r『T)

B、四垮

52

「ln2In3

0、(石丁

D、(In2,In3)

【答案】A

【解析】/(x)的定義域為(0,+8),由/(x)>0,得網2>2ax-a,

X

令g(x)='ln"，定義域為(0,+8),h{x)=2ax-a>定義域為(0,+8),

x

則,令‘(外二。，解得x=e,

則g(幻在(0,e)上單調遞增，在(處+⑹上單調遞減，???g(幻在1=e處取極大值也是最大值,

3

乂g(e)=—、g(D=。，當xf+8時g(x)>0,

e

???作出g(x)的大致圖像如圖所示，

易知/?(x)的圖像是恒過點(；,0)的直線，

若々<0,則顯然不符合題意，

3In2)

---->4a-a

g(2)>h(2)即[2,—<a<->故選A。

若。>0,

g(3)<M3)31n3-52

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量Z=(2,1),|3|=石，aY(k-2b),那么向量Z與］的夾角為

【答案】-

3

2——j————1—?f九

【解析】a-2ab,5=2xV5xv5cos<^/?>,則cosv〃”>=—,則〃與方的夾角為一。

23

14.在（1+刈4?（1+紡，）6的展開式中，若含f.『項的系數是［5,則實數。的值為o

【答案】-

2

【解析】含/.>3的項為C：?/.C：./.y3,則其系數C2c3a3==15,則4=:。

15.已知數列｛%｝的通項公式為4=〃（〃+l）.sin/（〃￡N+）,其前〃項和為S〃，則§8二

【答案】-36

aa

［解析】對VAEN+,ck=a4k-3+4k-2+4k-\+a4k

/AIOX/A1C\.(4左—3)兀...1、.(4攵-2)兀

=(4攵-3)(4%-2)-sin------------F(z4k-2nx)/(/41%—I)-sin-----------

22

‘Ai.(42-1)兀.....［、.4%兀

+(42-1)4%-sin--------+42(4%+1)?sm

=(4左一3)(4%—2)X1+(4k—2)(4%—1)x0+(4%—1)44x(-1)+4k(4k+1)x0

=-16k+6,

S8=C［+c2=-16x(1+2)+6x2=—36。

16.在AABC中，內角A、8、C所對的邊分別為a、b、c,且點。是AB的中點，若CO=1,（a-gb）-sinA=

（6+c）?（sinC-sinB）,則A4BC面積的最大值是

【答案】晅

5

【解析】如圖，設NCR4=0,則/。03=?！?。，

在AAC。和中，分別由余定理可得：

22

幺+―2Ji-/

COS0=--------，COS0T-0）=---------,

兩式相加整理得-+2-(a2+b2)^0,.,.c2=2(a2+/)-4①,

2

由（。-,6）?5畝4=（匕+。）-（5?。-5畝3）及正弦定理得（。一,。）.。=伯+。）.（。-方），

22

整理得/+〃_。2=絲②，由余弦定理的推論可得：COSC='+、C2

22ab4

???sinC=巫，把①代入②整理得：a2+b2+—=4,又/+〃之2而，

4-2

當且僅當a=b時等號成立，.??422M+丑=空，即"4號，

225

SMSC=-?/7.sinC<-x-x^l=^i,即A4BC面積的最大值是—。

MSC225455

三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（12分）已知數列｛%｝和｛%｝都是等差數列，q=1。

n2

⑴求數列｛4｝的通項公式；

⑵設a=4，數列｛〃,｝的前W項和為S.,求證：S“<8。

【解析】（1）設等差數列｛/｝的公差為d，，a2=g+d，%=g+2d，

1分

2分

1,1

299

a(弓+")?1(i+2")”

