2023-2024學(xué)年北京石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁/共1頁2024北京石景山高三（上）期末數(shù)學(xué)本試卷共6頁，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。第一部分（選擇題共40分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（A） （B）（C） （D）（2）已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則（A） （B） （C） （D）（3）展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（A） （B） （C） （D）（4）已知向量，，若，則（A） （B） （C） （D）（5）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（A） （B） （C） （D）（6）直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（A） （B）（C） （D）（7）設(shè)函數(shù)，則（A） （B） （C） （D）（8）在中，，則（A） （B） （C） （D）（9）設(shè)函數(shù)，則是（A）偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增 （B）奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減（C）偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增（D）奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減（10）在正方體中，點(diǎn)在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點(diǎn)，使得（A）（B）平面平面（C）（D）平面第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域?yàn)開__________．（12）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為___________．（13）某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生作為樣本進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)試，記錄他們的成績(jī)，測(cè)試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如右頻率分布直方圖，則圖中的值為_______，若全校學(xué)生參加同樣的測(cè)試，估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)開_________（每組成績(jī)用中間值代替）.（14）已知命題：若，則．能說明為假命題的一組的值為______，_______．（15）在數(shù)列中，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則一定是遞減數(shù)列；②若，則一定是遞增數(shù)列；③若，，則對(duì)任意，都存在，使得；④若，，且對(duì)任意，都有，則的最大值是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（17）（本小題13分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件=1\*GB3①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；條件=2\*GB3②：時(shí)，的值域是；條件=3\*GB3③：是的一條對(duì)稱軸．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（18）（本小題13分）某學(xué)校體育課進(jìn)行投籃練習(xí)，投籃地點(diǎn)分為區(qū)和區(qū)，每一個(gè)球可以選擇在區(qū)投籃也可以選擇在區(qū)投籃，在區(qū)每投進(jìn)一球得2分，沒有投進(jìn)得0分；在區(qū)每投進(jìn)一球得3分，沒有投進(jìn)得0分.學(xué)生甲在，兩區(qū)的投籃練習(xí)情況統(tǒng)計(jì)如下表：甲區(qū)區(qū)投籃次數(shù)得分假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且學(xué)生甲每次投籃相互獨(dú)立．（Ⅰ）試分別估計(jì)甲在區(qū)，區(qū)投籃命中的概率；（Ⅱ）若甲在區(qū)投個(gè)球，在區(qū)投個(gè)球，求甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率；（Ⅲ）若甲在區(qū)，區(qū)一共投籃次，投籃得分的期望值不低于分，直接寫出甲選擇在區(qū)投籃的最多次數(shù)．（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知橢圓，離心率為，短軸長(zhǎng)為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過坐標(biāo)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．求證：為直角三角形．（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的取值范圍．（21）（本小題15分）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，若數(shù)列滿足，，其中，表示數(shù)集中最大的數(shù)，則稱數(shù)列是的數(shù)列.（Ⅰ）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的數(shù)列是，寫出所有的數(shù)列；（Ⅱ）證明：若數(shù)列中存在使得，則存在使得成立；（Ⅲ）數(shù)列是的數(shù)列，數(shù)列是的數(shù)列，定義，其中．求證：為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是為單調(diào)遞增數(shù)列．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）B （3）D （4）B （5）C（6）A （7）C （8）B （9）D （10）A二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）（13） （14）（答案不唯一）（15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）(本小題14分)（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以平面；因?yàn)槠矫?，所以．[6分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由已知，易得，在中，所以得，，，所以設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．于是．又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．[14分]（17）(本小題13分)解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．[5分]（Ⅱ）選②因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，的值域是，所以，.此時(shí)，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，故．因?yàn)?，所?（Ⅱ）選③因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，解得．因?yàn)槭堑囊粭l對(duì)稱軸，所以.所以，即解得.由，可知.[13分]（18）(本小題13分)解：（Ⅰ）甲在區(qū)投籃次，投進(jìn)次，所以估計(jì)甲在區(qū)投籃進(jìn)球的概率為，甲在區(qū)投籃次，投進(jìn)次，所以估計(jì)甲在區(qū)投籃進(jìn)球的概率為.[2分]（Ⅱ）據(jù)題意，甲在區(qū)進(jìn)球的概率估計(jì)為，在區(qū)投籃進(jìn)球的概率估計(jì)為.設(shè)事件為“甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分”甲在區(qū)投個(gè)球，得分可能是，在區(qū)投個(gè)球，得分可能是.則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的情況有：區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率估計(jì)為.[10分]（Ⅲ）甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計(jì)是，甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計(jì)是，設(shè)甲在區(qū)投籃次，則甲在區(qū)投籃次，則總的期望值估計(jì)為，解得，則甲選擇在區(qū)投籃的次數(shù)最多是次．[13分]（19）(本小題15分)解：（Ⅰ）由題意知，解得．所以橢圓的方程為．[5分]（Ⅱ）解：不妨設(shè)直線的方程為，交橢圓于，．由題意知，所以；直線的方程為．聯(lián)立消去得易知所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則．；所以．因?yàn)樵谥校?，所以．所以，即．所以為直角三角形得證.[15分]（20）(本小題15分)解：（Ⅰ），.又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．[4分]（Ⅱ）令，.因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞減.所以.即當(dāng)時(shí)，.[8分]（Ⅲ）（1）當(dāng)時(shí)，.由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立；（2）當(dāng)時(shí)，令①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增.，不合題意②當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，，時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，不合題意.綜上，的取值范圍是.[15分]（21）(本小題15分)解：（Ⅰ），，，[4分]（Ⅱ）假設(shè)不存在使得成立，根據(jù)數(shù)列定義可知，，所以，則，即，所以，所以，這與已知