又數列｛與｝是等差數列，；.2x、一=；+七一,3分

化簡得"2一[+1=0,解得d=L,

4分

42

11ri

則4=5+("T)X]=5；5分

14

⑵由⑴可知"=—==，6分

%〃

當〃=1時，仄=4,S]=4=4v8,符合，7分

441I

當〃之2時，b=-^<-------=4x(-------),9分

n2n(n-l)n-\n

S〃=4+與+…+d<4+4x(--—+---+???+--)=4+4x(l--)<8，11分

1223n-1nn

綜上，當〃￡&時，S〃<8。12分

18.（12分）如圖,斜平行六面體43。。一45購。中，AB,±4°i-AiB=AB=BBi=4,AD=2,4。=26。

（1）求證：平面_1_平面A[BC；

（2）求二面角A-C4]的余弦值。

【解析】（I）由題意可知5c〃AA，???1分

平行四邊形ABB14中，鈿=8四，.?.四邊形河同為菱形，2分

ABi±AiB,?：\B^BC=B,，人用JL平面4BC,3分

丫AB|U平面.?.平面平面ABC；4分

（2）VBC1AB1,BC±平面ABB14,

,/8Cu平面ABCD,；.平面A3CO_L平面ABB^,

平行四邊形CDRG中，AB=BB、，：.四邊形CDD?為菱形，

連接BD，交AC于E,取CO中點。，連接。。、OE，可得。。J?平面ABC。，6分

故可以以OE、OC、。鼻所在直線分別為x、y、z軸建系如圖，

則C（0,2,0）、8（220）、A（2,-2,0）、A,（2,0,2百），

則祝=（-2,2,-2回AC=（-2,4,0）,詼=（-2,0,0）,7分

設平面A41C的法向量為機=（孫yv4）,

則卜2%+2必-2岳=0,令％=2,則當=1,4=-旦

-22+4%=03

平面A4c的法向量為蔡=（2,1,-#），9分

設平面441C的法向量為，7=（如如Z2）?

則卜2々+2%-2怎2=。，令力=6,則30,Z2=l,

-2元2=0??

；?平面BA］C的法向量為〃=（。，行/），11分

--2x0+1x73+（-x1

.31

..cos<mn>=————=/----------------------=—,

9川?問12+產+（當2.揚+向+/4

設二面角A—C41-3的平面角為。，經觀察。為銳角，則cosO=|cos<，77,〃>|=j。12分

19.（12分）某企業(yè)有甲、乙兩條生產同種產品的生產線，現從這兩條生產線上各隨機抽取50件產品檢測

質量（單位：克），質量值落在（490,500］、（530,540］上為三等品，質量值落在（500,510］、（520,530］上為二

等品，質量值落在（510,520］上為一等品。下表為甲、乙兩條生產線上抽取的50件產品的抽樣情況，將頻率

視為概率。若從甲生產線上隨機抽取5件產品，其中二等品的件數X的數學期望是1。

產品質量（克）甲生產線抽樣的頻數乙生產線抽樣的頻數

(490,500J33

(500,510]47

(510,520]X30

(520,530]y8

(530,540]22

（1）求x、y的值；

（2）從兩條生產線上各抽取一件產品，求甲生產線上產品的等級優(yōu)于乙生產線上產品的等級的概率（一等品優(yōu)

于二等品，二等品優(yōu)于三等品）。

【解析】（1）由題中表格知甲生產線上：等品的頻率為山，

50

將樣本頻率視為概率，可估計從甲生產線上任取一件產品為二等品的頻率為P=&,

50

X?,AE（X）=5x^-=^-=l,故y=6,x=35；4分

505010

（2）甲生產線上一等品概率為至=0.7,二等品概率為3=0.2,三等品概率為9=0.1,7分

505050

乙生產線上一等品的概率為—=0.6,二等品的概率為—=0.3.

5050

三等品的概率為』=0.1,10分

50

設A,用（i、/=1、2、3）表示甲產品是i等品，乙產品是/等品的事件，

則——）=0.7*0.3=0.21,P（A.）=0.7x0.1=0.07,P（A2B3）-0.2x0.1=0.02,

則甲生產線上產品等級優(yōu)于乙生產線上產品等級的概率為：

P=P（A52）+P（AB3）+P（453）=0.3。12分

22

20.（12分）己知橢圓C|：二+斗=1（。>6>0）的一個焦點與拋物線C,：尸=2G的焦點尸重合，兩條

a-h

曲線在第一象限內的交點M滿足|。

（1）求橢圓C,以及拋物線C?的標準方程；

（2）過橢圓另一焦點E作直線/（斜率存在但不為0）與橢圓相交于A、B兩點,在橢圓長軸上取一點P,使得

西?麗為定值，試求點P的坐標及這個定值。

【解析】⑴由已知尸仁,0）,則c=￡,.,?〃二/一多產二（/,設y0）,

則由拋物線定義有.|MF|=Xo+1=g，即與2分

:點M在拋物線上,

22

C

橢圓G的標準方程是5+5=1，拋物線2的標準方程為V=4X：4分

y=Z*+l)

⑵由⑴可知點石的坐標為(-1,0),設直線/：)=依％+1),聯(lián)立2

—+—=1

43

消去y化簡得(4r+3)x2++4/-12=(),

-SA?Ab2-12

設A(w，%)、B(X2,y2),則百+%2=4入2a，FFJ心2J7分

QK十34K十J

設P(m,0)(—2〈加〈2),則：

PA?PB=(x)-m,切),(々一根，％)=($一團，攵(國+1))?(々一6，2(巧+1))

2

=(1+%2)X]-x2+(42-m)(Xj+X2)+/H+42

(4/n2+8w-5H2+(3,n2-12)，八人

=------------5-------------，10分

4&2+3

~~i4m2+8/77-53m2-12,113m2-12135

若B4-P3為定值，則ni-----------=--------，解/A7得zrlm=一一，止L匕l(fā)時--------=-----，

438364

故點尸的坐標為(-：,0),定值為-詈。12分

?77?

21.(12分)已知函數/(九)=-...+lnx-x(me/?)o

x

(1)當m=2時，求函數/(x)的最小值；

e

_9/71,PX—%?

(2)若加?02之2,g(x)=----------,求證：/(x)vg(x)。

X

1x

【解析】(l)/(x)的定義域為(0,+8),當初=一時，/(%)=e—+lnx-x,

eex

小)=03—1=如沖心，1分

exxex

令N(x)=e*—0(x>0),則|j'(x)=e*—e,當R'(X)=0時x=l,

當0<x<1時ji'(x)<0,則似幻在(0,1)上單調遞減，

當x>l時|i'(x)>0,則n(x)在(1,+QO)上單調遞增，

則x=1時g(x)取極小值也是最小值,則g(x)>g(l)=0,

即在(0,+8)上|_i(x)=e*-"NO恒成立，4分

則當0<x<1時/'(x)<0,則f(x)在(0,1)上單調遞減，

當x>l時_f(x)>0,則f(x)在(1,+8)上單調遞增,

.?.當x=l時/>(X)取極小值也是最小值，/(x)min=/(l)=0；6分

77??夕'

(2)令F(x)=/(x)—g(x)=lnx---,F(x)的定義域為(0,+oo),

x

..2、r.、2.,1m-ex-x-mexx-m\x-V)-ex

?me>2,..m>-y,.?加>0,F(x)=----------勺----------7分

exx

當OvxKl時，F(x)>0,尸(x)在(0,1］上單調遞增,

F(x)<F(l)=—me<0?/(x)<g(x),8分

當時'/⑶:一中叱一?。?

1

令G(x)=e"-----——(x>l),則當“/22時，Gf(x)=ex+>0,

G(2)=e2--=m'e'~2>o,?：m-e2>2,：.\<-^—<2,9分

mmm-1

2

,存在f滿足l</<42得—-->e2,則有GQ)=e'------—<e2-e2=0,

me-1m(t-l)m(t-l)

?/G(f)?G⑵<0,G(x)存在唯一零點x0e(1,2],

即尸(x)有唯一的極值點且為極大值點x0,x06(1,2],10分

x

由G(x0)=0可得e°=—————，故F(x0)=lnx0----—,

/7?(x0-1)x0-1

令N(x)=Inx---,xe(1,2].則^(x)=—+——~->0,

x-1x(x-1)

p(x)在(1,2]上單調遞增，,n(x)<黑2)=In2—1,

故尸(瓦)〈1112-1<0,.\/。)<8(無)，11分

綜上，f(x)<g(x)o12分

請考生在第22、23兩題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目

計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數方程］(10分)

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(x-l『+V=1,直線/：機=(),以坐標原點為極點，x軸

的正半軸為極軸建立極坐標系。

(1)求圓C的極坐標方程與直線/的參數方程；

⑵設點P(“,0),若直線/與圓C交于A、B兩點,且|Q4|-|P8|=1,求實數機的值。

6

x=——t+m

2

【解析】(1)圓C：x2+y2=2x,則極坐標方程為p=2cos0直線/：(f為參數)；4分

1

y=-t